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第04讲 对数函数的性质与图象
课程标准 学习目标
了解对数函数的概念. 知道对数函数ylogax(a>0且a≠1)与指数函数yax(a>0且a≠1)互为反函数. 3.了解并掌握对数函数的图象与性质． 通过本节课的学习，要求掌握对数函数的概念，图象及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小，会解对数方程及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题.
知识点01 对数函数的定义
(1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+
).
(2)判断一个函数是对数函数的依据：
①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).
(3)特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.
【即学即练1】
1.（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 对数函数的图象与性质
图象和性质 a>1 0图象
性质 (1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0
(4)当x>1时,y>0;当01时,y<0;当00
(5)在定义域(0,+∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 (5)在定义域(0,+∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大
【即学即练2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）恒过定点 ．
题型01对数函数的概念
【典例1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ．
①；②；③；④．
【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知对数函数过点，则其解析式为 ．
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a .
题型02对数型函数的定义域
【典例2】（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】函数中，实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（23-24高一上·四川乐山·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ．
题型03 对数函数的图象
【典例3】函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高二下·天津滨海新·期末）如图所对应的函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若，则函数的图象不经过第 象限.
【变式4】函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
题型04 图象过定点问题
【典例04】（23-24高二下·海南海口·期末）函数（，且）的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【变式1】函数的图象恒过定点 .
【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点，求此点的坐标．
题型05对数型复合函数的单调性
【典例05】函数的单调递增区间为 .
【变式1】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知，若在上单调，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高二下·江西赣州·期末）“”是“函数在单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型06 对数型复合函数的值域
【典题06】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）求的定义域和值域.
【变式1】若函数的定义域为，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ．
【变式3】设且，函数的图象过点．
(1)求的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最大值．
题型07 已知最值求参数
【典例07】（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．4或 B．4或
C．2或 D．2或
【变式1】（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ．
【变式2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
题型08 比较大小
【典例08】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知，，，则（）
A． B． C． D．
【变式1】已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若a， b， c满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型09 对数不等式的解法
【典例09】（23-24高一·上海·课堂例题）设，若，求实数的取值范围．
【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）不等式的解集为
【变式2】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 .
【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）解下列关于x的不等式：
(1)；
(2)（且）；
(3)（且）．
【变式4】（23-24高一上·云南·期末）已知函数且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．
题型10 对数函数中恒不成立（有解）问题
【典例10】（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)求函数的值域；
(3)若不等式对任意实数恒不成立，试求实数的取值范围．
【变式1】（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，当时，，则的取值范围为 .
【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)若不等式有解，求实数的取值范围．
【变式3】（23-24高一上·青海西宁·期末）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若对于恒不成立，求实数的取值范围.
【变式4】（2023高一上·江苏苏州·学业考试）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若不等式在上有解，求的取值范围.
题型11 对数函数中的新定义问题
【典例11】（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：
①对任意的，总有；
②；
③若，，，则有，就称为“A函数”.
下列定义在[0，1]上的函数中，是“A函数”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】对于任意实数，定义运算“”为 ，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 .
【变式3】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式不成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的．
(1)若，，则与在区间上是否“友好”；
(2)现在有两个函数与，给定区间．
①若与在区间上都有意义，求的取值范围；
②讨论函数与与在区间上是否“友好”．
一、单选题
1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
3．（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．已知函数恒过定点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数定义域为 B．时，
C．的解集为 D．
10．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知函数则下列说法正确的有（ ）
A．当时，函数的定义域为
B．函数有最小值
C．当时，函数的值域为R
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
11．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知函数且，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．
三、填空题
12．（23-24高一下·河北·期末）已知函数则 ．
13．（23-24高一下·云南玉溪·期末）苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1570-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究后发明的对数，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数可以表示成，则，这样我们可以知道的位数为.已知正整数，若是10位数，则的值为 .（参考数据：）
14．（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论.
16．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数且．
(1)若，求的值；
(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．
17．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为偶函数．
(1)求的值；
(2)若，判断在的单调性，并用定义法给出证明；
(3)若在区间上恒不成立，求的取值范围．
18．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，且，求实数n的取值范围.
