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专题一　微专题4　函数的极值、最值
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·辽宁省部分重点中学协作体模拟)下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是(　　)
A.f(x)=xsin x
B.f(x)=x+
C.f(x)=ex+
D.f(x)=|x+1|-|x-1|
2.(2024·西安模拟)函数f(x)=在[-3，3]上的最大值和最小值分别是(　　)
A.- B.-
C.- D.-
3.(2024·银川模拟)若函数f(x)=(x2-ax-2)ex在x=-2处取得极大值，则f(x)的极小值为(　　)
A.-6e2 B.-4e
C.-2e2 D.-e
4.已知函数f(x)=ln x+ax存在最大值0，则a的值为(　　)
A.-2 B.-
C.1 D.e
5.(2024·楚雄模拟)若a>b，则函数y=a(x-a)(x-b)2的图象可能是(　　)
6.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)=cos x+x2，若x=0是函数f(x)的唯一极小值点，则a的取值范围为(　　)
A.[1，+∞) B.(-1，1)
C.[-1，+∞) D.(-∞，1]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·杭州模拟)已知函数f(x)=(x+1)ex，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在区间(-2，+∞)上单调递增
B.f(x)的最小值为-
C.方程f(x)=2的解有2个
D.导函数f'(x)的极值点为-3
8.(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则(　　)
A.当a>1时，f(x)有三个零点
B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a，使得点(1，f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·宜宾模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8，则f(1)=　　　　　.
10.如图所示为某“胶囊”形组合体，由中间是底面半径为1，高为2的圆柱，两端是半径为1的半球组成，现欲加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为　　　　　.
四、解答题(共31分)
11.(14分)(2024·深圳模拟)已知函数f(x)=其中a∈R.
(1)若a=1，求f(x)在[-1，1]上的最小值；(5分)
(2)求证：f(x)的极大值恒为正数.(9分)
12.(17分)(2024·泸州模拟)已知函数f(x)=2x3-ax2+2(a>0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(6分)
(2)若在区间[-1，1]内存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)≥9，求实数a的取值范围.(11分)
13.(17分)[旋转函数]在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f(x)为“α旋转函数”.
(1)判断函数y=x是否为“旋转函数”，并说明理由；(5分)
(2)已知函数f(x)=ln(2x+1)(x>0)是“α旋转函数”，求tan α的最大值；(5分)
(3)若函数g(x)=m(x-1)ex-xln x-是“旋转函数”，求m的取值范围.(7分)
答案精析
1.B　2.D　3.C　4.B　5.B　6.A
7.ABD　8.AD　9.-4　10.
11.(1)解　当a=1时，
f(x)=，x∈[-1，1]，
f'(x)=，
令f'(x)=0，得x=，
又f==，
且f(-1)=4e，f(1)=，
∴f(x)min=f= .
(2)证明　因为f'(x)= =，
令f'(x)=0，
解得x1=2，x2=，
若a>4，当x<2或x>时，
f'(x)<0，当20，
所以f(x)在(-∞，2)，上单调递减，
在上单调递增，
故极大值为f=>0；
若a=4，则f'(x)≤0，
所以函数f(x)在R上单调递减，无极大值；
若a<4，当x<或x>2时，f'(x)<0，当0，
所以f(x)在，(2，+∞)上单调递减，
在上单调递增，
故极大值为f(2)=>0.
综上，f(x)的极大值恒为正数.
12.解　(1)因为f(x)=2x3-ax2+2(a>0)，
所以f(0)=2，
又f'(x)=6x2-2ax，
所以f'(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2.
(2)因为f'(x)=6x2-2ax
=6x，又a>0，
所以当0当x<0或x>时，f'(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在(-∞，0)，上单调递增.
则在区间[-1，1]内存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)≥9，
等价于在区间[-1，1]内存在x，使得[f(x)]2≥9，
等价于在区间[-1，1]内存在x，使得|f(x)|≥3，
等价于在区间[-1，1]内，|f(x)|的最大值不小于3.
不妨令g(x)=|f(x)|，
①当≥1，即a≥3时，f(x)在[-1，0)上单调递增，在(0，1]上单调递减，
且f(-1)=-a≤-3，f(0)=2，
f(1)=4-a≤1，
所以g(x)max=|f(x)|max=max{a，2，|4-a|}≥3，符合题意；
②当0<<1，即0显然f(x)在x=处取得极小值，此时极小值为f=2->0，
而f(-1)=-a∈(-3，0)，f(0)=2，f(1)=4-a>0，
所以g(x)max=|f(x)|max=max{a，2，|4-a|}，
要使g(x)max≥3，则必有4-a≥3，
解得a≤1，故0综上，a的取值范围为(0，1]∪[3，+∞).
13.解　(1)函数y=x不是“旋转函数”，理由如下：
y=x的图象绕坐标原点逆时针旋转后与y轴重合，
当x=0时，有无数个y与之对应，与函数的概念矛盾，因此函数y=x不是“旋转函数”.
