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(共40张PPT)
2025年安徽省中考数学一轮复习
梳理基础知识点
第一章　数与式
第一节　实数
优考设计·安徽中考总复习·数学
第一节　实数
1
教材知识精讲
3
典例串讲训练
2
中考真题在线
目录
1
教材知识精讲
知识点
1
实数的分类
1.按定义分类：
2.按大小分类：
实数
数轴1 ①三要素：
②性质：　 　与数轴上的点是一一对应的
③数轴上右边的数总比左边的数_____
相反数 ①非零实数a的相反数为　 　，特别地，0的相反数为_______　
②实数a，b互为相反数 a＋b＝____
③几何意义：互为相反数的两个数（除0外）分别位于数轴上原点的两侧，且到原点的距离_______
知识点
2
实数的相关概念
实数
大
－a
0
0
相等
0
0
（续表）
倒数 ①非零实数a的倒数是.特别注意：0没有倒数，倒数是它本身的数是　______　
②实数a，b互为倒数 ab＝______
±1
1
（续表）
知识点
3
科学记数法与近似数
1.科学记数法
一个绝对值大于10的数记成±a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整数，这种记数方法叫做　 　.
①对于一个绝对值大于10的数，n是　 　，n的值等于原数的整数位数减1.
②对于绝对值大于0且小于1的数，n是　 　，n的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）.
科学记数法
正整数
负整数
2.近似数
接近准确数但不等于准确数的数叫做近似数.
精确度：一般由四舍五入法取近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
类别 比较法 正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小
数轴 比较法 数轴上的任意两点，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数____（数形结合）
作差 比较法 a－b＞0 　 　；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 _________
平方 比较法 a2＞b＞0 a＞（a＞0）
知识点
4
实数的大小比较
a＞b
a＜b
大
平方根 实数a（a≥0）的平方根为±，其中为a的算术平方根，例：25的平方根为　 ，算术平方根为____ ①一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；
②负数没有平方根；
③所有的数都有一个立方根，且与原数同号；
④平方根等于它本身的数是0；算术平方根等于它本身的数是0，1；立方根等于它本身的数是0，±1
算术平 方根 立方根 实数a的立方根为，例：8的立方根为____
知识点
5
平方根、算术平方根与立方根
±5
5
2
知识点
6
实数的运算
1.运算法则
①加法.
②减法.
③乘法.
④除法.
⑤乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做　 　，记作an，其中a叫做　 　，n叫做　 　，乘方的结果叫做　 　.
乘方
底数
指数
幂
2.运算律
①加法交换律：a＋b＝b＋a.
②加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.
③乘法交换律：ab＝ba.
④乘法结合律：（ab）c＝a（bc）.
⑤分配律：a（b＋c）＝ab＋ac.
3.实数的混合运算
先　 　，再　 　，后　 　，如果有括号，先进行　 　.
乘方
乘除
加减
括号里的运算
2
中考真题在线
命题点
1
实数的相关概念
1.（2024·安徽）－5的绝对值是（　　）
A.5 B.－5 C. D.－
2.（2023·安徽）－5的相反数是（　　）
A.－5 B.－ C. D.5
3.（2022·安徽）下列为负数的是（　　）
A. B. C.0 D.－5
4.（2021·安徽）－9的绝对值是（　　）
A.9 B.－9 C. D.－
A
D
D
A
命题点
2
科学记数法
5.（2024·安徽）据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（　 　）
A.0.944×107 B.9.44×106
C.9.44×107 D.94.4×106
6.（2022·安徽）据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3 400万册，其中3 400万用科学记数法表示为（ 　 ）
A.3.4×108 B.0.34×108
C.3.4×107 D.34×106
7.（2023·安徽）据统计，2023年第一季度安徽省采矿业实现利润总额74.5亿元，其中74.5亿用科学记数法表示为　 　.
B
C
7.45×109
命题点
3
实数的大小比较
8.（2020·安徽）下列各数中，比－2小的数是（　　）
A.－3 B.－1 C.0 D.2
9.（2019·安徽）在－2，－1，0，1这四个数中，最小的数是（　　）
A.－2 B.－1 C.0 D.1
10.（2024·安徽）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小：　 　（填“＞”或“＜”）.
A
A
＞
命题点
4
平方根、算术平方根与立方根
11.（2017·安徽）27的立方根为　 　.
