资源简介

专题三　微专题1　等差数列、等比数列
(分值：90分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5=S10，a5=1，则a1等于(　　)
A. B.
C.- D.-
2.(2024·安康模拟)已知在正项等比数列{an}中，a2a4=16，且a3，10，成等差数列，则a1+a4+a7等于(　　)
A.157 B.156
C.74 D.73
3.(2024·运城模拟)已知数列{an}是等差数列，a3-a5=2，则a5+a10-a8等于(　　)
A.4 B.-2
C.-4 D.-8
4.(2024·绵阳模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，a2=3，数列{anan+1}是公比为2的等比数列，则S9等于(　　)
A.76 B.108
C.512 D.19 683
5.(2024·泰安模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2>1，其前n项积为Tn，且T20=T10，则Tn取得最大值时，n的值为(　　)
A.15 B.16
C.29 D.30
6.(2024·阜阳模拟)设正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(n∈N*)，则(　　)
A.{an}是等差数列 B.{Sn}是等差数列
C.{an}是递增数列 D.{Sn}是递增数列
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·张掖模拟)已知数列{an}满足a1=2，an+1=，则下列说法正确的是(　　)
A.a3=
B.数列{an}为递减数列
C.数列为等差数列
D.an=
8.(2024·合肥模拟)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，≥2，数列{bn}满足bn=，则下列等式可能成立的是(　　)
A.=b2b8 B.2b4=b2+b6
C.2a4=a2+a6 D.=a2a8
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·新课标全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=　　　　.
10.(2024·唐山模拟)如图所示的数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，每行的第n个数从上到下形成以2n-1为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第n行(n∈N*)所有数据的和Sn=　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2024·南通模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn-an=n2+1，n∈N*.
(1)求a1，a2，并证明：数列{an+an+1}是等差数列；(7分)
(2)求S20.(6分)
12.(14分)已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=8·3n-1.
(1)证明： λ∈R，使得数列{an+λ·3n}成等比数列；(8分)
(2)求数列{an}的前n项和Sn.(6分)
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)[牛顿数列]英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为x1的点处作f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2；用x2代替x1重复上面的过程得到x3；一直下去，得到的数列{xn}叫做牛顿数列.若函数f(x)=x2-x-6，an=ln且a1=1，xn>3，数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　)
A.xn+1=xn-
B.数列{an}是递减数列
C.数列{an}是等比数列
D.S2 025=22 025-1
14.(2024·济南模拟)已知{an}是各项均为正整数的递增数列，{an}的前n项和为Sn，若Sn=2 024，则当n取最大值时，an的最大值为(　　)
A.63 B.64
C.71 D.72
答案精析
1.B　2.D　3.C　4.A　5.A　6.D
7.BCD　8.ABC
9.95
解析　方法一　(基本量法)
设数列{an}的公差为d，
则由题意得
解得
则S10=10a1+d
=10×(-4)+45×3=95.
方法二　(利用下标和性质)
设数列{an}的公差为d，
由a3+a4=a2+a5=7，
3a2+a5=5，
得a2=-1，a5=8，
故d==3，a6=11，
则S10=×10=5(a5+a6)
=5×19=95.
10.3n-2n
解析　因为每行的第n个数从上到下形成以2n-1为首项，以3为公比的等比数列，所以Sn=30×2n-1+31×2n-2+32×2n-3+…+3n-1×20，
所以Sn=3n-1×
=3n-1×
=3n=3n-2n.
11.解　(1)当n=1时，由条件得
a1-a1=2，所以a1=4.
当n=2时，由条件得(a1+a2)-
a2=5，所以a2=2.
因为Sn-an=n2+1，
所以Sn-1-an-1=(n-1)2+1(n≥2)，
两式相减得
an-an+an-1=2n-1，
即an+an-1=4n-2，
所以(an+1+an)-(an+an-1)
=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4，
从而数列{an+1+an}为等差数列.
(2)由(1)知数列{an+1+an}为等差数列，首项为a1+a2=6，公差为4，
所以an+an+1=4n+2，
所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)
=，
又a19+a20=78，
所以S20==420.