19．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知函数
(1)当时，若，求x的值:
(2)若是偶函数，求出m的值:
(3)时，讨论方程根的个数.并说明理由.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第04讲 对数函数的性质与图象
课程标准 学习目标
了解对数函数的概念. 知道对数函数ylogax(a>0且a≠1)与指数函数yax(a>0且a≠1)互为反函数. 3.了解并掌握对数函数的图象与性质． 通过本节课的学习，要求掌握对数函数的概念，图象及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小，会解对数方程及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题.
知识点01 对数函数的定义
(1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+
).
(2)判断一个函数是对数函数的依据：
①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).
(3)特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.
【即学即练1】
1.（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】运用对数函数概念可判断.
【详解】根据对数函数概念，且.结合选项知道为对数函数.
.
知识点02 对数函数的图象与性质
图象和性质 a>1 0图象
性质 (1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0
(4)当x>1时,y>0;当01时,y<0;当00
(5)在定义域(0,+∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 (5)在定义域(0,+∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大
【即学即练2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）恒过定点 ．
【答案】
【分析】根据对数函数恒过定点，运算即可.
【详解】令，得，此时，
所以函数（且）恒过定点.
故答案为：.
题型01对数函数的概念
【典例1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ．
①；②；③；④．
【答案】②
【分析】根据对数函数的定义进行判断即可．
【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合.
故答案为：②.
【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数定义直接判断即可.
【详解】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是，
对于A，满足，故A正确；
对于B，C，D，形式均不正确，均错误.
【变式2】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知对数函数过点，则其解析式为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法，设出函数解析式，把点代入求解即可.
【详解】设对数函数解析式为（，且），
因为对数函数过点，
所以，解得，
所以对数函数解析式为.
故答案为：
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a .
【答案】1
【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可.
【详解】由题意得，
解得或1，
又且，
所以
故答案为：1
题型02对数型函数的定义域
【典例2】（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据开偶次方根被开方数非负及对数真数大于零确定函数定义域.
【详解】由 得 ，所以函数的定义域为.
故选: B
【变式1】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义域即可求解.
【详解】，
所以函数的定义域为，
【变式2】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对数函数的真数大于0，然后解不等式得出答案.
【详解】由题意知，，即，
所以或.
.
【变式3】函数中，实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的定义列式求解即可.
【详解】因为，则，解得，且，
所以实数a的取值范围是.
.
【变式4】（23-24高一上·四川乐山·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的解析式有意义，结合对数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，即，
解得，所以函数的定义域为.
.
【变式5】若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ．
【答案】或．
【分析】根据对数函数的定义域为R，转化为不等式恒不成立进行求解即可．
【详解】∵的定义域为R，
∴恒不成立，
当，即或，
若，不等式等价为，此时，不恒不成立，不满足条件．
若，不等式等价为，恒不成立，满足条件．
当时，要使不等式恒不成立，
则，
即或，
解得或，
综上可知，实数的取值范围是或．
故答案为：或．
题型03 对数函数的图象
【典例3】函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择．
【详解】当时，，，则，排除选项B和C；
当时，，排除选项A，选项D符合题意.
【变式1】（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知结合两函数的单调性及恒过的定点检验各选项即可判断．
【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A；
因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D．
．
【变式2】（23-24高二下·天津滨海新·期末）如图所对应的函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】举反例说明A错误，利用奇偶性并综合排除法判断BCD即可得解.
【详解】对于A，当趋于0时，趋于，对比题图可知，A不符合题意；
对于B，的定义域关于原点对称，且，
所以的图象关于轴对称，与题图不符，B不符合题意；
对于D，的定义域关于原点对称，且，
所以的图象关于轴对称，与题图不符，D不符合题意；
对于C，的定义域关于原点对称，且，
所以的图象关于原点对称，与题图相符，经检验，C符合题意.
.
【变式3】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若，则函数的图象不经过第 象限.
【答案】四
【分析】根据对数型函数的图象变换、单调性等知识求得正确答案.
【详解】函数的定义域为，
由于，所以函数在区间上单调递增，
函数的图象过点，且在上单调递增，
函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
所以函数的图象不经过第四象限.