3
命题点
5
实数的估算
12.（2021·安徽）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形.底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是－1，它介于整数n和n＋1之间，则n的值是　 　.
1
命题点
6
实数的运算
13.（2023·安徽）计算：＋1＝　 　.
14.（2020·安徽）计算：－1＝　 　.
15.（2022·安徽）计算：－＋.
16.（2017·安徽）计算：｜－2｜×cos 60°－.
3
2
【解答】原式＝1－4＋4＝1.
【解答】原式＝2×－3＝－2.
3
典例串讲训练
（1）（2024·雅安）2 024的相反数是（　　）
A.2 024 B.－2 024
C. D.－
（2）（2023·湖北）－的绝对值是（　　）
A.－ B.－ C. D.
（3）（2023·邵阳）2 023的倒数是（　　）
A.－2 023 B.2 023
C. D.－
B
D
C
求一个数的相反数，直接在这个数前面添上“－”号，再化为最简即可；正数和零的绝对值是这个数的本身，而一个负数的绝对值是这个数的相反数；非零实数a的倒数是，如果是一个小数，要先化为分数，再求变形后的这个分数的倒数.
1.（2024·哈尔滨）－的相反数为（　　）
A.－ B. C.－ D.
2.（2024·济宁）－3的绝对值是（　　）
A.3 B. C.－3 D.－
3.（2024·宿迁）6的倒数是（　　）
A. B.－ C.6 D.－6
B
A
A
（2024·青岛）“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达60 000立方米.将60 000用科学记数法表示为（　　）
A.6×103 B.60×103
C.0.6×105 D.6×104
D
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤｜a｜＜10，n为整数.当原数的绝对值≥10时，n是正整数，它等于原数的整数位数减1；当0＜原数的绝对值＜1时，n是负整数，n的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）.
4.（2024·芜湖二模）据统计，奇瑞集团在2023年汽车总销量为188万辆，其中188万用科学记数法表示为（　　）
A.188×104 B.18.8×105
C.1.88×105 D.1.88×106
5.（2023·武汉）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95％.将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n的形式，则n的值是　 　（备注：1亿＝100 000 000）.
D
9
（2023·徐州）如图，数轴上点A，B，C，D分别对应实数a，b，c，d，下列各式的值最小的是（　　）
A.｜a｜ B.｜b｜ C.｜c｜ D.｜d｜
C
由数轴可得点A离原点距离最远，其次是D点，再次是B点，C点离原点距离最近，则｜a｜＞｜d｜＞｜b｜＞｜c｜，其中值最小的是｜c｜.
6.（2024·广西）下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（　　）
A.北京－4.6 ℃ B.上海5.8 ℃
C.天津－3.2 ℃ D.重庆8.1 ℃
A
7.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a＋c＝0，则下列结论正确的是（ 　 ）
A.b＜0 B.a＜－b
C.ab＞0 D.b－c＞0
B
（2024·天津）估计的值在（　　）
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
C
无理数估算的两种常考形式：一是确定相邻两个连续整数；二是确定离哪个整数（或小数）最近.
8.（2023·赤峰）如图，数轴上表示实数的点可能是（　　）
A.点P B.点Q
C.点R D.点S
9.下列无理数中，大小在3与4之间的是（　　）
A. B.2 C. D.
B
C
　 计算：（1－）0＋＋（－2）－1.
【解答】原式＝1＋＝1.
实数的运算通常会结合零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行考查，掌握这些知识是解题的关键.其中a0＝1（a≠0）；a－p＝ （p是正整数，a≠0）.
10.（2024·合肥瑶海区三模）计算：
（－2 024）0＋＋｜－5｜－2sin 30°.
【解答】原式＝1＋2＋5－2×
＝1＋2＋5－1
＝7.(共42张PPT)
2025年安徽省中考数学一轮复习
梳理基础知识点
第一章　数与式
第二节　整式与因式分解
1
教材知识精讲
3
典例串讲训练
2
中考真题在线
目录
1
教材知识精讲
知识点
1
代数式及求值
1.列代数式：把问题中与数量关系有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子表示.
2.代数式求值：①化简后代入求值；②变形后整体代入求值.
