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专题2.4二元一次方程组的应用十一大题型（一课一讲）
（内容:二元一次方程组的实际应用）
【浙教版】
题型一：列二元一次方程组
【经典例题1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）某工厂有26名工人，一个工人每天可加800个螺栓或1000个螺帽，1个螺栓与2个螺帽配套．现要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且没有剩余．若设安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽，则列出正确的二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】长江江豚因其珍贵稀有，被誉为“水中大熊猫”，对维护长江生物多样性和生态安全意义重大．长江某文创店出售不同规格的江豚玩具，已知3个大号玩具和1个小号玩具共需110元：1个大号玩具和2个小号玩具共需70元，求大号玩具、小号玩具各需多少钱？设1个大号玩具x元，1个小号玩具y元．则可列出方程组为
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（24-25七年级·山西太原·期末）某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了，总交出比去年减少了，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x，y表示的未知量分别为（）
A．今年的总收入为x万元，总支出为y万元
B．今年的总支出为x万元，总收入为y万元
C．去年的总收入为x万元，总支出为y万元
D．去年的总支出为x万元，总收入为y万元
【变式训练1-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）为积极响应国家“双碳”目标，进一步加强劳动及美育教育，某班组织学生参加植树活动，男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，女生植树数量比男生植树数量少24棵，设女生植树x棵，男生植树y棵，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】（24-25七年级上·四川成都·期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”盈亏问题，记录这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？译文为：有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，设共有x人，物品单价y元，则下面方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】（24-25七年级下·全国·单元测试）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满六进一，即“结绳计数”．如图是一名妇女和儿童在绳子上打结记录的采集总数量，图是妇女比儿童多采集的数量．设妇女采集的数量为，儿童采集的数量为，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：二元一次方程组的应用之几何图形
【经典例题2】（2024七年级上·云南·专题练习）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）

A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，宽为的矩形图案是由10个形状和大小完全一样的小长方形拼成，则一个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（23-24七年级下·河南南阳·期中）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ．
【变式训练2-4】（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.

(1)小长方形的长和宽各是多少？
(2)求阴影部分的面积.
【变式训练2-5】（23-24七年级·江西抚州·阶段练习）如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答）
题型三：二元一次方程组的应用之方案问题
【经典例题3】（24-25七年级上·陕西铜川·期末）耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省铜川市耀州区，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有、两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件种规格的倒装壶瓷器和2件种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件种规格的倒装壶瓷器和1件种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元．
(1)分别求出每件种规格的倒装壶瓷器和每件种规格的倒装壶瓷器的定价；
(2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）．
【变式训练3-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某运动品牌生产厂开发了一款新式的运动器材，计划15天生产安装360台.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式运动器材的安装，工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行新式运动器材的安装，生产开始后，调研部门发现，2名熟练工和1名新工人每天可安装10台新式运动器材，3名熟练工和2名新工人每天可安装16台新式运动器材.
(1)每名熟练工和新工人每天分别可以安装多少台新式运动器材？
(2)如果工厂抽调名熟练工，使得招聘的新工人（至少招聘一人）和抽调的熟练工刚好能完成原计划15天的生产任务，那么工厂有几种新工人的招聘方案？
【变式训练3-2】（24-25七年级上·广西桂林·期末）某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满．
(1)求七年级师生的总人数；
(2)已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？
【变式训练3-3】（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．
购进的台数 购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？
【变式训练3-4】（24-25七年级·福建三明·期末）“我在闽江源头有棵树”，某市黄花梨果大皮薄、果肉洁白、质地细腻、汁多味甜、富含维生素，现欲将一批黄花梨运往外地销售，若用1辆型车和2辆型车载满黄花梨一次可运走11吨；用2辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可运走13吨．现有黄花梨32吨，计划同时租用型、型车，一次运完，且恰好每辆车都载满黄花梨．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可分别运送多少吨？
(2)若1辆型车的租金为200元/次，1辆型车的租金为150元/次，请问有几种租车方案？选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费．
【变式训练3-5】（24-25七年级·黑龙江大庆·期末）为开设艺体素养提升课程，志远学校从商店购买篮球和足球，若购买12个篮球和10个足球共需1220元；购买6个篮球和14个足球共需1060元．
(1)篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校去商店购买时，恰逢商店打八折促销，购买这两种球共花费960元，该学校有哪几种购买方案？
题型四：二元一次方程组的应用之销售利润问题
【经典例题4】（24-25七年级下·全国·单元测试）某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A B
进价（元／件）
标价（元／件）
(1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【变式训练4-1】（24-25七年级·江西九江·期末）小明想购买一副羽毛球拍与5盒羽毛球，他发现、两商场的每副羽毛球拍与每盒羽毛球的标价均相同，这两项合计为300元，但他们的售卖方案不同．
商场的售卖方案是：顾客每购买一副羽毛球拍赠送一盒羽毛球，另外购买的羽毛球则按原价出售．
商场的售卖方案是：顾客购买的羽毛球拍与羽毛球均按原价的9折出售．
小明发现，他要购买的羽毛球拍与羽毛球在这两家商场应付的钱一样多，问：羽毛球拍与羽毛球的单价分别是多少？
【变式训练4-2】（24-25七年级·陕西榆林·期末）我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“设如砚七方比笔三支价多四百八十文，又砚三方比笔九支价少一百八十文，问笔砚价各若干？”其大意为假设七方砚台的价格比三支笔的价格多出四百八十文钱，而三方砚台的价格则比九支笔的价格少了一百八十文钱，请问笔和砚台的单价分别是多少？
