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第七章 二次根式
1 二次根式
列清单·划重点
知识点1 二次根式的概念
一般地，形如 ( )的式子叫做 二次根式，其中叫做二次根号，a叫做 .形如 的式子也是二次根式.
知识点2 二次根式有意义的条件
(1)
(2)判断一个式子是否为二次根式，要看它是否具备两个特征：一是根指数为 ，二是被开方数为 .判断一个式子是否为二次根式时，不能将其“化简”，如： 可以化为2，但 是二次根式.
知识点3 二次根式的非负性
二次根式 具有双重 .
①被开方数a 0, ② 0.
注意
我们已经学习过三类具有非负性的代数式：
知识点4 () 的性质及应用
明考点·识方法
考点① 二次根式的概念
典例1 当a为实数时，下列各式中哪些一定是二次根式
思路导析 根据二次根式的概念逐项判断即可.
变式 下列各式中，一定是二次根式的是( )
C. D.
考点2 二次根式有意义的条件
典例2 设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义
思路导析 根据二次根式有意义的条件逐项求解.
变式 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义
考点3 二次根式的非负性
典例3 已知 则 的值为 .
思路导析 已知等式变形后，利用完全平方公式化简，根据非负数之和为0，得到非负数分别为0，求出a与b的值，代入所求式子中即可求出值.
变式 (1)若实数m,n满足等式 求 的值；
(2)已知 求的平方根.
考点4 公式 的正逆应用
典例4 计算：
(1); (2)；
思路导析 观察这四个小问题的特征，都符合运算公式其中(2)，(4)题又运用了整式乘除中学习的积的乘方的运算性质.
变式 在实数范围内分解因式.
当堂测·夯基础
1.若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ( )
2.下列各式一定是二次根式的是 ( )
3.当时,二次根式 的值为 ( )
A. 4 B. C. 6 D. 2
4.若式子 有意义，则x的取值范围是
5.若实数a，b满足 则2a+b的平方根
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 a≥0 被开方数
知识点2 (1)a≥0 (2) 2 非负数
知识点3 非负性 ≥ ≥
知识点4 a ab
【明考点·识方法】
典例1 解：由平方具有非负性可知，当a为实数时，一定是二次根式.
变式 D
典例2 解：(1)由题意得 解得
(2)由题意得 解得;
则2+3x>0,解得
则 解得1≤x≤2;
∴x取全体实数.
变式 解：(1)由题意得,解得
(2)由题意得 解得 且x≠3;
(3)由题意得一(x-4) ≥0,;
(4)由题意得 解得;
典例3 2
变式 解：
∴m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4,∴2m+n=4+4=8,
∴2m+n的立方根为2;
∴x=24,y=-8,
∴x+y=24-8=16.∴x+y的平方根为
典例4解：
变式
【当堂测·夯基础】
1. A 2. D 3. D 4. x≥-5且x≠0 5. ±3
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