知识点
2
整式的相关概念
名称 识别 次数 系数与项
整式 单项 式　 数与字母或字母与字母相乘 组成的代数式；单独的一个 数或一个字母 所有字 母的指 数之和 系数：单项式中的数字因数
多项 式　 几个单项式的和 次数最 高的项 的次数 项：多项式中的每个单项式
知识点
3
整式的运算
1.加减运算
①同类项：所含字母相同，并且相同字母的　 　也相同的项（所有常数项都是同类项）.
②合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数　　 .
整式加减的实质就是　 　.
③去括号法则：括号前是“＋”号，括号内各项不变号，如：a＋（b－c）＝a＋b－c；括号前是“－”号，括号内每一项都变号，如：a－（b－c）＝　 　.
指数
不变
合并同类项
a－b＋c
2.幂的运算（m，n为正整数）
①同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
am·an＝　 　.
②同底数幂相除，底数不变，指数相减：
am÷an＝am－n（a≠0）.
③幂的乘方，底数不变，指数相乘：
＝amn.
am＋n
④积的乘方等于各因式乘方的积：
（ab）n＝anbn.
⑤任何一个不等于零的数的零次幂都等于1：a0＝　 　（a≠0）.
⑥任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数：a－p＝ （a≠0，p是正整数）.
1
3.乘法运算
①单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的一个因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.如：2a2·ab3＝2a3b3.
②单项式乘多项式：将单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.如：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc.
③多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.如：（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb.
4.乘法公式
名称 公式 几何背景
平方差公式 （a＋b）·（a－b）＝a2－b2
完全平方公式 （a±b）2＝a2±2ab＋b2
5.除法运算
①单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式.如：a4b3c÷a2b2＝a2bc.
②多项式除以单项式：先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.如：（2a3＋5a2＋6a）÷a＝2a2＋5a＋6.
知识点
4
因式分解
1.定义
把一个多项式化为几个整式的　 　的形式.
2.基本方法
①提公因式法
公式：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）.
公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，指数取各项相同字母的最低次数.
积
②公式法
用平方差公式进行因式分解：
a2－b2＝　 　.
用完全平方公式进行因式分解：
a2＋2ab＋b2＝　 　；
a2－2ab＋b2＝　 　.
3.一般步骤
一提：多项式中有公因式，应先提公因式；
二套：再用公式法；
三查：检查是否还可以继续进行因式分解.
（a＋b）（a－b）
（a＋b）2
（a－b）2
2
中考真题在线
命题点
1
整式的运算
1.（2024·安徽）下列计算正确的是（　　）
A.a3＋a3＝a6 B.a6÷a3＝a2
C.（－a）2＝a2 D.＝a
2.（2023·安徽）下列计算正确的是（　 ）
A.a4＋a4＝a8 B.a4·a4＝a16
C.（a4）4＝a16 D.a8÷a4＝a2
C
C
3.（2022·安徽）下列各式中，计算结果等于a9的是（　　）
A.a3＋a6 B.a3·a6
C.a10－a D.a18÷a2
4.（2021·安徽）计算x2·（－x）3的结果是（　　）
A.x6 B.－x6 C.x5 D.－x5
B
D
命题点
2
因式分解
5.（2018·安徽）下列分解因式正确的是（　　）
A.－x2＋4x＝－x（x＋4）
B.x2＋xy＋x＝x（x＋y）
C.x（x－y）＋y（y－x）＝（x－y）2
D.x2－4x＋4＝（x＋2）（x－2）
6.（2020·安徽）分解因式：ab2－a＝ 　.
C
a（b＋1）（b－1）
命题点
3
列代数式
7.（2012·安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）
A.2a2　　 B.3a2　　 C.4a2　　 D.5a2
A
命题点
4
与整式有关的规律探究
8.（2024·安徽）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2－y2（x，y均为自然数）”的问题.
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
N 奇数 4的倍数
表示 结果 1＝12－02 3＝22－12 5＝32－22 7＝42－32 9＝52－42 … 4＝22－02
8＝32－12
12＝42－22
16＝52－32
20＝62－42
…
一般结论 2n－1＝n2－（n－1）2 4n＝_____________________
（n＋1）2－（n－1）2　
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）24＝（　 ）2－（　 ）2；
【解答】（ⅰ）4＝4×1＝（1＋1）2－（1－1）2，
8＝4×2＝（2＋1）2－（2－1）2，
12＝4×3＝（3＋1）2－（3－1）2，
20＝4×5＝（5＋1）2－（5－1）2，
24＝4×6＝（6＋1）2－（6－1）2＝72－52，
……
4n＝4·n＝（n＋1）2－（n－1）2.
