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(共11张PPT)
2025年安徽省中考数学
攻克中考重难点
专题二　填空压轴题
类 型 一
几何双空题
例：　（2024·合肥包河区一模）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME，NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B'处，折痕为HG，连接HE.完成下面的探究：
（1）线段DM的长是　 ；
【解答】（1）如图1，作NF⊥CD于F.设DM＝x，则AM＝EM＝10－x，∵DE＝EC，AB＝CD＝8，∴DE＝CD＝4，在Rt△DEM中，DM2＋DE2＝EM2，
即x2＋＝（10－x）2，解得x＝，∴DM＝
（2）tan∠EHG＝　 .
【解答】（2）∵DM＝，∴AM＝EM＝，
∵∠DEM＋∠NEF＝90°，∠NEF＋∠ENF＝90°，
∴∠DEM＝∠ENF，∵∠D＝∠EFN＝90°，
∴△DME∽△FEN，∴，∴，
∴EN＝，∴AN＝EN＝，
∴tan∠AMN＝.如图2，∵ME⊥EN，HG⊥EN，
∴EM//GH，∴∠NME＝∠NHG，
∵∠NME＝∠AMN，∠EHG＝∠NHG，∴∠AMN＝∠EHG，
∴tan∠EHG＝tan∠AMN＝.
1.如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，分别连接BD，CE，延长EC交BD于F.
（1）若∠CBD＝66°，则∠ACE＝　 　°；
（2）连接AF，若AF＝3，DF＝4，则EF的长为　 　.
111
4＋3
2.如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在线段AF上的点P处，延长CP交AD于点Q.
（1）若∠AEP＝40°，则∠EAP＝　 　°；
（2）若AB＝4，则PF的长为　 .
70
类 型 二
函数双空题
例：　（2024·合肥四十二中二模）如图，在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝3.分别以OB，OA所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.F为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E，连接EF.

（1）tan∠EFC＝　 　；
【解答】（1）在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝3，∴A（0，3），B（6，0），C（6，3），∵F为BC边上的一个动点，点E在AC边上，∴点F的横坐标为6，点E的纵坐标为3，∵F，E在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴F，E，∴BF＝，AE＝，
∴CF＝BC－BF＝3－，CE＝AC－AE＝6－，∴tan∠EFC＝＝2；
2
（2）将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，此时k的值为　 .
【解答】（2）如图，过点E作EH⊥OB于点H，则四边形BCEH是矩形，∴CE＝BH，由折叠的性质可知，∠C＝∠EGF＝90°，∠EFC＝∠EFG，∵tan∠EFC＝2，∴tan∠EFG＝＝2，∵∠EGH＋∠GEH＝∠EGH＋∠FGB＝90°，∴∠GEH＝∠FGB，∵∠EHG＝∠GBF＝90°，∴△EHG∽△GBF，
∴，∴＝2，∴GB＝，HG＝，
∵BH＝GB＋HG＝CE，∴，∴k＝.
3.（2024·合肥蜀山区一模）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝a（x－h）2＋k（a＜0）上任意两点.
（1）若对于x1＝1，x2＝5，有y1＝y2，则h＝　 　；
（2）若对于0＜x1＜1，4＜x2＜5，都有y1＞y2，则h的取值范围是　 　.
3
h≤2(共36张PPT)
2025年安徽省中考数学
攻克中考重难点
专题五　几何探究题
类 型 一
类比拓展探究题
例：　在正方形ABCD中，点P从点B出发，沿射线BA运动，连接CP，过点A作AE⊥CP，交射线CP于点E，连接BE.
（1）如图1，当点P在线段AB上时，求证：CE－AE＝BE；
【解答】（1）如图1，过点B作BF⊥BE交EC于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵AE⊥CP，∴∠AEP＝90°＝∠ABC，
又∵∠APE＝∠BPC，∴∠BAE＝∠BCP，
∵BF⊥BE，∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，BE＝BF，∴EF＝BE，
∵CE－CF＝EF，∴CE－AE＝BE；
（2）如图2，当点P在线段BA的延长线上时，探究CE，AE，BE之间满足的关系式，并证明.
