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2025年山东淄博市中考数学模拟试题
考试时间：120分钟；总分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1． 选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列各数中最小的数是（　　）
A．3 B． C．﹣π D．﹣3
2．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．（﹣2x2）3＝8x6
C．（2x﹣y）（2x+y）＝2x2﹣y2 D．2x（﹣y+2x）＝﹣2xy+4x2
4．四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看是（　　）
A． B． C． D．
5．已知样本x1，x2，x3，…，xn的方差是1，那么样本3x1+3，3x2+3，3x3+3，…，3xn+3的方差是（　　）
A．1 B．3 C．6 D．9
6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　）
A．a＜﹣b B．b＞1 C．|a|＜|b| D．a＞﹣1
7．如图，CD是△ABC的中线，点E和点F分别是CD和AE的中点，若△BEF的面积为，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．在等式a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+____中，横线上应填的式子为（　　）
A．ab B．﹣ab C．2ab D．﹣2ab
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC上一动点．连接DO，DE．则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．当DE⊥AC时，则∠COE＝2∠B
B．OE⊥DE时，则四边形OCDE为正方形
C．当DO平分∠CDE时，则DC＝DE
D．当D为AC中点时，△ADE是等腰三角形
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．计算：　 　．
12．点A（﹣1，2）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点B的坐标是 　 　．
13．分解因式：y2﹣16＝　 　．
14．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若sin∠EAF，AE＝5，则AB的长为 　 　．
15．如图，一段抛物线：y＝﹣x2+x（0≤x≤1），记为C1，它与x轴的两个交点分别为O，A1，顶点为P1；将C1绕点A1旋转180°得C2，它与x轴的另一交点记为A2，顶点为P2；将C2绕点A2旋转180°得C3，它与x轴的另一交点记为A3，顶点为P3，…，这样一直进行下去，得到抛物线段C1，C2，C3，…， n，则点P2的坐标为 　 　；若点M（，m）在第3段抛物线C3上，则m＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分90分）
16．（10分）解不等式组：，并写出它的最小整数解．
17．（10分）已知AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）如图①，AC⊥AB，BD⊥AB，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
18．（10分）先化简，再求值：，其中a为不大于3的正整数．
19．（10分）疫情期间，为了增强学生的自我保护意识，某校组织了一次全校2000名学生都参加的“新冠疫情知多少”的考试，并随机抽查了部分参赛学生的成绩，根据成绩分成如下四个组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，制作出如下的扇形统计图和条形统计图．请根据图表提供的信息解答下列问题：
（1）本次抽查的学生有 　 　人，扇形统计图中的m＝　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）估计全校学生中得分80分及以上的同学有多少？
（4）九（1）班在此次考试中得100分的有1位女生和3位男生，现要从九（1）班得100分的4人中选取两人代表本班去参加学校的防疫宣讲活动，请你用列表或画树状图的方法，求选出的两人恰好是一男一女的概率．
20．（12分）某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒x（x＞60）元．
（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为 　 　盒；
