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2025届高三数学高考二轮复面解析几何中档大题专项训练
1．平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到轴的距离多1．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若点C为，过的直线l与点的轨迹交于A，B两点（A，B与C不重合），直线，与直线交于点，．证明：以为直径的圆在上截得的弦长为定值．
2．已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线C上.
(1)求C的方程;
(2)过点的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立 若存在，求的值;若不存在，请说明理由.
3．已知双曲线的离心率为，其虚轴长为1，
(1)求双曲线C的方程;
(2)直线与双曲线C的右支交于M、N两点，
①求实数m的取值范围;
②若直线也与双曲线C的右支交于E、F两点，且与l垂直，求四边形EMFN面积的最小值.
4．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是
(1)求点M的轨迹方程;
(2)若经过点的直线l与点M的轨迹相交于C，D两点，，O为坐标原点，求线段CD的长.
5．已知圆C经过点，，并且圆心C在y轴上.
(1)求圆C的方程;
(2)记过点B的直线l与圆C的另一个交点为点D，当的面积为4时，求直线l的方程.
6．已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段的中点为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)不过坐标原点的直线与点的轨迹相交于两点，且以线段为直径的圆过点，求的面积．
7．已知直线，圆，点在上，点在上.
(1)若一条光线沿着直线从右上往左下射出，经轴反射后，与相切，求；
(2)若，，求点的坐标，使有最小值，并求出这最小值.
8．已知圆经过点，且与圆相切于点.
(1)求圆心的坐标；
(2)求圆的标准方程；
(3)过点的直线与圆和圆分别交于轴上方的两点，若，求直线的方程.
9．已知圆 与圆 ， 直线
(1)判断 与圆 的位置关系并证明；
(2)过动点 分别作两圆的切线 ( 分别为切点)，若 ， 求 的最小值.
10．已知椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B，C是线段的中点，其中.
(1)求椭圆方程；
(2)记椭圆的左右焦点分别为、，M为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围；
(3)过点的动直线与椭圆有两个交点P、Q，在y轴上是否存在点T使得恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.
11．已知双曲线的左，右焦点分别为.
(1)若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程；
(2)已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积.
12．已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求.
13．已知为坐标原点，点，，是抛物线上不同的三点，其中，点在第一象限，直线与平行，直线与交于点，直线与直线交于点．
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求直线的方程；
(3)求的最小值．
14．已知双曲线的左顶点为，离心率e为，过点的直线l交双曲线左支于A，B两点.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若O是坐标原点，且，求直线l的斜率.
15．已知直线．
(1)求恒过的定点的坐标；
(2)若经过点，求直线的方程．
16．已知圆经过三点.
(1)求的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求切线的一般式方程.
17．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.
18．已知椭圆的焦点和短轴顶点构成边长为2的正方形.
(1)求椭圆的标准方程和离心率；
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在轴上是否存在点使得恒成立.若存在，求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
19．已知点和圆：.
(1)求经过点的圆的切线方程；
(2)若是圆上一动点，求的取值范围.
20．已知点
(1)求线段的垂直平分线的方程；
(2)已知圆过点，求圆的方程.
21．已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若，求直线的倾斜角.
22．已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.
23．动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若点为曲线与抛物线的一个公共点，点.
①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围.
24．已知圆心为的动圆与：外切，与：内切.
(1)求的轨迹方程；
(2)过点的直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求坐标原点关于直线的对称点的坐标.
25．已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，，若过点A的直线与椭圆交于M，N两点，若，求出直线的方程.
26．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程.
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《2025届高三数学高考二轮复面解析几何中档大题专项训练》参考答案
1．(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）根据距离公式得到方程，整理即可得解；
（2）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线的方程，即可求出点坐标，同理可得点坐标，以线段为直径的圆与轴交点设为，根据求出参数的值，即可得解.
【详解】（1）因为到点的距离为，到轴的距离为．
由题意动点到点的距离比它到轴的距离多1得，
整理得，，即．
当时，；
当时，；
所以动点的轨迹方程为或．
（2）依题意设直线的方程为，依题意，点的轨迹方程应取，
将代入，消去得，
设，，则，，
设，，，
则，
直线的方程为，
令，则，
，同理可得，
以线段为直径的圆与轴交点设为，
则，，且，
，
，
或，
以为直径的圆在轴上截得的弦长为定值．
2．(1)
(2)存在，
【分析】（1）首先根据双曲线渐近线方程和已知点在双曲线上，求出双曲线方程.
（2）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得到交点坐标的关系，再根据直线斜率公式表示出、，通过计算判断是否存在满足条件的常数.
【详解】（1）由已知得解得，，
所以双曲线C的方程为
（2）设，，由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，
联立消x得
解得，假设存在实数，使得2恒成立，
当，有一个交点为，此时不满足，故，
因此，，
则，故存在实数满足条件.
3．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据题意列等式即可求解；
（2）①根据题意联立方程组，由直线与双曲线C的右支交于M、N两点，得，即可求解；
②根据题意联立方程组，求得四边形的两条对角线的长度，根据四边形的两条对角线互相垂直，其面积为两条对角线乘积的一半，列式得，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意可得，得，
故双曲线C的方程为：
（2）①设,
联立，
直线与双曲线右支有两个交点，
，得
②由①可得，，
，
因为与l垂直，所以，同理可得，
，
由可知，，且，
，
，
，
，
当且仅当，即时取到等号，
四边形EMFN面积的最小值为
4．(1)
(2)
【分析】（1）先设点，再求出斜率，列方程求值.
（2）设直线l的方程为：联立，根据垂直得到所以即，整理带入得到答案.
【详解】（1）设，则，，所以，化简得
（2）易知直线l的斜率存在，记为k，设直线l的方程为：，，，
联立得，所以①
因为，所以即，即，
整理可得，将①代入，得，即，
所以
5．(1)；
(2)或
【分析】（1）法一：应用点斜式写出AB的垂直平分线的方程，进而求圆心坐标及半径，即可得圆的方程；法二：由求圆心坐标及半径，进而写出圆的方程；
（2）讨论直线的斜率，结合三角形面积、点线距离公式及圆的弦长求法列方程求相关参数，即可得直线方程.
【详解】（1）方法一：因为，，则，且AB的中点为，
则AB的垂直平分线的方程为，
因为圆心C在y上，令，得，
即点，又，所以圆
方法二：设圆心，圆C经过点，，
所以，即，解得，
即点，又，所以圆.
（2）当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为，
令，得，所以或，即，此时，
而点到l的距离为2，的面积为满足要求，
所以满足要求；
当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为
点到l的距离，圆心到直线l的距离为，
所以，
所以，化简得，解得，
所以直线l的方程为，即，
综上，直线l的方程为或