(1)求笔和砚台的单价．
(2)为落实立德树人的根本任务，某校开设了书法课程，需购买砚台和笔若干，已知笔的数量是砚台数量的2倍，学校共花费3420元．问该校可以购买砚台和笔各多少？（1文约等于1.2元）
【变式训练4-3】（24-25七年级·陕西宝鸡·期末）为贯彻落实党中央、国务院决策部署，陕西省推动“消费品以旧换新”行动，对购买一、二级能效绿色智能家电的消费者予以一定置换补贴．补贴标准为产品最终销售价格的，对购买级及以上能效或水校的产品，额外再给予产品最终销售价格的的补贴．某学校分两次更新部分电脑和空调（二级能效），第一次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元；第二次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元．
(1)补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元？
(2)若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴？
【变式训练4-4】（24-25七年级·湖南岳阳·期末）为更好地满足本地市民和外地游客的消费需求，岳阳某超市在“春节”黄金周前投入11220元资金购进甲、乙两种水果共400箱，这两种水果的成本价和标价如下表所示：
类别/单价 成本价 标价（元/箱）
甲 24
乙 33 50
(1)该超市购进甲、乙两种水果各多少箱？
(2)为了促销，该超市将甲种水果按成本价提高50%后标价销售；乙种水果以标价的8折销售．若这400箱水果在“春节”黄金周结束后全部售完，则该超市可获得利润多少元？
【变式训练4-5】我国航天事业已经成功实现了载人航天、月球探测、火星探测、空间站建设等多个重大项目，拥有自主的运载火箭、卫星、航天器等核心技术，具备独立的发射和控制能力．某校为了培养学生科技创新意识，开设了航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模进行科创实验，据了解，2件A种航模和3件B种航模共需1800元；3件A种航模和1件B种航模共需1300元．求A，B两种航模每件分别为多少元
题型五：二元一次方程组的应用之行程问题
【经典例题5】（24-25七年级下·全国·单元测试）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？小李将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设上坡有，平路有，已经列出一个方程，则另一个方程是 ．
【变式训练5-1】甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是 千米．
【变式训练5-2】（24-25七年级·浙江宁波·阶段练习）自行车轮胎安装在后轮上只能行驶就要报废，安转在前轮上，则可以行驶才报废．为使一对轮胎能够行驶尽可能多的路程后报废，在自行车行驶一段路程后，将前后轮胎进行调换，这样安转在自行车上的一对轮胎最多可以行驶多少 千米．
【变式训练5-3】、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度．
【变式训练5-4】（24-25七年级·广西贵港·期末）小贵、小港两人从相距的两地相向而行．
(1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？
(2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？
【变式训练5-5】（24-25七年级·湖南怀化·期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？
题型六：二元一次方程组的应用之工程问题
【经典例题6】端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子．
(1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子；
(2)已知这份粽子订单为袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组需要加工多少天？
【变式训练6-1】（24-25七年级·广东深圳·期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天．
根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲：乙：
从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米．
解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________．
【变式训练6-2】近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天．
【变式训练6-3】一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？
【变式训练6-4】某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？
【变式训练6-5】（22-23七年级下·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？
题型七：二元一次方程组的应用之数字问题
【经典例题7】若两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（ ）
A．266 B．288 C． D．
【变式训练7-1】（24-25七年级·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ．
【变式训练7-2】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10，则原来的两位数是 ．
【变式训练7-3】某两位数，两个数位上的数字之和为11，这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数位上的数字交换位置所表示的数，求原两位数．
【变式训练7-4】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．
(1)列一元一次方程求解．
(2)设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解．
【变式训练7-5】（23-24七年级下·山东东营·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？
题型八：二元一次方程组的应用之年龄问题
【经典例题8】甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（ ）
A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁
【变式训练8-1】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）
A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁
【变式训练8-2】小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁．
【变式训练8-3】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ．
【变式训练8-4】（23-24七年级上·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．
【变式训练8-5】（23-24七年级下·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿．
题型九：二元一次方程组的应用之配套问题
【经典例题9】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有名工人，每人每天可以生产个螺柱或个螺母．个螺柱需要配个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为 ．
【变式训练9-1】某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（ ）
A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人
【变式训练9-2】1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？
【变式训练9-3】某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由．
【变式训练9-4】（24-25七年级上·广东湛江·期末）列一元一次方程解应用题：
某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人．
(1)求调入多少名工人；
(2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？
【变式训练9-5】（23-24七年级下·河南南阳·期末）某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？
题型十：二元一次方程组的应用之图表信息问题
【经典例题10】某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
