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专题2.3解二元一次方程组十大题型（一课一讲）
（内容:解二元一次方程组及综合）
【浙教版】
题型一：带入消元法解二元一次方程组
【经典例题1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入法解下列方程组：
(1) (2) (3)
【变式训练1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列方程组：
(1) (2)
【变式训练1-2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）解方程组：．
【变式训练1-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程组：
(1) (2)
【变式训练1-4】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）解方程组：
(1) (2)
【变式训练1-5】（24-25七年级上·山西晋中·期末）解二元一次方程组：．
题型二：加减消元法解二元一次方程组
【经典例题2】（24-25七年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）用加减法解下列方程组：
(1) (2)．
【变式训练2-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程组：
(1) (2) (3)
【变式训练2-2】（24-25七年级上·福建漳州·期末）解方程组：
【变式训练2-3】解下列方程组：
(1)； (2)．
【变式训练2-4】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：
【变式训练2-5】（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程组：
(1) (2) (3) (4)
题型三：二元一次方程组中看错问题
【经典例题3】（2023·广东惠州·二模）小丽和小明同时解一道关于的方程组，其中为常数．在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得；小明看错常数“”，解得．
(1)求的值；
(2)求出原方程组正确的解．
【变式训练3-1】（23-24七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．
(1)求m，n的值；
(2)求原方程组的解．
【变式训练3-2】（23-24七年级上·江西景德镇·期末）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解．
【变式训练3-3】（23-24七年级下·湖北·期中）甲、乙两人同解方程组时，甲看错方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得，试求的值 .
【变式训练3-4】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）在解方程组时，小聪正确的解得，小虎因看错a而解得，若两人的计算过程均没错误，求a，b，c的值．
【变式训练3-5】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为，
(1)求a，b，c的值；
(2)求的立方根．
题型四：判断解题过程是否正确
【经典例题4】（24-25八年级上·山西·阶段练习）小华在解方程组时，具体解法如下：
解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是．
任务：
(1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________；
(2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________；
(3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________．
【变式训练4-1】（24-25七年级下·全国·期中）下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程：
甲同学：，得， ． 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， .
(1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因．
(2)请你改正并完善两名同学的解题过程．
【变式训练4-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）解方程组两位同学的解法如下：
解法一： ①＋②，解得．
解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得．
(1)检查两位同学的解题过程是否正确？若有错误，请在错误的步骤后打上“×”；
(2)请选择一种你喜欢的方法完成解答．
【变式训练4-3】（24-25七年级上·河北张家口·期末）嘉琪同学解方程组的过程如下：
解：，得 ，得 解得： 把代入②，得， 所以这个方程组的解是
你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程．
【变式训练4-4】（2024七年级上·全国·专题练习）在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小丽和小华解方程组的部分过程如下表：
小丽：，得
小华．由②得③，把①代入③，得
(1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程___________，小华的过程___________；（填“正确”或“不正确”）
(2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组．
【变式训练4-5】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）小华在解方程组时，具体解法如下：
解：①×2得，③，…………………（第一步） ③－②得，，……………………（第二步） 所以，， 将代入①得，．………………（第三步） 所以这个方程组的解是．
任务：
(1)这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是 ；
(2)以上解答过程从第 步开始出现错误，具体错误是 ；
(3)请直接写出该二元一次方程组的正确解 ．
题型五：二元一次方程组中同解问题
【经典例题5】（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练5-1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ．
【变式训练5-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值．
【变式训练5-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式训练5-4】（23-24七年级下·广东江门·期中）关于的方程组与的解相同，
(1)求这个相同解．
(2)求的平方根．
【变式训练5-5】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值．
题型六：已知二元一次方程组的解求参数
【经典例题6】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值．
【变式训练6-1】（24-25七年级上·河南平顶山·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组 的解为
(1)求，的值；
(2)求的立方根．
【变式训练6-2】（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）解答下列各题
(1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值．
