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指数函数、对数函数与幂函数章末测试
（考试时间：120分钟 试卷满分：170分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合后由交集定义可得答案.
【详解】集合表示函数的定义域，则，
集合表示函数的值域，则.
故.
.
2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可.
【详解】因为是幂函数，所以，解得，则，
所以.
.
3．（23-24高一上·湖南湘西·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意得：在上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可.
【详解】由题意得：在上单调递增，
所以对称轴，所以.
.
4．（23-24高一下·江西·期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可.
【详解】因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
因为在上递减，且，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以.
5．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案.
【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反，
且图象均不过原点，故排除AD；
在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知，
所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确.
.
6．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】按分段讨论，结合函数单调性、零点存在性定理及数形结合求解即得.
【详解】函数的定义域为，
当时，，显然函数在上都单调递减，
因此函数在上单调递减，而，
则函数在上有唯一零点；
当时，，显然，
因此函数在区间上至少各有一个零点，
当时，由，得，
则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，

观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解，
所以函数的零点个数为3.
7．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用反函数知识求出，结合复合函数的单调性可判断出的单调递减区间.
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，
所以，
因为，所以，解得：.
所以，
由，可得的定义域为，
令，则在单调递减，
而在定义域单调递增，
由复合函数的单调性可知:在单调递减.
.
8．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数和的图象有且只有两个公共点
B．，当时，使得恒不成立
C．，使得不成立
D．当时，方程有解
【答案】A
【分析】作出函数和的图象，结合函数图象即可判断A B；根据指数函数和对数函数的图象即可判断C；根据当时，函数和的图象都过过点，即可判断D.
【详解】对于A，如图所示，作出函数和的图象，
由图可知，函数和的图象有三个公共点，故A错误；
对于B，由A选项可知，当时，，
所以不存在，当时，使得恒不成立，故B错误；
对于C，如图，作出函数，的图象，

由图可知，函数的图象在的图象的上方，
函数的图象在的图象的下方，
所以，，
所以不存在，使得不成立，故C错误；
对于D，因为，，
当时，函数的图象过点，
函数的图象过点，即直线与函数图象有交点，
当时，直线斜率更小，直线与函数图象有交点，
所以当时，方程有解，故D正确.
.
【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一上·浙江金华·期末）已知（）（ ）
A．当时，的值域为 B．当时，
C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数
【答案】CC
【分析】根据幂函数的性质即可求解AB，结合函数奇偶性的定义即可判断CD.
【详解】当时，，此时的值域为，故A错误，
当时，在上单调递增，所以，B正确，
当时，，，所以是偶函数，C正确，
当时，，，则，，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误，
C
10．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．
C．存在，使得
D．函数的零点个数为
【答案】ACD
【分析】根据分段函数，求出的解析式即可判断A；举反例，取一个特殊值验证选项的正误判断B；作出函数的图象，发现函数的值域为，即可判断C；利用数形结合的思想，将函数的零点问题转化为方程的根，进而转化为两个函数的交点个数问题，再结合图象即可得解判断D.
【详解】对于选项A，当时，，所以，
所以，故A正确；
对于选项B，当时，与矛盾，故B错误；
对于选项C，由为偶函数，可作出函数在上的图象，

观察图象，的值域为，即存在，使得，故C正确；
对于选项D，由的零点个数即为根的个数，
即与的的交点个数，观察图象，在时，有5个交点，
根据对称性可得时，也有5个交点，共计10个交点，故D正确.
CD
【点睛】方法点睛：判断方程零点个数的常用方法：
①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；
②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数；
③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.
11．（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，若，则
D．，使不成立
【答案】CCD
【分析】举出反例可判断A，举例可判断B，设，则，，求出的范围可判断C；根据取值特征可判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，设，则
，故B正确；
对于C，设，则，，则，所以，故C正确；
对于D，时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
由，
可得时，不成立，故D正确.
CD.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 .
【答案】
【分析】根据题意，令，求得和，即可求解.
【详解】由函数（且），
令，解得，则，所以函数恒经过定点.
故答案为：.
13．（23-24高一上·安徽·期末）已知实数m，n满足，则 .
【答案】1
【分析】根据已知条件，推得，，再结合对数的运算法则，即可求解．
【详解】解：，
所以，，
所以．
故答案为：1．
14．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】转化为与的图象有3个交点，做出的图象，结合图象可得答案.
【详解】若函数有三个零点，
则与的图象有3个交点，
，
当时，，
当时，，
与轴的交点为，
的大致图象如下，
要使与的图象有3个交点，
则，解得，或.

