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(共36张PPT)
2025年安徽省中考数学一轮复习
梳理基础知识点
第三章　函数及其图象
第三节　反比例函数
1
教材知识精讲
3
典例串讲训练
2
中考真题在线
目录
1
教材知识精讲
知识点
1
反比例函数的概念
一般地，形如y＝（k为常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数.反比例函数自变量x的取值范围是　 　.
x≠0
知识点
2
反比例函数的图象与性质
k的取值范围 k＞0 k＜0
图象
图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 性质 图象分布在第　 　象限 图象分布在第　 　象限
在每一个象限内，y随x的增大而_____ 在每一个象限内，y随x的增大而_____　
反比例函数的图象是　 　图形（对称轴是直线y＝x或y＝－x），也是_________图形（对称中心是　 ） 一、三
二、四
减小
增大
轴对称
中心对称
坐标原点
知识点
3
反比例函数y＝ （ ≠0）中系数 的几何意义
如图，点P（x，y）是反比例函数y＝（k≠0）的图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，B，则矩形OAPB的面积＝OA·OB＝·＝＝，即＝矩形OAPB的面积.
知识点
4
反比例函数表达式的确定
1.用待定系数法
①设：设反比例函数的一般形式为y＝（k≠0）；
②代：将x，y的对应值代入y＝，建立关于k的方程；
③求：解方程求得k的值；
④写：写出反比例函数的表达式.
2.利用k的几何意义
根据图形的面积确定的值，再结合图象所在象限判断　 　，从而确定_______的值，代入得到反比例函数的表达式.
k的正负
k
知识点
5
反比例函数的实际应用
解题 步骤 ①分析实际问题中变量之间的关系；
②建立反比例函数模型；
③用反比例函数的有关知识解答，注意利用反比例函数两变量之积是定值的性质，算出定值
常见的 实际应 用问题 行程问题：速度＝；
工程问题：工作效率＝；
压强问题：压强＝；
电学问题：电阻＝
（续表）
2
中考真题在线
命题点
1
反比例函数表达式的确定
1.（2023·安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C.
（1）k＝　 ；
【解答】（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，
∴OB＝4，OA＝2，∴A（2，0），B（2，2）.
∵C是OB的中点，
∴OC＝BC＝AC＝2.如图，过点C作CP⊥OA于P，易证
△OPC≌△APC（HL），∴OP＝AP＝OA＝.
在Rt△OPC中，PC＝＝1，∴C（，1）.∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，∴1＝，解得k＝；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2－BD2的值为 　.
【解答】（2）设直线AC的表达式为y＝kx＋b（k≠0），则解得
∴直线AC的表达式为y＝－x＋2.∵AC∥BD，∴直线BD的表达式为y＝－x＋4.∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，
∴联立解得当D的坐标为（2＋3，2－）时，BD2＝（2＋3－2）2＋（2－－2）2＝9＋3＝12，∴OB2－BD2＝16－12＝4；当D的坐标为（2－3，2＋）时，BD2＝（2－3－2）2＋（2＋－2）2＝9＋3＝12，∴OB2－BD2＝16－12＝4. 综上，OB2－BD2＝4.
4
2.（2022·安徽）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝的图象经过点B.若OC＝AC，则k＝ 　.
3
命题点
2
反比例函数与一次函数的综合应用
3.（2024·安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（　　）
A.－3 B.－1 C.1 D.3
A
4.（2021·安徽）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（m，2）.
（1）求k，m的值；
【解答】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式中，得2m＝6，∴m＝3，∴A（3，2），
将点A的坐标代入正比例函数表达式中，得2＝3k，∴k＝；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
【解答】 （2）如图：



∴正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围是x＞3或－3＜x＜0.
5.（2020·安徽）如图，一次函数y＝x＋k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为点D，E.当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为　 　.
2
3
典例串讲训练
已知点M（2，a）在反比例函数y＝的图象上，其中a，k为常数，且k＜0，则点M一定在（　　）
　　A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
1.（2024·重庆A）已知点（－3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值为（　　）
A.－3 B.3 C.－6 D.6
C
（2023·天津）若点A（x1，－2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数y＝－的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
　　A.x3＜x2＜x1 B.x2＜x1＜x3
C.x1＜x3＜x2 D.x2＜x3＜x1
D
分别将点A，B，C的坐标代入反比例函数的表达式中求出x2，x3，x1，然后再比较它们的大小即可得出答案.本题也可以通过作出函数图象，然后通过图象直观得出x1，x2，x3之间的大小关系.
2.在反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（　　）
A.k＜0 B.k＞0
C.k＜4 D.k＞4
C
如图，反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝－2x＋m的图象交于点A（－1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C.
（1）求反比例函数y＝与一次函数y＝－2x＋m的表达式；
【解答】（1）∵反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝
－2x＋m的图象交于点A（－1，4），∴4＝，4＝－2×（－1）＋m，
∴k＝－4，m＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝－，一次函数的表达式为y＝－2x＋2；
（2）当OD＝1时，求线段BC的长.
【解答】（2）∵BC⊥y轴于点D，∴BC∥x轴.
∵OD＝1，∴B，C两点的纵坐标为1，
∴B（－4，1），C，
∴BC＝＋4＝.
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a＜0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A（－m，3m），B（4，－3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
【解答】（1）∵点B（4，－3）在反比例函数 y＝ 的图象上，∴－3＝，∴k＝
－12，
∴反比例函数的表达式为 y＝－.