(2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值．
【变式训练6-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数．
【变式训练6-4】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值．
【变式训练6-5】（23-24七年级下·广西贵港·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值．
题型七：构造二元一次方程组求解
【经典例题7】（24-25八年级上·陕西铜川·期末）对于任意实数、，定义新运算：，其中、为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，．求的值．
【变式训练7-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，．
(1)求，的值；
(2)求关于，的方程的正整数解．
【变式训练7-2】（2025七年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解．
【变式训练7-3】（24-25八年级上·全国·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【变式训练7-4】（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）对于实数、，定义关于“”的一种运算：，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求和的值．
【变式训练7-5】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
(1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______；
(2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值；
(3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．
题型八：二元一次方程组的特殊解法-选择题
【经典例题8】（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C．． D．
【变式训练8-3】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知当时，且，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-4】（24-25八年级上·河北张家口·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-5】（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程组的解为则关于x，y的方程组的解为（　 　）
A． B． C． D．
题型九：二元一次方程组的特殊解法---整体换元法
【经典例题9】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ．
(3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，
求关于的方程组的解．
【变式训练9-1】（2023七年级上·全国·专题练习）数学思想·整体思想 综合与实践
【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
【观察发现】
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____；
【探索猜想】
（2）运用上述方法解下列方程
组：．
【变式训练9-2】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：
(1) (2)
【变式训练9-3】（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组：
(1) (2)
【变式训练9-4】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用．
(1)解方程；
(2)在（1）的基础上，求方程组的解．
【变式训练9-5】（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)请用这种方法解方程组；
(2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______．
题型十：二元一次方程组的特殊解法---化繁为简
【经典例题10】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①②，得，即，③
③14，得，④
②④，得，从而可得，
方程组的解是
(1)请你仿上面的解法解方程组
(2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证．
【变式训练10-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，再解方程组．
解方程组：
解：设，，
则原方程组变为
整理，得 解得
解得
请用这种方法解方程组：
【变式训练10-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．
【变式训练10-3】（23-24七年级下·广东湛江·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组．
(2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
【变式训练10-4】（24-25八年级上·陕西西安·期中）先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多．
解方程组
解：，得，③
，得，④
，得，
将代入③得，
所以原方程组的解是，
根据上述材料，解答问题：
(1)解方程组；
(2)在（1）的条件下，求式子的平方根．
【变式训练10-5】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组
解：把②代入得①，，
解得，
把代入②得，
所以方程组的解为
（2）已知求的值．
解：，得，
，得．
[类比迁移]
（1）求方程组的解．
（2）已知 ，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.3解二元一次方程组十大题型（一课一讲）
（内容:解二元一次方程组及综合）
【浙教版】
题型一：带入消元法解二元一次方程组
【经典例题1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入法解下列方程组：
(1) (2) (3)
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
由①，得③
把③代入②，得
解得：
将代入③，得
方程组的解为．
（2）解：
把②代入①，得
解得：
把代入②，得
方程组的解为．
（3）解：
由①，得③
把③代入②，得
解得：
把代入③，得
方程组的解为．
【变式训练1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）
由①得．③
把③代入②，得，
解得．
把代入③，得，
故原方程组的解是；
（2）
，得，解得．
把代入①，得，
解得，
故原方程组的解是．
【变式训练1-2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）解方程组：．
【答案】
【详解】解：
由②得③
把③代入①得
，
解得，
把代入③中，得
，
∴方程组的解为．
【变式训练1-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
由②，得．③
把③代入①，得．
把代入③，得，
原方程组的解为
（2）
，得，
解得．
把代入①，得，
原方程组的解为
