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湖南省长沙市长郡中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量 = (2, , 1)， = ( 2,1,2)，若 与 垂直，则| |等于( )
A. √ 5 B. √ 7 C. 3 D. √ 41
2.若椭圆焦点在 轴上且椭圆经过点(0,3)， = 2，则该椭圆的标准方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
9 4 13 9 4 9 9 13
3.已知可导函数 ( )的部分图象如图所示， (2) = 0， ′( )为函数 ( )的导函
数，下列结论不一定成立的是( )
A. ′(1) < (1)
B. ′(5) < (5)
C. ′(2) = (2)
D. ′(3) < ′(4) < ′(5)
4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太
极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，

已知点 ( , )是阴影部分(包括边界)的动点，则 的最小值为( )
2
2
A.
3
3
B.
2
4
C.
3
D. 1
5.甲、乙、丙、丁4名同学去 ， ， 三个工厂做志愿者，每人只去一个工厂，每个工厂都要有人去.若甲不
去 工厂，乙不去 工厂，则不同的分配方式共有( )
A. 12种 B. 17种 C. 21种 D. 24种
6.已知数列{ }为等差数列，{ }为等比数列， 5 = 5 = 6，则( )
A. 4 6 ≥ 4 6 B. 4 + 6 ≥ 4 + 6 C. 4 6 ≤ 4 6 D. 4 + 6 ≤ 4 + 6
2 2
7.如图，双曲线 ： 2 = 1( > 0)的左、右焦点分别为 4 1
， 2， 是 上
位于第一象限内的一点，且直线 2 与 轴的正半轴交于点 ，△ 1的内切
圆在边 1上的切点为 ，若| | = 2，则双曲线 的离心率为( )
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√ 5
A.
2
B. √ 5
C. √ 3
D. √ 2

8.已知函数 ( ) = ( + 2) + ，若存在 ， ∈ [0, ]( ≠ )，使得| ( ) ( )| = | 1 21 2 2 1 2 1 2
|
成立，则实数 的取值范围是( )
1 1
A. (0, ) B. ( , 1) C. (0,2) D. (1,2)
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{ }的首项为1，前 项和为 ，且 +1 = 2 ，则( )
A. 数列{ }是等比数列 B. { }是等比数列
( 1)
C. 5 = 81 D. 数列{log3 }的前 项和为 2
10.已知圆 1：( + 2)
2 + 2 = 1，圆 2：( + 1)
2 + 2 = 1，圆 3：( 1)
2 + 2 = 16，圆 4：( 2)
2 +
2 = 4，直线 ： = 2，则( )
A. 与圆 1， 4都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支
B. 与圆 2外切、 3内切的圆的圆心轨迹是椭圆
C. 过点 1且与直线 相切的圆的圆心轨迹是抛物线
D. 与圆 1， 2都外切的圆的圆心轨迹是一条直线
11.设曲线 ： 2 + 2 = | | + | |，则( )
A. 曲线 关于直线 = 对称 B. 曲线 的周长为√ 2
C. 曲线 围成的图形的面积大于5 D. 曲线 上的两点之间距离不大于2√ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在( 2)6的二项展开式中， 3项的系数为______．
1
13.已知曲线 = 与直线 = + 4( ∈ )相切，则 = ______．

14.已知 为坐标原点，过 (1,0)作 轴的垂线交直线 = 于点 ， 满足 = 2 ，过 作 轴的平行线交
： 2 = 于点 ( 在 的右侧)，若∠ = 3∠ ，则sin∠ = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知函数 ( ) = 3 + 2 3 ( ∈ )在 = 3处取得极值．
3
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(1)求实数 的值；
(2)求函数 ( )在区间[ 3,3]上的最大值．
16.(本小题15分)
1
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ，∠ = 90°， = = = 2， 为棱 的
2
中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若∠ = 60°，求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，点 (4, )在抛物线 上，且| | = 5．
(1)求抛物线 的方程，并求 的值；
(2)过焦点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，若点 ( 1,2)满足∠ = 90°，求直线 的方程．
18.(本小题17分)
设函数 ( ) = (1 + ) 1， ∈ ．
(1)求 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(2)判断 = ( )在区间[0,2 ]上的零点个数，并说明理由；

(3)若实数 满足 ∈ [0, ]， ( ) ≤ + 2，求实数 的取值范围．
6
19.(本小题17分)
卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用.一般地，对无穷数列{ }，{ }，定义无穷
数列 = ∑

=1 +1 ( ∈ )，记作{ } { } = { }，称为{ }与{ }的卷积.卷积运算有如图所示的
直观含义，即{ }中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{ } { } =
{ } { }.
(1)若 = ， = 3