∵A（－m，3m）在反比例函数 y＝－ 的图象上，∴3m＝－，
∴m1＝2，m2＝－2 （舍去），
∴点A的坐标为（－2，6）.
∵点A，B在一次函数y＝ax＋b的图象上，把点 A（－2，6），B（4，－3）分别代入，得解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋3；
（续表）
（2）求△AOB的面积；
【解答】（2）∵点C为直线AB与y轴的交点，∴OC＝3.∴·OC·｜xA｜＋·OC·｜xB｜＝×3×2＋×3×4＝9；
（3）请根据图象直接写出不等式＜ax＋b的解集.
【解答】（3）由图象得，不等式＜ax＋b的解集为x＜－2或0＜x＜4.
（续表）
（2024·宣城模拟）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）.下列说法正确的是（　　）
　　
A.当液体密度ρ≥1 g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20 cm
B.当液体密度ρ＝2 g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40 cm
C.当浸在液体中的高度0＜h≤25 cm时，该液体的密度ρ≥0.8 g/cm3
D.当液体的密度0＜ρ≤1 g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20 cm
C
4.（2024·安徽三模）力F作用于物体，产生的压强P与物体受力面积S之间满足关系式F＝PS，当F一定时，根据表格可以判断a和b的大小关系为（　　）
A.a＞b B.a≥b C.a＜b D.a≤b
S（m2） 5 20 30 40 60
P（Pa） 800 ■ a ■ b
A(共37张PPT)
2025年安徽省中考数学一轮复习
梳理基础知识点
第三章　函数及其图象
第二节　一次函数
1
教材知识精讲
3
典例串讲训练
2
中考真题在线
目录
1
教材知识精讲
知识点
1
一次函数的概念、图象与性质
1.一次函数的概念
一般地，形如y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx（k为常数，且k≠0），此时y叫做x的　 　.
正比例函数
2.一次函数的图象
①一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的图象是　 　直线y＝kx的一条　 　，因此，我们把一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的图象叫做　 　.
②直线y＝kx＋b与y轴交于点　 　，　 叫做直线y＝kx＋b在y轴上的截距，简称 　.
③一次函数的图象的画法：先确定一次函数的图象上两个点的坐标，然后过这两个点画　 　.
平行于
直线
直线y＝kx＋b
（0，b）
b
截距
一条直线
3.一次函数的图象与性质
图 象 与 性 质 图象是经过和（0，b）的一条直线 k＞0 b＞0 经过第一、二、三象限 y随x的增大而增大
b＝0 经过第一、三象限 b＜0 经过第一、三、四象限 图 象 与 性 质 图象是经过和（0，b）的一条直线 k＜0 b＞0 经过第一、二、四象限 y随x的增大而减小
b＝0 经过第二、四象限 b＜0 经过第二、三、四象限 （续表）
知识点
2
一次函数表达式的确定
1.用待定系数法确定一次函数表达式
①待定系数法：先设一次函数表达式为　 　（k，b是待确定的系数），再根据已知条件列出关于k，b的方程组，求得 　， 的值，这种确定表达式系数的方法叫做待定系数法.
②用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：
设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）；
代：将已知条件代入所设函数表达式中，建立关于k，b的方程组；
求：解方程组，求得k，b的值；
写：写出一次函数的表达式.
y＝kx＋b
k
b
2.根据平移规律确定一次函数的表达式
左右平移：将一次函数y＝kx＋b的图象向左（右）平移m（m＞0）个单位，得到直线对应的表达式为y＝k（x＋m）＋b（y＝k（x－m）＋b），即左加右减.
上下平移：将一次函数y＝kx＋b的图象向上（下）平移n（n＞0）个单位，得到直线对应的表达式为y＝kx＋b＋n（y＝kx＋b－n），即上加下减.
（注意与点的坐标的平移规律的区别）
知识点
3
一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式的关系
1.一次函数与一次方程的关系
一般地，一个二元一次方程可以转化成____________________________________的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个　 　，也对应　 　.
2.一次函数与二元一次方程组的关系
二元一次方程组的解是一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象的____________.
一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）
一次函数
一条直线
交点坐标
3.一次函数与一元一次不等式的关系
①不等式kx＋b＞0的解集是一次函数y＝kx＋b的图象位于x轴　 　（y＞0）所对应的x的取值范围.
②不等式kx＋b＜0的解集是一次函数y＝kx＋b的图象位于x轴　 　（y＜0）所对应的x的取值范围.
③不等式ax＋b＞mx＋n的解集是一次函数y1＝ax＋b的图象位于一次函数y2＝mx＋n的图象　 　所对应的x的取值范围.
④不等式ax＋b＜mx＋n的解集是一次函数y1＝ax＋b的图象位于一次函数y2＝mx＋n的图象　 　所对应的x的取值范围.
上方部分
下方部分
上方部分
下方部分
示意图 函数图象交点情况 不等式（组）解集的情况
直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标为p 结合图象，得不等式kx＋b＞0的解集 为x＞p，不等式kx＋b＜0的解集为x＜
p
直线y＝ax＋b与直线y＝mx＋n的交点坐标为（p，q） 结合图象，得不等式ax＋b＞mx＋n的解集为x＞p，不等式ax＋b＜mx＋n的解集为x＜p
4.一次函数的实际应用
一般步骤：
①分析实际问题中变量之间的关系，建立一次函数模型；
②确定实际问题中自变量的取值范围；
③结合方程（组）、不等式和一次函数的图象与性质解决实际问题.