【解答】（2）CE＋AE＝BE.证明如下：
如图2，过点B作BF⊥BE，交EC的延长线于点F；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°；
∵AE⊥CP，∴∠AEP＝90°＝∠ABC，
又∵∠APE＝∠BPC，
∴∠BAE＝∠BCF，
∵BF⊥BE，∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，BE＝BF，∴EF＝BE，
∵CE＋CF＝EF，∴CE＋AE＝BE.
1.如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF.
【模型建立】（1）求证：AF⊥BE；
【解答】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，
∵∠ABE＝∠DAF，∴∠AOE＝∠BAF＋∠ABE＝∠BAF＋∠DAF＝∠BAD＝90°，∴AF⊥BE；
（续表）
【模型应用】（2）若AB＝2，AD＝3，DF＝BF，求DE的长；
【解答】（2）如图1，延长AF交CD于点G，
∵GD∥AB，∴△GDF∽△ABF，
∵DF＝BF，AB＝2，AD＝3，∴，
∴GD＝AB＝×2＝1，
∵∠BAE＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAG，
∴＝tan∠ABE＝tan∠DAG＝，
∴AE＝AB＝×2＝，
∴DE＝AD－AE＝3－
（续表）
【模型迁移】（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF＝BF，求的值.
（续表）
【解答】（3）如图2，延长AF交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADH＝90°.
设AB＝AD＝2m，∵HD∥AB，
∴△HDF∽△ABF，
∵DF＝BF，∴，∴HD＝AB＝×2m＝m，
∴AH＝m，
∴AF＝AH＝AH＝m＝m，
∴.
（续表）
类 型 二
图形变换探究题
例：　（2024·山西）综合与探究
【问题情境】如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作
AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F.
【猜想证明】（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由；
【解答】（1）四边形AECF为矩形.理由如下：
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠AFC＋∠ECF＝180°，∠ECF＝180°－∠AFC＝90°，
∴四边形AECF为矩形；
【深入探究】（2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H.
①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N.猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由；
【解答】（2）①CH＝MD.理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵△ABE旋转得到△AHG，
∴AB＝AH，∠B＝∠H，
∴AH＝AD，∠H＝∠D.
∵∠HAM＝∠DAC，
∴△HAM≌△DAC（ASA），∴AM＝AC，
∴AH－AC＝AD－AM，
∴CH＝MD；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点Q.若AB＝5，BE＝4，直接写出四边形AMNQ的面积.
【解答】 ②情况一：如图1，当点G旋转至BA的延长线上时，GH⊥CD.
∵AB＝5，BE＝4，
∴由勾股定理得AE＝3，
∵△ABE旋转得到△AHG，
∴AG＝AE＝3，GH＝BE＝4，∠H＝∠B，
∵GN⊥CD，∴GN＝AE＝3，∴NH＝1，
∵AD∥BC，∴∠GAM＝∠B，
∴tan∠GAM＝tan B，
∴，即，
∴GM＝，∴MH＝.
∵tan H＝tan B，
∴在Rt△QNH中，QN＝，
∴S四边形AMNQ＝S△AMH－S△QNH＝MH·AG－NH·QN＝；
情况二：如图2，当点G旋转至BA上时，GH⊥CD.
同第一种情况的计算思路可得：NH＝7，QN＝，AG＝3，MH＝，
∴S四边形AMNQ＝S△QNH－S△AMH＝NH·QN－MH·AG＝.
综上，四边形AMNQ的面积为.
2.（2024·芜湖三模）已知矩形纸片ABCD，如图1，先将纸片沿AE折叠，使点D与BC边上的点F重合，展开纸片，连接AF，DF，DF与AE相交于点O；如图2，再将纸片继续沿DF折叠，点C的对应点G恰好落在AF上，展开纸片，连接DG，与AE交于点H.
（1）猜想DE和DH的数量关系，并证明你的结论；
【解答】DE＝DH.证明如下：
由第一次折叠知AE⊥DF，OF＝OD，
则∠EOD＝∠HOD＝90°.
由第二次折叠知∠CDF＝∠GDF，
即∠EDO＝∠HDO.又DO＝DO，
∴△DEO≌△DHO（ASA），
∴DE＝DH.
（续表）
（2）已知DE＝5，CE＝4，求tan∠CDF的值和AH的长.