故答案为：四
【变式4】函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域及函数值的正负判断即可.
【详解】因为的定义域为，故BD错误；
又，故C错误；故A正确.
题型04 图象过定点问题
【典例04】（23-24高二下·海南海口·期末）函数（，且）的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数的性质，令即可求解.
【详解】因为且，
所以在函数中，
令，则，，
所以函数的图象一定经过点.
.
【变式1】函数的图象恒过定点 .
【答案】
【分析】根据对数的性质即可令求解.
【详解】令，解得，所以，
故函数的图象恒过定点，
故答案为：
【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点，求此点的坐标．
【答案】
【分析】利用（且）恒不成立，求函数过定点.
【详解】当时，（且），
所以函数的图象过定点：
题型05对数型复合函数的单调性
【典例05】函数的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】根据对数型函数的定义域，结合对数型函数的单调性的性质进行求解即可.
【详解】由，或，
二次函数的对称轴为，
因为函数是正实数集上的增函数，
所以当函数单调递增时，则有，
所以函数的单调递增区间为，
故答案为：
【变式1】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解.
【详解】函数，因为，解得．
所以函数的定义域为，且，．
因为函数在区间,上单调递增，
在区间,上单调递减，函数单调递增，
所以由复合函数的单调性知函数在区间,上单调递增，
在区间,上单调递减,
【变式2】已知，若在上单调，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和二次函数复合的函数的单调性求解即可.
【详解】令函数，
该函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，要使在上单调，则在上单调，
且时，，故，解得或.
【变式3】（23-24高二下·江西赣州·期末）“”是“函数在单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可.
【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：
要满足函数在单调递增，
需要，
因为，所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件．
．
题型06 对数型复合函数的值域
【典题06】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）求的定义域和值域.
【答案】定义域为R，.
【分析】利用对数的真数大于0，可求函数的定义域；利用函数的单调性，可求函数的值域.
【详解】
设，则.
因为恒不成立，所以函数的定义域为R.
因为对数的底数，所以是[3，+∞）上的增函数
所以函数的值域为.
【变式1】若函数的定义域为，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出的定义域，结合对数函数、二次函数的性质，采用换元法求解即可.
【详解】解：因为，
由，可得，
所以的定义域为，
所以，
又，
设，
将原问题转化为求的值域，
由二次函数性质可知在上单调递增，
所以.
.
【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ．
【答案】2
【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可.
【详解】令，则，.
又在上单调递增，
所以，此时.
故答案为：
【变式3】设且，函数的图象过点．
(1)求的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最大值．
【答案】(1)2；
(2)2
【分析】（1）代入点的坐标求出的值，再根据对数函数的定义求出函数的定义域；
（2）依题意可得，结合二次函数的性质及对数函数的性质计算可得.
【详解】（1）由函数的图象过点，
得，即，所以，解得或（舍），
所以，
由，解得，
所以，函数的定义域为．
（2）由（1）知，
又，所以当时取得最大值4，且函数在定义域上单调递增，
故函数在区间上的最大值．
题型07 已知最值求参数
【典例07】（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．4或 B．4或
C．2或 D．2或
【答案】A
【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值.
【详解】由题意解得或（舍去），
①当时，函数在定义域内为增函数，
则由题意得，
所以即，解得或（舍去）；
②当时，函数在定义域内为减函数，
则由题意得，
所以即，解得；
综上可得：或．
.
【变式1】（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ．
【答案】2
【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，函数在区间上单调递增.
又对数函数在区间上的最大值比最小值大1，
所以，，解得.
故答案为：2.
【变式2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】A
【分析】由已知可得函数的值域为，从而可得的值，的最小值为9，从而可得的值，即可得解．
【详解】因为函数的值域为，
所以函数的值域为，
所以，解得，
因为的值域为,，
所以的最小值为9，所以，
解得，
所以．
．
题型08 比较大小
【典例08】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知，，，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可比较a,b,c的大小.
【详解】因为,
,
又,
所以.
.
【变式1】已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数单调性得到，再利用换底公式和作差法得到，比较出大小关系.
