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第十一章　不等式与不等式组
11.1　不等式
人教版-数学-七年级下册
11.1.1 不等式及其解集
学习目标
1．理解不等式的概念，理解不等式的解与解集的意义，理解它们的区别与联系.【重点】
2．会用不等式表示简单问题的数量关系.【难点】
一辆汽车在一条规定车速应高于 60 km/h，且低于 100 km/h 的高速公路上行驶，如何用式子来表示汽车在该高速公路上行驶的路程 s (km)与行驶时间 x (h) 之间的关系呢？
新课导入
210 km
A
6:00
8:00
新知探究
知识点 不等式的概念
1
问题1 一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6:00时汽车距前方的A地210 km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
分析：设车速是 x km/h.
从时间上看，就是以x km/h的速度行驶 210 km的时间不到2 h,这个不等关系可以表示为
从路程上看，就是以x km/h的速度行驶2 h的路程要超过210 km，这个不等关系可以表示为
新知探究
汽车要在8:00 之前驶过 A 地，
式子 和式子 从不同的角度表示了车速应满足的条件.
新知探究
它们有什么共同的特点？
式子里含有不是“=”的符号.
像①②这样用符号 “＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式. 像 a + 2 ≠ a - 2 这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
新知探究
有些不等式中不含字母，例如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有字母，例如①②这样的不等式.我们常用不等式来表示不等关系.
概念归纳
判断下列式子是不是不等式：
(1) -3 ＞ 0； (2) 4x ＋ 3y ＜ 0；
(3) x = 3； (4) x2 ＋ xy ＋ y2；
(5) x ＋ 2 ＞ y ＋ 5.
解 ： (1)、 (2) 、 (5) 是不等式；
(3)、 (4) 不是不等式.
新知探究
针对练习
例 用不等式表示下列不等关系：
（1）a 与15的和大于27；
（2）b 的一半与3的差是负数；
（3）某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1 333 hm 猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍.
a+15 ＞ 27
设这个县原有猕猴桃种植面积为x hm ，那么1 333＞18x,也可以
表示为18x＜1 333.
新知探究
- 3 ＜ 0
知识点 列不等式
2
用不等式表示下列不等关系：
（1）x 的 5 倍大于 -7；
（2）a 与 b 的和的一半小于 -1；
（3）长、宽分别为 x cm，y cm 的长方形的面积小于边长为 a cm 的正方形的面积.
5x > -7
xy ＜ a2
针对练习
新知探究
对于不等式 2x > 210 ，当 x =90,110时，不等式成立吗？
当 x = 90时，180 < 210，不成立；
当 x = 110时，220 >210，成立.
解：
新知探究
知识点 不等式的解与解集
3
当不等式中的字母表示未知数时，经常需要求出未知数应取哪些值.
与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.
代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法.
例如：110 是 不等式2x＞210 的解，而90不是不等式2x＞210的解.
新知探究
概念归纳
探究 （1）再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x＞210 的解.
新知探究
x 90 95 100 105 110 115 120
2x
2x＞210
180
190
200
210
220
230
240
不成立
不成立
不成立
不成立
成立
成立
成立
新知探究
当 x＞105时，不等式 2x＞210 总成立；而当x＜105或 x=105时，不等式 2x＞210不成立.这就是说，任何一个大于105的数都是不等式 2x＞210 的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105的数都不是不等式 2x＞210 的解.因此，x＞105表示了能使不等式2x＞210 成立的 x 的取值范围.
探究 （2）观察不等式2x＞210 的解，它们都满足什么条件？
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.例如 x＞105是不等式 2x＞210 的解集.
想一想：
1. 不等式的解和不等式的解集是一样的吗
2. 不等式的解与解不等式一样吗？
求不等式的解集的过程叫作解不等式.
概念归纳
新知探究
不等式的解 不等式的解集
区别 定义
特点
形式
联系
满足一个不等式的未知数的某个值
满足一个不等式的未知数的所有值
个体
全体
如：x＝3 是不等式 2x－3＜7 的一个解
如：x＜5 是不等式 2x－3＜7 的解集
某个解一定是解集中
的一员
解集一定包含了
所有的解
不等式的解与不等式的解集的区别与联系
新知探究
新知探究
下列说法正确的是( )
A. x = 3 是 2x + 1 > 5 的解
B. x = 3 是 2x + 1 > 5 的唯一解
C. x = 3 不是 2x + 1 > 5 的解
D. x = 3 是 2x + 1 > 5 的解集
A
针对练习
问题2 如何在数轴上表示出不等式 2x＞210 的解集 x＞105呢？
在表示 105 的点上画空心圆圈，表示解集不包含这个点所对应的数.
新知探究
知识点 在数轴上表示不等式的解集
4
先在数轴上标出表示 105的点 A；
点 A 右边所有的点表示的数都大于 105，
而点 A 左边所有的点表示的数都小于 2.
因此可以像下图那样表示不等式的解集 x > 105.
A
105
0
解集的表示方法：
第一种：用式子 (如 x > 2)，即用最简形式的不等
式 (如 x > a 或 x < a ) 来表示.
第二种：用数轴，一般标出数轴上某一范围，其中
的点对应的数值都是不等式的解.
用数轴表示不等式的解集的步骤：
第一步：画数轴；第二步：定界点；
第三步：定方向.
新知探究
利用数轴来表示下列不等式的解集.
(1) x＞-1 ； (2) x＜ .
0
-1
0
1
变式：已知关于 x 的不等式的解集在数轴上表示如图，你能写出此解集吗
0
-2
新知探究
x＜-2
针对练习
用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：
1.大于向右画，小于向左画；
2. ＞，＜ 画空心圆圈.
归纳总结
新知探究
不等式
不等式的解
一般地，用符号“>”“<”“≠”表示不等关系的式子
使不等式成立的未知数的值
不等式的解集
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集
不等式的解集在数轴上表示
列不等式
定义
“>”空心圆圈向右画
“<”空心圆圈向左画
课堂小结
1. 下列式子是不等式的有(　　)
①2x＝20；②3>2；③x≠4－3；④5a＋6b; ⑤ x＞2y；⑥1＞3x＋5y； ⑦ ；⑧ ＞3.
A．2个　　B．3个　　 C．4个　　　D．5个
D
课堂训练
2.列不等式：
(1)a与1的和是正数：____________；
(2)a与3的和小于－3：____________；
(3)a与－2的差大于5：____________；
(4)a的5倍小于10：____________；
(5)a的三分之一大于－7：____________.
a＋1>0
a＋3<－3
a－(－2)>5
5a<10
a>－7
课堂训练
3. 下列不是不等式 5x－3 < 6 的一个解的是 (　　)
A.1 B.2
C.－1 D.－2
B
课堂训练
4.直接写出x+4＜6的解集，并在数轴上表示出来．
0
1
2
解：x＜2．
这个解集可以在数轴上表示为：
课堂训练
谢谢

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