【解答】如图，连接EF.由折叠可知DE＝EF＝5，
∵CE＝4，∴CF＝＝3，CD＝CE＋DE＝9，
∴tan∠CDF＝.
∵DF＝＝3，
∴OD＝DF＝，
∵∠EAD＋∠DEA＝90°，∠CDF＋∠DEA＝90°，∴∠DAE＝∠CDF，
∴tan∠ODH＝tan∠DAE＝tan∠CDF＝，
∴OH＝OD＝，OA＝3OD＝，∴AH＝OA－OH＝4.
（续表）
类 型 三
几何图形与函数相结合探究题
例：　如图，在菱形ABCD中，AB＝10 cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF.点E从点C出发，沿CA方向以每秒2 cm的速度运动至点A处停止.设△BEF的面积为y cm2，点E的运动时间为xs.
（1）求证：BE＝EF；
【解答】（1）证明：设CD与EF相交于点M，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，AB∥CD，
∵∠ABC＝60°，∴∠DCF＝60°，
在△BCE和△DCE中，∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE，
∵∠DMF＝∠DEF＋∠CDE＝∠DCF＋∠CFE，又∠DEF＝∠DCF＝60°，
∴∠CDE＝∠CFE，
∴∠CBE＝∠CFE，∴BE＝EF;
（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
【解答】（2）如图1，过点E作EN⊥BC于点N，则∠ENC＝90°，
∵BE＝EF，∴BF＝2BN，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴BC＝AB＝10 cm，∠ACB＝∠ACD＝60°，即∠ECN＝60°，
∵CE＝2x，∴EN＝CE·sin 60°＝2x·x，CN＝CE·cos 60°＝2x·＝x，
∴BN＝BC－CN＝10－x，
∴BF＝2（10－x），
∴y＝BF·EN＝×2（10－x）×x＝－x2＋10x，
∵0＜2x≤10，∴0＜x≤5，
∴y＝－x2＋10x（0＜x≤5）；
（3）求x为何值时，线段DF的长度最短.
【解答】（3）∵BE＝DE，BE＝EF，∴DE＝EF，
∵∠DEF＝60°，∴△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF＝EF，∴BE＝DF，
∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，
当BE⊥AC时，BE取最短，如图2，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝10 cm，
∵BE⊥AC，∴CE＝AC＝5 cm，
∴x＝，
∴当x＝时，线段DF的长度最短.
类 型 四
几何新定义型探究题
例：　如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
【解答】（1）四边形ABCD是垂美四边形.理由如下：
连接AC，BD，∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交
于点O，AC⊥BD.试证明：AB2＋CD2＝AD2＋BC2；
【解答】（2）证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC
＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，
AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，
∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2 ；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长.　　　
【解答】（3）如图，连接CG，BE，设AB与CE交于点M，BG与CE交于点N，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC＋∠AME＝90°，∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG＋∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得CG2＋BE2＝CB2＋GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2＋BE2－CB2＝73，
∴GE＝.
3.给出一个新的定义：顶角相等且顶角的顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.
探索发现：（1）如图1，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角
形”，AB＝AC，AD＝AE，
则∠BAD　 　∠CAE；（填“＜”“＝”或“＞”）
【解答】（1）∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
故答案为：＝;
＝
迁移应用：（2）如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD，CE交于点F，连接AF，求证：FA平分∠BFE；
（续表）
【解答】（2）证明：如图2，过点A作AG⊥BD于点G，AH⊥CE于点H，
∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，
∵AG⊥BD，AH⊥CE，∴AG＝AH，
∴FA平分∠BFE;
图2
（续表）
拓展延伸：（3）如图3，若△ABC是等边三角形，点D为边BC下方一动点，且满足∠BDC＝120°，连接AD，试探究线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明.
（续表）
【解答】（3）AD＝BD＋CD，证明如下：
如图3，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD＋∠ACD＝360°－∠BDC－∠BAC＝360°－120°－60°＝180°，
∵∠ACE＋∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
图3
（续表）
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE；
∵∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝60°，
∴∠DAC＋∠CAE＝60°，
即∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝CE＋CD＝BD＋CD.
（续表）(共31张PPT)
2025年安徽省中考数学
攻克中考重难点
专题四　二次函数性质综合题
类 型 一
二次函数与线段有关的问题
例：　（2024·合肥庐阳区二模）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三点，点D是二次函数图象上一点，点D的横坐标是m，直线x＝m与x轴交于点E，且0＜m＜3.
