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解三角形中档大题专练
1．记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，
(1)求
(2)设，求边上的高.
2．记的内角的对边分别为，已知
(1)求A的值；
(2)若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值.
3．已知内角所对的边分别为，．
(1)求；
(2)若，，求的周长．
4．已知函数的内角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求的面积的最大值.
5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求
(2)若，，求的周长.
6．在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
7．已知中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)若，求；
(2)求的取值范围．
8．在中．已知．
(1)求．
(2)若点为的中点．且．求的面积．
9．在 中，内角的对边分别为，已知 ，且 .
(1)求的值;
(2)设 ，求的值.
10．在中，角的对边分别为，已知，.
(1)求角和；
(2)在边上取一点，使得，求的值.
11．记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
(1)求；
(2)若，且边上的高为，求的周长．
12．已知的内角所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，中线，求．
13．在中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求角；
(2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围.
14．在中，.
(1)求；
(2)若，边上中线的长为2，求的面积.
15．已知内角的对边分别为.
(1)求的值；
(2)若的面积为，且，求的周长.
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，且．
(1)求的值；
(2)若的外接圆半径为5，求面积的最大值．
17．已知中，角A、、的对边分别为、、，，向量，，且.
(1)求角A的大小；
(2)当取得最大值时，求角的大小和的面积.
18．记的内角的对边分别为，已知，．
(1)求；
(2)若为边上任意一点，作于，设，试用表示，并求的最大值．
19．已知，，．
(1)求函数的最小正周期以及单调递增区间；
(2)若锐角的内角、、所对的边分别为、、，若，，求周长的取值范围．
20．已知向量，，函数.
(1)求的最小正周期和单调递减区间；
(2)在锐角中，，，为的内角，，的对边，BC边上的中线，且，求面积的最大值.
21．在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求的面积；
(2)若是线段的中点，求的长.
22．设函数，其中向量．
(1)求的最小值；
(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知，的面积为，求的值．
23．记的内角的对边分别为，已知，且.
(1)若，求的面积;
(2)若，求的周长.
24．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)的中点为的平分线交于点，若，求．
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《解三角形中档大题专练》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出，再由，结合平方关系可求的值；
（2）结合（1）可得，再利用三角形面积相等可求得边上的高.
【详解】（1）在中，
，，
而A为三角形内角，
，
，
整理得，得，
又，且，
（2）由正弦定理得，
得，
由（1）得，，，
，
设边上的高为h，则，
边上的高为
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用角之间的关系消去角C，运算即可得到再求角即可；
（2）不妨设利用中线求出b，再利用正弦定理求解，进而在三角形中求解即可.
【详解】（1）在，因为，由正弦定理得：
即
即
因为
所以
而
所以
整理得
因为中
所以
又所以
（2）因为AM是边BC的中线，所以
则
不妨设则所以
即解得或舍
所以
在中即
即，
解得即
所以，在中
又易知，P是重心，所以
所以
3．(1)
(2)15
【分析】（1）利用正弦定理边化角，及二倍角公式化简求解；
（2）由得，结合余弦定理求得，得解.
【详解】（1）由正弦定理及二倍角公式得，
因为，所以，，故，
所以.
（2）由，得，则，
由余弦定理得，
所以，故，
所以周长为.
4．(1)
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用，并结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求得，根据三角形面积公式求得答案.
【详解】（1）因为，
则
，
在中，由，得，则，
由，得，则，
所以.
（2）由余弦定理得，
整理可得，，
又，当且仅当取等号，
则，则，
因为，
则（当且仅当取等号）.
的面积的最大值为.
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式可得，从而可求的值；
（2）利用两角和与差的余弦公式化简已知等式可得，则，，再利用正弦定理可求的周长.
【详解】（1）由可得
从而
化简得，
，，故
（2）由，可得，
即
即
，，
，所以，
在中，由正弦定理，，
解得，
故的周长为
6．(1)
(2)
【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可.
（2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可.
【详解】（1）在锐角中，因为，
所以由正弦定理得，故，
得到，化为，
故得，化简得，
即，由余弦定理得，
因为，所以.