故答案为：7，5；
7
5
（ⅱ）4n＝　 　；
【解答】 （ⅱ）由（ⅰ）推导的规律可知4n＝4·n＝（n＋1）2－（n－1）2.
故答案为：（n＋1）2－（n－1）2.
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n－2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2－y2（x，y均为自然数）.师生一起研讨，分析过程如下：
假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数.
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝（2k）2－（2m）2＝4（k2－m2）为4的倍数.
而4n－2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为偶数.
（n＋1）2－（n－1）2
②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝（2k＋1）2－（2m＋1）2＝　 　为4的倍数.
而4n－2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为奇数.
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数.
而4n－2是偶数，矛盾.故x，y不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知，猜测正确.
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.
【解答】 （2k＋1）2－（2m＋1）2＝（2k＋1＋2m＋1）（2k＋1－2m－1）＝4（k2－m2＋k－m）.
故答案为：4（k2－m2＋k－m）.
4（k2－m2＋k－m）
（续表）
9.（2023·安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 　；
【解答】∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝1＋2，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1＋2＋2＋1，第3个图案中“◎”的个数为：9＝1＋2＋2＋3＋1，…，∴第n个图案中“◎”的个数为：1＋2（n－1）＋n＋1＝3n，故答案为：3n；
3n
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，…，第n个图案中“★”的个数可表示为 .
【解答】由题意得，第n个图案中“★”的个数可表示为.故答案为：；
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1＋2＋3＋…＋n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍.
【解答】由题意得，＝2×3n，解得n＝11或n＝0（不符合题意，舍去），则n＝11.
3
典例串讲训练
先化简，再求值：（2x＋y）2－（2x＋y）（2x－y）－2y（x＋y），其中x＝，y＝22 024.
【解答】（2x＋y）2－（2x＋y）（2x－y）－2y（x＋y）
＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋y2－2xy－2y2
＝2xy，
当x＝，y＝22 024时，
原式＝2××22 024
＝2××22 024
＝2×
＝2××1＝1.
进行整式运算要以相关的运算法则和乘法公式为依据，在运算过程中要注意运算的顺序及符号的变化.
1.（2024·青岛）下列计算正确的是（　　）
A.a＋2a＝3a2
B.a5÷a2＝a3
C.（－a）2·a3＝－a5
D.（2a3）2＝2a6
B
2.（2024·长沙）先化简，再求值：2m－m（m－2）＋（m＋3）（m－3），其中m＝.
【解答】2m－m（m－2）＋（m＋3）（m－3）
＝2m－m2＋2m＋m2－9
＝4m－9，
当m＝时，原式＝4×－9＝10－9＝1.
（续表）
（用代数式表示实际问题中的数量关系）（2024·合肥包河区一模）某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少7％，4月份比3月份增加了8％，则该公司4月份的利润为（　　）
A.（x－7％）（x＋8％）万元
B.（x－7％＋8％）万元
C.（1－7％＋8％）x万元
D.（1－7％）（1＋8％）x万元
D
3.（2023·长春）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为　 　公里.（用含x的代数式表示）
（7.5－10x）
（因式分解）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A.（a＋3）2＝a2＋6a＋9
B.a2－4a＋4＝a（a－4）＋4
C.5ax2－5ay2＝5a（x＋y）（x－y）
D.a2－2a－8＝（a－2）（a＋4）
C
安徽中考试题中往往是采用先提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解的考查.分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止.
4.（2024·威海）因式分解：（x＋2）（x＋4）＋1＝　 　.
（x＋3）2
（2024·牡丹江）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形：第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，…，按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（　　）
A.2022 B.2023
C.2024 D.2025
B
根据前3个图中三角形的个数找到规律，再进行求解.第1个图中有4个三角形，即4＝3×1＋1，第2个图中有7个三角形，即7＝3×2＋1，第3个图中有10个三角形，即10＝3×3＋1，…，按此规律摆下去，第n个图中有（3n＋1）个三角形，则第674个图中三角形的个数为：3×674＋1＝2 023（个）.