（2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx与反比例函数y的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出x的解集；
（3）将直线l1：yx沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为10，求平移后的直线l2的函数表达式．
22．（13分）AB是半圆O的直径，AB＝6，C为弧AB上的一个动点．
（1）连接AC，BC，如图1，求阴影部分面积和的最小值（结果保留π）；
（2）如图2，在半圆O的右侧有一Rt△PQH，点P在射线AB上，∠QPH＝90°，QP＝4，PH＝2，当QP与半圆O切于点Q时，求点H到射线AB的距离；
（3）如图3，在点C的运动过程中，将半圆O沿BC折叠，弧BC与AB交于点D，连接CD．若∠ABC＝25°，直接写出∠BCD的度数．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．
（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）若直线BC：y＝﹣x+4，
①在直线BC上方的抛物线上找一点Q，使得△BCQ的面积为6，求点Q的坐标；
②试在y轴上找一点N，连接AN，使ANCN的值最小，此时点N的坐标是　 　，ANCN的最小值为　 　；
（3）若在第四象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：∵﹣π＜﹣33，
∴最小的数是：﹣π．
选：C．
2．解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选：B．
3．解：A．（x+y）2＝x2+2xy+y2，计算错误，不符合题意；
B．（﹣2x2）3＝﹣8x6，计算错误，不符合题意；
C．（2x﹣y）（2x+y）＝4x2﹣y2，计算错误，不符合题意；
D．2x（﹣y+2x）＝﹣2xy+4x2，计算正确，符合题意；
选：D．
4．解：从左面看，底层是3个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
选：B．
5．解：∵样本x1，x2，…，xn的方差是1，
∴样本3x1+3，3x2+3，3x3+3，…，3xn+3的方差是32×1＝9；
选：D．
6．解：由数轴可得﹣1＜a＜0＜1＜b，
则B，D不符合题意；
|a|＜|b|，
那么C不符合题意；
a+b＞0，
则a＞﹣b，
那么A符合题意；
选：A．
7．解：∵F是AE的中点，
∴BF是△ABE的中线，
∴S△ABF＝S△BEF，
∴S△ABE＝2S△BEF＝3，
∵D是AB的中点，
∴ED是△ABE的中线，
∴S△ADE＝S△BDES△ABE，
∵E是CD的中点，
∴AE是△ACD的中线，
∴S△ACD＝2S△ADE＝3，
∴S△ABC＝2S△ACD＝6，
选：A．
8．解：a2﹣ab+b2
＝a2﹣2ab+b2+ab
＝（a﹣b）2+ab，
选：A．
9．解：当﹣1＜x＜0或1＜x＜3时，抛物线在双曲线上方，
∴不等式ax2+bx+c的解集为﹣1＜x＜0或1＜x＜3，
选：A．
10．解：∵∠COE为圆心角，∠B为同弧所对的圆周角，
∴∠COE＝2∠B，
∴A的结论正确；
∵OE⊥DE，
∴∠OCD＝∠OED＝90°，
只有当DE⊥AC时，四边形OCDE为正方形，
∴B的结论不一定成立；
过点O作OE′⊥DE，垂足为E′，如图，
∵OD平分∠CDE，OC⊥AC，OE′⊥DE，
∴OE′＝OC．
∵OE＝OC，
∴OE＝OE′，
即点E与点E′重合，
∴OE⊥DE，
在Rt△DOC和Rt△DOE中，
，
∴Rt△DOC≌Rt△DOE（HL），
∴DC＝DE．
∴C选项的结论正确；
∵BC为圆的直径，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∵D为AC中点，
∴DE为Rt△AEC斜边上的中线，
∴DE＝ADAC，
∴△ADE是等腰三角形，
∴D选项的结论正确．
选：B．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．解：原式＝5．
答案为5．
12．解：将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
则平移后点的坐标是（﹣1+2，2﹣3），即（1，﹣1），
答案为：（1，﹣1）．
13．解：原式＝（y+4）（y﹣4）．
答案为：（y+4）（y﹣4）．
14．解：如图，过点E作EG⊥AF于点G，延长AF、BC交于点H，
则∠EGA＝∠EGH＝90°，
∵sin∠EAF，AE＝5，
∴EG＝4，
∴AG3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，
∴BE＝CEBC，DF＝CFCD，
∴BE＝DF，
∴△ADF≌△ABE（SAS），
∴AF＝AE＝5，