2
中考真题在线
命题点
1
一次函数的图象
1.（2022·安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋a2与y＝a2x＋a的图象可能是（　　）
A B C D
D
命题点
2
一次函数表达式的确定
2.（2020·安徽）已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　）
A.（－1，2） B.（1，－2）
C.（2，3） D.（3，4）
B
命题点
3
一次函数的实际应用
3.（2021·安徽）某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为（　　）
A.23 cm B.24 cm
C.25 cm D.26 cm
B
3
典例串讲训练
（一次函数的图象）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3的图象是（　　）
D
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0 y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限”是解题的关键.
1.（2024·兰州）一次函数y＝2x－3的图象不经过（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.（2024·合肥瑶海区二模）一次函数y＝abx－a和y＝ax－ab（a，b为非零常数）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
B
D
（一次函数的性质）已知一次函数y＝kx＋2（k＜0）图象上两点A
（－2，y1），B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）
A.y1＞y2 B.y1≥y2
C.y1＜y2 D.y1≤y2
A
3.在一次函数y＝（k－2）x＋3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是________
_________（任写一个符合条件的数即可）.
3（答案
不唯一）
（2023·苏州）已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点（1，3）和
（－1，2），则k2－b2＝ 　.
－6
4.在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象，则该一次函数的表达式为（　　）
A.y＝－2x＋3 B.y＝－2x＋6
C.y＝－2x－3 D.y＝－2x－6
B
5.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝－x＋2与
x轴、y轴分别交于点A和点B，直线l2：y＝kx（k≠0）
与直线l1在第一象限交于点C.若∠AOC＝∠OAC，则
不等式－x＋2＞kx的解集为（　　）
A.x＞2　 B.x＜2
C.x＞1　 D.x＜1
B
（续表）
（一次函数的应用）甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示：
（1）当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
【解答】（1）设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
∵直线过（15，0）和（40，300），
∴解得
∴乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝12x－180；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.
【解答】（2）设甲的函数关系式为y＝mx＋n，
将（25，160）和（60，300）代入得，解得∴y＝4x＋60.
联立解得
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米.
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的表达式的运用以及图象的交点坐标的求法是解题的关键.
6.元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是 　.
（32，4800）
7.（2024·广元）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
价格/类别 短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
（续表）
（1）该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
【解答】（1）由题意设购进短款服装x件，购进长款服装y件，
∴解得
答：长款服装购进30件，短款服装购进20件；
（续表）
（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16 800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（续表）
【解答】（2）由题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200－m）件长款服装，
∴80m＋90（200－m）≤16 800，
∴m≥120.
又设利润为w元，则w＝（100－80）m＋（120－90）（200－m）＝－10m＋6 000.
∵－10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝120时，利润w最大，最大为：－10×120＋6 000＝4 800（元）.
答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大销售利润，最大销售利润
是4 800元.
（续表）(共41张PPT)
2025年安徽省中考数学一轮复习
梳理基础知识点
第三章　函数及其图象
第五节　二次函数的实际应用
1
教材知识精讲
3
典例串讲训练
2
中考真题在线
目录
1
教材知识精讲
知识点
1
增长率问题
熟记y＝a（1±x）2，其中a为原始量，x表示　 　，y表示变化的量.
平均增长率（或降低率）
知识点
2
利润问题
单位利润＝单价－进价（成本）；
总销售额＝单价×数量，总成本＝进价×数量；
总利润＝单位利润×　 　＝　 　－总成本.
销售数量
总销售额
知识点
3
抛物线型问题
建立方便求解的平面直角坐标系，结合题意找出抛物线上特殊点的坐标，代入求出抛物线的表达式，再利用二次函数的图象和性质解决实际问题.
知识点
4
几何图形面积问题
利用几何知识，用自变量表示出图形的面积建立二次函数模型，根据二次函数的性质解答即可.
2
中考真题在线
命题点
1
增长率问题
1.（2014·安徽）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝ 　.
a（1＋x）2
命题点
2
销售利润问题
2.（2018·安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元.调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）.
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
【解答】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50＋x）盆，花卉有（50－x）盆，
∴W1＝（50＋x）（160－2x）＝－2x2＋60x＋8 000，W2＝19（50－x）＝－19x＋950；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大？最大总利润是多少？
【解答】（2）根据题意，得：
W＝W1＋W2＝－2x2＋60x＋8 000－19x＋950＝－2x2＋41x＋8 950＝，
∵－2＜0，且x为整数，∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为9 160.
答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9 160元.
命题点
3
几何图形面积问题
3.（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED
和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米.
以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立
平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米.E（0，8）
是抛物线的顶点.
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
【解答】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，∴设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，
将A（－6，2）代入，得（－6）2a＋8＝2，解得a＝－，∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋8；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等.栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上.设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
【解答】（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，－m2＋8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝－m2＋8，P2P3＝2m，∴l＝3（－m2＋8）＋2m＝－m2＋2m＋24＝－（m－2）2＋26，∵－＜0，∴当m＝2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝－m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）现修建一个总长为18米的栅栏，有如图3所示的“ ”型和“ ”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）.
【解答】 （ⅱ）方案一：设P1P2＝n，则P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，此时P1P2＝3，P2P3＝9，令－x2＋8＝3，解得x＝±，∴此时P1的横坐标的取值范围为－＋9≤x≤；
方案二：设P1P2＝n，则P2P3＝＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝
－n2＋9n＝－，∵－1＜0，∴当n＝时，矩形面积有最大值为，此时P1P2＝，P2P3＝，
令－x2＋8＝，解得x＝±，
∴此时点P1的横坐标的取值范围为－≤x≤.