12.(1)证明　若 λ∈R，
数列{an+λ·3n}成等比数列，
则存在非零实数q，
使得=q，
即an+1+λ·3n+1=q(an+λ·3n)，
整理得an+1=qan+(qλ-3λ)3n. ①
因为an+an+1=8·3n-1，
所以an+1=-an+×3n. ②
由①②对应项系数相等得
解得
所以an+1-·3n+1=-.
因为a1=1，
所以a1-×31=-1≠0.
所以数列的各项均不为0，所以=-1.
所以数列是以-1为首项，-1为公比的等比数列，
即 λ=-，使得数列{an+λ·3n}成等比数列.
(2)解　由(1)知，
数列是以-1为首项，
-1为公比的等比数列，
所以an-·3n=(-1)n，
即an=2·3n-1+(-1)n，
所以Sn=+=3n+.
13.ACD　[f'(x)=2x-1，所以f(x)在点(xn，f(xn))处的切线方程为
y-f(xn)=f'(xn)(x-xn)，
因为xn>3，所以2xn-1≠0，
令y=0，得xn+1=xn-=xn-=，故A正确；
==，
故ln=2ln，
即an+1=2an，又a1=1，
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确；
所以S2 025==22 025-1，
D正确.]
14.C　[因为Sn=2 024是定值，要使当n取最大值时，an也取得最大值，{an}需满足各项尽可能取到最小值，又因为{an}是各项均为正整数的递增数列，所以a1=1，a2=2，a3=3，…，am=m，即{am}是首项为1，公差为1的等差数列，{am}的前m项和为
Tm=，当m=63时，
T63==2 016<2 024；
当m=64时，
T64==2 080>2 024，
又因为2 024-2 016=8，
所以n的最大值为63，此时a1=1，a2=2，a3=3，…，a62=62，an的最大值为a63=63+8=71.]微专题1　等差数列、等比数列
[考情分析]　等差数列、等比数列是高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合解答题的形式考查，属于中档题目.
考点一　等差数列、等比数列的基本运算
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，
an=am+(n-m)d.
(2)等比数列的通项公式：an=a1qn-1，an=amqn-m.
(3)等差数列的求和公式：
Sn=d.
(4)等比数列的求和公式：
Sn=
例1　(1)(2024·天津模拟)已知数列{an}是各项不为零的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，4Sn=an·an+1，则a8的值为 (　　)
A.4 B.8
C.12 D.16
(2)(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1=1，S5=5S3-4，则S4等于 (　　)
A. B.
C.15 D.40
[规律方法]　等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a1，公差d或公比q.
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn=an2+bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an=pqn-1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列.
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.
跟踪演练1　(1)(2024·北京模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第三天走的路程为 (　　)
A.12里 B.24里
C.48里 D.96里
(2)(2024·长沙模拟)已知等差数列 {an} 的公差为d，前n项和为Sn，则“d<0”是“S3n-S2nA.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
考点二　等差数列、等比数列的性质
1.通项性质：若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am+an=ap+aq=2ak；对于等比数列，有aman=apaq=.
2.前n项和的性质：
(1)对于等差数列有Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等比数列(q=-1且m为偶数时除外).
(2)对于等差数列有S2n-1=(2n-1)an.
例2　(1)(多选)(2024·哈尔滨模拟)已知数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，若a1<0，S2 000=S2 024，则 (　　)
A.d>0 B.a2 012=0
C.S4 024=0 D.Sn≥S2 012
(2)(2024·邵阳模拟)记Sn为公比小于1的等比数列{an}的前n项和，S3=2，，则S6等于 (　　)
A.6 B.3
C.1 D.
[规律方法]　等差数列、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.