七年级 八年级 九年级
捐款数额（元） 4000 4200 7400
捐助贫困中学生（名） 2 3
捐助贫困小学生（名） 4 3
(1)求a、b的值；
(2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）．
【变式训练10-1】（24-25七年级·上海·期中）在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15
4 9 2
3 5 7
8 1 6
图1 图2
图3 图4
(1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）；
(2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________；
(3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________．
【变式训练10-2】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示．
货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额
价税合计（大写） 玖佰元整 （小写）900.00
请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【变式训练10-3】（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况：
第一组 第二组
答错次数 1 2
答对次数 7 9
最终分数 40 45
(1)求x，y的值；
(2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？
【变式训练10-4】（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名
七年级 4000 2 4
八年级 4200 3 3
九年级 4000
(1)求a，b的值；
(2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案．
【变式训练10-5】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某果农现有一批水蜜桃要运往水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第1次 3 2 14
第2次 4 5
(1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？
(2)若果农需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车，刚好一次运完水蜜桃，如果每吨付60元运费，求果农应付运费总共多少元？
题型十一：二元一次方程组的应用之古代问题
【经典例题11】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的重量．
【变式训练11-1】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）《算法统宗》中有这样一首诗：
巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争．
三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧．
请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题．
【变式训练11-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？
【变式训练11-3】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答）
【变式训练11-4】《九章算术》中记载“今有牛五、羊二，置金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问：牛、羊每头各值金多少两．
【变式训练11-5】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.4二元一次方程组的应用十一大题型（一课一讲）
（内容:二元一次方程组的实际应用）
【浙教版】
题型一：列二元一次方程组
【经典例题1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）某工厂有26名工人，一个工人每天可加800个螺栓或1000个螺帽，1个螺栓与2个螺帽配套．现要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且没有剩余．若设安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽，则列出正确的二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽，
根据“工厂现有26个工人”可得：，
根据“1个螺栓与2个螺帽配套，每天做的螺杆和螺母完整配套且没有剩余”可得：，即，
因此列二元一次方程组为：．
故选A．
【变式训练1-1】长江江豚因其珍贵稀有，被誉为“水中大熊猫”，对维护长江生物多样性和生态安全意义重大．长江某文创店出售不同规格的江豚玩具，已知3个大号玩具和1个小号玩具共需110元：1个大号玩具和2个小号玩具共需70元，求大号玩具、小号玩具各需多少钱？设1个大号玩具x元，1个小号玩具y元．则可列出方程组为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由于1个大号玩具x元，1个小号玩具y元，
由题意得：；
故选：A．
【变式训练1-2】（24-25七年级·山西太原·期末）某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了，总交出比去年减少了，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x，y表示的未知量分别为（）
A．今年的总收入为x万元，总支出为y万元
B．今年的总支出为x万元，总收入为y万元
C．去年的总收入为x万元，总支出为y万元
D．去年的总支出为x万元，总收入为y万元
【答案】C
【详解】解：设去年的总收入为万元、总支出为万元，
由题意得，，
故选：C．
【变式训练1-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）为积极响应国家“双碳”目标，进一步加强劳动及美育教育，某班组织学生参加植树活动，男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，女生植树数量比男生植树数量少24棵，设女生植树x棵，男生植树y棵，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设女生植树x棵，男生植树y棵，根据题意得：
故选：B．
【变式训练1-4】（24-25七年级上·四川成都·期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”盈亏问题，记录这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？译文为：有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，设共有x人，物品单价y元，则下面方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：依题意，得：
．
故选：B．
【变式训练1-5】（24-25七年级下·全国·单元测试）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满六进一，即“结绳计数”．如图是一名妇女和儿童在绳子上打结记录的采集总数量，图是妇女比儿童多采集的数量．设妇女采集的数量为，儿童采集的数量为，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图可知采集的总数量为，
由图可知妇女比儿童多采集的数量为，
设妇女采集的数量为，儿童采集的数量为，
则可列方程组．
故选： D．
题型二：二元一次方程组的应用之几何图形
【经典例题2】（2024七年级上·云南·专题练习）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设小长方形的长为、宽为，大长方形的长为，
则，，
∴，
∴
，
∴，
∴．
故选C．
【变式训练2-1】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
【变式训练2-2】如图，宽为的矩形图案是由10个形状和大小完全一样的小长方形拼成，则一个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设小长方形的宽为，长为，
根据题意得， ，
解得，
一个小长方形的面积为．
故选：A．
【变式训练2-3】（23-24七年级下·河南南阳·期中）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ．
【答案】/35厘米
【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为，根据题意得：
解得：，
．
【变式训练2-4】（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.

