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第6章 实数
6.2.1 实数的概念及其分类
学习目标与重难点
学习目标：
1.了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类
2.能够判断一个数是有理数还是无理数。
3.培养学生的逻辑思维能力、分类能力和数形结合思想。
学习重点：
实数和无理数的概念及其分类。
学习难点：
无理数的理解和识别，特别是其“无限不循环”的特性。
预习自测
一、知识链接
1.一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________，也叫做______________．
2.正数的立方根是一个___数；
3.负数的立方根是一个___数；
4.0的立方根是___.
5.______________．
二、自学自测
1.是无理数吗？
2.什么是实数？
3.实数怎么进行分类？
教学过程
一、复习回顾、导入新课
有理数包括整数和分数，整数和分数可统一写成分数的形式（整数可以看作分母为1的分数）.
有理数总可写成(m，n是整数，且m≠0)的形式.例如，
2=，0.5= ，0. =.
任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式.
任何整数、分数都可以化为有限小数和无限循环小数，因此有理数是有限小数或无限循环小数.
二、合作交流、新知探究
思考
下图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形．
（1）有面积分别是1，4，9 的格点正方形吗？
（2）有面积是2的格点正方形吗？把它画出来．
思考：还有与这些面积不相同的格点正方形吗？
我们看到四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成一个面积为2的格点正方形，这种正方形的边长应是多少？
探究一：无理数
教材第10页
问题1：是一个怎样的数呢？
问题2：请将1、2、用“<”连接起来.
问题3：在1和2之间的一位小数有1.1，1.2，，1.9，那么在哪两个一位小数之间呢？
问题4：如果一直（无限）做下去，我们可以得到什么？
利用计算器计算：
=___________________;
=___________________;
π=___________________;
【定义】__________________叫做无理数.
无理数可分为正无理数与负无理数，如，π 是正无理数； ， π是负无理数．
探究二：实数
教材第11页
【定义】有理数和无理数统称为实数.
问题：你能将实数进行分类吗？
三、课堂练习、巩固提高
1.把下列各数分类填入图中：
0，3，1，，，0. ，0.25，3.14，π，，，，，，，0.181 881 888(两个1之间依次增加一个8)
2.判断正误(在题后的括号内打“√”或“×”):
（1）无限小数都是无理数。（ ）
（2）无限不循环小数是无理数。（ ）
（3）无理数是带根号的数。（ ）
（4）分数是无理数。（ ）
3.在， ， ， 和中，介于3和4之间的无理数有__________________.
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1.什么是无理数？
2.什么是实数？
3.怎么将实数进行分类？
五、【课堂练习】
【知识技能类作业】
必做题
1.下列各数中，为无理数的是 (　 )
A.-1　　　 B.　　　 C.　　　 D.π
2.已知均属于同一类数，不一定属于该类数，则这类数可以是（　　）
A．正有理数 B．负实数 C．整数 D．无理数
3.下列说法中，正确的是 (　 )
A.无理数包括正无理数、零和负无理数
B.无限小数都是无理数
C.正实数包括正有理数和正无理数
D.实数可以分为正实数和负实数
选做题
4.在3.14，，4π，，-，0.123 45…中，无理数有________________个.
5.写出一个无理数，使它在和之间　 　．
6.若|a-2|=2-a，则a= 　　　(请写出一个符合条件的无理数).
【综合拓展类作业】
7.把下列各数分别填入相应的大括号里.
+1.99，-5，-，0，-3.14，，6，π，-12.101 001…（相邻两个1之间逐次增加一个0）.
正数：｛　　 　　　　　 　　　 …｝；
整数：｛　　　　　 　　　　 　 …｝；
分数：｛　　　 　　　　 　　　 …｝；
无理数：｛　　　 　　　　 　　 …｝.
六、【作业布置】
1.下面各正方形的边长是无理数的是 （　　）
A. 面积为25的正方形
B. 面积为的正方形
C. 面积为27的正方形
D. 面积为1.44的正方形
2.下列说法正确的有（ ）.
（1）不存在绝对值最小的无理数.
（2）不存在绝对值最小的实数.
（3）不存在与本身的算术平方根相等的数.
（4）比正实数小的数都是负实数.
（5）非负实数中最小的数是0.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个
3.若实数是一个有理数，则满足条件的x的最大负整数是________．
4.如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图.
(1)当x为9时，y的值为　　　　.
(2)如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的x满足的条件:　　　　.
(3)当输出的y的值是时，输入x的值并不唯一，请写出两个满足要求的x的值:　　　　.
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】-1， 是整数， 是分数，它们不是无理数;π是无限不循环小数，它是无理数.故选D.
2.【答案】D
【解析】解：两个正有理数的和为正有理数；
两个负实数的和为负实数；
两个整数的和为整数；
两个无理数的和不一定是无理数，如与-和是0，和是有理数.
∴A、B、C选项均正确，不符合题意；D选项不正确，符合题意.
故答案为：D.
3.【答案】C
【解析】无理数包括正无理数和负无理数，故A选项错误;无限
循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B选项错误;
实数可分为正实数、零和负实数，故D选项错误.故选C.
4.【答案】3
【解析】无理数有，4π，0.123 45…，共3个.
5.【答案】（答案不唯一）
6.【答案】（答案不唯一）
【解析】∵|a-2|=2-a，
∴a-2≤0，即a≤2
7.【答案】
解：正数：｛+1.99，，6，π，…｝；
整数：｛-5，0，6，…｝；
分数：｛+1.99，-，-3.14，…｝；
无理数：｛π，-12.101 001…（相邻两个1之间逐次增加一个0），…｝.
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：下面各正方形的边长是无理数的是 （　　）
A. 面积为25的正方形的边长是5。
B. 面积为的正方形的边长是.
C. 面积为27的正方形.
D. 面积为1.44的正方形的边长是1.2。
2.【答案】A
【解析】解：
（1）不存在绝对值最小的无理数，本选项正确。
（2）存在绝对值最小的实数0，故本选项错误。
（3）存在与本身的算术平方根相等的数，0和1，故本选项错误。
（4）比正实数小的数还有0，故本选项错误。
（5）非负实数中最小的数是0，本选项正确。
3.【答案】-7
【解析】根据条件，知x－1＝(－2)3，解得x＝－7.
4.【答案】解:(1)当x为9时，=3，3为有理数，再取3的算术平方根是，为无理数，故答案为.
(2)根据负数没有算术平方根，即可判断x<0，
故答案为x<0.
(3)x的值不唯一.
当x=2时，是无理数，
当x=4时，=2，再取2的算术平方根是，为无理数，
故答案为x=2或x=4.
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