(2)由题意可得，
函数f(x)=ln(2x+1)(x>0)与函数y=kx+b的图象最多有1个交点，且k=tan，
所以ln(2x+1)=kx+b(x>0)最多有一个根，
即ln(2x+1)-kx=b(x>0)最多有一个根，
因此函数y=ln(2x+1)-kx(x>0)的图象与直线y=b(b∈R)最多有1个交点，
即函数y=ln(2x+1)-kx在 (0，+∞)上单调.
因为y'=-k，
且x>0，∈(0，2)，
所以y'=-k≤0，k≥，所以k≥2，
即tan≥2，tan α≤，
即tan α的最大值为.
(3)由题意可得函数g(x)=m(x-1)ex-xln x-与函数y=x+b的图象最多有1个交点，
所以m(x-1)ex-xln x-=x+b，
即m(x-1)ex-xln x--x=b最多有一个根，
所以函数y=m(x-1)ex-xln x--x的图象与直线y=b(b∈R)最多有1个交点，
即函数y=m(x-1)ex-xln x--x在(0，+∞)上单调.
y'=mxex-ln x-x-2，
当x→0时，y'→+∞，
所以y'≥0 m≥，
令φ(x)=，
则φ'(x)=，
因为t(x)=-ln x-x-1在(0，+∞)上单调递减，
且t>0，t(1)<0，
所以存在x0∈，使t(x0)=0，
即ln x0+x0=-1 ln(x0)=-1 x0=，
所以φ(x)在(0，x0)上单调递增，
在(x0，+∞)上单调递减，
所以φ(x)max=φ(x0)===e，即m≥e，故m的取值范围为[e，+∞).微专题4　函数的极值、最值
[考情分析]　利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等；或者压轴解答题，属综合性问题，难度较大.
考点一　利用导数研究函数的极值
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f'(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点.
(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点.
例1　(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
[易错提醒]　(1)不能忽略函数的定义域.
(2)f'(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件，即f'(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f'(x)=0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性.
(3)函数的极小值不一定比极大值小.
跟踪演练1　(1)(多选)(2024·武汉统考)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的部分图象如图所示，设函数g(x)=，则g(x) (　　)
A.在区间(a，b)上单调递减
B.在区间(a，b)上单调递增
C.在x=a时取极小值
D.在x=b时取极小值
(2)(2024·秦皇岛模拟)已知0是函数f(x)=x3+ax2+1的极大值点，则a的取值范围为 (　　)
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C. D.
考点二　利用导数研究函数的最值
1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.
例2　(2024·宝鸡模拟)已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数.
(1)当a=e，b=4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k+1)上存在零点；
(2)若x∈[-1，1]，且b=0，求f(x)的最小值和最大值.
[易错提醒]　(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.
(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.
跟踪演练2　(1)(2024·安徽省皖江名校联盟模拟)已知函数f(x)=(x-1)sin x+(x+1)·cos x，当x∈[0，π]时，f(x)的最大值与最小值的和为　　　　　　.
(2)(2024·浙江省金丽衢十二校联考)已知函数f(x)=若x1考点三　已知函数极值、最值求参数
例3　(1)(2024·南充模拟)已知函数f(x)=xex+m-x2-mx在区间[-1-m，1-m]上有且仅有两个极值点，则实数m的取值范围为 (　　)
A. B.(1，e)
C. D.(1，e]
(2)若函数f(x)=x3+x2-2在区间(a-4，a)上存在最小值，则a的取值范围是　　　　.
[易错提醒]　方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法.分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不能等于0，易忽视.
跟踪演练3　(1)(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)=xln x-ax有极值-e，则a等于 (　　)
A.1 B.2
C.e D.3
(2)(2024·石嘴山模拟)已知函数f(x)=ax2-2x+ln x有两个不同的极值点x1，x2，若不等式f(x1)+f(x2)≤t恒成立，则实数t的最小值为　　　　　.
答案精析
例1　解　(1)当a=1时，
则f(x)=ex-x-1，
f'(x)=ex-1，
可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1，
即切点坐标为(1，e-2)，
切线斜率k=e-1，
所以切线方程为y-(e-2)
=(e-1)(x-1)，
即(e-1)x-y-1=0.
(2)方法一　因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a，
若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
则g'(a)=2a+>0，
可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
方法二　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)=ex-a有零点，
令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，
可知y=ex与y=a有交点，则a>0，
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
跟踪演练1　(1)BC　(2)A
例2　解　(1)当a=e，b=4时，
f(x)=ex+x2-x-4，
∴f'(x)=ex+2x-1，∴f'(0)=0，
当x>0时，ex>1，
∴f'(x)>0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，
同理f(x)在(-∞，0)上单调递减.
f(-2)=e-2+2>0，
f(-1)=e-1-2<0，
f(0)=-3<0，f(1)=e-4<0，
f(2)=e2-2>0，
故当x>2时，f(x)>0，当x<-2时，f(x)>0，
故当x>0时，函数f(x)的零点在(1，2)内，∴k=1满足条件.