(1)小长方形的长和宽各是多少？
(2)求阴影部分的面积.
【答案】(1)小长方形的长为，宽为；(2)．
【详解】（1）设小长方形的长为，宽为，
根据图形可知：，
解得：，
答：小长方形的长为，宽为；
（2）由（）得：小长方形的长为，宽为，
∴长方形的宽为，
则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，
，
，
答：阴影部分的面积为．
【变式训练2-5】（23-24七年级·江西抚州·阶段练习）如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答）
【答案】
【详解】解：设正方形的边长分别为，
由图可知：，解得：，
∴长方形的长为：，宽为：，
∴长方形的面积为：．
题型三：二元一次方程组的应用之方案问题
【经典例题3】（24-25七年级上·陕西铜川·期末）耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省铜川市耀州区，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有、两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件种规格的倒装壶瓷器和2件种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件种规格的倒装壶瓷器和1件种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元．
(1)分别求出每件种规格的倒装壶瓷器和每件种规格的倒装壶瓷器的定价；
(2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）．
【答案】(1)每件种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为400元
(2)该超市这天共有两种销售方案：①种规格的倒装壶瓷器销售了4件，种规格的倒装壶瓷器销售了6件；②种规格的倒装壶瓷器销售了8件，种规格的倒装壶瓷器销售了3件．
【详解】（1）解：设每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元．
根据题意，得，解得
每件种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为400元．
（2）设该超市这天销售了件种规格的倒装壶瓷器、件种规格的倒装壶瓷器．
根据题意，得，
化简，得．
该超市这天两种规格的倒装壶瓷器都有销售，
、均为正整数，
有和两种情况，
即该超市这天共有两种销售方案：
①种规格的倒装壶瓷器销售了4件，种规格的倒装壶瓷器销售了6件；
②种规格的倒装壶瓷器销售了8件，种规格的倒装壶瓷器销售了3件．
【变式训练3-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某运动品牌生产厂开发了一款新式的运动器材，计划15天生产安装360台.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式运动器材的安装，工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行新式运动器材的安装，生产开始后，调研部门发现，2名熟练工和1名新工人每天可安装10台新式运动器材，3名熟练工和2名新工人每天可安装16台新式运动器材.
(1)每名熟练工和新工人每天分别可以安装多少台新式运动器材？
(2)如果工厂抽调名熟练工，使得招聘的新工人（至少招聘一人）和抽调的熟练工刚好能完成原计划15天的生产任务，那么工厂有几种新工人的招聘方案？
【答案】(1)每名熟练工每天可以安装4台新式运动器材，每名新工人每天可以安装2台新式运动器材
(2)3种
【详解】（1）解：设每名熟练工每天可以安装x台新式运动器材，每名新工人每天可以安装y台新式运动器材，
根据题意，得，
解得，
答：每名熟练工每天可以安装4台新式运动器材，每名新工人每天可以安装2台新式运动器材．
（2）解：设招聘m名新工人，
根据题意，得，
，
又，n均为正整数，且，
或或
工厂有3种新工人的招聘方案．
【变式训练3-2】（24-25七年级上·广西桂林·期末）某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满．
(1)求七年级师生的总人数；
(2)已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？
【答案】(1)480人
(2)方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱
【详解】（1）解：设七年级师生的总人数为x人，根据题意得：
，
解得：，
答：七年级师生的总人数为480人．
（2）解：设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据题意得：
，
∵x、y为非负整数，
∴或或，
满足条件的所有租车方案有：
方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；
方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；
方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；
方案一费用：（元），
方案二费用：（元），
方案三费用：（元），
∵，
∴租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱．
【变式训练3-3】（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．
购进的台数 购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？
【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元
(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有3种购进方案：购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台
【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元．
（2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，
由题意得：，
解得，，
答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元），
设购进A型台灯a台，B型台灯台，
由题意得：，
整理得：，
∴
a、b为自然数，
或或，
有3种购进方案：
购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台；
【变式训练3-4】（24-25七年级·福建三明·期末）“我在闽江源头有棵树”，某市黄花梨果大皮薄、果肉洁白、质地细腻、汁多味甜、富含维生素，现欲将一批黄花梨运往外地销售，若用1辆型车和2辆型车载满黄花梨一次可运走11吨；用2辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可运走13吨．现有黄花梨32吨，计划同时租用型、型车，一次运完，且恰好每辆车都载满黄花梨．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可分别运送多少吨？
(2)若1辆型车的租金为200元/次，1辆型车的租金为150元/次，请问有几种租车方案？选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费．
【答案】(1)1辆型车载满黄花梨一次可运送5吨，1辆型车载满黄花梨一次可运送3吨
(2)一共有2种租车方案，方案一：租型车1辆，型车9辆；方案二：租型车4辆，型车4辆．最省钱的方案是：方案二：租型车4辆，型车4，最少租车费为1400元
【详解】（1）解：设1辆型车载满黄花梨一次可运送吨，1辆型车载满黄花梨一次可运送吨．
由题意，得：，
解得：，
答：1辆型车载满黄花梨一次可运送5吨，1辆型车载满黄花梨一次可运送3吨．