【详解】，
其中，，所以，
故，所以.
.
【变式2】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若a， b， c满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性分别求出a，b，c的大致范围，结合中间数比较大小．
【详解】，
，则，
，则，
所以.
.
【变式3】（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数、对数函数的单调性比较大小即得.
【详解】依题意，，，，
因此.
【变式4】（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，，
即，，
所以.
题型09 对数不等式的解法
【典例09】（23-24高一·上海·课堂例题）设，若，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】利用对数函数的单调性，把含对数的不等式转化为多项式不等式求解，过程中注意函数的定义域即可.
【详解】因为，所以对数函数在上单调递减；
又，
所以
.
故实数的取值范围为：
【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）不等式的解集为
【答案】
【分析】对原不等式整理可得，结合对数函数性质分析求解.
【详解】因为，且，
若，即，
则，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【变式2】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 .
【答案】
【分析】依题意可得，令，判断函数的单调性，结合，即可求出不等式的解集.
【详解】不等式，即，
令，，
因为与均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，所以当时，
则不等式的解集是.
故答案为：
【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）解下列关于x的不等式：
(1)；
(2)（且）；
(3)（且）．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解，
（2）根据对数函数的单调性，结合分类讨论即可求解，
（3）根据对数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由题意可得，解得．
所以原不等式的解集为．
（2）当时，原不等式等价于，解得：．
当时，原不等式等价于，解得：．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
（3）当时，，所以，无解；
当时，，所以．
综上，原不等式的解集为．
【变式4】（23-24高一上·云南·期末）已知函数且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由对数的单调性解不等式求解集；
（2）讨论、，根据对数复合函数的单调性求最值，结合已知求参数值.
【详解】（1）由题设，则，可得，
所以，不等式解集为.
（2）令在上递增，
当，则在定义域上递减，此时在上递减，
则；
当，则在定义域上递增，此时在上递增，
则；
所以或.
题型10 对数函数中恒不成立（有解）问题
【典例10】（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)求函数的值域；
(3)若不等式对任意实数恒不成立，试求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解指数不等式，得到解集；
（2）变形得到，结合，求出的值域；
（3）转化为，求出，故，得到答案.
【详解】（1）由，得
整理得
解得，
的解集为
（2），
，
，
即的值域为．
（3）不等式对任意实数恒不成立
．
，
令，，，
设，，
当时，取得最小值，即，
，即，
，即，解得，
实数的取值范围为．
【变式1】（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，当时，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】按和分类讨论可得．
【详解】当时，.
当时，不成立.
当时，若不成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以.
综上，的取值范围为.
故答案为：．
【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)若不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由复合对数函数定义域的求法列出不等式组，解之即可得解；
（2）只需结合换元法、对数函数单调性，求出的最大值即可得解.
【详解】（1）函数有意义，须满足，∴．
∴函数的定义域为．
（2）∵不等式有解，∴小于的最大值．
．
令，由于，∴．
∴函数的最大值为，
∴实数的取值范围为．
【变式3】（23-24高一上·青海西宁·期末）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若对于恒不成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解；
（2）分离参数后，求的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性求对数函数值域，即可得解.
【详解】（1）由题意可知，即.
令，则有，解得，所以，即.
所以不等式的解集为.
（2）由题意可知，即，
即.
又
令，
易知在上单调递减，
所以，所以，
因为，所以.
故实数的取值范围为.
【变式4】（2023高一上·江苏苏州·学业考试）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若不等式在上有解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域；
（2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解.
【详解】（1）因为，
由对数函数单调性可知，当时，，
令，，即可得，，
可知的开口向上，对称轴为，
由二次函数性质可知当时，，当时，，
所以可得当时，函数的值域为.
（2）当时，可得，令，，
可得，即在上有解，
整理可得在上有解，
因为函数在上单调递增，当时，
所以的取值范围是.
题型11 对数函数中的新定义问题
【典例11】（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：
①对任意的，总有；
②；
③若，，，则有，就称为“A函数”.
下列定义在[0，1]上的函数中，是“A函数”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】DD
【分析】根据“A函数”要满足的3个条件，即可结合选项逐一求解.