跟踪演练2　(1)(2024·贵港模拟)已知等差数列{an}的公差不为0，a2 024=0，给定正整数m(m>2)，使得对任意的nA.4 047 B.4 046
C.2 024 D.4 048
(2)(2024·衡水模拟)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，满足(2n+3)Sn=(3n-1)Tn，则等于 (　　)
A.2 B.3
C.5 D.6
考点三　等差数列、等比数列的判断与证明
等差数列 等比数列
定义法 an+1-an=d =q(q≠0)
通项法 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1
中项法 2an=an-1+an+1 (n≥2) =an-1an+1 (n≥2，an≠0)
前n项和法 Sn=an2+bn (a，b为常数) Sn=kqn-k (k≠0，q≠0，1)
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
例3　(2024·茂名模拟)已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(n∈N*).
(1)证明：数列{an+1-an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若数列{bn}满足(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列.
[易错提醒]　(1)=an-1an+1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，判断一个数列是等比数列时，还要注意各项不为0.
(2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列.
(3)证明{an}不是等比数列可用特殊值法.
跟踪演练3　(2024·沧州模拟)已知数列{an}满足a1=，2an+1-anan+1=1(n∈N*).
(1)证明：数列为等差数列，并求an；
(2)令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.
答案精析
例1　(1)D　(2)C
跟踪演练1　(1)C　(2)B
例2　(1)ACD　(2)B
跟踪演练2　(1)A　(2)A
例3　(1)证明　∵an+2=3an+1-2an，
∴an+2-an+1=2(an+1-an)，
∵a1=1，a2=3，
∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列.
(2)解　由(1)得
an+1-an=2n(n∈N*)，
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=2n-1(n≥2)，
又a1=1符合上式，
∴an=2n-1(n∈N*).
(3)证明　∵··…·=(an+1，
∴=，
∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn， ①
2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]
=(n+1)bn+1. ②
②-①，
得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn，
即(n-1)bn+1-nbn+2=0， ③
则nbn+2-(n+1)bn+1+2=0. ④
④-③，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，
即bn+2-2bn+1+bn=0，
∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*)，
∴{bn}是等差数列.
跟踪演练3　解　(1)由2an+1-anan+1=1，知an+1=，
所以-
=-
=-==-1，
所以数列是以=-2为首项，-1为公差的等差数列，
所以=-2+(-1)(n-1)
=-n-1，所以an=.
(2)方法一　因为bn==-=-=-，
所以Tn=1-+-+-+…+-=1-=.
方法二　因为bn=
=-，
所以Tn=-+-+…+-
=-=2-(2-an)=an，
所以Tn=.(共83张PPT)
等差数列、等比数列
微专题1
等差数列、等比数列是高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合解答题的形式考查，属于中档题目.
考情分析
考点一
考点二
考点三
等差数列、等比数列的基本运算
等差数列、等比数列的性质
等差数列、等比数列的判断与证明
专题强化练
内容索引
等差数列、等比数列的基本运算
考点一
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，
an=am+(n-m)d.
(2)等比数列的通项公式：an=a1qn-1，
an=amqn-m.
(3)等差数列的求和公式：
Sn==na1+d.
(4)等比数列的求和公式：
Sn=
　(1)(2024·天津模拟)已知数列{an}是各项不为零的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，4Sn=an·an+1，则a8的值为
A.4 B.8 C.12 D.16
例1
√
设等差数列{an}的公差为d，
∵4Sn=an·an+1，
∴当n=1时，4S1=4a1=a1a2，
又a1≠0，∴a2=4，
∴a1+d=4，
当n=2时，4S2=a2·a3 4(a1+a2)=4a3 4(a1+4)=4(a1+2d) d=2，
∴a1=2，
∴a8=2+7×2=16.
(2)(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1=1，S5=5S3-4，则S4等于
A. B. C.15 D.40
√
方法一　若该数列的公比q=1，代入S5=5S3-4中，
有5=5×3-4，不成立，
所以q≠1.
由=5×-4，
化简得q4-5q2+4=0，
所以q2=1(舍)或q2=4，
由于此数列各项均为正数，
所以q=2，所以S4==15.
方法二　由题知1+q+q2+q3+q4
=5(1+q+q2)-4，
即q3+q4=4q+4q2，
即q3+q2-4q-4=0，
即(q-2)(q+1)(q+2)=0.
由题知q>0，所以q=2.
所以S4=1+2+4+8=15.