（1）求二次函数的表达式；
【解答】（1）∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三点，
∴y＝a（x＋1）（x－3），代入C（0，－3）得－3＝－3a，解得a＝1，
∴y＝（x＋1）（x－3），
∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－3；
（2）过点D作DG⊥直线x＝m于点G，作DF⊥x轴于点F，并交BC于点H.
①当m＝时，求DH的长；
【解答】（2） ①∵B（3，0），C（0，－3），
∴直线BC的表达式为y＝x－3，
当m＝时，则D，H，
∴DH＝－
②是否存在点D，使DG＋DH最大？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】②存在点D，使DG＋DH最大，理由如下：
由题意可知D（m，m2－2m－3），H（m，m－3），G，
∴DG＝m，DH＝m－3－（m2－2m－3）＝－m2＋3m，
∴DG＋DH＝－m2＋m＝－，
∵－1＜0，∴当m＝时，DG＋DH有最大值，∴D.
1.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋4与抛物线y＝－x2＋bx＋c（b，c是常数）交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，设抛物线与x轴的另一个交点为点C.
（1）求该抛物线的表达式；
【解答】（1）直线y＝x＋4与坐标轴交于A，B两点，
当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝－4，
∴点A（－4，0），B（0，4），
把A，B两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c中，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋4；
（续表）
（2）如图2，点P是抛物线上一动点（不与点A，B重合），
若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D.
①当点D为线段AB中点时，求P点坐标；
（续表）
【解答】（2）①∵A（－4.0），B（0，4），点D为线段AB中点，
∴点D（－2，2）.设OD所在直线的表达式为y＝kx，
将D（－2，2）代入得k＝－1，
∴直线OD的表达式为y＝－x，
联立
解得（舍去）
∴点P的坐标为（－2，2）；
（续表）
②过点P作PF∥BO交AB于点F，求PF的最大值.
【解答】②点P在y＝－x2－x＋4上，点F在y＝x＋4上，PF∥BO，
设点P，其中－4＜x＜0，则点F（x，x＋4），
∴PF＝－x2－x＋4－（x＋4）＝－（x＋2）2＋2，
∵－＜0且对称轴是直线x＝－2，
∴当x＝－2时，PF有最大值为2.
（续表）
类 型 二
二次函数与面积有关的问题
例：　已知二次函数y＝ax2－4x＋c（a≠0）的图象经过
点（－2，6）和（3，－24）.
（1）求这个二次函数的表达式；
【解答】（1）由二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点（－2，6）和（3，
－24），得解得∴这个二次函数的表达式为y＝
－2x2－4x＋6；
（2）如图，若该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D.
①试确定直线AD的函数表达式；
【解答】（2）①当y＝0，即－2x2－4x＋6＝0时，解得x＝－3或x＝1.∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为（－3，0），点B的坐标为（1，0），
当x＝0时，y＝6，∴点D的坐标为（0，6）.
设直线AD的函数表达式为y＝kx＋b.把点A，D的坐标代入，得解得
∴直线AD的函数表达式是y＝2x＋6；
②若P是落在第二象限内抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积S的最大值.
【解答】②设点P的坐标为（m，－2m2－4m＋6）（－3＜m＜0），连接OP（图略）.
S＝×6×｜m｜＋×｜－3｜·（－2m2－4m＋6）－×6×3＝－3m2－9m＝－3，∴当m＝－时，S有最大值，最大值为.
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0）和点B，与y轴交于点C（0，－3）.
（1）求b，c的值；
【解答】（1）将A（－3，0），C（0，－3）代入y＝x2＋bx＋c，得
解得
（续表）
（2）若－4≤x≤m时，－4≤y≤5，求m的取值范围；
【解答】（2）∵b＝2，c＝－3，
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，
则顶点坐标为（－1，－4），
当y＝5时，即（x＋1）2－4＝5，
解得x1＝－4，x2＝2，
∵－4≤x≤m，－4≤y≤5，且抛物线开口向上，
∴－1≤m≤2；
（续表）
（3）若P是抛物线在第三象限上的一点，BP与线段AC相交于点D.设△APD的面积为S1，△BCD的面积为S2，当BP平分四边形ABCP的面积时，求S2－S1的值.
