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第05讲 指数函数与对数函数的关系
课程标准 学习目标
1．知道对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数(a＞0且a≠1) 2．能利用反函数与原函数图像、单调性等性质的关系解决相关的问题． 1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，了解它们的图像间的对称关系． 2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异． 3．利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题．
知识点01 反函数的概念
一般地，如果在函数yf(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为yf(x)的反函数．此时，称yf(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数yf(x)的反函数的表达式，可以通过对调yf(x)中的x与y，然后从xf(y)中求出y得到．
【即学即练1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数没有反函数的是（　　）
①；②；③；④
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
知识点02 反函数的性质
一般地，函数yf(x)的反函数记作yf－1(x)．则
(1)yf(x)的定义域与yf－1(x)的值域相同，yf(x)的值域与yf－1(x)的定义域相同．
(2)yf(x)与yf－1(x)的图像关于直线yx对称．
(3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同．
【即学即练2】函数ylog3 x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是(　　)
A．(0，＋∞) B．R
C．(－∞，0) D．(0,1)
知识点03求反函数的步骤
(1)求值域：由函数yf(x)求y的范围．
(2)解出x：由yf(x)解出xf－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．
(3)得反函数：将x，y互换得yf－1(x)，注意定义域得反函数．
提醒：求反函数时，若原函数yf(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求．
【即学即练3】函数yx＋3的反函数为__________．
知识点04指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数．
(2)指数函数yax与对数函数ylogax的图像关于直线yx对称．
【即学即练4】已知a>0，且a≠1，则函数yax与ylogax的图像只能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
题型01 反函数存在的条件
【典例01】判断下列函数是否有反函数．
(1)f(x)；(2)g(x)x2－2x.
【变式1】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．
【变式4】判断下列函数是否存在反函数．
(1)y－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．
题型02 求反函数的解析式
【典例2】（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数y的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数的反函数为，则的解析式为 ．
【变式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函数与互为反函数，则 .
【变式4】（23-24高一上·上海·期末）函数的反函数为 .
题型03 反函数过定点问题
【典例3】（23-24高一上·辽宁·期末）函数（且）的反函数过定点 ．
【变式1】（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是 .
【变式2】已知函数存在反函数．若函数的图像经过点（1，1），则函数的图像必经过点______．
【变式3】已知函数为函数的反函数，且函数的图象经过点，则函数的图象一定经过点___________.
题型04 根据反函数求参数
【典例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是 、 ．
【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数的图象关于直线对称，则实数m的值为
题型05 反函数的定义域问题
【典例5】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式2】函数的反函数的定义域为 ．
【变式3】函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（ ）
A． B．R C． D．
【变式4】（多选）已知函数和，以下结论正确的有（ ）
A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换
C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线对称
题型06 反函数的图像
【典例6】（2023·辽宁·高一校联考期末）如图，已知函数，则它的反函数的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·高一课时练习）函数的图像经过第二、第三象限，则的图像经过（ ）
A．第一、第二象限； B．第二、第三象限；
C．第三、第四象限； D．第一、第四象限．
【变式2】（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高二上·天津和平·阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
题型07 单调性问题
【典例7】（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
题型08反函数与零点问题
【典例8】（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知方程与的根分别为，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高一上·北京·阶段练习）若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A．1 B．2023 C． D．4046
【变式2】（23-24高一上·广东·阶段练习）若，分别是方程，的根，则（ ）
A． B．2023 C． D．4046
【变式3】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型09 指数函数与对数函数的综合应用
【典例9】　已知f(x)(a∈R)，f(0)0．
(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2．
【变式1】已知指数函数的反函数为．
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，求不等式的解集．
【变式2】设函数（其中且）．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，，如果当时，恒不成立，求a的取值范围．
【变式3】已知，
(1)求的反函数；
(2)已知，若，使得，求的最大值．
一、单选题
1．下列命题组真命题的个数为（ ）
①存在反函数的函数一定是单调函数
②偶函数存在反函数
③奇函数必存在反函数
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数是与函数的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
3．若函数是函数（且）的反函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的反函数为，则的图像为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的反函数的解析表达式为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数的反函数为，则必有（ ）
A．，为任意实数； B．，为任意实数；
C．，； D．，或，为任意实数．
8．已知函数的反函数图像的对称中心是，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设且，函数，下列说法正确的是（ ）
A．与在各自的定义域内有相同的单调性
B．与两者的图象关于直线对称
C．与两者都既不是奇函数，又不是偶函数
D．与有相同的定义域和值域
10．设分别是方程与的实数解，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称
C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数
三、填空题
12．已知函数是函数的反函数，则过定点 .