【变式训练1-4】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）解方程组：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：，
将②代入①可得，解得：，
将代入①可得，
故方程组的解为．
（2）解：，
得，
将代入①可得，
故方程组的解为．
【变式训练1-5】（24-25七年级上·山西晋中·期末）解二元一次方程组：．
【答案】
【详解】解：，
由①，得③，
将③代入②，得，
解得，
将代入③，得，
原方程组的解是．
题型二：加减消元法解二元一次方程组
【经典例题2】（24-25七年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）用加减法解下列方程组：
(1) (2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
整理，得
①-②，得，解得．
把代入②，得，解得，
所以原方程组的解是
（2）
①+②，得，解得．
②-①，得，解得，
所以原方程组的解是
【变式训练2-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程组：
(1) (2) (3)
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）
②－①，得，解得．
把代入①，得，解得．
所以方程组的解是
（2）
①＋②，得，解得．
把代入②，得，解得．
所以方程组的解为．
（3）
①＋②，得，解得．
①－②，得，解得．
所以方程组的解为
【变式训练2-2】（24-25七年级上·福建漳州·期末）解方程组：
【答案】
【详解】解：方法一：①+②，得，
解得，，
将代入①，得，
解得，，
所以原方程组的解是；
方法二：由①，得③，
将③代入②，得，
解得，，
将代入③，得，
解得，，
所以原方程组的解是．
【变式训练2-3】解下列方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：由①得③，
将③代入②中，得，解得，
将代入③中，得，
∴原方程组的解为：；
（2）解：原方程组整理，得，
得，解得，
将代入③中，得，
∴原方程组的解为：．
【变式训练2-4】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：
【答案】
【详解】解：，
①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
【变式训练2-5】（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程组：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：，得，
．
将代入①，得．
原方程组的解为；
（2）解：把①代入②，得，
解得．
把代入①，得．
原方程组的解为；
（3）解：，得．
解得．
把代入①，得．
解得．
原方程组的解为；
（4）解：，得，
把代入①，得，
解得，
∴原方程组的解为．
题型三：二元一次方程组中看错问题
【经典例题3】（2023·广东惠州·二模）小丽和小明同时解一道关于的方程组，其中为常数．在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得；小明看错常数“”，解得．
(1)求的值；
(2)求出原方程组正确的解．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得，
，解得；
在解方程组的过程中，小明看错常数“”，解得，
，解得；
；；
（2）解：由（1）知，
由①②得，解得，
将代入①得，
原方程组的解为．
【变式训练3-1】（23-24七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．
(1)求m，n的值；
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：把代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴，；
（2）解：把，代入方程组得：，
得：，即，
把代入①得：，
则方程组的解为．
【变式训练3-2】（23-24七年级上·江西景德镇·期末）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解．
【答案】
【详解】解：把代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把，代入方程组得：，
得：，即，
把代入①得：，
则方程组的解为．
【变式训练3-3】（23-24七年级下·湖北·期中）甲、乙两人同解方程组时，甲看错方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得，试求的值 .
【答案】0．
【详解】把代入方程②，得4×（-3）-b×（-1）=-11，
解得b=1，
把代入方程①，得5a+5×4=15，解得a=－1，
所以==1+（－1）=0．
【变式训练3-4】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）在解方程组时，小聪正确的解得，小虎因看错a而解得，若两人的计算过程均没错误，求a，b，c的值．
【答案】a=-3，b=1，c=-2
【详解】将代入，得，
将代入bx-cy=5中，得7b+c=5，
解方程组，解得，
∴a=-3，b=1，c=-2．
【变式训练3-5】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为，
(1)求a，b，c的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，，(2)2
【详解】（1）解：将；分别代入得： ，
解得：，
将代入中得：，
解得：，
则，，；
（2）解：把，，代入得，
8的立方根是2，
的立方根为2．
题型四：判断解题过程是否正确
【经典例题4】（24-25八年级上·山西·阶段练习）小华在解方程组时，具体解法如下：
解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是．
任务：
(1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________；
(2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________；
(3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________．
【答案】(1)加减消元法，等式的性质(2)二，合并常数项时计算错误(3)
【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质；
故答案为：加减消元法，等式的性质；
（2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错；
（3）解：得，③，
得，，
所以，，
将代入①得，．
所以这个方程组的解是．
【变式训练4-1】（24-25七年级下·全国·期中）下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程：
甲同学：，得， ． 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， .
(1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因．
(2)请你改正并完善两名同学的解题过程．
【答案】(1)甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错；乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错(2)见解析
【详解】（1）解：甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错；
乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错．
（2）甲同学：，得，
解得.
将代入①，得，
解得.
原方程组的解为
乙同学：由①，得，③
将③代入②，得，
解得.
将代入①，得，
解得.