【解答】（3）由（2）知y＝x2＋2x－3，
如图，分别过点A，C作BP的垂线，垂足为E，F，则AE∥CF，∴∠AED＝∠CFD＝90°，又∠ADE＝∠CDF，
∴△AED∽△CFD，∴，
∵BP平分四边形ABCP的面积，
∴AE＝CF，∴AD＝CD，
∵A（－3，0），C（0，－3），
∴D，
（续表）
由（2）得B（1，0），
设直线BD的表达式为y＝kx＋d（k≠0），
将点B，D的坐标代入，得
解得∴直线BD的表达式为y＝x－，
令x2＋2x－3＝x－，
解得x1＝1（舍去），x2＝－，
（续表）
将x＝－代入y＝x－，得y＝－，∴点P的坐标为，
∴S2－S1＝（S△BCD＋S△ABD）－（S△APD＋S△ABD）＝S△ABC－S△ABP＝×（1＋3）×3－×（1＋3）×.
（续表）
类 型 三
二次函数与图象变化有关的问题
例：　（2024·合肥包河区一模）如图1，点A的坐标为（4，0），抛物线M1：y＝ax2＋bx（a≠0）过点A，点B为第四象限内抛物线上一点，其纵坐标为－6，tan∠OAB＝2.
（1）求抛物线M1的表达式；
【解答】（1）设AB交y轴于点M，
∵点A的坐标为（4，0），∴OA＝4，
∵tan∠OAB＝＝2，∴OM＝2OA＝8，∴点M的坐标为（0，－8），
则易得直线AB的表达式为y＝2x－8，
∵点B的纵坐标为－6，
将y＝－6代入y＝2x－8得x＝1，
∴点B的坐标为（1，－6），
将A，B两点的坐标代入y＝ax2＋bx中，
得解得
∴抛物线M1的表达式为y＝2x2－8x；
（2）点C为直线AB下方的抛物线上一动点，过点C作CD∥x轴交直线AB于点D，设点C的横坐标为h，当CD取最大值时，求h的值；
【解答】（2）∵点C在抛物线y＝2x2－8x上，点C的横坐标为h，∴C（h，2h2－8h），
∵CD∥x轴，∴点D的纵坐标为2h2－8h，
将y＝2h2－8h代入y＝2x－8得x＝h2－4h＋4，
∴点D（h2－4h＋4，2h2－8h），
∴CD＝h－（h2－4h＋4）＝－h2＋5h－4＝－，
∴CD取最大值时，h＝；
（3）如图2，点E（0，－4），连接AE，将抛物线M1的图象向上平移m（m＞1）个单位得到抛物线M2，当≤x≤时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，直接写出m的取值范围.
【解答】（3）由题意得，平移后的抛物线的表达式为y＝2x2－8x＋m，
易得直线AE的表达式为y＝x－4，
当x＝时，y＝x－4＝－4＝－，y＝2x2－8x＋m＝2×－8×＋m＝m－，
当x＝时，y＝x－4＝－4＝－，y＝2x2－8x＋m＝2×－8×＋m＝m－，
当抛物线与直线AE有两个交点时，
联立
整理得2x2－9x＋m＋4＝0，
∴Δ＝81－8（4＋m）＞0，解得m＜，
∵两个交点的横坐标满足≤x≤，则需满足解得m≥6，
∴m的取值范围为6≤m＜.
3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点.
（1）求抛物线的函数表达式；
【解答】（1）将A，B两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋3；
（2）记抛物线与y轴交于C，过线段AC上一点D作DE⊥x轴于E，ED的延长线交抛物线于F，若DF＝2，求的值；
【解答】（2） ∵A（－3，0），C（0，3），易得直线AC的函数表达式为y＝x＋3.
设D（d，d＋3），－3＜d＜0，
则F（d，－d2－2d＋3），
∴DF＝－d2－2d＋3－（d＋3）＝－d2－3d.
∵DF＝2，∴－d2－3d＝2，
解得d＝－1或d＝－2，
当d＝－1时，＝1，
当d＝－2时，；
（续表）
（3）将该抛物线向下平移，使得平移后的抛物线的顶点M恰好在线段AC上，设原抛物线上一点P平移后的对应点为Q，若OP＝OQ，求点Q的坐标.
