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第01讲 实数指数幂及其运算
课程标准 学习目标
①有理指数幂含义及运算 ②实数指数幂 1.理解有理数指数幂的含义,会用幂的运算法则进行有关计算. 2.通过具体实例了解实数指数幂的意义. 3.通过本节的学习,体会“用有理数逼近无理数”的思想,可利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过程.
知识点01 n次方根的定义及表示
(1)定义
给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__ __，则__ _称为__ __的n次方根．
(2)表示
①0的任意正整数次方根均为___，记为__ __；
②正数a的偶数次方根有__ __个，它们互为__ __数，其中正的方根称为a的n次____根，记为____，负的方根记为____；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n为偶数时，没有意义；
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为____．而且正数的奇数次方根是一个____数，负数的奇数次方根是一个____数．
【即学即练1】
1．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞)
B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
知识点02 根式的定义和性质
(1)定义
当 有意义时， 称为根式，n称为____，a称为_ _．
(2)性质
①____；
②当n为奇数时，____；当n为偶数时，____．
【即学即练2】
2．（ ）
A．0 B． C．1 D．2
知识点03有理数指数幂
（1）如果m，n∈N*，n＞1，且是既约分数，那么当有意义时，规定：____，a____．
（2）有理数指数幂的运算法则
asat__ __，(as)t__ __，(ab)s__ _．
【即学即练3】
3．（多选）下列表达式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点04实数指数幂的运算律
（1）aras__ __(a>0，r，s∈__R_).
（2）(ar)s__ __(a>0，r，s∈__R__).
（3）(ab)r__ __(a>0，b>0，r∈__R__).
【即学即练4】
4．的值是(　　)
A．3 B．3 C．9 D．81
题型01 根式的性质与运算
【典例1】下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．16的4次方根是 B．
C． D．
【变式2】 .
【变式3】已知，化简： ．
【变式4】求下列各根式的值：
(1)
(2)（其中）．
题型02 根式与分数指数幂的互化
【典例2】（1）求值： ；
（2）求值：；
（3） 化简：.
【变式1】化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】化简：= .
【变式4】（1）求值：
（2）用分数指数幂表示
题型03 指数幂的运算与化简
【典例3】计算：．
【变式1】．若，，则的值是（ ）
A．0.9 B．1.08 C．2 D．4
【变式2】已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3】（多选）下列运算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】化简： .
【变式5】计算： .
题型03 条件求值问题
【典例4】已知，求下列各式的值：
①；
②.
【变式1】已知实数满足，则的值为（ ）
A．14 B．16 C．12 D．18
【变式2】已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．7
【变式3】已知，则的值为 .
【变式4】已知，求下列各式的值：
① ；
②；
③.
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．化简的结果为（ ）
A．5 B． C． D．
5．已知且，则有（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知，则的值( )
A． B． C． D．
8．已知，则的值是（　　）
A． B． C．24 D．
9．当有意义时，化简的结果是（ ）．
A． B． C． D．
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．若实数满足，则（ ）
A．且 B．的最大值为
C．的最小值为7 D．
三、填空题
14．计算 ．
15．化简： .
16．借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 .
四、解答题
17．化简求值:
(1)；
(2)．
18．计算．
(1)；
(2)．
19．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 实数指数幂及其运算
课程标准 学习目标
①有理指数幂含义及运算 ②实数指数幂 1.理解有理数指数幂的含义,会用幂的运算法则进行有关计算. 2.通过具体实例了解实数指数幂的意义. 3.通过本节的学习,体会“用有理数逼近无理数”的思想,可利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过程.
知识点01 n次方根的定义及表示
(1)定义
给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__xna__，则__x__称为__a__的n次方根．
(2)表示
①0的任意正整数次方根均为__0__，记为____；
②正数a的偶数次方根有__两__个，它们互为__相反__数，其中正的方根称为a的n次__算术__根，记为____，负的方根记为__－__；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n为偶数时，没有意义；
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为____．而且正数的奇数次方根是一个__正__数，负数的奇数次方根是一个__负__数．
【即学即练1】
1．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞)
B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
【答案】C
【解析】要使原式有意义，需满足解得2≤a<4或a>4.
知识点02 根式的定义和性质
(1)定义
当有意义时，称为根式，n称为__根指数__，a称为__被开方数__．
(2)性质
①__a__；
②当n为奇数时，__a__；当n为偶数时，__|a|__．
【即学即练2】
2．（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据指数幂运算计算即可.
【详解】，.
知识点03有理数指数幂
（1）如果m，n∈N*，n＞1，且是既约分数，那么当有意义时，规定：____，a____．
（2）有理数指数幂的运算法则
asat__as＋t__，(as)t__ast__，(ab)s__asbs__．
【即学即练3】
3．（多选）下列表达式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DD
【分析】对于AB，根据指数幂的运算性质分析判断，对于CD，根据根式的运算性质分析判断.
【详解】对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B正确，
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误．
D．
知识点04实数指数幂的运算律
（1）aras__ar＋s__(a>0，r，s∈__R_).
（2）(ar)s__ars__(a>0，r，s∈__R__).
（3）(ab)r__arbr__(a>0，b>0，r∈__R__).
【即学即练4】
4．的值是(　　)
A．3 B．3 C．9 D．81
【答案】C
【解析】()×()[()2]3.
题型01 根式的性质与运算
【典例1】下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误.
【详解】，，故A错误；
，故B错误；
∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误；
不成立，故D正确.
.
【变式1】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．16的4次方根是 B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用根式的定义即可求解.