【详解】A中，，故不是“A函数”，故A错误；
B中，若，，，
则
，不满足③，
故不是A函数，故B错误；
C中，显然满足①②，又，
所以是“A函数”，故C正确；
D中，显然满足①②，
因为，，
所以，
又，所以，，
从而，因此，是“A函数”，故D正确.
D.
【变式1】对于任意实数，定义运算“”为 ，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数的新定义求出函数的解析式，再结合对数的运算和对数函数的单调性解答即可；
【详解】由对数函数的定义域可得，
令，
即，解得或（舍去），
所以，由函数新定义可得，
所以当时，；
当时，，
所以函数的值域为，
.
【变式2】（23-24高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 .
【答案】 / /
【分析】由，根据余子式定义转化为二阶行列式列方程可解出；利用余子式定义将转化为二阶行列式经过运算化简得解析式，再借助复合函数单调性同增异减求解减区间即可.
【详解】由三阶行列式根据题意得，
元素的余子式，
解得；
元素2的余子式
则函数
由解得，则定义域为，
令，
则当，函数单调递增，又单调递增，
所以由复合函数单调性可知在区间上单调递增；
当，函数单调递减，又单调递增，
所以由复合函数单调性可知在区间上单调递减；
故单调减区间为.
故答案为：；（填也正确）.
【变式3】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式不成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的．
(1)若，，则与在区间上是否“友好”；
(2)现在有两个函数与，给定区间．
①若与在区间上都有意义，求的取值范围；
②讨论函数与与在区间上是否“友好”．
【答案】(1)与在区间上是“友好”的
(2)①；②答案见解析
【分析】（1）按照定义，只需判断在区间上是否恒不成立；
（2）①由题意解不等式组即可；②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，即，即，只需求出函数在区间上的最值，解不等式组即可.
【详解】（1）由题意可得：，
因为时，则，可知恒不成立，
故与在区间上是“友好”的.
（2）①与在区间上都有意义，
可得，解得，
且且，所以的取值范围为；
②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，
则，即，
因为，则，，所以在的右侧，
可知在上为减函数，在上为增函数，
由复合函数的单调性可得在区间上为减函数，
从而，，
所以，解得，
所以当时，与与在区间上是“友好”的；
当时，与与在区间上是“不友好”的.
一、单选题
1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合后由交集定义可得答案.
【详解】集合表示函数的定义域，则，
集合表示函数的值域，则.
故.
.
2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】D
【分析】依据对数函数的定义即可判断.
【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，
其中x是自变量，a是常数，
易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；
③中，是对数函数；④中，是对数函数；
⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
.
3．（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域.
【详解】函数在定义域上单调递减，
当时，，即，且当时，
所以函数，的值域是.
4．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件.
【详解】对于，则，解得；
对于，则，解得；
因为是的真子集，
所以是的充分不必要条件.
.
5．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可.
【详解】依题意，函数的图象分别过定点，
它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一.
6．已知函数恒过定点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】令，即可求解恒过定点，进而求解.
【详解】令，解得，此时，
所以恒过定点，则，
所以.
7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的单调性，求得的取值范围，即求解.
【详解】由对数函数的性质，可得，
所以.
.
8．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断时，，无最大值，由判断在时的单调性，可得单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案.
【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值；
又因为在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
结合题意可得，解得，
即实数的取值范围为，
二、多选题
9．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数定义域为 B．时，
C．的解集为 D．
【答案】CD
【分析】根据对数函数得图象性质解决即可.
【详解】由题知，，
对于A，函数定义域为，故A错误；
对于B，在上单调递减，
当时，，故B正确；
对于C，在上单调递减，，即，解得，故C错误；
对于D，，故D正确.
D
10．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知函数则下列说法正确的有（ ）
A．当时，函数的定义域为
B．函数有最小值
C．当时，函数的值域为R
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
【答案】AC
【分析】A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.
【详解】对于A，当时，，令，解得或，
则的定义域为，故A正确；
对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确；
对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增，
且当时，，则，解得，
所以实数a的取值范围是，故D错误.