（2）因为，由正弦定理得，
所以，且设周长为，
所以，
，
，
因为在锐角中，所以，
所以，解得，
综上可得，所以，
故，则，
得到，即，
故周长的取值范围为.
7．(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及余弦定理求得，再由直角三角形求得答案.
（2）由（1）得到，求得，再求出的范围，借助不等式性质求出范围.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，整理得，
而，由余弦定理得，即，
联立解得，，因此，，所以.
（2）由（1）知，则，且，
由，得，即，
因此，
所以的取值范围是.
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理可得答案.
（2）在，由余弦定理可得，先求出，由三角形面积公式可求得△ABC的面积.
【详解】（1）因为．所以，
设．
则由余弦定理得；
（2）在中．．
由余弦定理得．
即．解得．
又
故．
9．(1)
(2)
【分析】（1）先算出的值，再利用正弦定理得进行化简，然后得到相应的值；
（2）由得到，再由余弦定理，得到，从而得到.
【详解】（1）由，且，
则，
又因为，由正弦定理得，
所以
（2）因为，得，
所以，即
由余弦定理得：
所以得，
所以，
所以.
10．(1)，
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求出角和边的值即解得或（舍去），所以.
（2）继续用正弦定理，并判断角属于钝角还是锐角从而判断余弦角正负，再利用正弦角的和差公式求出从而求出.
【详解】（1）由及正弦定理得
，
即，
所以，
由知，故，又，
所以.
由余弦定理得
即解得或（舍去），所以.
（2）在中，由正弦定理得所以，
在中，因为，
故为钝角，所以为锐角，因此.
又，所以，
又为锐角，所以，
所以.
11．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得，利用三角恒等变换可求得，进而可求得；
（2）由余弦定理可得，又由三角形的面积可得，进而可求的周长.
【详解】（1）因为，所以根据正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以；
（2）因为，，所以由余弦定理可得，
所以，，
又因为边上的高为，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以的周长为．
12．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，利用两角和的正弦公式化简，转化为三角函数求角；
（2）首先根据三角形的面积公式，求得，，根据中线向量关系，可得，再根据余弦定理即可求得.
【详解】（1）在中，，则，
因为，
则，
由正弦定理得：，
所以，
所以，
又，得，所以，即，
由，解得.
（2）因为的面积为，
所以，
由（1）知，故，
因为为中线，即为中点，
则，又，
则，所以，
解得，
由余弦定理得，
所以.
13．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式，将原式化为，进而可得结果；
（2）设，，由正弦定理得，可得，根据余弦定理求得或，分类讨论可求出三角形面积，再根据的范围可得结果.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可知，
因为，
整理得，
因为，所以，所以，即，
又因为，所以．
（2）如图，设，，由正弦定理有，得，
因为，所以，所以，
在中，由余弦定理可知，，
即，解得或．
若，，
则的面积为：，即；
若，则，
则，
因为，
所以，
综上可得的面积的取值范围为.
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系和正弦定理化简可得，进而求出；
（2）根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式求出面积.
【详解】（1）因为，由正弦定理得
所以，即，
又因为，所以，
所以，所以.
（2）
设中点为，，，则，
即，即，
所以，
所以.
15．(1)
(2).
【分析】（1）由二倍角公式结合同角三角函数关系可得答案；
（2）由的面积为，结合余弦定理可得，然后可得答案.
【详解】（1）因为，即，
因为，所以，
因为，即，所以；
（2）因为，所以，
因为，即，
因为，所以，得，
所以，所以的周长为.
16．(1)
(2)32
【分析】（1）根据向量数量积公式得到方程，由正弦定理和，得到，结合同角三角函数关系得到方程，求出；
（2）利用正弦定理得到，由余弦定理和基本不等式求出，从而得到面积的最大值.
【详解】（1），
由正弦定理得，
又，
故，
即，
又，故，故，
又，故，
又，故，解得；
（2）由正弦定理得，
由（1）知，，
所以，
又，，
由余弦定理得，
所以，
由基本不等式得，故，解得，
当且仅当时，等号成立，
故，
故面积的最大值为32.