（2）解：由题意，设租用车辆，车辆，得：，
，都是正整数，
或，
一共有2种租车方案，方案一：租型车1辆，型车9辆；方案二：租型车4辆，型车4辆．
方案一的租金为：（元），
方案二的租金为：（元）．
最省钱的方案是：方案二：租型车4辆，型车4，最少租车费为1400元．
【变式训练3-5】（24-25七年级·黑龙江大庆·期末）为开设艺体素养提升课程，志远学校从商店购买篮球和足球，若购买12个篮球和10个足球共需1220元；购买6个篮球和14个足球共需1060元．
(1)篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校去商店购买时，恰逢商店打八折促销，购买这两种球共花费960元，该学校有哪几种购买方案？
【答案】(1)篮球的单价是60元，足球的单价是50元(2)见解析
【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：篮球的单价是60元，足球的单价是50元；
（2）解：设购买m个篮球，n个足球，
根据题意得：，
解得：，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴该学校共有3种购买方案，
方案1：购买15个篮球，6个足球；
方案2：购买10个篮球，12个足球；
方案3：购买5个篮球，18个足球．
题型四：二元一次方程组的应用之销售利润问题
【经典例题4】（24-25七年级下·全国·单元测试）某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A B
进价（元／件）
标价（元／件）
(1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【答案】(1)A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件
(2)服装店比按标价出售少收入1210元
【详解】（1）解：设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，
根据题意，得
解得
答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件．
（2）（元）．
答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元．
【变式训练4-1】（24-25七年级·江西九江·期末）小明想购买一副羽毛球拍与5盒羽毛球，他发现、两商场的每副羽毛球拍与每盒羽毛球的标价均相同，这两项合计为300元，但他们的售卖方案不同．
商场的售卖方案是：顾客每购买一副羽毛球拍赠送一盒羽毛球，另外购买的羽毛球则按原价出售．
商场的售卖方案是：顾客购买的羽毛球拍与羽毛球均按原价的9折出售．
小明发现，他要购买的羽毛球拍与羽毛球在这两家商场应付的钱一样多，问：羽毛球拍与羽毛球的单价分别是多少？
【答案】一副羽毛球拍单价为元，每盒羽毛球的单价为元．
【详解】解：设一副羽毛球拍单价为元，每盒羽毛球的单价为元，
根据题意得，
解得，
答：一副羽毛球拍单价为元，每盒羽毛球的单价为元．
【变式训练4-2】（24-25七年级·陕西榆林·期末）我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“设如砚七方比笔三支价多四百八十文，又砚三方比笔九支价少一百八十文，问笔砚价各若干？”其大意为假设七方砚台的价格比三支笔的价格多出四百八十文钱，而三方砚台的价格则比九支笔的价格少了一百八十文钱，请问笔和砚台的单价分别是多少？
(1)求笔和砚台的单价．
(2)为落实立德树人的根本任务，某校开设了书法课程，需购买砚台和笔若干，已知笔的数量是砚台数量的2倍，学校共花费3420元．问该校可以购买砚台和笔各多少？（1文约等于1.2元）
【答案】(1)笔的单价为50文，砚台的单价为90文(2)砚台15方，笔30支
【详解】（1）解：设笔的单价为x文，砚台的单价为y文，
由题意可列方程，
解得
答：笔的单价为50文，砚台的单价为90文．
（2）解：设该校购买砚台的数量为m，则笔的数量为．
，
解得．
答：该校可以购买砚台15方，笔30支．
【变式训练4-3】（24-25七年级·陕西宝鸡·期末）为贯彻落实党中央、国务院决策部署，陕西省推动“消费品以旧换新”行动，对购买一、二级能效绿色智能家电的消费者予以一定置换补贴．补贴标准为产品最终销售价格的，对购买级及以上能效或水校的产品，额外再给予产品最终销售价格的的补贴．某学校分两次更新部分电脑和空调（二级能效），第一次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元；第二次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元．
(1)补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元？
(2)若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴？
【答案】(1)补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元
(2)一共能获得元的国家补贴
【详解】（1）解：设补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元，
由题意得，，
解得，
答：补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元；
（2）解：∵，，
∴电脑以旧换新每台补贴为元，空调以旧换新每台补贴为元，
∴元，
答：一共能获得元的国家补贴．
【变式训练4-4】（24-25七年级·湖南岳阳·期末）为更好地满足本地市民和外地游客的消费需求，岳阳某超市在“春节”黄金周前投入11220元资金购进甲、乙两种水果共400箱，这两种水果的成本价和标价如下表所示：
类别/单价 成本价 标价（元/箱）
甲 24
乙 33 50
(1)该超市购进甲、乙两种水果各多少箱？
(2)为了促销，该超市将甲种水果按成本价提高50%后标价销售；乙种水果以标价的8折销售．若这400箱水果在“春节”黄金周结束后全部售完，则该超市可获得利润多少元？
【答案】(1)该商场购进甲种水果220箱，乙种水果180箱
(2)该商场可获得利润3900元
【详解】（1）解：设该商场购进甲种水果箱，乙种水果箱，
根据题意得：
解得：
答：该商场购进甲种水果220箱，乙种水果180箱；
（2）解：根据题意得
（元）．
答：该商场可获得利润3900元．
【变式训练4-5】我国航天事业已经成功实现了载人航天、月球探测、火星探测、空间站建设等多个重大项目，拥有自主的运载火箭、卫星、航天器等核心技术，具备独立的发射和控制能力．某校为了培养学生科技创新意识，开设了航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模进行科创实验，据了解，2件A种航模和3件B种航模共需1800元；3件A种航模和1件B种航模共需1300元．求A，B两种航模每件分别为多少元
【答案】A种航模每件300元，B种航模每件400元
【详解】解：设A种航模每件x元，B种航模每件y元，根据题意，得：
，
解得，
答：A种航模每件300元，B种航模每件400元．
题型五：二元一次方程组的应用之行程问题
【经典例题5】（24-25七年级下·全国·单元测试）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？小李将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设上坡有，平路有，已经列出一个方程，则另一个方程是 ．
【答案】
【详解】解：∵从乙地到甲地需，
∴乙地到甲地需，
∵下坡有，下坡每小时走，
∴下坡时间为，
∵平路有，平路每小时走，
∴平坡时间为，
∴列方程为：，
故答案为：；
【变式训练5-1】甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是 千米．
【答案】154
【详解】解：设从甲地到乙地的上坡路程为千米，下坡路程为千米，则
，
整理得：，
解得：；
∴，
∴从甲地到乙地的总路程是154千米．