同理，当x<0时，函数f(x)的零点在(-2，-1)内，∴k=-2满足条件，
综上，k=1，-2.
(2)由已知f(x)=ax+x2-xln a，
f'(x)=axln a+2x-ln a
=2x+(ax-1)ln a，
①当x>0时，由a>1，
可知ax-1>0，ln a>0，
∴f'(x)>0；
②当x<0时，由a>1，
可知ax-1<0，ln a>0，
∴f'(x)<0；
③当x=0时，f'(x)=0，
∴f(x)在[-1，0]上单调递减，
在(0，1]上单调递增，
∴当x∈[-1，1]时，f(x)min=f(0)=1，f(x)max=max{f(-1)，f(1)}.
因为f(1)=a+1-ln a，
f(-1)=+1+ln a，
则f(1)-f(-1)=a--2ln a，
设g(t)=t--2ln t(t>0)，
∵g'(t)=1+-=≥0(当且仅当t=1时取等号)，
∴g(t)在(0，+∞)上单调递增，而g(1)=0，
∴当t>1时，g(t)>0，即a>1时，
a--2ln a>0，∴f(1)>f(-1)，
即f(x)max=f(1)=a+1-ln a.
综上，f(x)的最小值为1，最大值为a+1-ln a.
跟踪演练2　(1)π-1
(2)2ln 2+
例3　(1)A　[f'(x)=ex+m(1+x)-x-m，
因为f(x)在区间[-1-m，1-m]上有且仅有两个极值点，
所以f'(x)在区间(-1-m，1-m)上有两个变号零点，即ex+m(1+x)=x+m在区间(-1-m，1-m)上有两个不等实数根.
令t=x+m，则x=t-m，上式可化为m=t+1-，其中t∈(-1，1).
令g(t)=t+1-，t∈(-1，1)，
则g'(t)=1-=.
令h(t)=et-1+t，
则h'(t)=et+1>0，
即h(t)为增函数，
又h(0)=0，所以当t∈(-1，0)时，
g'(t)<0，g(t)单调递减；
当t∈(0，1)时，g'(t)>0，g(t)单调递增，所以当t=0时，g(t)取得最小值，因为g(0)=1，g(-1)=e，
g(1)=2-，
所以m的取值范围为.]
(2)[1，4)
跟踪演练3　(1)B　(2)-3(共104张PPT)
函数的极值、最值
微专题4
利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等；或者压轴解答题，属综合性问题，难度较大.
考情分析
考点一
考点二
考点三
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
已知函数极值、最值求参数
专题强化练
内容索引
利用导数研究函数的极值
考点一
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f'(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点.
(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点.
　(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
例1
当a=1时，则f(x)=ex-x-1，
f'(x)=ex-1，
可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1，
即切点坐标为(1，e-2)，
切线斜率k=e-1，
所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)，
即(e-1)x-y-1=0.
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
方法一　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，
即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，则g'(a)=2a+>0，
可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
方法二　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)=ex-a有零点，
令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，
可知y=ex与y=a有交点，则a>0，
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，
即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
易错提醒
(1)不能忽略函数的定义域.
(2)f'(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件，即f'(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f'(x)=0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性.
(3)函数的极小值不一定比极大值小.
(1)(多选)(2024·武汉统考)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的部分图象
如图所示，设函数g(x)=则g(x)
A.在区间(a，b)上单调递减
B.在区间(a，b)上单调递增
C.在x=a时取极小值
D.在x=b时取极小值
跟踪演练1
√
√
结合图象可知，当x0，
当a当x>b时，f(x)-f'(x)>0.
g'(x)=因为ex>0，
故当x当a0，g(x)在区间(a，b)上单调递增；
当x>b时，g'(x)=<0，g(x)在区间(b，+∞)上单调递减，故g(x)'
在x=a处取得极小值，在x=b处取得极大值.
(2)(2024·秦皇岛模拟)已知0是函数f(x)=x3+ax2+1的极大值点，则a的取值范围为
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C. D.
√
因为f(x)=x3+ax2+1，所以f'(x)=3x2+2ax=x(3x+2a)，
令f'(x)=0，可得x=0或x=-
当->0，即a<0时，
令f'(x)>0，得x<0或x>-；
令f'(x)<0，得0所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，
所以0是函数f(x)的极大值点，满足题意；
当-=0，即a=0时，f'(x)=x(3x+0)≥0恒成立，
则f(x)在R上单调递增，没有极值点，不满足题意；
当-<0，即a>0时，
令f'(x)>0，得x<-或x>0；令f'(x)<0，得-所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，在上单调递减，
所以0是函数f(x)的极小值点，不满足题意.
综上，a<0，即a的取值范围为(-∞，0).
利用导数研究函数的最值
考点二
1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.
(2024·宝鸡模拟)已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数.