3
典例串讲训练
（销售利润问题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）.经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件.
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
【解答】（1）根据题意得：w＝（x－8）·（24－x）－60＝－x2＋32x－252 .
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件.
①求该产品第一年的售价；
【解答】（2）①∵该产品第一年利润为4万元，
∴4＝－x2＋32x－252，解得x＝16，
答：该产品第一年的售价是16元/件.
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
【解答】②∵第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，
∴解得11≤x≤16，
设第二年利润是ω'万元，
ω'＝（x－6）（24－x）－4＝－x2＋30x－148，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝15，
又11≤x≤16，∴x＝11时，ω'有最小值，最小值为（11－6）×（24－11）－4＝61（万元），
答：第二年的利润最少为61万元.
若销售利润问题中有固定投资（或固定成本），则总利润＝单位利润×销售数量－固定投资（固定成本），根据此数量关系建立函数关系式，再根据二次函数的图象和性质解决实际问题.
1.某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
（1）求y与x之间的函数关系式；
【解答】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
由题意得，解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋60.
（续表）
（2）设销售这种文具每天获利ω（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【解答】（2）ω＝（x－10）（－2x＋60）＝－2x2＋80x－600＝－2（x－20）2＋200，
∵－2＜0，∴抛物线开口向下，
又对称轴为直线x＝20，∴当10≤x≤19时，ω随x的增大而增大，
∴当x＝19时，ω有最大值，ω最大＝198.
答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元.
（续表）
（几何图形面积问题）如图，抛物线过点
O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE
上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上.设B（t，0），
当t＝2时，BC＝4.
（1）求抛物线的函数表达式；
【解答】（1）设抛物线的函数表达式为y＝ax（x－10），
∵当t＝2时，BC＝4，∴点C的坐标为（2，－4），
∴将点C坐标代入表达式得2a（2－10）＝－4，解得a＝，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x；
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
【解答】（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，∴AB＝10－2t.
当x＝t时，点C的纵坐标为t2－t，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB＋BC）＝2［（10－2t）＋（－t2＋t）］＝－t2＋t＋20＝－（t－1）2＋.
∵－＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；
（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离.
【解答】如图，连接AC，BD相交于点P，
连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，
∵t＝2，∴B（2，0），∴A（8，0）.
∵直线GH平分矩形ABCD的面积，
∴直线GH过点P.
由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，∴OC∥GH.
又P，Q分别是AC，OC的中点，
∴PQ∥OA，PQ＝OA.
∴四边形OQPG是平行四边形，
∴PQ＝OG，∴OG＝PQ＝OA＝4，
∴抛物线向右平移的距离是4个单位.
（1）由原点及点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标（2，－4）代入计算可得；（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，据此知AB＝10－2t，再由x＝t时，BC＝t2－t，根据矩形的周长公式列出函数表达式，配方成顶点式即可；（3）连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，根据直线GH平分矩形ABCD的面积，得到直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，又P，Q分别是AC，OC的中点，从而证得四边形OQPG是平行四边形，得到PQ＝OG，求得PQ即可.
（抛物线型问题）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似地看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB＝CD＝27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系，如图所示.经测量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B，D两点的铅直高度差）.
结合上面信息，回答问题：
（1）若以1米为一个单位长度，求点D的坐标和下垂电缆的抛物线表达式；
【解答】（1）由题意得，OA＝40米，AE＝60米，AB＝CD＝27米，AB－DE＝12米，AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴DE＝27－12＝15（米），OE＝60－40＝20（米），∴D（20，－15），
∵CE＝CD－DE＝27－15＝12（米），∴C（20，12）.
∵A（－40，0），O（0，0），∴设下垂电缆的抛物线表达式为y＝ax（x＋40），
将点C的坐标代入，得20a（20＋40）＝12，解得a＝，
∴y＝x（x＋40）＝x2＋x；
（2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患.（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H，G.点G距离坡面的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由.
【解答】（2）这种电缆的架设符合安全要求，理由如下：
由（1）知y＝x2＋x，B（－40，－27），D（20，－15），
设斜坡BD的表达式为y＝kx＋b，
将B，D两点的坐标代入，得解得
∴斜坡BD的表达式为y＝x－19，
则电缆与坡面的铅直高度GH＝x2＋x－x2＋x＋19＝（x＋10）2＋18，
∵＞0，
∴当x＝－10时，GH有最小值18，
∵18＞13.5，
∴这种电缆的架设符合安全要求.
在已知的平面直角坐标系中，将实际问题中的条件转化为点的坐标，求出函数表达式，再利用函数知识解决实际问题，实际问题与函数知识之间的相互转化是顺利解题的关键.
2.如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺
母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，
最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5
米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的
距离AE为（　　）
A.3.2米 B.3米
C.2.8米 D.2.5米
A
3.（2024·合肥模拟）为了丰富学生的课余生活，加强同学们户外锻炼的意识，学校举办了排球赛.如图，已知学校排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.7米的点C向正前方做抛物线运动，当排球运行至离点O的水平距离OE为5米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系.