【变式训练5-2】（24-25七年级·浙江宁波·阶段练习）自行车轮胎安装在后轮上只能行驶就要报废，安转在前轮上，则可以行驶才报废．为使一对轮胎能够行驶尽可能多的路程后报废，在自行车行驶一段路程后，将前后轮胎进行调换，这样安转在自行车上的一对轮胎最多可以行驶多少 千米．
【答案】
【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶的磨损量为，
又设一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
，
两式相加，得，
则，
∴安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶千米．
故答案为：．
【变式训练5-3】、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度．
【答案】甲的速度为6千米／时，乙的速度为4千米／时
【详解】解：设甲的速度为x千米／时，乙的速度为y千米／时，
根据题意，得，
整理，得，
故，
解得，
答：甲的速度为6千米／时，乙的速度为4千米／时．
【变式训练5-4】（24-25七年级·广西贵港·期末）小贵、小港两人从相距的两地相向而行．
(1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？
(2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？
【答案】(1)小贵每小时走，小港每小时走
(2)后两人相距
【详解】（1）解：设小贵每小时走，小港每小时走，
依题意，得：，
解得：；
答：小贵每小时走，小港每小时走．
（2）解：，
答：后两人相距．
【变式训练5-5】（24-25七年级·湖南怀化·期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？
【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米．
【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时．
设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
∴．
答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米．
题型六：二元一次方程组的应用之工程问题
【经典例题6】端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子．
(1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子；
(2)已知这份粽子订单为袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组需要加工多少天？
【答案】(1)甲组每天加工200袋粽子，乙组每天加工150袋粽子
(2)4天
【详解】（1）解：设甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子，
根据题意，得
解得
答：甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子．
（2）设甲组需要加工天，则乙组加工天．
根据题意，得，
解得．
答：甲组需要加工4天．
【变式训练6-1】（24-25七年级·广东深圳·期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天．
根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲：乙：
从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米．
解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________．
【答案】见解析
【详解】解：选择的方程组为甲，
设为工程队工作的天数；
为工程队工作的天数．
根据提意得，
解此方程组得，
，，
答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米；
选择的方程组为乙，
设为工程队整治河边道路长度；
为工程队整治河边道路长度．
根据提意得，
解此方程组得，
答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米；
【变式训练6-2】近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天．
【答案】甲工作了4天，乙工作了6天
【详解】解：设甲工作了x天，乙工作了y天，
由题意得：
解得
答：甲工作了4天，乙工作了6天．
【变式训练6-3】一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？
【答案】女工要比男工多18人．
【详解】设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y，
根据题意得，，
解得，，
如果单独让男工加工或单独让女工加工，
需要女工（人），
需要男工（人），
女工比男工多（人）．
故女工比男工要多18人．
【变式训练6-4】某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？
【答案】甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方．
【详解】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，
乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，
根据题意，得
解得：
所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方．
【变式训练6-5】（22-23七年级下·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？
【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；
(2)两组还需要190天才能完成任务
【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，
由题意得，
解得
答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米；
（2）按此施工进度，还需要：（天），
答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务．
题型七：二元一次方程组的应用之数字问题
【经典例题7】若两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（ ）
A．266 B．288 C． D．
【答案】B
【详解】解：设这两个数为x和y，
依题意得：，
解得，
∴，
故选：B．
【变式训练7-1】（24-25七年级·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ．
【答案】0
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
，
故答案为：0．
【变式训练7-2】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10，则原来的两位数是 ．
【答案】
【详解】设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为，根据题意得：
，
解得：，
则原两位数为．
故答案为：
【变式训练7-3】某两位数，两个数位上的数字之和为11，这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数位上的数字交换位置所表示的数，求原两位数．
【答案】38
【详解】解：设原两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，
根据题意，得，
解得，
答：原两位数是38．
【变式训练7-4】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．