13．已知函数，，则 .
14．定义在上的函数不存在反函数，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．函数与互为反函数，若（x<0）．求函数的解析式，定义域，值域．
16．已知
(1)求，并指出其在定义域内的单调性，无需写出证明过程；
(2)已知为的反函数，解不等式．
17．已知
(1)求的反函数；
(2)若 ，求a的值.
(3)如何作出满足（2）中条件的的图像
18．我们知道与（且）互为反函数，它们具有以下性质：①图象关于直线对称；②的定义域是的值域，的值域是的定义域，反之亦然；③若点在函数的图象上，则点一定在函数的图象上.
(1)若函数与互为反函数，求实数a，b的值；
(2)运用（1）题中得到的函数，若对，使得不成立，求实数a的取值范围.
19．已知函数，且的反函数为.
(1)求的值；
(2)若函数，问：是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实数的取值范围：若不存在，请说明理由
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第05讲 指数函数与对数函数的关系
课程标准 学习目标
1．知道对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数(a＞0且a≠1) 2．能利用反函数与原函数图像、单调性等性质的关系解决相关的问题． 1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，了解它们的图像间的对称关系． 2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异． 3．利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题．
知识点01 反函数的概念
一般地，如果在函数yf(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为yf(x)的反函数．此时，称yf(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数yf(x)的反函数的表达式，可以通过对调yf(x)中的x与y，然后从xf(y)中求出y得到．
【即学即练1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数没有反函数的是（　　）
①；②；③；④
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】根据与之间是否一一对应逐个分析判断即可.
【详解】对于①，当时，，所以没有反函数；
对于②，当时，，所以没有反函数；
对于③，与一一对应，所以有反函数；
对于④，当时，或，所以没有反函数．
知识点02 反函数的性质
一般地，函数yf(x)的反函数记作yf－1(x)．则
(1)yf(x)的定义域与yf－1(x)的值域相同，yf(x)的值域与yf－1(x)的定义域相同．
(2)yf(x)与yf－1(x)的图像关于直线yx对称．
(3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同．
【即学即练2】函数ylog3 x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是(　　)
A．(0，＋∞) B．R
C．(－∞，0) D．(0,1)
【答案】A　
【详解】由原函数与反函数间的关系知，反函数的值域为原函数的定义域，故选A．
知识点03求反函数的步骤
(1)求值域：由函数yf(x)求y的范围．
(2)解出x：由yf(x)解出xf－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．
(3)得反函数：将x，y互换得yf－1(x)，注意定义域得反函数．
提醒：求反函数时，若原函数yf(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求．
【即学即练3】函数yx＋3的反函数为__________．
【答案】yx－3(x∈R)　
【详解】由yx＋3，得xy－3，x，y互换得yx－3，所以原函数的反函数为yx－3(x∈R)．
知识点04指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数．
(2)指数函数yax与对数函数ylogax的图像关于直线yx对称．
【即学即练4】已知a>0，且a≠1，则函数yax与ylogax的图像只能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
【答案】A
【详解】因为a>1时，是减函数，恒过(0,1)点，ylogax为增函数，恒过(1,0)点，故选A．
题型01 反函数存在的条件
【典例01】判断下列函数是否有反函数．
(1)f(x)；(2)g(x)x2－2x.
【分析】由反函数的定义判断，当函数没有反函数时，可取值说明．
【详解】　(1)令yf(x)，因为y1＋，是由反比例函数y向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数．
(2)令g(x)3，即x2－2x－30，
解得x－1或x3，
即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在．
【变式1】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据反函数的定义，存在反函数的函数应满足一个y至多对应一个x.
对于A，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，A错；
对于B，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，B错；
对于C，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，C错；
对于D，满足反函数的定义，D对.
【变式2】若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若函数在上存在反函数，
则函数在上单调即可，
又因为函数在上递减，在上递增，
所以，所以..
【变式3】设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．
【答案】或.
【解析】当时，，，是定义在上的奇函数，
所以，即时，，
所以，
若存在反函数，则在每段单调且各段值域无重合，
当，，；
所以或
所以或.