（续表）
（1）这名队员发球后，当球上升的最大高度为3.7米时，他此次发球是否会过网？请说明理由；
【解答】（1）他此次发球会过网.理由如下：
由题意得，抛物线的顶点坐标为（5，3.7），
则设抛物线的表达式为y＝a（x－5）2＋3.7，
将C（0，1.7）代入表达式，得1.7＝a（0－5）2＋3.7，解得a＝－，
∴y＝－（x－5）2＋3.7.
∵OD＝18，点A为OD中点，∴OA＝9.
将x＝9代入表达式，得y＝－（9－5）2＋3.7＝2.42.
∵2.42＞2.24，∴他此次发球会过网；
（续表）
（2）在（1）的条件下，对方距球网1米的点F处站有一队员，他起跳后够到的最大高度为2.02米，则这次他是否可以拦网成功（假设他够到球一定拦网成功）？请通过计算说明.
【解答】（2）这次他可以拦网成功.理由如下：
OF＝OA＋AF＝9＋1＝10（米）.
将x＝10代入y＝－（x－5）2＋3.7，得y＝1.7，
∵2.02＞1.7，∴他可以拦网成功.
（续表）(共38张PPT)
2025年安徽省中考数学一轮复习
梳理基础知识点
第三章　函数及其图象
第四节　二次函数的图象与
性质
1
教材知识精讲
3
典例串讲训练
2
中考真题在线
目录
1
教材知识精讲
知识点
1
二次函数的概念
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫做x的二次函数，其中　 是自变量.
x
知识点
2
二次函数的图象与性质
1.二次函数的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条　　 .
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）的性质
a的符号 a＞0 a＜0
开口方向 向_____　 向_____　
顶点坐标 对称轴 直线x＝__________ 　上
下
－
抛物线
增 减 性 x＜－ y随x的增大而_______　 y随x的增大而______　
x＞－ y随x的增大而_______ y随x的增大而_______
最值 当x＝－时，y有最______　值，为_________　 当x＝－时，y有最______　值，为_________　
减小
增大
减小
增大
小
大
（续表）
3.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与系数a，b，c的关系
a决定抛物线的开口方向和开口大小 a＞0，抛物线开口_____
a＜0，抛物线开口_____
越大，抛物线的开口______　
越小，抛物线的开口______　
a，b决定抛物线的 对称轴的位置 a，b同号，对称轴在y轴______　
a，b异号，对称轴在y轴______
b＝0，对称轴为_____
向上
向下
越小
越大
左侧
右侧
y轴
c决定抛物线与y轴交点的位置 c＞0，抛物线与y轴交于________　
c＜0，抛物线与y轴交于________　
c＝0，抛物线过_______　
b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0，抛物线与x轴有　 　个交点
b2－4ac＝0，抛物线与x轴有　 　个交点
b2－4ac＜0，抛物线与x轴　 　交点
正半轴
负半轴
原点
2
1
没有
（续表）
知识点
3
二次函数的表达式
1.三种形式：
①一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）；
②顶点式：y＝a（x＋h）2＋k（a≠0），其顶点坐标为　 　；
③交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1，x2是抛物线与　 　轴交点的横坐标.
2.求法：待定系数法.
（－h，k）
x
知识点
4
二次函数图象的平移
1.平移只改变抛物线的顶点位置，而抛物线的形状、开口方向和开口大小______.
2.平移规律：
不变
知识点
5
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与　 　交点的　 　坐标.
2.二次函数与一元二次不等式
①ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象位于x轴
　　对应的点的　 　坐标的取值范围；
②ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象位于x轴
　 　对应的点的　 　坐标的取值范围.
x轴
横
上方部分
横
下方部分
横
2
中考真题在线
命题点
1
二次函数图象的判定
1.（2023·安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为（　　）
A
命题点
2
二次函数的图象与性质
2.（2021·安徽）设抛物线y＝x2＋（a＋1）·x＋a，其中a为实数.
（1）若抛物线经过点（－1，m），则m＝　 　；
（2）将抛物线y＝x2＋（a＋1）x＋a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是　 　.
3.（2019·安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x－a＋1和y＝x2－2ax的图象相交于P，Q两点.若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是　 　.
0
2
a＜－1或a＞1
命题点
3
二次函数性质的综合应用
4.（2024·安徽）已知抛物线y＝－x2＋bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝
－x2＋2x的顶点横坐标大1.
（1）求b的值；
【解答】（1）∵抛物线y＝－x2＋bx的顶点横坐标为，y＝－x2＋2x的顶点横坐标为1，
由题意得－1＝1，解得b＝4；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝－x2＋2x上，点B（x1＋t，y1＋h）在抛物线y＝－x2＋bx上.
（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
【解答】（2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝－x2＋2x上，
∴y1＝－＋2x1，
又点B（x1＋t，y1＋h）在抛物线y＝－x2＋4x上，
∴y1＋h＝－＋4（x1＋t）.
∴－＋2x1＋h＝－＋4（x1＋t），整理得h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t；
（i）∵h＝3t，
∴3t＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，
整理得t（t＋2x1）＝t＋2x1.
又x1≥0，t＞0，∴t＋2x1＞0，
∴t＝1，从而h＝3；
（ⅱ）若x1＝t－1，求h的最大值.
【解答】（ii）将x1＝t－1代人h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，
整理得h＝－3t2＋8t－2，
配方得h＝－3，
∵－3＜0，
∴当t＝，即x1＝时，h取最大值；
5.（2023·安徽）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2.
（1）求a，b的值；
【解答】（1）∵抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2，
∴解得
（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t＋1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E.