【解答】（3）将抛物线y＝－x2－2x＋3配方得y＝－（x＋1）2＋4，
设其向下平移h个单位后的抛物线为y＝－（x＋1）2＋4－h，
∵平移后的抛物线的顶点N（－1，4－h）在直线AC上，
∴4－h＝－1＋3，解得h＝2，
∴平移后抛物线的函数表达式为y＝－（x＋1）2＋2.
∵OP＝OQ，
∴点O在PQ的垂直平分线上，
（续表）
又PQ∥y轴，
∴点Q与点P关于x轴对称，
∴点Q的纵坐标为－1，
令－（x＋1）2＋2＝－1，解得x1＝－1，x2＝－－1，
∴点Q的坐标为（－1，－1）或（－－1，－1）.
（续表）(共23张PPT)
2025年安徽省中考数学
攻克中考重难点
专题三　二次函数的实际应用
类 型 一
销售利润问题
例：　“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒.根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售量为p盒.
（1）当x＝60时，p＝　 　；
【解答】（1）由题意得，p＝500－10（x－50）＝－10x＋1 000，即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是p＝－10x＋1 000，
当x＝60时，p＝－10×60＋1 000＝400，
故答案为：400；
400
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
【解答】（2）由题意得，W＝（x－40）（－10x＋1 000）＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10（x－70）2＋9 000，由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
∴
解得50≤x≤65.
∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8 750.
答：当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是8 750元；
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”小红说：“当日销售利润不低于8 000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.
【解答】（3）小强：∵50≤x≤65，设日销售额为y元，
y＝x·p＝x（－10x＋1 000）＝－10x2＋1 000x＝－10（x－50）2＋25 000.
当x＝50时，y值最大，此时y＝25 000，
∵当x＝65时，W值最大，此时W＝8750，∴小强的说法正确；
小红：当日销售利润不低于8 000元时，即W≥8 000，
∴－10（x－70）2＋9 000≥8 000，
解得60≤x≤80.
∵50≤x≤65，∴当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65.
故小红的说法错误，当日销售利润不低于8 000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤65.
1.根据以下素材，完成探究学习任务.
如何为商家设计利润最大化的销售方案？ 素材1 某商家销售一种水果，成本价为10元/斤.
素材2 销售价不低于成本价，且物价部门规定该商品的销售价不得高于成本价的2倍.
素材3 在销售过程中发现，每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）满足如图所示的一次函数关系：
问题解决 任务1 模型建立 求每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）的函数关系式；
任务2 拟定利润最大化的销售方案 当该水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
（续表）
【解答】任务1：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
∵点（15，200），（20，160）在y＝kx＋b（k≠0）的图象上，
∴解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－8x＋320（10≤x≤20）；
任务2：设商家获得的利润为W元，
根据题意得：W＝（x－10）y＝（x－10）·（－8x＋320）＝－8（x－25）2＋
1 800，
∵－8＜0，抛物线的对称轴为直线x＝25，
∴当10≤x≤20时，W随x的增大而增大，
（续表）
∴当x＝20时，W取得最大值，最大值为y＝－8×（20－25）2＋1 800＝
1 600（元），
∴当该水果的销售单价为20元/斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是
1 600元.
（续表）
类 型 二
抛物线型问题
例：　消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面2 m，距离原点的水平距离为6 m，着火点A距离点B的水平距离为10 m，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为y＝－x2＋bx＋c（其中b，c为常数）.
（1）写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式；
【解答】（1） ∵消防车上的喷水口B高出地面2 m，距离原点的水平距离为6 m，∴点B为（－6，2）.
∵抛物线L的表达式为y＝－x2＋bx＋c经过点（－6，2），
∴2＝－×（－6）2－6b＋c，
整理得c＝6b＋11；
（2）若着火点A高出地面3 m，
①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的表达式，并求它的对称轴；
【解答】（2）①∵着火点A距离点B的水平距离为10 m，着火点A高出地面3 m，点B的坐标为（－6，2），∴－6＋10＝4，∴A（4，3），
由（1）得c＝6b＋11，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋bx＋6b＋11，∵水流恰好经过着火点A，将其代入得3＝－×42＋4b＋6b＋11，解得b＝－，∴c＝，
∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋，
其对称轴为x＝－＝－
②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离1 m的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值.