原方程组的解为
【变式训练4-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）解方程组两位同学的解法如下：
解法一： ①＋②，解得．
解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得．
(1)检查两位同学的解题过程是否正确？若有错误，请在错误的步骤后打上“×”；
(2)请选择一种你喜欢的方法完成解答．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：如图．
解法一： ①＋②，得．
解法二： 由②，得．③× 把③代入①中，得到．×
（2）解：选择解法一：①＋②，得，解得．
把代入①，得，解得，
该方程组的解为
选择解法二：由②，得 ③．
把③代入①，得，解得．
把代入①，得，
该方程组的解为
【变式训练4-3】（24-25七年级上·河北张家口·期末）嘉琪同学解方程组的过程如下：
解：，得 ，得 解得： 把代入②，得， 所以这个方程组的解是
你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程．
【答案】错误，过程见解析
【详解】解：错误．
正解如下：
，得
，得
解得：
把代入②，得
所以这个方程组的解是．
【变式训练4-4】（2024七年级上·全国·专题练习）在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小丽和小华解方程组的部分过程如下表：
小丽：，得
小华．由②得③，把①代入③，得
(1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程___________，小华的过程___________；（填“正确”或“不正确”）
(2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组．
【答案】(1)正确，不正确(2)
（2）由②得，把①代入，得，求解即可．
【详解】（1）解：小丽：，得，正确；
小华．由②得③，把①代入③，得，故不正确；
（2）解：，
由②，得，
把①代入，得，
解得，
把代入①得，，
所以方程组的解是．
【变式训练4-5】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）小华在解方程组时，具体解法如下：
解：①×2得，③，…………………（第一步） ③－②得，，……………………（第二步） 所以，， 将代入①得，．………………（第三步） 所以这个方程组的解是．
任务：
(1)这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是 ；
(2)以上解答过程从第 步开始出现错误，具体错误是 ；
(3)请直接写出该二元一次方程组的正确解 ．
【答案】(1)加减消元法，等式的性质(2)二，合并常数项时计算错误(3)
【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质；
故答案为：加减消元法，等式的性质；
（2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错；
（3）解：得，③，
③－②得，，
所以，，
将代入①得，．
所以这个方程组的解是．
题型五：二元一次方程组中同解问题
【经典例题5】（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：由题意，得，
解得，
因为两方程有相同的解，
所以将代入，
得，
解得，
所以．
故选：B．
【变式训练5-1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：解方程组得，
把代入方程组得，
解得：，则
∴，
故答案为：．
【变式训练5-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值．
【答案】
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
将代入，得，
解得：．
【变式训练5-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵方程组和方程组的解相同，
∴方程和方程有相同的解，
联立，解得，
∴；
（2）解：由（1）可知方程组，
解得，
∴．
【变式训练5-4】（23-24七年级下·广东江门·期中）关于的方程组与的解相同，
(1)求这个相同解．
(2)求的平方根．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由方程组，解得，
∴这个相同解是．
（2）把代入与，
得，
解得，
∴，它的平方根是．
【变式训练5-5】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值．
【答案】
【详解】解：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
方程组的解集为，
方程组与方程组的解相同，
，
解得：，
题型六：已知二元一次方程组的解求参数
【经典例题6】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值．
【答案】
【详解】解：，
，得，即．
把代入①，得．
由题意得，即，
解得．
【变式训练6-1】（24-25七年级上·河南平顶山·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组 的解为
(1)求，的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
，；
（2），，
，
的立方根为．
【变式训练6-2】（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）解答下列各题
(1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值．
(2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
依题意，
由①可得，
解得：
∴，代入②得，
解得：
（2）解：
依题意，③
将③代入②得，，
解得：
∴
将代入①得，
解得：
【变式训练6-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数．
【答案】
【详解】解：解方程组得
因为方程组的解满足
所以，
整理，得．
因为，
所以，
整理，得．
因为均为正整数，所以当时，，
此时；
当时，，此时；
当时，，此时．
综上所述，的值为．
【变式训练6-4】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值．
【答案】
【详解】解：，
由得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练6-5】（23-24七年级下·广西贵港·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值．
【答案】
【详解】解： 由题意得：，
解得，
将，代入，
得：，
∴，
题型七：构造二元一次方程组求解
【经典例题7】（24-25八年级上·陕西铜川·期末）对于任意实数、，定义新运算：，其中、为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，．求的值．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式训练7-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，．
(1)求，的值；
(2)求关于，的方程的正整数解．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：根据题意可得：，
，
可得方程组:，
得：，
解得，
把代入得：，
解得：，
方程组的解为：，
的值为，的值为；
（2）解：把，代入，
可得：，
，
，
原方程可化为，
整理得：，
，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，；
当时，为负数，不符合题意，舍去；
方程的正整数解为．
【变式训练7-2】（2025七年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解．
【答案】有公共解，
【详解】解：设当，时，有，这两个方程的公共解，
解得：，
把代入等式，得
左边，
∴无论m取何值恒为0，
∴是原方程的解，
∴这 10 个方程有公共解，公共解为．
【变式训练7-3】（24-25八年级上·全国·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)0(2)．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：；
（2）解：∵，
∴①，
∵，
∴②，
得
∴．
【变式训练7-4】（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）对于实数、，定义关于“”的一种运算：，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求和的值．
【答案】(1)5 (2)，
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：
；
（2）解：根据题中的新定义得：
，
，
根据题中的新定义化简得：，
解得：．
【变式训练7-5】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