（ⅰ）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；
【解答】（2）（i）由（1）得，y＝－x2＋4x，
∴当x＝t时，y＝－t2＋4t.
当x＝t＋1时，y＝－（t＋1）2＋4（t＋1），即y＝－t2＋2t＋3，
∴B（t，－t2＋4t），C（t＋1，－t2＋2t＋3）.
设OA的表达式为y＝kx，将A（3，3）代入，得3＝3k，∴k＝1，
∴OA的表达式为y＝x，
∴D（t，t），E（t＋1，t＋1）；
（i）如图，设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，
则M（t，0），N（t＋1，3），
∴BD·OM＋AN·CE＝（－t2＋4t－t）·
t＋（－t2＋2t＋3－t－1）·（3－t－1）＝（－t3＋3t2）＋
（t3－3t2＋4）＝－t3＋t2＋t3－t2＋2＝2；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由.
【解答】（ii）①当2＜t＜3时，如图，过点D作DH⊥CE于点H，
则H（t＋1，t），BD＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t，CE＝t＋1－
（－t2＋2t＋3）＝t2－t－2，DH＝t＋1－t＝1，
∴S四边形DCEB＝（BD＋CE）·DH，即（－t2＋3t＋t2－
t－2）×1，解得t＝；
②当t＞3时，如图，过点D作DH⊥CE于点H，则BD＝t－（－t2＋4t）＝t2－3t，CE＝t2－t－2，
∴S四边形DBCE＝（BD＋CE）·DH，
即（t2－3t＋t2－t－2）×1，
解得t1＝＋1（舍去），t2＝－＋1（舍去）.
综上所述，t的值为.
3
典例串讲训练
（二次函数的图象与性质）抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x －2 －1 0 1
y 0 4 6 6
根据上表回答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
【解答】（1）由题意得解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋6；
（2）求抛物线的顶点坐标，并指出x取何值时，y取最大值，最大值是什么；
【解答】（2）y＝－x2＋x＋6＝－，∴抛物线的顶点坐标为，
∴当x＝时，y取最大值，最大值为；
（3）求抛物线与x轴的交点；
【解答】令y＝0，则－x2＋x＋6＝0，解得x＝3或x＝－2，∴抛物线与x轴的交点坐标为（－2，0），（3，0）；另解：由表格的对应关系可知，抛物线的对称轴是直线x＝，与x轴的一个交点为（－2，0），∴另一个交点为（3，0）.
（4）若自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－2＜x1＜－1，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
　　A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3
C.y3＜y1＜y2 D.y2＜y3＜y1
C
1.（2024·南通）将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　）
A.（－4，－1） B.（－4，2）
C.（2，1） D.（2，－2）
2.（2024·乐山）已知二次函数y＝x2－2x（－1≤x≤t－1），当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　）
A.0＜t≤2 B.0＜t≤4
C.2≤t≤4 D.t≥2
D
C
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1.下列四个结论：①abc＜0；②a＋b＋c＞0；③2b＋3c＜0；
④不等式ax2＋bx＋c＜－x＋c的解集为0＜x＜2.其中正确结论的个数是（　　）




　　A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4
C
本例中，a决定了抛物线的开口方向和大小，a，b决定了抛物线的对称轴，c决定了抛物线与y轴交点的位置，还要注意抛物线的对称性、增减性和一些特殊点对应的函数值.
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
B
4.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1.若点A的坐标为（－4，0），则下列结论正确的是（　　）

A.2a＋b＝0
B.－4a－2b＋c＞0
C.x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根
D.点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞－1时，y1＜y2＜0
C
（续表）
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A（－3，
0），B（1，0）两点，交y轴于点C.
（1）求抛物线的表达式；
【解答】（1）由抛物线与x轴交于A（－3，0），B（1，0）
两点，
代入抛物线y＝ax2＋bx＋3，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得＝，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】（2）存在.理由如下：
∵A（－3，0），B（1，0），∴AB＝4.
抛物线y＝－x2－2x＋3与y轴交于点C，令x＝0，则y＝3，
∴C点坐标为（0，3），即OC＝3，
∴AB·OC＝×4×3＝6，
∴＝3；
如图，连接BC，作PE∥x轴交BC于E，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B，C两点的坐标代入，得解得
∴直线BC的解析式为y＝－3x＋3.
设点P的横坐标为t，则P（t，－t2－2t＋3），
则点E的横坐标满足－3x＋3＝－t2－2t＋3，解得x＝，
∴E，
∴PE＝－t＝，
∴×3＝3，解得t＝－2或3，
∴点P的坐标为（－2，3）或（3，－12）.(共25张PPT)
2025年安徽省中考数学一轮复习
梳理基础知识点
第三章　函数及其图象
第一节　平面直角坐标系与
函数
1
教材知识精讲
3
典例串讲训练
2
中考真题在线
目录
1
教材知识精讲
知识点
1
平面直角坐标系中点的坐标特点
1.各象限内点的坐标特征
①点P（x，y）在第一象限 　　 ，　　 .
②点P（x，y）在第二象限 　 　，　 　.
③点P（x，y）在第三象限 　 　，　 　.
④点P（x，y）在第四象限 　 　，　 .
2.坐标轴上点的坐标特征
①点P（x，y）在x轴上 y＝0.
②点P（x，y）在y轴上 　 　.