(1)当a=e，b=4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k+1)上存在零点；
例2
当a=e，b=4时，f(x)=ex+x2-x-4，
∴f'(x)=ex+2x-1，∴f'(0)=0，
当x>0时，ex>1，
∴f'(x)>0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，
同理f(x)在(-∞，0)上单调递减.
f(-2)=e-2+2>0，f(-1)=e-1-2<0，
f(0)=-3<0，f(1)=e-4<0，f(2)=e2-2>0，
故当x>2时，f(x)>0，当x<-2时，f(x)>0，
故当x>0时，函数f(x)的零点在(1，2)内，
∴k=1满足条件.
同理，当x<0时，函数f(x)的零点在(-2，-1)内，∴k=-2满足条件，
综上，k=1，-2.
(2)若x∈[-1，1]，且b=0，求f(x)的最小值和最大值.
由已知f(x)=ax+x2-xln a，
f'(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a，
①当x>0时，由a>1，可知ax-1>0，ln a>0，
∴f'(x)>0；
②当x<0时，由a>1，可知ax-1<0，ln a>0，
∴f'(x)<0；
③当x=0时，f'(x)=0，
∴f(x)在[-1，0]上单调递减，在(0，1]上单调递增，
∴当x∈[-1，1]时，f(x)min=f(0)=1，f(x)max=max{f(-1)，f(1)}.
因为f(1)=a+1-ln a，f(-1)=+1+ln a，
则f(1)-f(-1)=a--2ln a，
设g(t)=t--2ln t(t>0)，
∵g'(t)=1+-=≥0(当且仅当t=1时取等号)，
∴g(t)在(0，+∞)上单调递增，而g(1)=0，
∴当t>1时，g(t)>0，即a>1时，a--2ln a>0，∴f(1)>f(-1)，
即f(x)max=f(1)=a+1-ln a.
综上，f(x)的最小值为1，最大值为a+1-ln a.
(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.
(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.
易错提醒
(1)(2024·安徽省皖江名校联盟模拟)已知函数f(x)=(x-1)sin x+(x+1)cos x，
当x∈[0，π]时，f(x)的最大值与最小值的和为　　　　　 .
跟踪演练2
π-1
f'(x)=sin x+(x-1)cos x+cos x-(x+1)sin x=x(cos x-sin x)，
当x∈时，f'(x)≥0，f(x)单调递增；
当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)max=f=
又f(0)=1，f(π)=-(π+1)，
所以f(x)min=-(π+1)，
故最大值与最小值的和为π-1.
(2)(2024·浙江省金丽衢十二校联考)已知函数f(x)=若x12ln 2+
设f(x1)=f(x2)=t，
如图所示，由f(x)的图象知，t>0，且x1<0则-=-2=t，
所以x1=-x2=ln(t+2)，
则x2-x1=ln(t+2)+.
令g(t)=ln(t+2)+(t>0)，
则g'(t)=-==
所以当t∈(0，2)时，g'(t)<0，函数g(t)单调递减；
当t∈(2，+∞)时，g'(t)>0，函数g(t)单调递增，
所以当t=2时，g(t)取得最小值，为g(2)=2ln 2+
即x2-x1的最小值为2ln 2+.
已知函数极值、最值求参数
考点三
(1)(2024·南充模拟)已知函数f(x)=xex+m-x2-mx在区间[-1-m，1-m]上有
且仅有两个极值点，则实数m的取值范围为
A. B.(1，e)
C. D.(1，e]
√
例3
f'(x)=ex+m(1+x)-x-m，
因为f(x)在区间[-1-m，1-m]上有且仅有两个极值点，
所以f'(x)在区间(-1-m，1-m)上有两个变号零点，即ex+m(1+x)=x+m在区间(-1-m，1-m)上有两个不等实数根.
令t=x+m，则x=t-m，上式可化为m=t+1-其中t∈(-1，1).
令g(t)=t+1-t∈(-1，1)，
则g'(t)=1-=.
令h(t)=et-1+t，则h'(t)=et+1>0，即h(t)为增函数，
又h(0)=0，所以当t∈(-1，0)时，g'(t)<0，g(t)单调递减；
当t∈(0，1)时，g'(t)>0，g(t)单调递增，
所以当t=0时，g(t)取得最小值，
因为g(0)=1，g(-1)=e，g(1)=2-
所以m的取值范围为.
(2)若函数f(x)=x3+x2-2在区间(a-4，a)上存在最小值，则a的取值范围是　　　　.
[1，4)
由f(x)=x3+x2-2得f'(x)=x2+2x=x(x+2)，
所以当x<-2或x>0时，f'(x)>0，当-2于是得f(x)在(-∞，-2)和(0，+∞)上单调递增，在(-2，0)上单调递减，
当x=0时，f(x)取得极小值f(0)=-2.
因为f(x)在区间(a-4，a)上存在最小值，而函数的最值不可能在开区间端点处取得，
于是得0∈(a-4，a)，且f(a-4)≥f(0)，
即
解得1≤a<4，
所以实数a的取值范围为[1，4).