(1)列一元一次方程求解．
(2)设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解．
【答案】(1)38(2)38
【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为，
依题意，得：，
解得：，
，
∴原两位数为38；
（2）解：设原两位数的十位数字为，个位数字为，
依题意，得：，
解得，
∴原两位数为38．
【变式训练7-5】（23-24七年级下·山东东营·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？
【答案】72
【详解】解：设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则
，
解得，，
∴原来的两位数是72．
题型八：二元一次方程组的应用之年龄问题
【经典例题8】甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（ ）
A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁
【答案】A
【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，
依题意，得：，
解得：．
甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁，
甲比乙大5岁
故选：A．
【变式训练8-1】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）
A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁
【答案】C
【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，
但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生，
则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁），
设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，
由题意得：，
解得：，
即爸爸今年的年龄为40岁，
故选：C．
【变式训练8-2】小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁．
【答案】27
【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得：
，解得：，
∴数学老师今年岁；
故答案为：27．
【变式训练8-3】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ．
【答案】10岁和6岁
【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，
依题意，得，
解得；
所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
故答案为：10岁和6岁．
【变式训练8-4】（23-24七年级上·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．
【答案】 28 21
【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，
由题意得：，
解得：，
即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁，
故答案为：28，21．
【变式训练8-5】（23-24七年级下·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿．
【答案】
【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，
根据题意得：
解得：
∴当奶奶岁时，小花的年龄为，
∴小花岁时将为奶奶贺白寿，
故答案为：．
题型九：二元一次方程组的应用之配套问题
【经典例题9】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有名工人，每人每天可以生产个螺柱或个螺母．个螺柱需要配个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为 ．
【答案】
【详解】解：设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，
由题意可得，，
故答案为：．
【变式训练9-1】某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（ ）
A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人
【答案】B
【详解】解：设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，由题意可得
解得
则需要安排10人来制作桌子，20人来制作椅子．
故选：B．
【变式训练9-2】1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？
【答案】应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌
【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，则恰好配成张方桌，
由题意得，
解得，
．
答：应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌．
【变式训练9-3】某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由．
【答案】不存在恰好配套，理由见解析．
【详解】解：设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套，
依题意，得，
解得：
因为求出的x，y的值不是整数，
所以加工的螺栓和螺母不存在恰好配套．
【变式训练9-4】（24-25七年级上·广东湛江·期末）列一元一次方程解应用题：
某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人．
(1)求调入多少名工人；
(2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？
【答案】(1)名工人
(2)应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人．
【详解】（1）解：设调入名工人，
根据题意得：，
解得：，
答：调入名工人；
（2）解：由（1）知，调入名工人后，车间有工人（人），
设名工人生产桌子，则名工人生产椅子，
∵每天组装的桌椅刚好配套，
∴，
解得：，
∴，
答：应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人．
【变式训练9-5】（23-24七年级下·河南南阳·期末）某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？
【答案】安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名
【详解】解：设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，由题意，得：
，
解得：；
答：安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名．
题型十：二元一次方程组的应用之图表信息问题
【经典例题10】某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
七年级 八年级 九年级
捐款数额（元） 4000 4200 7400
捐助贫困中学生（名） 2 3
捐助贫困小学生（名） 4 3
(1)求a、b的值；