∴GF＝AF﹣AG＝2，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠FCH，
又∵∠AFD＝∠HFC，
∴△ADF≌△HCF（ASA），
∴AF＝HF＝5，AD＝CH，
∴AB＝BC＝CH，GH＝GF+HF＝2+5＝7，
∴EH，
∴AB＝BCEH，
答案为：．
15．解：如图，抛物线y＝﹣x2+x，当y＝0时，则﹣x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
∴A1（1，0），
∵y＝﹣x2+x＝﹣（x）2，
∴C1的顶点为P1（，），
∵C2与C1关于点A1成中心对称，
∴P2（，），A2（2，0），
∵C3与C2关于点A2成中心对称，
∴P3（，），
∴C3的解析式为y＝﹣（x）2，
将M（，m）代入y＝﹣（x）2，
得m＝﹣（）2，
∴m的值为，
答案为：（，）；．
三．解答题（共8小题，满分90分）
16．解：解不等式2x﹣7＜3（x﹣1），得：x＞﹣4，
解不等式x+3≥1x，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为x≥﹣1，
所以不等式组的最小整数解为﹣1．
17．解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ．
理由如下：
∵t＝1s，点Q与点P的运动速度均为以1cm/s，
∴AP＝BQ＝1，
∵AB＝4cm，
∴PB＝3cm，
∴AC＝PB＝3cm，
又∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠CAP＝∠PBQ＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠CAP＝90°，
∴∠C+∠APC＝90°，
∴∠BPQ+∠APC＝90°，
∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°，
∴PC⊥PQ．
（2）∵点Q的运动速度为x cm/s，运动的时间为t s，
∴BQ＝xt cm，
∵点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，
∴AP＝tcm，则BP＝AB﹣AP＝（4﹣t）cm，
又∵∠CAB＝∠DBA＝60°，
当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：
①当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，
∵AC＝3cm，
由AC＝BP，得：3＝4﹣t，
解得：t＝1，
由AP＝BQ，得：t＝xt，
解得：x＝1，
∴当x＝1cm/s，t＝1cm/s时，△ACP和△BPQ全等；
②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP，
由于AC＝BD＝3，因此BQ＝AC＝3，此时点Q与点D重合，如图所示：
由AP＝BP，得：t＝4﹣t，
解得：t＝2，
由AC＝BQ，得：xt＝3，
将t＝2代入xt＝3，得x＝1.5．
∴当x＝1.5cm/s，t＝2cm/s时，△ACP和△BPQ全等．
综上所述：当x＝1cm/s，t＝1s或x＝1.5cm/s，t＝2s时，△ACP和△BPQ全等．
18．解：
，
不妨令a＝1时，
原式（答案不唯一）．
19．解：（1）30÷10%＝300（人），
所以本次抽查的学生有300人；
C组人数为300﹣30﹣90﹣60＝120，
所以m%40%，
即m＝40；
答案为：300，40；
（2）如图，
（3）20001200（人），
所以估计全校学生中得分80分及以上的同学有1200人；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中选出的两人恰好是一男一女的结果数为6，
所以选出的两人恰好是一男一女的概率．
20．解：（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：80﹣2（x﹣60）＝（200﹣2x）（盒）．
答案为：（200﹣2x）；
（2）根据题意得：（x﹣50）（200﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣150x+5600＝0．
解得：x1＝70，x2＝80，
∵该款口罩的每盒售价不得高于72元，
∴x＝80不合题意，舍去．
答：要获得1200元利润，应按每盒70元销售．
21．解：（1）∵直线l1：yx经过点A，A点的纵坐标是2，
∴当y＝2时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
∵反比例函数y的图象经过点A，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y；
（2）∵直线l1：yx与反比例函数y的图象交于A，B两点，
∴B（4，﹣2），
∴不等式x的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，