规律方法
等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a1，公差d或公比q.
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn=an2+bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an=pqn-1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列.
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.
(1)(2024·北京模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第三天走的路程为
A.12里 B.24里
C.48里 D.96里
跟踪演练1
√
由题意可得，此人6天中每天走的路程是公比为的等比数列，
设这个数列为{an}，前n项和为Sn，
则S6==a1=378，解得a1=192，
所以a3=192×=48，
即此人第三天走的路程为48里.
(2)(2024·长沙模拟)已知等差数列 {an} 的公差为d，前n项和为Sn，则“d<0”是“S3n-S2nA.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
√
S3n-S2n则 na1++3na1+<2
+<2n(2n-1)d
(n2-n+9n2-3n-8n2+4n)d<0
2n2d<0 d<0 ，
则“d<0”是“S3n-S2n考点二
等差数列、等比数列的性质
1.通项性质：若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am+an=ap+aq=2ak；对于等比数列，有aman=apaq=.
2.前n项和的性质：
(1)对于等差数列有Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等比数列(q=-1且m为偶数时除外).
(2)对于等差数列有S2n-1=(2n-1)an.
(1)(多选)(2024·哈尔滨模拟)已知数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，若a1<0，S2 000=S2 024，则
A.d>0 B.a2 012=0
C.S4 024=0 D.Sn≥S2 012
例2
√
√
√
因为S2 000=S2 024，
所以a2 001+a2 002+…+a2 024=0，
所以=0，
所以a2 001+a2 024=a2 012+a2 013=2a1+4 023d=0，
又因为a1<0，所以d=-a1>0，故A正确；
a2 012=a1+2 011d=a1-a1=a1<0，故B错误；
S4 024==2 012(a2 001+a2 024)=0，故C正确；
因为a2 012<0，a2 013=-a2 012>0，
所以当n≤2 012时，an<0，当n≥2 013时，an>0，
所以(Sn)min=S2 012，所以Sn≥S2 012，故D正确.
(2)(2024·邵阳模拟)记Sn为公比小于1的等比数列{an}的前n项和，S3=2，
=，则S6等于
A.6 B.3 C.1 D.
√
依题意，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9成等比数列，首项为2，设其公比为p，
则S6=2+2p，S9=2+2p+2p2，S12=2+2p+2p2+2p3，由=，
得
==，
整理得2p2-5p+2=0，
解得p=或p=2，
设等比数列{an}的公比为q，则q<1，由
得p=q3<1，故p=，所以S6=3.
规律方法
等差数列、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.
(1)(2024·贵港模拟)已知等差数列{an}的公差不为0，a2 024=0，给定正整数m(m>2)，使得对任意的n+…+am-n成立，则m的值为
A.4 047 B.4 046
C.2 024 D.4 048
√
跟踪演练2
若n>m-n，由题意知am-n+1+am-n+2+…+an=0，
由等差数列的性质知，若p+q=s+t(p，q，s，t∈N*)，
则有ap+aq=as+at，所以am-n+1+an=0，
因为公差d≠0，且a2 024=0，所以a1+a4 047=0，
所以m-n+1+n=4 048，所以m=4 047；
若n由等差数列的性质知，若p+q=s+t(p，q，s，t∈N*)，
则有ap+aq=as+at，所以an+1+am-n=0，
因为公差d≠0，且a2 024=0，所以a1+a4 047=0，
所以n+1+m-n=4 048，所以m=4 047.
综上所述，m=4 047.
(2)(2024·衡水模拟)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为
Sn，Tn，满足(2n+3)Sn=(3n-1)Tn，则等于
A.2 B.3 C.5 D.6
√
因为数列{an}，{bn}均为等差数列，可得a7+a8+a9=3a8=×15a8=S15，
且b6+b10=b1+b15，又由T15=，
可得b6+b10=T15.
因此=
=·=×=×=2.