【解答】 ② ∵消防员对距着火点A水平距离1 m的范围内继续进行喷水，A（4，3），
∴当抛物线经过点（3，3）时，3＝－×32＋3b＋6b＋11，解得b＝－；
当抛物线经过点（5，3）时，3＝－×52＋5b＋6b＋11，解得b＝－；综上，
－≤b≤－，∵c＝6b＋11，6＞0，∴c随b的增大而增大，∴当b＝－时，c＝6×＋11＝，∴c的最小值为.
2.（2024·陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2 m.（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
【解答】（1）∵AO＝17 m，∴A（0，17）.
又OC＝100 m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2 m，∴抛物线的顶点P为（50，2）.故可设抛物线为y＝a（x－50）2＋2.将A点坐标代入抛物线可得，
2 500a＋2＝17，解得a＝，
∴缆索L1所在抛物线的表达式为y＝（x－50）2＋2；
（续表）
（2）点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长.
【解答】（2）∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，又缆索L1所在抛物线的表达式为y＝（x－50）2＋2，∴缆索L2所在抛物线的表达式为y＝（x＋50）2＋2.
令y＝2.6，得2.6＝（x＋50）2＋2，解得x＝－40或x＝－60.又FO＜OD＝
50 m，∴x＝－40，∴FO的长为40 m.
（续表）
类 型 三
几何图形面积问题
例：　如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y.
（1）求y关于x的函数表达式；
【解答】（1）∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，AE＝DH＝x，BE＝AH＝4－x，∠A＝∠D＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，
∴∠AHE＋∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∴y＝AE2＋AH2＝x2＋（4－x）2＝2x2－8x＋16；
（2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？
【解答】（2）当y＝10时，即2x2－8x＋16＝10，解得x＝1或x＝3，
答：当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10；
（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
【解答】（3）∵y＝2x2－8x＋16＝2（x－2）2＋8，
∵2＞0，0＜x＜4，
∴抛物线开口向上，有最小值，
∴当x＝2时，四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8.
3.植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6 m的墙，现准备用20 m的篱笆围一间矩形花圃，小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长.
（1）按图甲的方案，设BC的长为x m，矩形ABCD的面积为y m2.
①求y与x之间的函数关系式；
【解答】（1）①设BC的长是x m，
则AB＝（20－x）＝m，
根据题意，得y＝x＝－x2＋10x，
∵墙长为6米，∴0＜x≤6，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－x2＋10x（0＜x≤6）；
（续表）
②求矩形ABCD的面积y（m2）的最大值.
【解答】②y＝－x2＋10x＝－（x－10）2＋50，
∵－＜0，∴当x＜10时，y随x的增大而增大，
∵0＜x≤6，∴当x＝6时，y有最大值，最大值为42 m2.
答：矩形ABCD的面积的最大值为42 m2.
（续表）
（2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大面积是多少？
【解答】（2）按乙方案：设BC的长是n米，矩形花圃的最大面积是S平方米，
则AB＝[20－n－（n－6）]＝（13－n）m，
根据题意得，S＝n（13－n）＝－（n－）2＋，
∵13－n＞0，∴n＜13，
∵－1＜0，6＜n＜13，
∴当n＝时，S有最大值，最大值为，
∵42＜，∴按图乙的方案施工，围成的矩形花圃的面积最大，最大面积是
m2.
（续表）(共14张PPT)
2025年安徽省中考数学
攻克中考重难点
专题一　选择压轴题
类 型 一
几何最值问题
例：　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC边上的动点，则2AD＋DC的最小值是（　　）

A.6 B.8
C.10 D.12
D
【解答】如图，过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD.在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DF＝DC，∵2AD＋DC＝2（AD＋DC）＝2（AD＋DF），∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD＋DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝4，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，∴BC＝8，∴DC＝BC－BD＝4，∴2AD＋DC＝2×4＋4＝12，∴2AD＋DC的最小值为12.故选D.
