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第一章三角函数单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以O为圆心，为半径的圆弧，C是的中点，D在上，.“会圆术”给出后的弧长的近似值s的计算公式：，记实际弧长为l.当，时，的值约为（ ）（参考数据：，）
A．0.01 B．0.05 C．0.13 D．0.53
2．已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（ ）
A．12 B．1.2 C．16 D．1.6
3．已知角的终边经过，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在上单调递增且在这个区间上的最大值为，则实数的一个值可以是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数把的图像向右平移个单位后，图像恰好为函数的图像，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C．最小正周期是 D．
二、多选题
7．下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则下列说法正确的是（ ）
A． B．y=
C．是对称轴 D．此函数在上是增函数
8．下列命题中，是真命题的有（ ）
A．“”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件；
B．“”是“”的既不充分也不必要条件；
C．“”，是“”的充要条件
D．“”是“”的充分不必要条件
三、填空题
9．写出与的角终边重合的所有角组成的集合 ．
10．函数的定义域为 .
11．已知定义域为的函数对任意的实数，满足，且，，并且当时，，
①函数是奇函数；②函数在上单调递增
③函数是以2为周期的周期函数；④
其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）
12．（1）函数，的值域为 ；
（2）函数的最大值是 .
四、解答题
13．已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)若，，求的值.
14．已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为．
(1)已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当时，．求的值；
(2)在（1）的条件下，若对任意，都有，求实数的取值范围；
(3)是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．
15．.
(1)求；
(2)将函数化为的形式，写出其最小正周期并求函数在区间上的值域.
16．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3).
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A C A D BD ABD
1．B
【分析】根据题意求出与的值，代入弧长公式和求出和即可.
【详解】因为，所以，
因为是的中点，在上，，
所以延长可得在上，，
所以，
，
所以.
故选：B
2．B
【分析】根据给定条件，利用弧长公式计算即得.
【详解】半径为的圆上，弧长为的圆弧所对的圆心角的弧度数为.
故选：B
3．A
【分析】根据正余弦的定义分别求解的正余弦，再求解即可
【详解】由题意，
故选：A
4．C
【分析】代入得到，解出即可.
【详解】∵在上单调递增且在这个区间上的最大值为，
，
依题意知，，，
故选：C．
5．A
【分析】利用倍角公式、辅助角公式以及图像的平移变换，再结合诱导公式进行求解.
【详解】由于函数，
函数，
由于将的图像向右平移m个单位长度，即可得到的图像，
可得：，
可得：，或，
解得：．则m的值可以是．故B，C，D错误.
故选：A．
6．D
【分析】根据正弦函数的性质即可逐一求解.
【详解】对于A,，故正确，
对于B，，故B正确，
对于C,正弦函数的周期为，故C正确，
对于D,由于在上为增函数，,故错误，
故选：D.
7．BD
【分析】由图象可求得最小正周期，由周期公式即可求得的值，从而判断选项；将点代入，可求得的值，从而可判断选项；将代入解析式求得值，判断是否为最值即可判断选项；求出函数的单调递增区间即可判断选项．
【详解】解：由图象可知，
又，所以，故错误；
当时，，将点代入，可得，
所以，，解得，，
此时，
当时，，将点代入，可得，
所以，，解得，，
此时，
综上可得，故正确；
当时，，不是最值，故不是对称轴；
，
令，，
解得，，
即函数的单调递增区间为，，
取时，函数的一个单调递增区间为，
，
所以此函数在上是增函数，故正确．
故选：．
8．ABD
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合对数函数、正弦函数的性质逐项分析判断即得.
【详解】对于A，关于的方程有两个实数解，则，解得且，
因此“”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件，A正确；
对于B，，而，即“”不是“”的充分条件，
反之，，而，即“”不是“”的必要条件，
因此“”是“”的既不充分也不必要条件，B正确；
对于C，由，得或，因此“”不是“”的充要条件，C错误；
对于D，，而，取，无意义，
因此“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：ABD
9．
【分析】根据终边相同的角的定义求解即可．
【详解】与的角终边重合的所有角组成的集合为．
故答案为：．
10．
【分析】根据给定条件，列出不等式，解正弦不等式即可作答.
【详解】依题意，，即，解得，
所以所求定义域为.
故答案为：
11．①②③
【分析】利用赋值法，令，即可判断①，根据单调性的定义以及奇函数即可判断②，根据周期函数的定义以及奇函数即可对③作出判断，由函数的周期性以及奇函数即可求解④.
【详解】令，可得，，函数是奇函数，故①正确；
设，则当时，，
，因为，所以,故,
，函数在上单调递增，故②正确；
，可得，
函数是以2为周期的周期函数，故③正确；
④由③知的周期为2，所以，故④不正确．
故答案为：①②③
12．
【分析】（1）由的范围可得的范围，结合余弦函数性质可求得结果；
（2）令，将问题转化为关于的二次函数最大值的求解问题，结合的范围可求得结果.
【详解】（1）当时，，，
，即的值域为；
（2），；
令，则，，
则当时，，即的最大值为.
故答案为：；.
13．(1)最大值为2，最小值为.
(2)
【分析】（1）由二倍角公式、两角和的正弦展开式得，再利用正弦函数的单调性与范围可得答案；
（2）由得，利用平方关系得到，再利用展开可得答案.
【详解】（1）由得，因为，则，故当时，取最大值2；当时，取最小值；
所以函数在区间上的最大值为2，最小值为.
（2）由（1）可知，
又因为，所以，
由，得，
从而，
所以
.
14．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】
（1）根据题意得到，代入求解即可；
（2）画出的图象，数形结合得到实数的取值范围；
（3）由题意得到，分或，两种情况，得到对应的值.
【详解】（1），且当时，，
故；
（2），当时，，
……，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
……，
画出的图象如下：
设当时，，即，
解得或，
因为，所以，
对任意，都有，故
故实数的取值范围是，
（3）假设存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，
即，，
因为的值域为，而，
故，解得或，
当时，，故，
当时，，故，
综上，或.
【点睛】
方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
15．(1)
(2),最小正周期为，值域为
【分析】（1）直接根据的解析式求值即可；
（2）根据两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简，由正弦函数的最小正周期公式求出最小正周期，由正弦函数的图象求出值域.
【详解】（1）.
（2）
所以的最小正周期，
由于，，，
所以，，
所以在区间上的值域为.
16．(1)偶函数
(2)奇函数
(3)非奇非偶函数
【分析】（1）（2）先求定义域，然后判断和的关系即可判断其奇偶性；
（3）求出函数定义域，然后根据定义域是否关于原点对称即可作出判断.
【详解】（1）的定义域为R，，
因为，
所以为偶函数.
（2）由得，
解得定义域为，关于原点对称，
又
，
所以为奇函数.
（3）由，即，解得，
所以，定义域不关于原点对称，
所以，该函数既不是奇函数也不是偶函数.

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