【变式4】判断下列函数是否存在反函数．
(1)y－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．
【解析】　(1)y－2是由函数y向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．
(2)y－2x2＋4x－2(x－1)2＋2，对称轴为x1，在(1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．
题型02 求反函数的解析式
【典例2】（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由指数函数的定义，结合反函数的概念即可求解.
【详解】设指数函数且，点在的图象上，
所以，解得.
所以，故反函数.
【变式1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数y的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据反函数定义求解即可.
【详解】解：∵y，∴，
∴，即，∴，
将x，y调换可得，，
故函数y的反函数是．
．
【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数的反函数为，则的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据反函数的定义求解即可.
【详解】由，
得，
将互换得，，
且函数的值域为R，
因此，函数，
故答案为：．
【变式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函数与互为反函数，则 .
【答案】9
【分析】由指数函数与对数函数互为反函数可得答案.
【详解】由对数函数的反函数为相应的指数函数可得，
故.
故答案为：9.
【变式4】（23-24高一上·上海·期末）函数的反函数为 .
【答案】
【分析】利用反函数的定义求解即可.
【详解】因为的反函数为，
所以，则.
故答案为：.
题型03 反函数过定点问题
【典例3】（23-24高一上·辽宁·期末）函数（且）的反函数过定点 ．
【答案】
【分析】根据指数函数的性质及反函数的性质计算得到.
【详解】对于函数（且），令，即，所以，
即函数（且）恒过点，
所以函数（且）的反函数恒过点.
故答案为：
【变式1】（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是 .
【答案】.
【分析】利用互为反函数的两函数图象对称性可得函数也过，代入点的坐标待定系数可得.
【详解】由函数的图象与其反函数的图象关于对称，
又其反函数的图象过点，则函数的图象过点.
则，解得.
又函数的图象过点，
则，解得.
故.
故答案为：.
【变式2】已知函数存在反函数．若函数的图像经过点（1，1），则函数的图像必经过点______．
【答案】
【分析】由已知可得，再由反函数的性质可得，从而可得，进而可得答案
【详解】因为函数的图像经过点（1，1），所以，得，
所以由反函数的性质可得，所以，所以函数的图像必经过点，故答案为：
【变式3】已知函数为函数的反函数，且函数的图象经过点，则函数的图象一定经过点___________.
【答案】
【分析】先求出函数的的图象经过点的坐标，再由函数与函数的图象关于对称即可求解.
【详解】因为函数的图象经过点，所以函数的的图象经过点，因为函数与函数的图象关于对称，所以函数的图象一定经过点，故答案为：.
题型04 根据反函数求参数
【典例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是 、 ．
【答案】 －9
【分析】根据反函数的定义即可求解.
【详解】因为直线与直线关于直线对称，
所以函数与互为反函数，
又的反函数为，
所以，．
故答案为：；.
【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题得根据即得解.
【详解】解：因为函数的图象与的图象关于直线对称，所以因为，所以.
【变式2】已知函数的图象关于直线对称，则实数m的值为
【答案】1
【解析】由得，
即，即的反函数为，
因为函数的图象关于直线对称，
故与为同一函数，故.
题型05 反函数的定义域问题
【典例5】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算函数的值域，可求出原函数的反函数的定义域.
【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为，
则反函数的定义域为.
.
【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据反函数的定义域就是原函数的值域求解即可.
【详解】因为函数在单调递增，
所以，
即，
因为反函数的定义域是原函数的值域，
所以反函数的定义域为，
．
【变式2】函数的反函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴函数的值域为．
∵的定义域即函数的值域
∴的定义域为．
【变式3】函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（ ）
A． B．R C． D．
【答案】D
【解析】∵当时，，
∴函数，的值域为，
又与互为反函数互为反函数，
故的定义域为..
【变式4】（多选）已知函数和，以下结论正确的有（ ）
A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换
C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线对称
【答案】ABD
【解析】A选项，注意到，则其与函数互为反函数，故A正确；
B选项，函数定义域为，值域为R.
函数定义域为R，值域为.故B正确；
C选项，当时，两函数均在定义域内单调递减.
当时，两函数均在定义域内单调递增.故C错误；
D选项，两函数互为反函数，则函数图像关于直线对称，故D正确.
BD.
题型06 反函数的图像
【典例6】（2023·辽宁·高一校联考期末）如图，已知函数，则它的反函数的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，函数的反函数是，
这是一个在上的单调递增函数，且，
所以只有选项C的图像符合..