考点三
等差数列、等比数列的判断与证明
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
等差数列 等比数列
定义法 an+1-an=d =q(q≠0)
通项法 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1
中项法 2an=an-1+an+1(n≥2) =an-1an+1(n≥2，an≠0)
前n项和法 Sn=an2+bn(a，b为常数) Sn=kqn-k(k≠0，q≠0，1)
(2024·茂名模拟)已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(n∈N*).
(1)证明：数列{an+1-an}是等比数列；
例3
∵an+2=3an+1-2an，
∴an+2-an+1=2(an+1-an)，
∵a1=1，a2=3，
∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式；
由(1)得an+1-an=2n(n∈N*)，
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=2n-1(n≥2)，
又a1=1符合上式，∴an=2n-1(n∈N*).
(3)若数列{bn}满足··…·=(an+1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列.
∵··…·=(an+1，
∴=，
∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn， ①
2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1. ②
②-①，得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn，
即(n-1)bn+1-nbn+2=0， ③
则nbn+2-(n+1)bn+1+2=0. ④
④-③，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，
即bn+2-2bn+1+bn=0，
∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*)，
∴{bn}是等差数列.
易错提醒
(1)=an-1an+1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，判断一个数列是等比数列时，还要注意各项不为0.
(2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列.
(3)证明{an}不是等比数列可用特殊值法.
(2024·沧州模拟)已知数列{an}满足a1=，2an+1-anan+1=1(n∈N*).
(1)证明：数列为等差数列，并求an；
跟踪演练3
由2an+1-anan+1=1，知an+1=，
所以-=-
=-==-1，
所以数列=-2为首项，-1为公差的等差数列，
所以=-2+(-1)(n-1)=-n-1，
所以an=.
(2)令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.
方法一　因为bn==-=-=-，
所以Tn=1-+-+-+…+-=1-=.
方法二　因为bn==-，
所以Tn=-+-+…+-
=-=2-(2-an)=an，
所以Tn=.
专题强化练
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C A A D BCD ABC
题号 9 10 13 14
答案 95 3n-2n ACD C
对一对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
14
(1)当n=1时，由条件得a1-a1=2，所以a1=4.
当n=2时，由条件得(a1+a2)-a2=5，所以a2=2.
因为Sn-an=n2+1，
所以Sn-1-an-1=(n-1)2+1(n≥2)，
两式相减得an-an+an-1=2n-1，
即an+an-1=4n-2，
所以(an+1+an)-(an+an-1)=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4，
11.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
14
从而数列{an+1+an}为等差数列.
(2)由(1)知数列{an+1+an}为等差数列，首项为a1+a2=6，公差为4，所以an+an+1=4n+2，
所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)
=，
又a19+a20=78，
所以S20==420.
11.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
14
(1)若 λ∈R，数列{an+λ·3n}成等比数列，
则存在非零实数q，使得=q，
即an+1+λ·3n+1=q(an+λ·3n)，
整理得an+1=qan+(qλ-3λ)3n. ①
因为an+an+1=8·3n-1，
所以an+1=-an+×3n. ②
由①②对应项系数相等得
12.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
14
解得
所以an+1-·3n+1=-.
因为a1=1，所以a1-×31=-1≠0.
所以数列的各项均不为0，
所以=-1.
12.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
14
所以数列是以-1为首项，-1为公比的等比数列，
即 λ=-，使得数列{an+λ·3n}成等比数列.
(2)由(1)知，数列是以-1为首项，-1为公比的等比数列，
所以an-·3n=(-1)n，
即an=2·3n-1+(-1)n，
所以Sn=+=3n+.
12.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
14
一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5=S10，a5=1，则a1等于
A. B. C.- D.-
√
素养提升
答案
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，则a8=0，
则等差数列{an}的公差d==-，
故a1=a5-4d=1-4×=.
答案
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2.(2024·安康模拟)已知在正项等比数列{an}中，a2a4=16，且a3，10，成等差数列，则a1+a4+a7等于
A.157 B.156 C.74 D.73
√
答案
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
因为数列{an}为正项等比数列，所以由等比中项性质知a3==4.
由a3，10，成等差数列，得20=a3+，所以a6=32，
所以等比数列{an}的公比q==2，
所以a1==1，a4=a3q=8，a7=a3q4=64，
所以a1+a4+a7=73.