∵CD∥AB，
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∵△ABC的面积为10，
∴S△AOD+S△BOD＝10，即 OD（|yA|+|yB|）＝10，
∴OD×4＝10，
∴OD＝5，
∴D（5，0），
设平移后的直线l2的函数表达式为yx+b，
把D（5，0）代入，可得05+b，
解得b，
∴平移后的直线l2的函数表达式为yx．
22．解：（1）由题意得：当点C为半圆的中点时，
即OC⊥AB时，直角三角形ABC面积最大，
此时阴影部分面积和最小，
∵△ABC的面积的最大值为3×6＝9，半圆的面积为，
∴阴影部分面积和的最小值为π﹣9．
∴阴影部分面积和的最小值为π﹣9．
（2）连接OQ，过点H作HG⊥AP，交AP的延长线于点G，如图，
∵QP与半圆O切于点Q，
∴OQ⊥PQ，
∴∠OQP＝90°，
∴∠QOP+∠QPO＝90°，OP5．
∵∠QPH＝90°，
∴∠QPO+∠HPG＝90°，
∴∠QOP＝∠HPG．
∵∠OQP＝∠G＝90°，
∴△OQP∽△PGH，
∴，
∴，
∴GH．
∴点H到射线AB的距离为．
（3）∠BCD的度数＝40°．
设点D在上的对应点为D′，连接CD′，BD′，如图，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝25°，
∴∠BAC＝65°，
∵四边形ABD′C为圆的内接四边形，
∴∠A+∠CD′B＝180°，
∴∠CD′B＝115°．
由折叠的性质可得：∠CDB＝∠CD′B＝115°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣115°﹣25°＝40°．
23．解：（1）令y＝0，则a2﹣3ax﹣4a＝0．即x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∵点A在点B的左边，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
答案为（﹣1，0），（4，0）；
（2）①直线BC：y＝﹣x+4，
令x＝0，则y＝4，即C（0.4），
∵点C在抛物线上，
∴将C点坐标代入抛物线解析式中，得：﹣4a＝4，
解得：a＝﹣1
该抛物线解析式为：y＝﹣x2+3x+4，
根据题意设Q（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），
如图可知，S△BCQ＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC，
∴S△BCQ
＝﹣2x2+8x，
∵S△BCQ＝6，
∴﹣2x2+8x＝6，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴当x＝1时，Q点坐标为（1，﹣1+3+4），即Q（1，6）；
当x＝3时，Q点坐标为（3，﹣9+9+4）．即Q（3，4），
综上Q点坐标为（1，6）或（3，4）；
②由图并结合题意可知N不可能在C点上方，
当N在C点下方且在原点上方时，即0＜yn≤4，作NM∥OB，交BC于点M，并取CM中点P，连接NP，
由题意可知△CMN为等腰直角三角形，
∴NP⊥CM，且NP＝CP＝MPCM，
∴NPCN，
∴ANCN＝AN+NP，
当A、N、P三点共线时最小且最小值为AP长，此时AP⊥CM，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴APAB（xb﹣xa），即最小值为．
∵△ABP为等腰直角三角形又可推出∠OAM＝45°，
∴△OAN为等腰直角三角形，
∴OA＝ON＝1，
∴N坐标为（0，1），
当N在原点下方时，由图可知当N点与原点重合时，ANCN有最小值，
即最小值为AOCO＝11+2，
∵1+2，
∴ANCN有最小值，N点（0，1），
答案为（0，1），；
（3）如图，
①△ACB∽△P1BA，则∠CBA＝∠P1AB，
∴CB∥AP1
∵BC：y＝a（x﹣4），
∴设直线AP1：y＝ax+b，
将A（﹣1，0）代入，得，y＝ax+a，
联立y1＝ax2﹣3ax﹣4a与y2＝ax+a，得
x＝﹣1，y＝0（舍去）或x＝5，y＝6a，
∴P1（5，6a），
∵△ACB∽△P1BA，
∴AB2＝AP1 BC，
∴25＝6 4，
解得，a2，
∵a＜0，
∴a，
∴P（5，）．
②△ACB∽△ABP2，则∠CAB＝∠P2AB，
∴tan∠P2AB＝tan∠CAB＝﹣4a，
4a，
，
解得x＝﹣1，y＝0（舍去）或x＝8，y＝36a，
∴P2（8，36a），
∵△ACB∽△ABP2，
∴AB2＝AC AP2，
∴25 ，
解得a2，
∵a＜0，
∴a，
∴P（8，﹣12）
综上，P（5，）或（8，﹣12）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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