【变式1】（2023·高一课时练习）函数的图像经过第二、第三象限，则的图像经过（ ）
A．第一、第二象限； B．第二、第三象限；
C．第三、第四象限； D．第一、第四象限．
【答案】D
【解析】∵的图像与的图像关于直线对称，
若函数的图像经过第二象限，
即的图像上的任意点满足，
则关于直线的对称点在第四象限，
且在的图像上，
∴的图像经过第四象限；
同理可得：若函数的图像经过第三象限，
则的图像经过第三象限；
故的图像经过第三、第四象限..
【变式2】（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意首先得，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解.
【详解】由题意函数 与函数 互为反函数，
所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，
对比选项可知A符合题意.
.
【变式3】（23-24高二上·天津和平·阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】利用反函数的性质直接求解即可.
【详解】因为直线与直线关于直线对称，显然，
所以函数与函数互为反函数，
又因为的反函数为，
所以，即，
题型07 单调性问题
【典例7】（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用反函数知识求出，结合复合函数的单调性可判断出的单调递减区间.
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，
所以，
因为，所以，解得：.
所以，
由，可得的定义域为，
令，则在单调递减，
而在定义域单调递增，
由复合函数的单调性可知:在单调递减.
.
【变式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，函数与互为反函数，求得，然后根据复合函数单调性的性质得出答案.
【详解】由题意，函数与互为反函数，则，
所以，
由，解得或，即函数的定义域为或，
令，
当时，单调递减；当时，单调递增，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间为.
.
【变式2】若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用反函数的性质及复合函数单调性的性质求解即可.
【详解】∵函数与的图象关于直线对称，
∴函数是的反函数，则，
∴，
由，解得，
所以的定义域为，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递减，
∴的单调减区间为.
.
题型08反函数与零点问题
【典例8】（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知方程与的根分别为，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对于A，用函数图象的对称性来判断；对于B，利用零点存在定理来判断；对于C，直接计算可得答案；对于D，作差判断大小．
【详解】对于A、C，方程与的根分别为，，
即与的交点横坐标为，与的交点横坐标为，
由题知，，
与的图象关于对称，
都与相交，可得点与点,关于对称，
所以，即，故A，C正确；
设，显然函数在R上单调递增，
又，
对于B，由零点存在定理可知，根据对称性可得，B正确；
对于D，由B选项知，，，
则，
所以，D错误，
．
【变式1】（23-24高一上·北京·阶段练习）若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A．1 B．2023 C． D．4046
【答案】C
【分析】利用指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于对称，结合反比例函数的图象也关于对称，从而数形结合即可得解.
【详解】因为是函数的一个零点，是函数的一个零点，
所以，，即，，
设函数与的交点为，则，，
设函数与的交点为，则，，
因为函数与函数互为反函数，
所以它们的图象关于对称，
而的图象也关于对称，
所以点关于对称，即，
所以由得，即.
.
【变式2】（23-24高一上·广东·阶段练习）若，分别是方程，的根，则（ ）
A． B．2023 C． D．4046
【答案】A
【分析】由于的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出的值.
【详解】
由题意可得是函数的图像与直线交点的横坐标，是函数图像与直线交点的横坐标，
因为的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，
所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，
所以.
【变式3】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】作出函数和的图象以及直线的图象，利用反函数的性质即可判断
【详解】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，

由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，
由题意知，也即,
由于函数和互为反函数，
二者图像关于直线对称，
而为和的图象与直线的交点,
故关于对称，
故.
.
题型09 指数函数与对数函数的综合应用
【典例9】　已知f(x)(a∈R)，f(0)0．
(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2．
【分析】(1)判断奇偶性 奇偶性定义．
(2)求反函数 反解，改写，标注定义域．
(3)对数不等式 构建不等式组 解不等式组 得出解集．
【详解】(1)由f(0)0，得a1，所以f(x)．
因为f(x)＋f(－x)＋＋0，所以f(－x)－f(x)，即f(x)为奇函数．
(2)因为f(x)y1－，
所以2x(－1所以f－1(x)log2(－1(3)因为f－1(x)>log2，
即log2>log2，
所以所以
所以当0当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1【变式1】已知指数函数的反函数为．
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数的定义可得，再根据指数函数的反函数是对数函数分析可解；
（2）根据奇偶性的定义以及复合函数单调性判断的奇偶性和单调性，进而解不等式.