答案
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3.(2024·运城模拟)已知数列{an}是等差数列，a3-a5=2，则a5+a10-a8等于
A.4 B.-2 C.-4 D.-8
√
答案
因为a3-a5=2，则a3-2a5=4，
又2a5=a3+a7，则a3-(a3+a7)=4，
解得a7=-4，
所以a5+a10-a8=a7+a8-a8=a7=-4.
14
4.(2024·绵阳模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，a2=3，数列{anan+1}是公比为2的等比数列，则S9等于
A.76 B.108 C.512 D.19 683
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
√
答案
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
因为数列{anan+1}是公比为2的等比数列，则有==2，
而a1=1，a2=3，
则数列{a2n-1}是以1为首项，2为公比的等比数列，{a2n}是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以S9=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8)=+=76.
14
5.(2024·泰安模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2>1，其前n项积为Tn，且T20=T10，则Tn取得最大值时，n的值为
A.15 B.16 C.29 D.30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
√
由T20=T10，得=a11a12…a19a20=(a15a16)5=1， a15a16=1，
则a1a30=a2a29=a15a16=1，由于a2>1，得0所以等比数列{an}是递减数列，故a15>1>a16>0，则Tn取得最大值时，n=15.
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6.(2024·阜阳模拟)设正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=
(n∈N*)，则
A.{an}是等差数列 B.{Sn}是等差数列
C.{an}是递增数列 D.{Sn}是递增数列
√
答案
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
依题意可得an=Sn-Sn-1，n≥2.
因为Sn=(n∈N*)，
所以当n=1时，S1=，
即S1=，解得S1=1(负值舍去)，
当n≥2时，Sn=，
整理得-=1，
所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列.
从而=n， Sn=.
答案
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
因为当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-.
当n=1时也适合上式，
所以an=-，故选项A，B错误，选项D正确；
因为a2=-=-1<1=a1，所以选项C错误.
答案
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7.(2024·张掖模拟)已知数列{an}满足a1=2，an+1=，则下列说法正确
的是
A.a3=
B.数列{an}为递减数列
C.数列为等差数列
D.an=
√
答案
二、多项选择题
√
√
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
因为a1=2，an+1=，
则an+1-1=-1==1，
所以-=-==，
故是以1为首项，为公差的等差数列，
所以=1+(n-1)=，
则an-1=，
故an=1+=，a3==，故A错误，BCD正确.
答案
14
8.(2024·合肥模拟)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，≥2，数列{bn}满足bn=，则下列等式可能成立的是
A.=b2b8 B.2b4=b2+b6
C.2a4=a2+a6 D.=a2a8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
√
答案
√
√
14
等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若≥2，
则当首项a1>0时，公差d≥2a1；
当a1<0时，公差d≤2a1，
因为Sn=na1+d，
所以bn==
=2a1+(2n-1)d=(2a1+d)+(n-1)×2d，
所以数列{bn}是以2a1+d为首项，2d为公差的等差数列.
对于A，取a1=1，d=2，则bn=4+4(n-1)=4n，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
14
可得b2=8，b4=16，b8=32，此时=b2b8，故A选项符合题意；
对于B，由于数列{bn}是等差数列，所以2b4=b2+b6恒成立，故B选项符合题意；
对于C，由于数列{an}是等差数列，所以2a4=a2+a6恒成立，故C选项符合题意；
对于D，若-a2a8=(a1+3d)2-(a1+d)(a1+7d)=2d(d-a1)=0，
则d=0或d-a1=0，与已知矛盾，
所以=a2a8不可能成立，故D选项不符合题意.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
14
三、填空题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9.(2024·新课标全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7，3a2+
a5=5，则S10=　　.
答案
95
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
方法一　(基本量法)
设数列{an}的公差为d，
则由题意得
解得
则S10=10a1+d
=10×(-4)+45×3=95.
答案
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
方法二　(利用下标和性质)
设数列{an}的公差为d，
由a3+a4=a2+a5=7，
3a2+a5=5，
得a2=-1，a5=8，
故d==3，a6=11，
则S10=×10=5(a5+a6)
=5×19=95.