5.（2023·达州）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中，的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1…，，，，的圆心依次为A，B，C，D循环，则的长是（　　）
A. B.2 023π
C. D.2 022π
A(共25张PPT)
2025年安徽省中考数学一轮复习
梳理基础知识点
第一章　数与式
第四节　二次根式
1
教材知识精讲
3
典例串讲训练
2
中考真题在线
目录
1
教材知识精讲
知识点
1
二次根式的概念及性质
1.二次根式的概念：形如（a≥　 　）的式子叫做二次根式.
最简二次根式应满足的两个条件：
①被开方数的因数是　 　，因式是　 　；
②被开方数中不含　 　的因数或因式.
双重非负性：二次根式
0
整数
整式
能开得尽方
2.二次根式的性质
①＝a（a≥0）.
②＝＝
③如果a≥0，b≥0，那么·＝.
④如果a≥0，b＞0，那么＝.
知识点
2
二次根式的运算
1.同类二次根式：把几个二次根式化为　 　以后，如果被开方数
　 　，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
合并同类二次根式：根号和被开方数　 　，根号前面的倍数　 　.
2.二次根式的加减：先把每个二次根式化为 　，再 　.
3.二次根式的乘除：运用二次根式的性质③和性质④，根号 　，根号前面的倍数与被开方数分别 　，并把结果化为　 　.
最简二次根式
相同
不变
相加减
最简二次根式
合并同类二次根式
不变
相乘除
最简二次根式
2
中考真题在线
命题点
1
二次根式的概念
1.（2013·安徽）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
x≤
命题点
2
二次根式的运算
2.（2019·安徽）计算÷的结果是　 　.
3
3
典例串讲训练
（二次根式的概念及性质）（2024·绥化）若式子有意义，则m的取值范围是（　　）
A.m≤ B.m≥－
C.m≥ D.m≤－
C
1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.（2024·内蒙古）实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则－（b－a－2）的化简结果是（　　）
A.2 B.2a－2
C.2－2b D.－2
C
A
计算：
（1）（3＋）2－（2－3）（2＋3）；
【解答】（1）原式＝9＋6＋5－（4－45）
＝9＋6＋5－（－41）
＝9＋6＋5＋41
＝55＋6；
（2）÷（2）.
【解答】（2）原式＝（2＋4）÷（2）
＝÷2
＝.
（1）利用完全平方公式和平方差公式计算乘方和乘法，然后再算加减，有小括号先算小括号里面的；（2）化简二次根式，然后先计算小括号里面的加减法，再算括号外面的除法.需注意的是在运算过程中，多项式乘法、乘法公式和有理数式中的运算律在二次根式的运算中仍然适用.
3.（2024·甘肃）计算：－×.
【解答】原式＝3－3＝0.
4.（2023·金昌）计算：÷×2－6.
【解答】原式＝3×2－6＝12－6＝6.
观察下列等式，解答后面的问题：
① ＝＝＝2，
② ＝3，
③ ＝4，
…
（1）请直接写出第④个等式： 　（不用化简）；
＝5
【解答】（1）＝5
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
【解答】（2）＝（n＋1）（n为正整数）.
证明：∵左边＝.
∵n为正整数，∴n＋1＞0，
∴左边＝（n＋1），
又∵ 右边＝（n＋1），
∴左边＝右边，∴猜想成立；
（3）利用（2）的结论化简：×.
＝2 024＝
2 024＝2 024.
在安徽中考试题中，对其他知识的考查有时会涉及二次根式. 本题结合二次根式、分式化简的规律进行探究和应用.
5.将一组数，2，，2，…，4，按下列方式进行排列：
，2，，2；
，2，，4；
…
若2的位置记为（1，2），的位置记为（2，3），则2的位置记为　 　.
【解答】数字可以化成：；∴规律为：被开方数为从2开始的偶数，每一行4个数，∵2，28是第14个偶数，而14÷4＝3……2，∴2的位置记为（4，2）.
（4，2）
6.观察下列各式：
①＝2，
②＝3，
③＝4.
（1）根据你发现的规律填空：＝　 　；
【解答】；
5
（续表）
（2）用含n的等式表示你的猜想（n≥2，n为整数），并通过计算证明你的猜想.
【解答】＝n（n≥2，n为整数），
证明：∵左边＝＝n＝右边（n≥2，n为整数），∴等式成立.