易错提醒
方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法.分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不能等于0，易忽视.
(1)(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)=xln x-ax有极值-e，则a等于
A.1 B.2 C.e D.3
跟踪演练3
√
由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln x+1-a.
令f'(x)>0，得x>ea-1；
令f'(x)<0，得0所以函数f(x)在区间(0，ea-1)上单调递减，
在(ea-1，+∞)上单调递增.
则ea-1是函数f(x)的极小值点，无极大值点，
故f(ea-1)=ea-1ln ea-1-aea-1=-e，解得a=2.
(2)(2024·石嘴山模拟)已知函数f(x)=ax2-2x+ln x有两个不同的极值点x1，x2，若不等式f(x1)+f(x2)≤t恒成立，则实数t的最小值为　　　.
-3
函数f(x)=ax2-2x+ln x的定义域为(0，+∞)，
求导得f'(x)=2ax-2+= .
由函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2，则a≠0，且x1，x2是方程2ax2-2x+1=0的两个不相等的正实根，
于是x1+x2=>0，x1x2=>0，
且Δ=4-8a>0，解得0依题意，f(x1)+f(x2)=a-2x1+ln x1+a-2x2+ln x2
=a-2ax1x2-2(x1+x2)+ln(x1x2)=-1--ln(2a).
令g(a)=-1--ln(2a)，0求导得g'(a)=-=>0，
所以函数g(a)在上单调递增，
则g(a)由不等式f(x1)+f(x2)≤t恒成立，得t≥-3，
所以实数t的最小值为-3.
专题强化练
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B A ABD AD
题号 9 10
答案 -4
对一对
1
2
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11
12
13
答案
(1)当a=1时，
f(x)=，x∈[-1，1]，
f'(x)=，
令f'(x)=0，得x=，
又f==，
且f(-1)=4e，f(1)=，
∴f(x)min=f= .
(2)证明　因为f'(x)=
11.
1
2
3
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5
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11
12
13
答案
=，
令f'(x)=0，
解得x1=2，x2=，
若a>4，当x<2或x>时，
f'(x)<0，当20，
所以f(x)在(-∞，2)，上单调递减，
在上单调递增，
故极大值为f=>0；
若a=4，则f'(x)≤0，
11.
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11
12
13
答案
所以函数f(x)在R上单调递减，无极大值；
若a<4，当x<或x>2时，f'(x)<0，当0，
所以f(x)在，(2，+∞)上单调递减，
在上单调递增，
故极大值为f(2)=>0.
综上，f(x)的极大值恒为正数.
11.
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12
13
答案
(1)因为f(x)=2x3-ax2+2(a>0)，
所以f(0)=2，
又f'(x)=6x2-2ax，
所以f'(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2.
(2)因为f'(x)=6x2-2ax
=6x，又a>0，
所以当0当x<0或x>时，f'(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在(-∞，0)，上单调递增.
则在区间[-1，1]内存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)≥9，
12.
1
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12
13
答案
等价于在区间[-1，1]内存在x，使得[f(x)]2≥9，
等价于在区间[-1，1]内存在x，使得|f(x)|≥3，
等价于在区间[-1，1]内，|f(x)|的最大值不小于3.
不妨令g(x)=|f(x)|，
①当≥1，即a≥3时，f(x)在[-1，0)上单调递增，在(0，1]上单调递减，
且f(-1)=-a≤-3，f(0)=2，
f(1)=4-a≤1，
所以g(x)max=|f(x)|max
=max{a，2，|4-a|}≥3，符合题意；
②当0<<1，即0显然f(x)在x=处取得极小值，此时极小值为f=2->0，
12.
1
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11
12
13
答案
而f(-1)=-a∈(-3，0)，f(0)=2，f(1)=4-a>0，
所以g(x)max=|f(x)|max
=max{a，2，|4-a|}，
要使g(x)max≥3，则必有4-a≥3，
解得a≤1，故0综上，a的取值范围为(0，1]∪[3，+∞).
12.
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13
答案
(1)函数y=x不是“旋转函数”，理由如下：
y=x的图象绕坐标原点逆时针旋转后与y轴重合，
当x=0时，有无数个y与之对应，与函数的概念矛盾，因此函数y=x不是“旋转函数”.
(2)由题意可得，
函数f(x)=ln(2x+1)(x>0)与函数y=kx+b的图象最多有1个交点，且k=tan，
所以ln(2x+1)=kx+b(x>0)最多有一个根，
即ln(2x+1)-kx=b(x>0)最多有一个根，
因此函数y=ln(2x+1)-kx(x>0)的图象与直线y=b(b∈R)最多有1个交点，
即函数y=ln(2x+1)-kx在
(0，+∞)上单调.
因为y'=-k，
13.
1
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11
12
13
答案
且x>0，∈(0，2)，
所以y'=-k≤0，k≥，所以k≥2，
即tan≥2，tan α≤，
即tan α的最大值为.