故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)0
(2)2
【分析】（1）利用指数运算法则及指数式与对数式互化计算即得.
（2）利用对数运算法则求解即得.
【详解】（1）.
（2）
.
16．（15分）（23-24高一上·广西贺州·期末）已知函数，（其中且）．
(1)若函数定义域为R ，求实数的取值范围；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是偶函数
【分析】
（1）首先求出的解析式，依题意可得恒不成立，即可得到，从而求出参数的取值范围；
（2）设，首先求出定义域，再根据奇偶性的定义判断即可.
【详解】（1）由题意得，
因为函数定义域为，
所以恒不成立，
即， 解得，
故实数的取值范围.
（2）设，
定义域需满足：，解得，
故函数的定义域为，定义域关于原点对称，
则，
又因为，
即，
所以是偶函数，即是偶函数.
17．（15分）（23-24高一上·北京东城·期末）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.
(1)按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值；
(2)另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）
参考值：，.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，列出方程，结合对数的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，注射药品两小时后药品的残存量为，
所以，解得，即注射了药品，的值为.
（2）设药物注射量为，则小时后残余量为，
设药物注射量为，则小时后残余量为，
又题可知，药物注射量为，药物注射量为，
设小时后残余量相同，则，
即，两边取对数可得，即，
即，即，
即，即，
解得，所以注射小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.
18．（17分）（23-24高一上·天津·期末）若函数为幂函数，且在单调递减．
(1)求实数的值；
(2)若函数，且，
（ⅰ）写出函数的单调性，无需证明；
（ⅱ）求使不等式不成立的实数的取值范围．
【答案】(1)1
(2)（ⅰ）在区间单调递增；（ⅱ）
【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍；
（2）（ⅰ）根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得；
（ⅱ）利用（ⅰ）的结论求解抽象不等式即得.
【详解】（1）由题意知，解得：或，
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；
所以实数的值为1．
（2）（ⅰ），在区间单调递增.证明如下：
任取，则，
由可得：，，则，即，
故在区间单调递增.
（ⅱ）由（ⅰ）知，在区间单调递增，又由可得：
则，解得.
19．（17分）（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，.
(1)求函数的最大值；
(2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可；
（2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可.
【详解】（1）
，
，，
当，即时，，当，即时，，
当时，的最大值为2.
（2）由，得，
即，，
设，则当，，，
，
设，
由题意，是当时，函数的值域的子集.
①当，即时，函数在上单调递增，
则解得.
②当，即时，函数在上单调递减，
则不等式组无解.
③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增，
则函数的最大值是与的较大者.
令，得，
令，得，均不合题意.
综上所述，实数的值为.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)指数函数、对数函数与幂函数章末测试
（考试时间：120分钟 试卷满分：170分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（23-24高一上·湖南湘西·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一下·江西·期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数和的图象有且只有两个公共点
B．，当时，使得恒不成立
C．，使得不成立
D．当时，方程有解
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一上·浙江金华·期末）已知（）（ ）
A．当时，的值域为 B．当时，
C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数
10．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．
C．存在，使得
D．函数的零点个数为
11．（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，若，则
D．，使不成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 .
13．（23-24高一上·安徽·期末）已知实数m，n满足，则 .
14．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算：
(1)；
(2).
16．（15分）（23-24高一上·广西贺州·期末）已知函数，（其中且）．
(1)若函数定义域为R ，求实数的取值范围；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
17．（15分）（23-24高一上·北京东城·期末）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.
(1)按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值；
(2)另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）
参考值：，.
18．（17分）（23-24高一上·天津·期末）若函数为幂函数，且在单调递减．
(1)求实数的值；
(2)若函数，且，
（ⅰ）写出函数的单调性，无需证明；
（ⅱ）求使不等式不成立的实数的取值范围．
19．（17分）（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，.
(1)求函数的最大值；
(2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值.
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