③点P（x，y）在原点 　 　.
x＞0
y＞0
x＜0
y＞0
x＜0
y＜0
x＞0
y＜0
x＝0
x＝0，y＝0
3.各象限角平分线上的点的坐标特征
①点P（x，y）在第一、三象限角平分线上 x＝y.
②点P（x，y）在第二、四象限角平分线上 　 　.
4.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
①平行于x轴的直线上的点的　 　相等.
②平行于y轴的直线上的点的　 　相等.
5.对称点的坐标特征
①点P（x，y）关于x轴的对称点的坐标是 　.
②点P（x，y）关于y轴的对称点的坐标是 .
③点P（x，y）关于原点的对称点的坐标是　 　.
口诀：关于谁轴对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都变号.
x＝－y
纵坐标
横坐标
（x，－y）
（－x，y）
（－x，－y）
6.点的平移的坐标特点
左右平移：只改变横坐标，满足左减右加.
上下平移：只改变纵坐标，满足上加下减.
7.坐标系中的距离公式
①点P（x，y）到x轴的距离是　 ，点P（x，y）到y轴的距离是　 .
②点P（x，y）到原点的距离是　 .
③平行于x轴的直线l上两点P1（x1，y），P2（x2，y）之间的距离是　 ；平行于y轴的直线l上两点P1（x，y1），P2（x，y2）之间的距离是　 .
④坐标平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离是＝
____________________________.
　
知识点
2
函数及其图象
1.函数的相关概念
①变量与常量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量是　 　；　 　的量是　 　.
②函数：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
③函数值：在自变量x的取值范围内，如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为　 　时的函数值.
变量
保持不变
常量
a
2.函数自变量的取值范围
①分式型，如y＝（分母不等于0，即x≠0）.
②二次根式型，如y＝（被开方数大于等于0，即2－x≥0）.
③零指数幂、负整数指数幂，如y＝（x＋2）0，y＝（x－1）－2（底数不等于0，即x＋2≠0，x－1≠0）.
3.函数的表示方法
　 　、　 　、　 　.
解析法
列表法
图象法
4.用描点法画函数图象的一般步骤
①列表：列出自变量x和函数y的一些　 ，制成表格；
②描点：以每组x，y的对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点；
③连线：将以上各点按照自变量由小到大用　 　依次连接起来.
对应值
平滑曲线
2
中考真题在线
命题点
1
由图象获取信息
1.（2022·安徽）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是（　　）



A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
A
命题点
2
分析判断函数的图象
2.（2024·安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高.点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF.设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　）
A
3.（2018·安徽）如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分
别为M，N，MN＝1.正方形ABCD的边长为，对角线AC
在直线l上，且点C位于点M处.将正方形ABCD沿l向右平移，
直到点A与点N重合为止.记点C平移的距离为x，正方形
ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的
函数图象大致为（　　）
A B C D
A
3
典例串讲训练
（平面直角坐标系中点的坐标特点）在平面直角坐标系中，点A
（－2，3），B（a＋1，5－2a），请回答下列问题：
（1）①点A在第　 　象限，点A到x轴的距离是　 　，到y轴的距离是　 　；
②点A关于x轴的对称点的坐标是　 　，关于y轴的对称点的坐标是 　，关于原点对称点的坐标是　 ；
③将点A向右平移4个单位，向下平移4个单位得到点A'，则点A'的坐标是　 　.
二
3
2
（－2，－3）
（2，3）
（2，－3）
（2，－1）
（2）①若点B在第四象限，则a的取值范围是　 　；
②若点B在x轴上，则a的值是　 ；若点B在y轴上，则a的值是　 　；
③若点B在第一、三象限的角平分线上，则a的值是　 ；若点B在第二、四象限的角平分线上，则a的值是　 　；
④若AB∥x轴，则a的值是　 　，AB的长度为　 　；若AB⊥x轴，则a的值是　 　，AB的长度为　 　；
⑤若a＝3，则AB的长度为　 　.
a＞
－1
6
1
4
－3
8
2
1.如果点M（a，b）在第二象限，那么点N（b，－a）在（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
（2024·齐齐哈尔）在函数y＝＋ 中，自变量x的取值范围是_________________.
x＞－3且x≠－2
考查求函数自变量的取值范围，用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义，分母不为0.
2.（2024·黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　.
x≥3
（由实际问题判断函数的图象）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止.设注水时间为t，y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1，y2随时间t变化的函数图象大致为（　　）
C
本题考查函数的图象，圆柱体和长方体的灌水时间与容积之间的关系，底面面积越大，注水相同时间，水面上升的高度越慢.对倾斜程度的意义的理解是解题的关键.
3.如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN.现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M.若移动时间为x，两个机器人之间距离为y.则y与x关系的图象大致是（　　）
D(共16张PPT)
2025年安徽省中考数学一轮复习
梳理基础知识点
第三章　函数及其图象
微专题三　含字母系数的函数问题
类 型 一
函数定点问题
1.对于一次函数恒过定点问题，表达式可化成y－b＝k（x－a）的形式，令x＝a，y＝b，无论k取任何不为0的实数，等式恒成立，函数图象恒过定点（a，b）.
2.对于二次函数恒过定点问题，表达式可化成y＝a（x＋b）2＋c的形式，令x＝
－b，y＝c，无论a取任何不为0的实数，等式恒成立，函数图象恒过定点（－b，c）.
（1）直线y＝（1－2m）x＋m－1，不论m取何值，该直线必定经过（　　）
　　A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（2）抛物线y＝ax2＋3ax－1的对称轴为直线　 　；恒过定点_________和　 　.