(3)由题意可得函数g(x)=m(x-1)ex-xln x-与函数y=x+b的图象最多有1个交点，
所以m(x-1)ex-xln x-=x+b，
即m(x-1)ex-xln x--x=b最多有一个根，
所以函数y=m(x-1)ex-xln x--x的图象与直线y=b(b∈R)最多有1个交点，
13.
1
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13
答案
即函数y=m(x-1)ex-xln x--x在(0，+∞)上单调.y'=mxex-ln x-x-2，
当x→0时，y'→+∞，所以y'≥0 m≥，
令φ(x)=，则φ'(x)=，
因为t(x)=-ln x-x-1在(0，+∞)上单调递减，
且t>0，t(1)<0，
所以存在x0∈，使t(x0)=0，
即ln x0+x0=-1 ln(x0)=-1 x0=，
所以φ(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减，
所以φ(x)max=φ(x0)===e，即m≥e，故m的取值范围为[e，+∞).
13.
1
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13
答案
一、单项选择题
1
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13
1.(2024·辽宁省部分重点中学协作体模拟)下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是
A.f(x)=xsin x B.f(x)=x+
C.f(x)=ex+ D.f(x)=|x+1|-|x-1|
√
素养提升
答案
1
2
3
4
5
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10
11
12
13
对于A，x∈R，f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x)，故f(x)为偶函数，不符合题意；
对于B，x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，f(-x)=-x-=-f(x)，故f(x)为奇函数，
令f'(x)=1-=0，得x=±1，
当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
故f(x)存在极小值f(1)=2，故B正确；
答案
1
2
3
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5
6
7
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9
10
11
12
13
对于C，x∈R，f(-x)=e-x+=ex+=f(x)，故f(x)为偶函数，不符合题意；
对于D，f(x)=无极值，不符合题意.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
13
2.(2024·西安模拟)函数f(x)=在[-3，3]上的最大值和最小值分别是
A.- B.-
C.- D.-
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
f'(x)=x∈[-3，3]，
令f'(x)>0，解得-1令f'(x)<0，解得x∈[-3，-1)∪(1，3]，
即f(x)在[-3，-1)和(1，3]上单调递减.
又f(-3)=-f(-1)=-f(1)=f(3)=所以函数f(x)在[-3，3]上的最大值为最小值为-.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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12
13
3.(2024·银川模拟)若函数f(x)=(x2-ax-2)ex在x=-2处取得极大值，则f(x)的极小值为
A.-6e2 B.-4e C.-2e2 D.-e
√
答案
1
2
3
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5
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7
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9
10
11
12
13
f'(x)=[x2+(2-a)x-2-a]ex(x∈R)，
因为函数f(x)在x=-2处取得极大值，
则f'(-2)=0，
即4-2(2-a)-2-a=0，所以a=2，
所以f(x)=(x2-2x-2)ex，
f'(x)=(x2-4)ex=(x+2)(x-2)ex，
令f'(x)=0，则x=2或x=-2，
当x∈(-∞，-2)∪(2，+∞)时，f'(x)>0，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
当x∈(-2，2)时，f'(x)<0，
所以f(x)在(-∞，-2)，(2，+∞)上单调递增，在(-2，2)上单调递减.
所以函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值，极小值为f(2)=-2e2.
答案
4.已知函数f(x)=ln x+ax存在最大值0，则a的值为
A.-2 B.- C.1 D.e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
因为f'(x)=+a，x>0，
所以当a≥0时，f'(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值；
当a<0时，令f'(x)=0，得x=-
所以当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以f(x)max=f=ln-1=0，解得a=-.
5.(2024·楚雄模拟)若a>b，则函数y=a(x-a)(x-b)2的图象可能是
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
12
13
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
方法一　对比各个选项可知a≠0，
由三次函数图象与性质，可得x=a，x=b(a>b)是函数y=a(x-a)(x-b)2的零点.
令y'=a(x-b)2+2a(x-a)(x-b)=a(x-b)(3x-2a-b)=0，
可知x1=bb)，且x1，x2都是函数y=a(x-a)(x-b)2的极值点，
则x=b既是零点又是极值点，由此可以排除A，D；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
若a>0，则函数y=a(x-a)(x-b)2的图象先增后减再增，
具体为y=a(x-a)(x-b)2在(-∞，b)上单调递增，在上单调递增，可知B符合；
若a<0，则函数y=a(x-a)(x-b)2的图象与x轴的交点都在x轴负半轴上，可知C不符合.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
方法二　设f(x)=a(x-a)(x-b)2，f(0)=-a2b2≤0，
故排除A，C；
由f(x)=0，得x=a或x=b，由选项B，D的图象知b<0当x答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
6.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)=cos x+x2，若x=0是函数f(x)的唯一极小值
点，则a的取值范围为
A.[1，+∞) B.(-1，1)
C.[-1，+∞) D.(-∞，1]
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
13
f'(x)=-sin x+ax，令g(x)=f'(x)=-sin x+ax，则g'(x)=-cos x+a，
当a≥1时，g'(x)=-cos x+a≥0，故g(x)在R上单调递增，
又g(0)=-sin 0+0=0，故当x>0时，g(x)>0，当x<0时，g(x)<0，
故f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
故x=0是函数f(x)的唯一极小值点，符合题意；
当a<1时，g'(0)=-cos 0+a=-1+a<0，
故一定存在m>0，使g(x)在(0，m)上单调递减，
此时x=0不是函数f(x)的极小值点，故a<1时不符合题意.