【详解】（1）若为指数函数，
则，且，解得，即，
所以指数函数的反函数为.
（2）因为，可知的定义域为，
且，
可知为定义在上的偶函数，
又因为在上单调递增，且在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，且在内单调递减，
对于不等式，可得，
整理得，解得，
所以等式的解集为.
【变式2】设函数（其中且）．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，，如果当时，恒不成立，求a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据求反函数的基本方法求出反函数即可；
（2）先求出的解析式，依题意，可得，根据，可转化为二次函数的恒不成立问题，即可求出a的取值范围．
【详解】（1），．
（2），，
依题意，，即．
由，得，
解得，即，
设，其对称轴，
所以函数在单调递增．
由，
解得，又，
所以a的取值范围是.
【变式3】已知，
(1)求的反函数；
(2)已知，若，使得，求的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）易得，从而根据其单调性求得值域，然后再利用反函数的定义求解；
（2）易得，由，得到其定义域为，由在上单调递增，其中．根据，由得到求解.
【详解】（1）解：，
则其在上单调递增，其值域为．
在中互换得，整理得，
，即反函数，定义域为．
（2）依题意，
其中，解得，即的定义域为，
则在上单调递增，其中．
，
，
．
，
当且仅当，即时取得，此时不成立，
的最大值为．
一、单选题
1．下列命题组真命题的个数为（ ）
①存在反函数的函数一定是单调函数
②偶函数存在反函数
③奇函数必存在反函数
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】取特例结合反函数定义和性质判断即可.
【详解】对①，取函数，显然存在反函数，但不单调，①错误；
对②，取偶函数函数，则，显然函数不存在反函数，②错误；
对③，取奇函数函数，当时有和与之对应，
即从到的映射不满足函数定义，故奇函数没有反函数，③错误.
2．函数是与函数的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的关系判断可得出结论.
【详解】函数是与函数的图象关于直线对称.
.
3．若函数是函数（且）的反函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得出，结合可得出的值，进而可求得函数的解析式.
【详解】由于函数是函数（且）的反函数，则，
则，解得，因此，.
.
4．已知函数的反函数为，则的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先求出函数的反函数，进而得到，再利用单调性排除部分选项，再利用特殊值法求解.
【详解】因为函数的反函数为，
所以，是R上的减函数，
排除AB，
又当时，，排除D,
.
5．已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把点代入，求得解析式，可得反函数解析式，由，得的定义域为，可求值域.
【详解】函数过点，则，解得，
∴，的反函数为，得，
由，∴的定义域为，当，有，则的值域为.
6．函数的反函数的解析表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将中的互换位置，再化简得到.
【详解】令，化简得：，即.
7．若函数的反函数为，则必有（ ）
A．，为任意实数； B．，为任意实数；
C．，； D．，或，为任意实数．
【答案】A
【分析】根据题意结合反函数的概念运算求解.
【详解】由，解得，
故函数的反函数为，
由题意可得：，解得或，
故A错误，B、C不一定不成立，D正确.
.
8．已知函数的反函数图像的对称中心是，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可根据反函数性质得出函数的对称中心是，然后通过即可得出结果.
【详解】因为函数的反函数图像的对称中心是，
所以函数的对称中心是，
则，即，解得，
.
二、多选题
9．设且，函数，下列说法正确的是（ ）
A．与在各自的定义域内有相同的单调性
B．与两者的图象关于直线对称
C．与两者都既不是奇函数，又不是偶函数
D．与有相同的定义域和值域
【答案】ABC
【分析】根据指对数的关系及指对数函数的性质判断各项正误.
【详解】由指对数关系知：互为反函数，即关于直线对称，B对；
由于相同，则在各自定义域上单调性相同，且都是非奇非偶函数，A、C对；
由定义域为R，值域为，定义域为，值域为R，
所以与的定义域和值域都不同，D错.
BC
10．设分别是方程与的实数解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用反函数性质结合图像求解即可.
【详解】方程与分别变形为：
因为和互为反函数，且关于对称，
所以，故CD正确，
画出和，的图像，易知A正确；
又因为，结合图像，易知，故B错误.
CD
11．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称
C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数
【答案】CC
【分析】求出的解析式后可研究函数的奇偶性、单调性和最值等性质，从而可得正确的选项.