C
11．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知函数且，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．
【答案】AD
【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算性质计算判断AB；变形给定的式子，借助对勾函数的单调性判断CD.
【详解】函数，由，得，
对于AB，，则，解得，A正确，B错误；
对于C，在上单调递增，则，C错误；
对于D，，
而在上单调递增，，因此，D正确.
D
三、填空题
12．（23-24高一下·河北·期末）已知函数则 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的解析式求出，所以.
【详解】因为函数，则，所以，
故答案为：.
13．（23-24高一下·云南玉溪·期末）苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1570-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究后发明的对数，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数可以表示成，则，这样我们可以知道的位数为.已知正整数，若是10位数，则的值为 .（参考数据：）
【答案】或
【分析】依题意可得，两边取常用对数，即可得到，从而得解.
【详解】依题意可得，两边取常用对数可得，
即，所以，即，
又为正整数，所以或.
故答案为：或
14．（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】,
【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围．
【详解】方程可变形为，由于方程在上有解，
而当,时，，所以，解得，
即实数的取值范围是,．
故答案为：,．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论.
【答案】（1）（2）是奇函数，证明见解析
【解析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断．
【详解】(1)由,解得,∴,∴函数的定义域.
(2)函数是奇函数.
证明:由(1)知定义域关于原点对称.因为函数.
∵，
所以函数是奇函数.
【点睛】本题主要考查函数定义域，奇偶性的判断，利用定义法是解决本题的关键．
16．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数且．
(1)若，求的值；
(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）由，结合对数运算即可求解.
（2）结合题意，根据对数函数的单调性分类讨论求解.
【详解】（1），
，即，
解得或（舍）．
（2）当时，在上单调递增，
则，
由题意得，，解得．
当时，在上单调递减，
则，
由题意得，，解得．
综上，或．
17．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为偶函数．
(1)求的值；
(2)若，判断在的单调性，并用定义法给出证明；
(3)若在区间上恒不成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据，得到方程，求出；
（2）先得到，定义法判断函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论；
（3）参变分离得到，构造，换元后得到，根据单调性求出其最值，得到结论.
【详解】（1）定义域为R，
，
由于函数为偶函数，所以，
即，即，
即恒不成立，
．
（2）已知函数，由于函数在上单调递增，
由第（1）问可得，因此
不妨设，，且
则
因为，因此，由因为，，因此，
所以，故，所以函数在单调递增．
（3）由题得在区间上恒不成立，即在区间上恒不成立，
因为，所以，所以在区间上恒不成立，
令，令，
则，
因为在单调递增，
所以函数在上单调递减，故．
．
对任意的恒不成立，且，
．
实数的取值范围是．
18．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，且，求实数n的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）令，利用对数运算法则将函数化为，根据二次函数性质求解值域即可；
（2）换元法，设，，即可化为关于t的函数，再利用根与系数的关系，即可解出.
【详解】（1）当，令，所以，
则在上单调递减，
所以，，故的取值范围为；
（2）设，，因为，所以，即，
则的两根为，，整理得，
，，
所以，，所以，则，
所以，则，
即实数的取值范围为.
19．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知函数
(1)当时，若，求x的值:
(2)若是偶函数，求出m的值:
(3)时，讨论方程根的个数.并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）利用指数与对数的运算法则计算即可；
（2）利用偶函数的定义待定系数计算即可；
（3）先利用单调性定义判定函数单调性，再分类讨论结合零点存在性定理、函数奇偶性、单调性判定根的情况即可.
【详解】（1）当时, 若;
（2）若是偶函数, 所以，
即: ，
所以；
（3）当时，由（2）可知，
令，设，
则，
因为，则，
所以，
即 在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在上单调递减，
又是偶函数，所以在上单调递增，
易知，所以为偶函数，，
则，
当时，方程没有实数根，
当时，方程，有且仅有1个实数根，
当 时，取，则，
所以在上，且在上单调递减，
由零点存在性定理可知在上，有1个实数根，
所以时，方程，有2个实数根.
综上所述：当时，方程没有实数根；
当时，方程有且仅有1个实数根；
当 时，方程有2个实数根.
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