答案
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10.(2024·唐山模拟)如图所示的数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，每行的第n个数从上到下形成以2n-1为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第n行(n∈N*)所有数据的和
Sn=　　　.
答案
3n-2n
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
因为每行的第n个数从上到下形成以2n-1为首项，以3为公比的等比数列，所以Sn=30×2n-1+31×2n-2+32×2n-3+…+3n-1×20，所以
Sn=3n-1×
=3n-1×=3n
=3n-2n.
答案
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11.(2024·南通模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn-an=n2+1，n∈N*.
(1)求a1，a2，并证明：数列{an+an+1}是等差数列；
答案
四、解答题
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
当n=1时，由条件得a1-a1=2，所以a1=4.
当n=2时，由条件得(a1+a2)-a2=5，所以a2=2.
因为Sn-an=n2+1，
所以Sn-1-an-1=(n-1)2+1(n≥2)，
两式相减得an-an+an-1=2n-1，
即an+an-1=4n-2，
所以(an+1+an)-(an+an-1)=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4，
从而数列{an+1+an}为等差数列.
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)求S20.
答案
由(1)知数列{an+1+an}为等差数列，首项为a1+a2=6，公差为4，所以an+an+1=4n+2，
所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)
=，
又a19+a20=78，
所以S20==420.
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12.已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=8·3n-1.
(1)证明： λ∈R，使得数列{an+λ·3n}成等比数列；
答案
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
若 λ∈R，数列{an+λ·3n}成等比数列，
则存在非零实数q，使得=q，
即an+1+λ·3n+1=q(an+λ·3n)，
整理得an+1=qan+(qλ-3λ)3n. ①
因为an+an+1=8·3n-1，
所以an+1=-an+×3n. ②
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
由①②对应项系数相等得
解得
所以an+1-·3n+1=-.
因为a1=1，所以a1-×31=-1≠0.
所以数列的各项均不为0，
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
所以=-1.
所以数列是以-1为首项，-1为公比的等比数列，
即 λ=-，使得数列{an+λ·3n}成等比数列.
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
由(1)知，数列是以-1为首项，-1为公比的等比数列，
所以an-·3n=(-1)n，
即an=2·3n-1+(-1)n，
所以Sn=+=3n+.
14
13.(多选)[牛顿数列]英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为x1的点处作f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2；用x2代替x1重复上面的过程得到x3；一直下去，得到的数列{xn}叫
做牛顿数列.若函数f(x)=x2-x-6，an=ln且a1=1，xn>3，数列{an}的前n
项和为Sn，则下列说法正确的是
A.xn+1=xn-
B.数列{an}是递减数列
C.数列{an}是等比数列
D.S2 025=22 025-1
思维创新
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
√
√
√
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
f'(x)=2x-1，所以f(x)在点(xn，f(xn))处的切线方程为y-f(xn)=f'(xn)(x-xn)，
因为xn>3，所以2xn-1≠0，
令y=0，得xn+1=xn-=xn-=，故A正确；
==，
故ln=2ln，
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
即an+1=2an，又a1=1，
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确；
所以S2 025==22 025-1，D正确.
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
14.(2024·济南模拟)已知{an}是各项均为正整数的递增数列，{an}的前n项和为Sn，若Sn=2 024，则当n取最大值时，an的最大值为
A.63 B.64 C.71 D.72
√
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
因为Sn=2 024是定值，要使当n取最大值时，an也取得最大值，{an}需满足各项尽可能取到最小值，又因为{an}是各项均为正整数的递增数列，所以a1=1，a2=2，a3=3，…，am=m，即{am}是首项为1，公差为1的等差数列，{am}的前m项和为Tm=，
当m=63时，T63==2 016<2 024；
当m=64时，T64==2 080>2 024，
又因为2 024-2 016=8，
所以n的最大值为63，此时a1=1，a2=2，a3=3，…，a62=62，an的最大值为a63=63+8=71.
14

展开更多......

收起↑