17．(1)
(2)，
【分析】（1）根据向量的垂直坐标表示，结合三角恒等变换知识可求得，进而得到角A；
（2）利用三角恒等变换可化简得到，可知当时，取得最大值；利用正弦定理可求得，利用两角和差正弦公式可求得，代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】（1）因为，则，
又因为，则，
可得，
且，所以.
（2）由题意可得：
，
因为，则，
可知当，即时，取得最大值，
在中，由正弦定理得：，
且，
所以的面积.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理可求角大小，再由，可得角；
（2）在中，由正弦定理求，在直角中求，再利用三角恒等变换求的最值.
【详解】（1）由得，
，
又，且；
（2）由（1）知，，则为直角三角形，
在中，由正弦定理知，即，
在中，，
所以
由，当，即时，取得最大值为.
19．(1)，单调递增区间为，
(2)
【分析】（1）根据向量数量积运算表示，利用二倍角公式，辅助角公式将的解析式化为，结合周期公式及余弦函数的单调性求结论；
（2）由（1）条件可化为，解方程可求，结合正弦定理利用表示，表示，结合三角函数性质求其范围，由此可得周长范围.
【小题1】，，
∴，
∴函数的最小正周期为，
令，解得，
∴单调递增区间为，．
【小题2】由（1）知，即，
∵，即，∴，∴．
由正弦定理得：，
得，
．
而，解得，∴，
，，
．
∴周长的取值范围．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）利用平面向量坐标运算的性质得到，再利用三角函数的性质求解最小正周期和单调减区间即可.
（2）法一利用向量中线定理得到，再结合基本不等式求解最值，法二利用多次余弦定理得到，再结合基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）依题意得
，
，因此函数的最小正周期，
由，解得，
所以的单调递减区间是.
（2）由（1）知，，即，
在锐角中，，则，即，
法一：由向量中线定理得，
所以，
所以，化简得，
由重要不等式得，当且仅当时取等，
所以，解得，
故，
当且仅当时取等，故面积的最大值为.
法二：在中，由余弦定理得，
即，
在中，由余弦定理得，
即，
因为，
所以，
两式子相加得，
在中，由余弦定理得，
化简得到，
代入中，整理得，
由重要不等式得，当且仅当时取等，
所以，解得，
故，
当且仅当时取等，故面积的最大值为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用余弦定理求出，求出的面积；
（2）由平面向量中点的性质得，再利用平面向量的数量积运算法则即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，又，
所以的面积.
（2）因为D是线段的中点，
所以，即，
则|
，
所以，故的长为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得，再由正弦函数性质求最小值.
（2）由题设可得，应用三角形面积公式有，由余弦定理可得，最后由正弦定理，即可求目标式的值.
【详解】（1）因为函数，，
所以，
所以，
当，即时，函数取最小值，最小值为；
（2）由已知可得，，又，
所以，即，
所以，故，
因为的面积为，，
所以，
所以，
由余弦定理可得，
故，
所以，
由正弦定理可得，
所以的值为．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用二倍角余弦公式及辅助角公式转化得到，再利用正弦函数性质及角的范围得，然后根据余弦定理得，最后代入面积公式求解即可；
（2）利用正弦定理得到，结合三角形的性质及同角三角函数关系求得，从而利用两角和正弦公式求得，进而利用正弦定理求得，即可求解三角形的周长.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即，又因为，所以，
所以，解得，又，，所以由余弦定理得，即，
所以.
（2）因为，所以由正弦定理得，又，所以，
因为，所以，所以，所以为锐角，
所以，
所以，
由正弦定理得，所以，
所以的周长为.
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦边角互化，结合三角恒等变换可得，根据辅助角公式即可求解.
（2）根据向量的模长公式可得,利用等面积法可得，即可根据，结合换元法即可求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理，展开可得，
由，得，代入上式化简得，
因为，所以，
即，则，
因为，所以，则，即．
（2）因为，
所以
，
因为，
所以，即，
所以,
令，则，即，
因为，故，所以，
，且两根均为正，所以．

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