1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE＝1，F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接DG，则DG的最小值为（　　）

A. B.4 C.2 D.
A
2.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝4，CD＝3，点P为直线BC左侧平面上一点，△BCP的面积为2，则｜PA－PC｜的最大值为（　　）

A.4 B.4
C.5 D.5
C
（续表）
3. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝9，以点A为圆心、6为半径的圆上有一个动点P.连接AP，BP，CP，则BP＋CP的最小值是（　　）

A. 3 B.
C. D. 2＋3
B
（续表）
类 型 二
多结论判断题
例：　如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝DC＝10，A是斜边BD的中点，E是BC上一点，满足CE＝8，连接DE，AC交于点P，过C作CQ⊥DE交BD于点Q，交DE于点F.下列结论错误的是（　　）

A.AP＝AQ B.∠FCE＝∠PDC
C.＝5 D.AC＝9AQ
C
【解答】对于A，∵∠BCD＝90°，BC＝DC，A是斜边BD的中点，∴AD＝AC＝AB，∴∠CAD＝90°，∵CQ⊥DE，∴∠CFP＝90°，又∵∠APD＝∠CPF，∴∠ADP＝∠PCF，又∵∠PAD＝∠CAQ＝90°，∴△APD≌△AQC（ASA），∴AP＝AQ，故A正确；对于B，∵∠ACB＝∠CDA＝45°，∠ADP＝∠ACQ，∴∠ACB－∠ACQ＝∠CDA－∠ADP，即∠FCE＝∠PDC，故B正确；对于C，∵AD＝AC＝AB，∴S△BCD＝×10×10＝25，故C错误；对于D，如图，取DE的中点H，连接AH，∵CE＝8，∴BE＝2，
∵A为BD的中点，H为DE的中点，∴BE∥AH，AH＝BE＝1，
∴△AHP∽△CEP，∴，∴，又∵AP＝AQ，
∴AC＝9AQ.故D正确.故选C.
4.如图，连接四边形ABCD的对角线AC，BD，BD⊥AD，BC⊥CD，AB＝2AD，BC＝CD，E为AB的中点，EF⊥CD于点F，交AC于点G，CE交BD于点H.下列结论错误的是（　　）
A.CE垂直平分BD
B.＝
C.sin ∠ABC＝
D.tan∠ACB＝＋1
D
5. （2024·芜湖鸠江区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E，F分别在AD，CD上，且BC＝2CF，连接BE，BF，∠EBF＝∠ABC，连接AC交BE于点M，交BF于点N，则下列结论中错误的是（　　）
A. ∠BEA＋∠BFC＝135°
B. CA⊥BF
C. BN＝AB
D. AE＝AD
D
（续表）
类 型 三
根据动态几何问题判断函数图象
例：　如图，△ABC中，AB＝AC＝8 cm，∠BAC＝120°，直线l经过点B且直线l⊥BC，直线l从点B出发以2 cm/s的速度沿BC向右匀速移动，直到直线l经过点C时停止移动.移动过程中，直线l交BC于点M，交AB或AC于点N，设△BMN的面积为S（cm2），直线l的运动时间为t（s），则下列最能反映S与t之间函数关系的图象是（　　）
C
【解答】过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝8 cm，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，∴AD＝AB＝4 cm，∴BD＝＝4（cm），∴BC＝8（cm），分两种情况：当0＜t≤2时，∵∠B＝30°，∴BN＝2MN，由题意，得BM＝2t，则由勾股定理得（2MN）2＝MN2＋（2t）2，∴MN＝2t，∴S＝×2t×2t＝2t2，∴该部分函数图象是抛物线位于y轴右侧的一部分，抛物线的开口向上；当2＜t≤4时，∵∠C＝30°，∴CN＝2MN，由题意，得BM＝2t，∴CM＝BC－BM＝8－2t，则由勾股定理得（2MN）2＝MN2＋（8－2t）2，∴MN＝8－2t，∴S＝×2t×（8－2t）＝－2（t－2）2＋8，∴该部分函数图象是抛物线位于对称轴x＝2的右侧的一部分，抛物线的开口向下.观察图象可知选C.
6.如图1，正方形ABCD中，点E是边AD的中点，点P以1 cm/s的速度从点A出发，沿A→B→C运动到点C后，再沿线段CA到达点A.图2是点P运动时，△PEC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的部分图象.根据图象判断：下列能表示点P在整个运动过程中y随x变化的完整图象为（　　）
A

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