【详解】对于A，16的4次方根有两个，为，故A正确；
对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，是非负数，所以，故D正确．
D.
【变式2】 .
【答案】1
【分析】由根式的运算性质求解即可.
【详解】.
故答案为：1
【变式3】已知，化简： ．
【答案】
【分析】根据根式运算法则计算出结果.
【详解】因为，所以.
故答案为：0
【变式4】求下列各根式的值：
(1)
(2)（其中）．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据奇数次根式和偶次根式运算法则可得；
【详解】（1）
（2）（其中）．
题型02 根式与分数指数幂的互化
【典例2】（1）求值： ；
（2）求值：；
（3） 化简：.
【答案】（1）2；（2）；（3）
【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）.
【变式1】化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解.
【详解】因为，
所以.
.
【变式2】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CCD
【分析】运用分数指数幂与根式转化公式，结合指数幂性质求解即可.
【详解】A项错误，,而；
B项正确，；
C项正确，；
D项正确，.
CD.
【变式3】化简：= .
【答案】1
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.
【详解】解:由题意可知，
所以.
故答案为：1
【变式4】（1）求值：
（2）用分数指数幂表示
【答案】
【分析】根据次方根及分数指数幂运算即可.
【详解】（1）；
（2）.
故答案为：
题型03 指数幂的运算与化简
【典例3】计算：．
【答案】
【分析】根据分数指数幂的运算法则计算即可得解.
【详解】原式
．
【变式1】．若，，则的值是（ ）
A．0.9 B．1.08 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据题意结合指数幂运算求解.
【详解】因为，，所以.
.
【变式2】已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得，即可求出．
【详解】因为，
所以，
所以，
则，即，则.
.
【变式3】（多选）下列运算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】借助指数幂的运算逐项计算即可得.
【详解】对A：和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意，故A错误；
对B：，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
BD.
【变式4】化简： .
【答案】1
【分析】运用指数幂性质，结合平方差公式可解.
【详解】原式.
故答案为：1．
【变式5】计算： .
【答案】
【分析】根据指数幂的运即可求解.
【详解】,
故答案为：
题型03 条件求值问题
【典例4】已知，求下列各式的值：
①；
②.
【答案】①7；②
【分析】利用平方关系求解.
【详解】①因为，所以，即，所以；
②因为，又因为，所以
【变式1】已知实数满足，则的值为（ ）
A．14 B．16 C．12 D．18
【答案】A
【分析】由，变形代值即可.
【详解】因为，
所以.
.
【变式2】已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【分析】将所求式取平方，求出其值，再判断其值为正即可求得.
【详解】由，
因，故，
即得，.
.
【变式3】已知，则的值为 .
【答案】1或
【分析】根据题意，先求，即可得解.
【详解】根据题意，，
所以，
则或.
故答案为：1或.
【变式4】已知，求下列各式的值：
① ；
②；
③.
【答案】①；②7；③
【详解】①因为，所以，
又，所以.
②因为，所以，所以.
③因为，且，
所以，所以.
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数运算，可得答案.
【详解】因为，所以，，
所以.
.
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】直接由必要条件、充分条件的定义以及分数指数幂的运算化简即可判断.
【详解】由题意，即，
而“”是“”的必要而不充分条件，所以“”是“”的必要而不充分条件.
.
3．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
.
4．化简的结果为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数幂的运算性质进行求解即可.
【详解】，
5．已知且，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据根式运算性质，得到，即可求解.
【详解】因为，可得，
又因为，解得.
.
6．若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解.
【详解】因为，则，
所以.
.
7．已知，则的值( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数的运算性质即可求得.
【详解】因为，所以.
.
8．已知，则的值是（　　）
A． B． C．24 D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算求出、的值，再代入计算可得.
【详解】因为，，
所以，，
所以.
9．当有意义时，化简的结果是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可.
【详解】因为有意义，所以，则，
则
，
.
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解.
【详解】由，可得.
.
二、多选题
11．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】利用根式的运算直接求解.
【详解】当n为偶数时，故A，C选项中的式子不正确；
当n为奇数时，
则，
故B，D选项中的式子正确.
D.
12．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】直接根据指数幂的运算法则依次计算即可.
【详解】对选项A：，故，错误；
对选项B：，正确；
对选项C：，错误；
对选项D：，正确；
D
13．若实数满足，则（ ）
A．且 B．的最大值为
C．的最小值为7 D．
【答案】ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.
【详解】由，可得，所以且，故A正确；
由，可得，即，所以，
当且仅当，即时，等号不成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，等号不成立，
所以的最小值为9，故C错误；
因为，则，
所以，故D正确.
BD.
三、填空题
14．计算 ．
【答案】19678
【分析】根据指数幂的运算，即可求得答案.
【详解】，
故答案为：19678
15．化简： .
【答案】
【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果.
【详解】
.
故答案为：
16．借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 .
【答案】
【分析】由，结合题意可得，当越来越大时，会无限趋近于，会无限趋近于，即可得解.
【详解】，
由越来越大时，会无限趋近于，
故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近，
又越来越大时会无限趋近于，故会无限趋近于，
故会无限趋近于.
故答案为：.
四、解答题
17．化简求值:
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则得到答案；
（2）利用分数指数幂的运算法则得到答案.
【详解】（1）；
（2）
=
18．计算．
(1)；
(2)．
【答案】(1)3(2)2
【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可；
（2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可.
【详解】（1）
=；
（2）
.
19．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7(2)
【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解.
（2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解.
【详解】（1）由题意，所以.
（2）由题意，
所以.
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