D
x＝－
（0，－1）
（－3，－1）
1.已知一次函数y＝kx－k＋1（k≠0）.
（1）无论k取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则这个点的坐标是　 　；
（2）若直线l向下平移2个单位后过点（2，m），且不等式kx－k＋1＜m的解集为x＞5，则k＝　 　.
2.已知抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋b－a（a≠0）.
（1）抛物线经过的定点是　 　；
（2）当a＜0时，若该定点是抛物线的顶点，抛物线上有两点（2，y1），（m，y2），y1＜y2，则m的取值范围是　 　.
（1，1）
－
（－1，0）
－4＜m＜2
类 型 二
二次函数最值问题
1.轴定区间动：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）（a，b，c是定值），在m≤x≤n（m，n均为参数）上的最值问题：当区间在对称轴左侧（右侧），离对称轴越近的点函数值越小；当区间包含对称轴时，在对称轴处取得最小值，再比较区间两端点离对称轴的距离，离对称轴越远的点，函数值越大.
2.轴动区间定：当m≤x≤n（m，n均为定值）时，求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的二次项系数或一次项系数含参时的最值，比较函数图象对称轴与所给x的取值范围的大小，进行分类讨论，方法同上.
（1）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为（　　）
A.－1 B.2 C.0或2 D.－1或2
（2）已知关于x的二次函数y＝－x2＋2tx－1，当－2≤x≤2时，y有最大值2t，则t的值为　 　.
D
－＋1或
3.已知二次函数y＝x2＋2x＋2，当－1≤x≤t时，y有最大值4，则t的值为　 .
4.（2024·威海）已知抛物线y＝x2＋bx＋c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2.
（1）若抛物线y1＝x2＋bx＋c＋1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填“＜”“＝”或“＞”）：
①x1＋x2　　　　x3＋x4，②x1－x3　　　　x2－x4，③x2＋x3　　　　x1＋x4；
－1
【解答】（1）∵y＝x2＋bx＋c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，
∴x1＋x2＝－b，且抛物线开口向上，
∵y1＝x2＋bx＋c＋1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，
即y＝x2＋bx＋c（b＜0）向上平移1个单位，
∴x1＜x3＜x4＜x2，且x3＋x4＝－b，∴①x1＋x2＝x3＋x4，
∵x2－x1＞x4－x3，∴x2－x4＞x1－x3，
即②x1－x3＜x2－x4，∴③x2＋x3＞x1＋x4.
故答案为：＝，＜，＞.
（续表）
（2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；
【解答】（2）∵x1＝1，2＜x2＜3，∴3＜x2＋x1＜4，∴3＜－b＜4，∴－4＜b＜
－3.
（3）当0≤x≤1时，y＝x2＋bx＋c（b＜0）的最大值与最小值的差为，求b的值.
【解答】（3）抛物线y＝x2＋bx＋c（b＜0）的顶点坐标为，对称轴为直线x＝－＞0，
当x＝0时，y＝c；当x＝1时，y＝1＋b＋c，
①当0＜－，即－1≤b＜0时，y在x＝1处取得最大值，在顶点处取得最小值，
则1＋b＋c－，解得b＝－（舍去）或b＝－；
（续表）
②当＜－＜1，即－2＜b＜－1时，y在x＝0处取得最大值，在顶点处取得最小值，
则c－，解得b＝（舍去）或b＝－；
③当－≥1，即b≤－2时，y在x＝0处取得最大值，在x＝1处取得最小值，
则c－（1＋b＋c）＝，解得b＝－（舍去）.
综上，b的值为－或－.
（续表）
类 型 三
二次函数交点问题
1.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，纵坐标为0.
2.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线x＝m交点的横坐标的值是m，纵坐标的值是当x＝m时，对应的y的值.
3.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝m或y＝kx＋b（k≠0）的交点情况，联立抛物线表达式和直线表达式，构成方程组，消去一元（通常消去y）后，得到一个一元二次方程，利用b2－4ac进行判断，当b2－4ac＞0时，抛物线与直线有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与直线有唯一交点；当b2－4ac＜0时，抛物线与直线无交点.
已知抛物线y＝ax2－2x＋1（a≠0）的对称轴为直线x＝1.
（1）求a的值；
【解答】 （1）根据题意可知，抛物线y＝ax2－2x＋1（a≠0）的对称轴为直线：x＝－＝1，∴a＝1；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且－1＜x1＜0，1＜x2＜2.比较y1与y2的大小，并说明理由；
【解答】（2）由（1）可知，抛物线的表达式为：y＝x2－2x＋1＝（x－1）2，∵a＝1＞0，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵－1＜x1＜0，1＜x2＜2，结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，函数值越大，∴y1＞y2；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2－2x＋1交于点A，B，与抛物线y＝3（x－1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比.
【解答】（3）联立y＝m（m＞0）与y＝x2－2x＋1＝（x－1）2，可得A（1＋，m），B（1－，m），∴AB＝2，联立y＝m（m＞0）与y＝3（x－1）2，可得C，D，∴CD＝2×，∴.
5.（2024·长春）若抛物线y＝x2－x＋c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是　 　.
6.已知一次函数y＝－x＋2a＋1的图象与二次函数y＝x2－ax的图象交于M，N两点.
（1）若点M的横坐标为2，则a的值为　 ；
（2）若点M，N均在x轴的上方，则a的取值范围为　 　.
c＞
a＞－

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