（续表）(共14张PPT)
2025年安徽省中考数学一轮复习
梳理基础知识点
第一章　数与式
微专题一　规律探索
规律探索题是安徽中考必考题，它的命题意图是考查学生的合情推理能力（即类比和归纳推理），分值一般为8分.通常类型有数式规律、图形规律和坐标规律.
类 型 一
数式规律探索
观察以下等式：
第1个等式：32－3＝2×1×3，
第2个等式：52－5＝2×2×5，
第3个等式：72－7＝2×3×7，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）按照此规律，第4个等式是：　 　；
【解答】（1）92－9＝2×4×9；
92－9＝2×4×9
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明.
【解答】（2）第n个等式：（2n＋1）2－（2n＋1）＝2n（2n＋1），
证明：左边＝（2n＋1）2－（2n＋1）＝4n2＋4n＋1－2n－1＝4n2＋2n＝2n（2n＋1）＝右边，即（2n＋1）2－（2n＋1）＝2n（2n＋1）.
1.观察以下等式：
第1个等式：×＝3－；
第2个等式：×＝3－；
第3个等式：×＝3－；
第4个等式：×＝3－；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　 ；
【解答】（1）＝3－；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 （用含n的等式表示），并证明.
【解答】 （2）猜想的第n个等式：＝3－.
证明：∵左边＝＝3－＝右边，∴等式成立.
＝3－
＝3－
（续表）
类 型 二
图形规律探索
（2023·合肥瑶海区一模）用相同的菱形按如图的方式搭图形.
…
（1）按图示规律完成下表：
【解答】（1）根据图形规律，图形5中有7个菱形，图形6中有9个菱形，故答案为：7，9；
图形 1 2 3 4 5 6 …
所用菱形个数 1 3 4 6 ______ ______ …
7
9
（2）按这种方式搭下去，搭第（2n＋1）（n为自然数）个图形需要_______个菱形；（用含n的代数式表示）
【解答】 （2）根据（1）中的规律，第（2n＋1）个图形中有（3n＋1）个菱形，故答案为：（3n＋1）；
（3）小亮同学说他按这种方式搭出来的一个图形用了2023个菱形，你认为可能吗？如果能，那是第几个图形？如果不可能，请说明理由.
【解答】 （3）当3n＋1＝2 023时，解得n＝674，2n＋1＝1 349，∴第1349个图形中有2 023个菱形.
（3n＋1）
2.（2024·重庆A）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）


A.20 B.22 C.24 D.26
B
类 型 三
坐标规律探索
如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（－1，2），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，2），点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，…，求点M2 025的坐标.
【解答】由题意可知AB＝3，BC＝2，CD＝3，DA＝2，即长方形ABCD的周长为10，由分析可知，每一次相遇后出发到再相遇，点P和点Q所运动的路程和为10.
设点P与点Q每次相遇所需时间为t秒，则2t＋3t＝10，解得t＝2.
即每2秒相遇一次，则根据运动方式可求出M1（1，0），M2（－1，0），M3（1，2），M4（0，－1），M5（－1，2），M6（1，0），M7（－1，0），M8（1，2），M9（0，－1），M10（－1，2），…，可以发现相遇点的坐标每5次一循环，
又2 025÷5＝405，则点M2 025的坐标与点M5的坐标一样，即点M2 025的坐标为
（－1，2）.
3.如图，每个小方格边长为1，已知点A1（1，0），A2（1，
1），A3（－1，1），A4（－1，－1），A5（2，－1），
A6（2，2），A7（－2，2），A8（－2，－2），….
（1）将图中的平面直角坐标系补画完整；
【解答】（1）补画的平面直角坐标系如图所示：
（2）按此规律，请直接写出点A9，A10的坐标；
【解答】（2）根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点知A9（3，－2），A10（3，3）；
（3）按此规律，则点A2 025的坐标为　 　.
【解答】（3）观察图形发现，下标为4n的点落在第三象限的角平分线上，
∵A4（－1，－1），A8（－2，－2），（－3，－3），…，∴（－n，
－n）.
∵2 024＝4×506，
∴点A2 024的坐标为（－506，－506），从而可得点A2 025的坐标为（507，－506）.
故答案为：（507，－506）.