综上所述，a的取值范围为[1，+∞).
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7.(2024·杭州模拟)已知函数f(x)=(x+1)ex，则下列结论正确的是
A.f(x)在区间(-2，+∞)上单调递增
B.f(x)的最小值为-
C.方程f(x)=2的解有2个
D.导函数f'(x)的极值点为-3
√
答案
二、多项选择题
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
由f(x)=(x+1)ex，可得f'(x)=(x+2)ex，
令f'(x)<0，x∈(-∞，-2)，令f'(x)>0，x∈(-2，+∞)，
故f(x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增，
故f(x)的最小值为f(-2)=-故A，B正确；
若讨论方程f(x)=2的解，即讨论g(x)=(x+1)ex-2的零点，
易知g(-2)=--2<0，g(1)=2e-2>0，
故g(1)g(-2)<0，
故由零点存在定理得存在x0∈(-2，1)，使x0为g(x)的一个零点，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
而当x→-∞时，g(x)→-2，显然g(x)在(-∞，-2)内无零点，
故g(x)=(x+1)ex-2只有一个零点，即f(x)=2只有一个解，故C错误；
令h(x)=f'(x)=(x+2)ex，故h'(x)=(x+3)ex，
令h'(x)=0，解得x=-3，而h'(0)>0，h'(-4)<0，
故-3是h'(x)的变号零点，即-3是h(x)的极值点，故导函数f'(x)的极值点为-3，故D正确.
答案
8.(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则
A.当a>1时，f(x)有三个零点
B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a，使得点(1，f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
1
2
3
4
5
6
7
8
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√
答案
√
A选项，f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a)，由于a>1，
故当x∈(-∞，0)∪(a，+∞)时，f'(x)>0，
故f(x)在(-∞，0)，(a，+∞)上单调递增，
当x∈(0，a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
则f(x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值，
由f(0)=1>0，f(a)=1-a3<0，
则f(0)f(a)<0，
根据零点存在定理f(x)在(0，a)上有一个零点，
又f(-1)=-1-3a<0，
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答案
f(2a)=4a3+1>0，
则f(-1)f(0)<0，f(a)f(2a)<0，
则f(x)在(-1，0)，(a，2a)上各有一个零点，
于是当a>1时，f(x)有三个零点，A选项正确；
B选项，f'(x)=6x(x-a)，
由于a<0，当x∈(a，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
此时f(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的a，b，使得x=b为f(x)的对称轴，
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答案
即存在这样的a，b使得f(x)=f(2b-x)，
即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1，
根据二项式定理，等式右边(2b-x)3展开式中含有x3的项为
2(2b)0(-x)3=-2x3，
于是等式左右两边x3的系数不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的a，b，使得x=b为f(x)的对称轴，C选项错误；
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答案
D选项，
方法一　(利用对称中心的表达式化简)
f(1)=3-3a，若存在这样的a，使得(1，3-3a)为f(x)的对称中心，
则f(x)+f(2-x)=6-6a，事实上，
f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a，
于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a，
即解得a=2，
即存在a=2使得(1，f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确.
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答案
方法二　(直接利用拐点结论)
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
f(x)=2x3-3ax2+1，
f'(x)=6x2-6ax，f″(x)=12x-6a，
由f″(x)=0得x=
于是该三次函数的对称中心为
由题意(1，f(1))也是对称中心，故=1，即a=2，
即存在a=2使得(1，f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确.
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答案
三、填空题
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9.(2024·宜宾模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8，则f(1)=　　　.
答案
-4
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f'(x)=3x2+2ax+b，
若函数f(x)在x=-1处有极值8，
则f(-1)=8且f'(-1)=0，即
解得
当a=3，b=3时，f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0，
此时x=-1不是极值点，故舍去；
答案
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当a=-2，b=-7时，f'(x)=3x2-4x-7=(3x-7)(x+1)，
当x>或x<-1时，f'(x)>0，
当-1故a=-2，b=-7符合题意，
故f(x)=x3-2x2-7x+4，故f(1)=-4.
答案
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10.如图所示为某“胶囊”形组合体，由中间是底面半径为1，高为2的圆柱，两端是半径为1的半球组成，现欲加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则当圆柱的体积最大时，圆柱的底面
半径为　　 .
答案
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设该几何体的内接圆柱的底面半径为x(0该内接圆柱的体积为V(x)=πx2·2(1+)，
则V'(x)=4πx(1+)+2πx2·= .