(2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）．
【答案】(1)的值是800，的值是600．
(2)九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别是4，7．
【详解】（1）资助一名中学生需要学习费用元，资助一名小学生需要学习费用元，
，解得：．
所以的值是800，的值是600．
（2）设初三年级学生可捐助贫困中学生人，小学生人，
依题意得：，
解得：．
∴九年级学生捐助贫困中学生人数为4名，捐助贫困小学生人数为7名．
【变式训练10-1】（24-25七年级·上海·期中）在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15
4 9 2
3 5 7
8 1 6
图1 图2
图3 图4
(1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）；
(2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________；
(3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________．
【答案】(1)(2)；2(3)
【详解】（1）解：依题意得：，
．
故答案为：．
（2）依题意得：，
解得：．
故答案为：；2．
（3）依题意得：，
由①可得：③，
由②可得：④，
将③代入④中得：．
故答案为：．
【变式训练10-2】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示．
货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额
价税合计（大写） 玖佰元整 （小写）900.00
请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元
【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，
由题意得，
解得，
则（元），（元），
答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元．
【变式训练10-3】（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况：
第一组 第二组
答错次数 1 2
答对次数 7 9
最终分数 40 45
(1)求x，y的值；
(2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？
【答案】(1)，
(2)第三组答对8次
【详解】（1）解：根据题意，得：，
解得：
（2）解：设第三组答对n次，根据题意，得
，
解得，
答：第三组答对8次．
【变式训练10-4】（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名
七年级 4000 2 4
八年级 4200 3 3
九年级 4000
(1)求a，b的值；
(2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案．
【答案】(1)a，b的值分别为800，600
(2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人
【详解】（1）解：由题意得
解得：
∴a，b的值分别为800，600；
（2）由题意得捐款总额为：（元）
设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y；
可得：；整理得：，
即；
又∵x、y均为正整数 ，
∴ ；
即方案一：中学生7人，小学生4人；
方案二：中学生4人，小学生8人；
方案三：中学生1人，小学生12人；
【变式训练10-5】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某果农现有一批水蜜桃要运往水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第1次 3 2 14
第2次 4 5
(1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？
(2)若果农需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车，刚好一次运完水蜜桃，如果每吨付60元运费，求果农应付运费总共多少元？
【答案】(1)甲种货车每辆可装3吨水蜜桃，乙种货车每辆可装2.5吨水蜜桃
(2)果农应付总运费1200元
【详解】（1）解：设甲种货车每辆可装吨水蜜桃，乙种货车每辆可装吨水蜜桃．
，解得：
答：甲种货车每辆可装3吨水蜜桃，乙种货车每辆可装2.5吨水蜜桃．
（2）（元）
答：果农应付总运费1200元；
题型十一：二元一次方程组的应用之古代问题
【经典例题11】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的重量．
【答案】黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的重量为260两
【详解】解：设黄金每枚重x两，白银每枚重y两，
根据题意，得
解得
∴丙袋的重量为（两）．
答：黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的重量为260两．
【变式训练11-1】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）《算法统宗》中有这样一首诗：
巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争．
三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧．
请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题．
【答案】624个
【详解】解：法1：设寺内有x个和尚，根据题意，得，
解得：，
答：寺内有624个和尚；
法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，得：
，解得，
所以
答：寺内有624个和尚．
【变式训练11-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？
【答案】合伙买羊的有21人，羊价为150钱．
【详解】解：设合伙买羊的有人，羊价为钱，
依题意，得：，
解得：．
答：合伙买羊的有21人，羊价为150钱．
【变式训练11-3】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答）
【答案】醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶
【详解】解：设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶．
根据题意，得
解得；
答：他们醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶．
【变式训练11-4】《九章算术》中记载“今有牛五、羊二，置金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问：牛、羊每头各值金多少两．
【答案】牛、羊每头各值金两，两
【详解】解：设牛、羊每头各值金两，两，由题意，得：
，解得：，
答：牛、羊每头各值金两，两．
【变式训练11-5】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”
【答案】大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛
【详解】解：设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛
根据题意得：
解得：
答：大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛．

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