【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以，则，，
，
则函数为偶函数，图象关于轴对称，所以B正确，A错误；
函数在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以C正确，D错误.
C.
三、填空题
12．已知函数是函数的反函数，则过定点 .
【答案】
【分析】首先求出原函数过定点坐标，再根据反函数的性质得解
【详解】函数是函数的反函数，
又函数过定点所以函数过定点.
故答案为：
13．已知函数，，则 .
【答案】3
【分析】求反函数的值的问题，只需利用原函数与反函数的内在联系，使原函数的函数值取反函数的自变量的值，在原函数的定义域内求得自变量的值即反函数的对应函数值.
【详解】根据原函数与其反函数的关系，要求的值，
只需使函数()的函数值取，即，解得，
因，故，即得：
故答案为：.
14．定义在上的函数不存在反函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意函数在上不存在反函数，即函数在区间上不是单调函数，由此得出的不等关系式，求解即可.
【详解】由题意当时，，
若函数在上不存在反函数，
则，所以.
故答案为：.
四、解答题
15．函数与互为反函数，若（x<0）．求函数的解析式，定义域，值域．
【答案】，定义域为，值域为．
【分析】根据指数函数与对数函数互为反函数，可求的解析式，根据原函数与反函数定义域和值域的关系可求定义域和值域.
【详解】是增函数，所以，
故的定义域为，值域为，
所以，，定义域为，值域为．
16．已知
(1)求，并指出其在定义域内的单调性，无需写出证明过程；
(2)已知为的反函数，解不等式．
【答案】(1)，在上单调递增
(2)
【分析】（1）取，，代入函数化简得到解析式，根据解析式确定单调性即可.
（2）确定的值域为的定义域，的解集为，根据解得答案.
【详解】（1）取，则，，，
即，定义域为，
设，，则，函数单调递增，在上单调递增，
故在上单调递增．
（2）的值域为的定义域，在上单调递增，
故时，的取值范围为，故的解集为，
，可得，解集为．
17．已知
(1)求的反函数；
(2)若 ，求a的值.
(3)如何作出满足（2）中条件的的图像
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）用表示出即可求解反函数，
（2）根据，即可列方程求解，
（3）根据函数图象的平移即可求解.
【详解】（1）由得.
∴的反函数为
（2）若，即，化简得，解得.
（3）当时，，
只需要将反比例函数图像向右平移2个单位，再向上平移2个单位，即得图象，故图象如下：
18．我们知道与（且）互为反函数，它们具有以下性质：①图象关于直线对称；②的定义域是的值域，的值域是的定义域，反之亦然；③若点在函数的图象上，则点一定在函数的图象上.
(1)若函数与互为反函数，求实数a，b的值；
(2)运用（1）题中得到的函数，若对，使得不成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据互为反函数的定义，在已知函数图像上取点，通过另一个函数计算求得参数值；
（2）理解题设命题的含义即：，分别求两函数在给定区间上的最小值函数，最后通过解不等式即可求得参数范围.
【详解】（1）由题知，与互为反函数，所以，
又因为函数图像过点，所以函数图像过点，即，所以，
即.
（2）由（1）知，显然在上单调递增 ，所以 .
令则则，，其图像对称轴为直线，
则即
因，使得，即，
①当时，由得，故舍去；
②当时，由得，即或，故；
③当时，由，即，所以.
综上可得：a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查互为反函数的两函数的联系和通过运用量词“”连接的命题的真假求解参数范围.
解题的关键是理解互为反函数的两函数在结构和图像上的点关于直线对称的关系.对于用量词“”连接的命题，若是其中含不等号，则是两函数的最值间的大小关系；若是等式，则一般利用变量分离法转化成参数与对应函数值域的包含关系来解决.
19．已知函数，且的反函数为.
(1)求的值；
(2)若函数，问：是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实数的取值范围：若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据反函数的概念求出函数的解析式，再利用对数的运算性质和对数恒等式可求得所求代数式的值；
（2）设，对判别式的符号分类讨论，判断函数的零点个数，结合二次方程以及对数与指数的互化可得出函数的零点.
【详解】（1）由题意可得，
所以.
（2）因为，令，则，
设，则，
①当，即时，函数无零点；
②当，即时，令解得，
由解得，所以此时的零点为；
③当，即时，的根为，，
由可得或，解得或，
此时的零点为和；
综上所述，当时，函数无零点；
当时，函数的零点为；
当时，函数的零点为和.
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