(1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______；
(2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值；
(3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．
【答案】(1)2(2)(3)
【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，
与方程互为“反对方程”，
．
（2）解：将写成的形式，
∵关于的方程与方程互为“反对方程”，
∴
∴
（3）解：的“反对方程”为，
由得，，
当，得，
与的解均为整数，
与都为整数，
也为整数，
当时，，，都为整数，
当时，，，都为整数，
的值为．
题型八：二元一次方程组的特殊解法-选择题
【经典例题8】（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：关于方程组（其中是常数）的解为，
方程组的解为，
解得，，
故选：．
【变式训练8-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵方程组的解是，
∴方程组的解为：，
解得，
故选：C．
【变式训练8-2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C．． D．
【答案】C
【详解】解：∵二元一次方程组的解是，
∴方程组的解是，
解，
得，
故选：C．
【变式训练8-3】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知当时，且，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵当时，，且，
∴，
得：③，
得：④，
得：，
当时，
，
故选：B．
【变式训练8-4】（24-25八年级上·河北张家口·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：解法一：，
∴，
设，，
∴，
∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴，，
解得：，
∴原方程组的解集为：；
解法二：把代入，得：，
∵，
∴，即：，
，得：，
∵方程组有解，
∴，
∴，
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解集为：；
故选：C．
【变式训练8-5】（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程组的解为则关于x，y的方程组的解为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：已知关于，的方程组的解为，
那么将关于，的方程组变形得，
则，
解得：，
即该方程组的解为：，
故选：A．
题型九：二元一次方程组的特殊解法---整体换元法
【经典例题9】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ．
(3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，
求关于的方程组的解．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：设，
则原方程组化为，
∵关于的二元一次方程组的解为，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）解：设，
则原方程组化为，
解得，
∴，
解得；
（3）解：设，
则原方程组化为，
整理得，
∵关于的二元一次方程组的解为，
∴，∴，∴．
【变式训练9-1】（2023七年级上·全国·专题练习）数学思想·整体思想 综合与实践
【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
【观察发现】
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____；
【探索猜想】
（2）运用上述方法解下列方程
组：．
【答案】（1），；（2）
【详解】解：（1）设，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
∴，
解方程组，得，
故答案为：，；
（2）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
∴，
解方程组，得．
【变式训练9-2】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：设，则原方程组可变形为，
解得，
从而得方程组，
解得，
故原方程组的解为；
（2）解：设，则原方程组可变形为，
解得，
从而得方程组，
解得
故原方程组的解为
【变式训练9-3】（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：令，，
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得，，
原方程组的解为；
（2）解：令，，
原方程组化为，
解得，
将代入，，
得，
解得，
原方程组的解为．
【变式训练9-4】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用．
(1)解方程；
(2)在（1）的基础上，求方程组的解．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
得，
，
，
将代入①得，
，
，
所以原方程组的解为；
（2）解：由题知，
将和看作一个整体，
则，
解得，
所以原方程组的解为．
【变式训练9-5】（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)请用这种方法解方程组；
(2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：设，
∴原方程组变形得：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
∴，
解得：．
（2）解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴关于m、n的二元一次方程组中，
解方程组得：．
题型十：二元一次方程组的特殊解法---化繁为简
【经典例题10】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①②，得，即，③
③14，得，④
②④，得，从而可得，
方程组的解是
(1)请你仿上面的解法解方程组
(2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证．
【答案】(1)(2)，验证见解析
【详解】（1）解：，
②①，得③，
，得，解得，
把代入③，得，解得，
所以原方程组的解是；
（2）解：猜测方程组的解是；
，
①②，得，
，
③，
，得，解得，
把代入③，得，解得，
所以原方程组的解是．
【变式训练10-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，再解方程组．
解方程组：
解：设，，
则原方程组变为
整理，得 解得
解得
请用这种方法解方程组：
【答案】
【详解】解：设，，
则原方程组变为，
解得
，
解得
【变式训练10-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．
【答案】
【详解】解：∵，
，
关于x，y的方程组的解是，
由得，
把代入，
解得，
∴，
解得．
【变式训练10-3】（23-24七年级下·广东湛江·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组．
(2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：，
，得
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是；
（2）解：猜想关于、的方程组的解为，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是．
【变式训练10-4】（24-25八年级上·陕西西安·期中）先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多．
解方程组
解：，得，③
，得，④
，得，
将代入③得，
所以原方程组的解是，
根据上述材料，解答问题：
(1)解方程组；
(2)在（1）的条件下，求式子的平方根．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：，
得：，
∴，
得：，
将代入得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根是．
【变式训练10-5】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组
解：把②代入得①，，
解得，
把代入②得，
所以方程组的解为
（2）已知求的值．
解：，得，
，得．
[类比迁移]
（1）求方程组的解．
（2）已知 ，求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）
把②代入①，
得，
解得．
把代入②，得，
∴方程组的解为；
（2），
得：，
得，．

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