（507，－506）
（续表）(共28张PPT)
2025年安徽省中考数学一轮复习
梳理基础知识点
第一章　数与式
第三节　分式
1
教材知识精讲
3
典例串讲训练
2
中考真题在线
目录
1
教材知识精讲
知识点
1
分式的概念
1.概念：如果a，b表示两个　 　，并且b中含有　 　，那么式子叫做分式.整式和分式统称有理式.
2.分式有意义的条件：b≠0.
3.分式的值为0的条件：分子a＝0且分母b≠0.
4.最简分式：分子与分母没有相同的因式（1除外）.
整式
字母
知识点
2
分式的基本性质
1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个　 　的整式，分式的值不变，即＝＝（m≠0）.
2.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的　 　约去叫做分式的约分.
寻找公因式：
①数字：分子和分母数字因数的　 　；
②字母：分子和分母中相同字母的　 　的积.
不等于零
公因式
最大公约数
最低次幂
3.通分：根据分式的基本性质，把分母不相同的分式化为　 　的分式的过程叫做通分.
寻找最简公分母：
①数字：分母数字因数的　 　；
②字母：分母中所有因式字母的　 　的积.
分母相同
最小公倍数
最高次幂
知识点
3
分式的运算
1.分式的加减
①同分母分式的加减：分母　 　，分子相　 　，即±＝ .
②异分母分式的加减：先通分，变为　 　的分式后再加减，即±＝
　＝　 .
不变
加减
同分母
2.分式的乘除
①分式的乘法：两个分式相乘，用分子的积作积的　 　，用分母的积作积的　 　，即·＝　 .
②分式的除法：两个分式相除，将除式的　 　、　 　颠倒位置后，与被除式　 　，即÷＝·　 ＝ 　.
分子
分母
分子
分母
相乘
3.分式的乘方
分式的乘方就是把 　、　 　分别乘方，即＝.
4.分式的混合运算
先乘方，再乘除，后加减，如果有括号，先算括号里的运算，能约分的先约分.
分子
分母
2
中考真题在线
命题点
1
分式有意义的条件
1.（2024·安徽）若分式有意义，则实数x的取值范围是　 　.
x≠4
命题点
2
分式的化简及求值
2.（2023·安徽）先化简，再求值：，其中x＝－1.
【解答】原式＝＝x＋1，当x＝－1时，原式＝－1＋1＝.
命题点
3
与分式有关的规律探究
3.（2020·安徽）观察以下等式：
第1个等式：×＝2－；
第2个等式：×＝2－；
第3个等式：×＝2－；
第4个等式：×＝2－；
第5个等式：×＝2－；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
【解答】＝2－；
＝2－
（2）写出你猜想的第n个等式：　 （用含n的等式表示），并证明.
【解答】 ＝2－.
证明：∵左边＝＝2－＝右边，∴等式成立.
＝2－
3
典例串讲训练
（分式的概念）（2023·广西）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A.x≠－1 B.x≠0
C.x≠1 D.x≠2
A
分式有意义的条件是分母不等于0；若分式值为0，则分子为0，且分母不等于0.
1.（2024·淮北期末）若分式的值为0，则x等于（　　）
A.－3 B.3
C.±3 D.0
A
（分式的化简与求值）先化简，再求值：·＋，其中x＝1＋.
【解答】原式＝ ＝ ＝，
当x＝1＋时，原式＝.
分式的化简与求值问题常见的两种类型：（1）通过分式的加减乘除运算将几个分式进行化简；（2）先通过分式的混合运算进行化简，再代入字母的值进行计算.
2.（2023·广安）先化简÷，再从不等式－2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值.
【解答】 ＝.
∵－2＜a＜3且a≠±1，
∴a＝0（或2）符合题意.
当a＝0时，原式＝＝－1，
或当a＝2时，原式＝＝1.
（与分式有关的规律探究）观察下列等式：
第1个等式：－＝，
第2个等式：－＝，
第3个等式：－＝，
…
按照以上规律，回答下列问题：
（1）写出第4个等式： 　；
【解答】（1）由题意可得第4个等式：；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 ，并给出证明.
【解答】（2），
证明：∵左边＝＝右边，
∴等式成立.
（1）通过观察所给的式子，直接可求解；（2）由所给的式子发现，第一个式子的分子始终是2，分母是n，第二个式子的分子是n＋4，分母是（n＋1）2－1，结果是，由此可求解. 通过观察找到各式子分母分子之间的规律是解题的关键.

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