令V'(x)=0，则有2+2-3x2=0 ，解得x=
当x∈时，V'(x)>0，V(x)单调递增；
当x∈时，V'(x)<0，V(x)单调递减，
所以当x=时，圆柱的体积有最大值.
答案
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11.(2024·深圳模拟)已知函数f(x)=其中a∈R.
(1)若a=1，求f(x)在[-1，1]上的最小值；
答案
四、解答题
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答案
当a=1时，f(x)=x∈[-1，1]，
f'(x)=
令f'(x)=0，得x=
又f==
且f(-1)=4e，f(1)=
∴f(x)min=f= .
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(2)求证：f(x)的极大值恒为正数.
答案
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答案
因为f'(x)==
令f'(x)=0，
解得x1=2，x2=
若a>4，当x<2或x>时，f'(x)<0，当20，
所以f(x)在(-∞，2)上单调递减，
在上单调递增，
故极大值为f=>0；
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答案
若a=4，则f'(x)≤0，
所以函数f(x)在R上单调递减，无极大值；
若a<4，当x<或x>2时，f'(x)<0，当0，
所以f(x)在(2，+∞)上单调递减，
在上单调递增，故极大值为f(2)=>0.
综上，f(x)的极大值恒为正数.
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12.(2024·泸州模拟)已知函数f(x)=2x3-ax2+2(a>0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
答案
因为f(x)=2x3-ax2+2(a>0)，
所以f(0)=2，
又f'(x)=6x2-2ax，所以f'(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2.
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答案
(2)若在区间[-1，1]内存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)≥9，求实数a的取值范围.
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答案
因为f'(x)=6x2-2ax=6x又a>0，
所以当0时，f'(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在(-∞，0)上单调递增.
则在区间[-1，1]内存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)≥9，
等价于在区间[-1，1]内存在x，使得[f(x)]2≥9，
等价于在区间[-1，1]内存在x，使得|f(x)|≥3，
等价于在区间[-1，1]内，|f(x)|的最大值不小于3.
不妨令g(x)=|f(x)|，
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答案
①当≥1，即a≥3时，f(x)在[-1，0)上单调递增，在(0，1]上单调递减，
且f(-1)=-a≤-3，f(0)=2，f(1)=4-a≤1，
所以g(x)max=|f(x)|max=max{a，2，|4-a|}≥3，符合题意；
②当0<<1，即0上单调递减，
显然f(x)在x=处取得极小值，此时极小值为f=2->0，
而f(-1)=-a∈(-3，0)，f(0)=2，f(1)=4-a>0，
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答案
所以g(x)max=|f(x)|max=max{a，2，|4-a|}，
要使g(x)max≥3，则必有4-a≥3，解得a≤1，故0综上，a的取值范围为(0，1]∪[3，+∞).
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13.[旋转函数]在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f(x)为“α旋转函数”.
(1)判断函数y=x是否为“旋转函数”，并说明理由；
答案
思维创新
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答案
函数y=x不是“旋转函数”，理由如下：
y=x的图象绕坐标原点逆时针旋转后与y轴重合，
当x=0时，有无数个y与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数y=x不是“旋转函数”.
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答案
(2)已知函数f(x)=ln(2x+1)(x>0)是“α旋转函数”，求tan α的最大值；
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答案
由题意可得，
函数f(x)=ln(2x+1)(x>0)与函数y=kx+b的图象最多有1个交点，且k=tan
所以ln(2x+1)=kx+b(x>0)最多有一个根，
即ln(2x+1)-kx=b(x>0)最多有一个根，
因此函数y=ln(2x+1)-kx(x>0)的图象与直线y=b(b∈R)最多有1个交点，
即函数y=ln(2x+1)-kx在(0，+∞)上单调.
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答案
因为y'=-k，且x>0∈(0，2)，
所以y'=-k≤0，k≥所以k≥2，
即tan≥2，tan α≤
即tan α的最大值为.
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答案
(3)若函数g(x)=m(x-1)ex-xln x-是“旋转函数”，求m的取值范围.
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答案
由题意可得函数g(x)=m(x-1)ex-xln x-与函数y=x+b的图象最多有1个交点，
所以m(x-1)ex-xln x-=x+b，
即m(x-1)ex-xln x--x=b最多有一个根，
所以函数y=m(x-1)ex-xln x--x的图象与直线y=b(b∈R)最多有1个交点，
即函数y=m(x-1)ex-xln x--x在(0，+∞)上单调.
y'=mxex-ln x-x-2，当x→0时，y'→+∞，
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答案
所以y'≥0 m≥
令φ(x)=则φ'(x)=
因为t(x)=-ln x-x-1在(0，+∞)上单调递减，且t>0，t(1)<0，
所以存在x0∈使t(x0)=0，
即ln x0+x0=-1 ln(x0)=-1 x0=
所以φ(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减，
所以φ(x)max=φ(x0)===e，即m≥e，故m的取值范围为[e，+∞).

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