，{ } { } = { }，求 1， 2， 3， 4；
(2)对 ∈ ，定义 { }如下：①当 = 1时， { } = { }；②当 ≥ 2时， { }为满足通项
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0, < , ( )
= { 的数列{ }，即将{ }的每一项向后平移( 1)项，前( 1)项都取为0.试找到数列{ }， +1 , ≥
( )
使得{ } { } = { }；
(3)若 = ，{ } { } = { }，证明：当 ≥ 3时， = 2 1 + 2．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 160
13.【答案】 2
1
14.【答案】
4
15.【答案】解：(1)由题意可得 ′( ) = 2 + 2 3，因为 ( )在 = 3处取得极值，
所以 ′( 3) = 0，即( 3)2 + 2 × ( 3) 3 = 0，解得 = 1，
经检验，当 = 1时， ( )在 = 3处取得极值，故 = 1．
1
(2)由(1)得 ( ) = 3 + 2 3 ，则 ′( ) = 2 + 2 3，
3
由 ′( ) > 0，得 > 1或 < 3；由 ′( ) < 0，得 3 < < 1．
故 ( )的单调递增区间为( ∞, 3)，(1,+∞)，单调递减区间为( 3,1)．
所以 ( )在区间[ 3,3]上的单调递增区间为(1,3)，单调递减区间为( 3,1)
又 ( 3) = 9， (3) = 9，所以函数 ( )在区间[ 3,3]上的最大值为9．
1
16.【答案】(1)证明：因为 // ， = = 2，且 为棱 的中点，
2
所以 // ， = ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
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所以 //平面 ．
(2)解：因为 ⊥平面 ，且 平面 ，
所以 ⊥ ，
又∠ = 60°， = 4，所以 = 4√ 3，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,0,4√ 3)， (4,2,0)， (2,0,0)，
所以 = (0,0,4√ 3)， = (2,2,0)， = ( 2,0,4√ 3)，
= 2 + 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
= 2 + 4√ 3 = 0
令 = 1，则 = 2√ 3， = 2√ 3，所以 = (2√ 3, 2√ 3, 1)，
| | 4√ 3 1
设直线 与平面 所成角为 ，则 = |cos < ， > | = = = ，
| | | | 4√ 3×√ 12+12+1 5
1
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
5

17.【答案】解：(1)抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的准线方程为 = ，
2
因为点 (4, )在抛物线 上，且| | = 5，

所以| | = 4 + = 5，
2
解得 = 2，
所以抛物线 的方程为 2 = 4 ，
又因为点 (4, )在抛物线 上，
所以 2 = 16，
即 = ±4．
(2)由(1)可知抛物线的焦点 (1,0)，
显然直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 1
由{ 2 ， = 4
消去 整理得 2 4 4 = 0，
所以 = 16 2 + 16 > 0，
则 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4，
所以 + = ( + ) + 2 = 4 21 2 1 2 + 2， 1 2 = ( 1 + 1)( 2 + 1) =
2 1 2 + ( 1 + 2) + 1 = 1，
又 ( 1,2)，
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所以 = ( 1 + 1, 1 2)， = ( 2 + 1, 2 2)，
因为∠ = 90°，
所以 = ( 1 + 1)( 2 + 1) + ( 1 2)( 2 2) = 0，
即 1 2 + ( 1 + 2) + 1 + 1 2 2( 1 + 2) + 4 = 0，
即1 + 4 2 + 2 + 1 4 8 + 4 = 0，
解得 = 1，
所以直线 的方程为 = + 1，
即 1 = 0．
1
18.【答案】解：(1) ( ) = + 1 = + 2 1，
2
则 ′( ) = + 2 ，∴ ′(0) = 1，又 (0) = 0，
∴ = ( )在点(0, (0))处的切线方程为 = ．
(2) ( )有3个零点，理由如下：
′( ) = + 2 = + 1 2 2 = (1 2 )( + 1)，

∈ (0, )时， ′( ) > 0， = ( )单调递增，
6
5
∈ ( , )时， ′( ) < 0， = ( )单调递减，
6 6
5
∈ ( , 2 )时， ′( ) > 0， = ( )单调递增，
6
1 3√ 3
∵ (0) = 0， ( ) = cos + sin 1 = 1 > 0，
6 6 2 3 4
5 5 1 5 √ 3 √ 3
( ) = cos + sin 1 = 1 < 0，
6 6 2 3 2 4
5
由零点存在定理， ∈ ( , )时， = ( )有一个零点，
6 6
又 (2 ) = 0，∴ = ( )在区间[0,2 ]上有3个零点．
1
(3)设 ( ) = + 2 ( ) = + 2 (1 + ) + 1 = + 2 2 + 1, (0) = 0，
2
则 ′( ) = 1 + 2 + 2 ， ′(0) = 0，
令 ( ) = ′( )， ′( ) = 2 + + 2 2 ， ′(0) = 2 + 1，
1
当 < 时，则存在 0 > 0使 ′( ) < 0， ∈ (0, )，即 ′( )在区间(0, 0)上单调递减， 2
∴ ′( ) < ′(0) = 0，即 ( )在区间(0, 0)上单调递减，
∴ ( ) < (0) = 0，不合题意；
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1
当 ≥ 时，令 ( ) = ′( )， ′( ) = + 4 2 = + 4(1 2 2 ) = 8 2 + 4，
2
1 1 1 3
又0 ≤ ≤ ，则0 ≤ ≤ ′( ) ≥ 8 × ( )2 + 4 = > 0，
6 2 2 2 2

∴ ′( )在区间[0, ]上单调递增 ′( ) ≥ ′(0) ≥ 0，
6

∴ ′( )在区间[0, ]上单调递增， ′( ) ≥ ′(0) = 0，
6

∴ ( )在区间[0, ]上单调递增， ( ) ≥ (0) = 0，满足题意．
6
1
∴实数 的取值范围为[ , +∞)．
2
19.【答案】解：(1)因为 = ， = 3
，所以 1 = 1， 1 = 3； 2 = 2， 2 = 9；
3 = 3， 3 = 27； 4 = 4， 4 = 81，
因为{ } { } = { }，

= ∑ =1 +1 ( ∈ )，
1 = 3， 2 = 15， 3 = 54， 4 = 174．
(1) 1, = 1, ( ) 1, = ,
(2) = { 对一般的 ∈
, = { 0, ≥ 2, 0, ≠ .
(3)证明：记{ }的前 项和为 ，由卷积运算的交换律为∑

=1( + 1 ) = ，
故( + 1) ∑

=1 = ①，
因此( + 2) +1 ∑ =1 ( + 1) +1 = +1②，
② ①得 +1 = +1 ，
故当 ≥ 3时， = 1 = ( 1) ( 1 2) = 2 1 + 2．
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