6．(1)
(2)
【分析】（1）设点的坐标为，，则的坐标为，代入抛物线方程计算即可；
（2）联立，借助韦达定理及，求得。进而求得面积.
【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，
又点在抛物线上，所以，化简得，
所以点的轨迹方程为
（2）设，
由，得，
由，得，
，
所以，
因为以为直径的圆过点，所以，即，
所以，解得，或（舍去）.
所以，
又原点到直线的距离为，
所以的面积.
7．(1)
(2)，最小值等于.
【分析】（1）求出反射光线所在直线的方程，求出圆心到反射光线所在直线的距离，即为的值；
（2）求出点关于直线的对称点的坐标，数形结合可知，当点、为线段与直线、圆的交点时，取最小值，联立直线和直线的方程，可求出点的坐标，即可得出结论.
【详解】（1）由题意知，入射光线与轴交于点，反射光线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，

因为圆心，所以圆心到反射光线所在直线的距离等于，即.
（2）设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
因为，，
所以的最小值等于，
当且仅当点、为线段与直线、圆的交点时，取最小值，
直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，解得，
所以当点时，的最小值等于.

8．(1)
(2)
(3).
【分析】（1）由配方得到标准方程即可；
（2）由两圆位置关系及圆心在轴上，列出等式求解即可；
（3）过分别作，，得到，再结合圆的性质得到，进而得到，再通过中，，即可求解；
【详解】（1）由圆配方得，，
所以圆心.
（2）因为圆经过点，且与圆相切于点，
所以圆与圆内切，且圆心在轴上，
设圆心，圆的半径为，
则，
解得
故圆的标准方程为.
（3）如图，过分别作，，垂足分别为，
因为，
所以，
由圆的性质可知，，，所以，
所以，
又，所以，
在圆中，得，
在中，，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
9．(1) 与圆 相交.
(2)
【分析】（1）求出动直线所过的定点后可判断直线与圆的位置关系；
（2）先求出的 轨迹方程后利用点到直线的距离公式可求最小值.
【详解】（1）直线的方程可化为：，令，
故，故直线过定点，而，
故该定点在圆的内部，故 与圆 相交.
（2）两圆的半径均为1，
因为，故即，
故，故，
故的轨迹为直线.
因为表示，而，故.
故的最小值为.
10．(1)
(2)
(3)存在，T点纵坐标的取值范围为
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设，由，得到，再利用即可得到结果.
（3）设该直线方程为：，设，，，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用k,t表示，再根据可求的t范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，
所以，即，其中c为半焦距，，则，
所以，，，
，解得，
故，，故椭圆方程为.
（2）设，由，有，
故而，所以，
所以.
又，所以的取值范围是.
（3）①若过点的动直线的斜率不存在，
则，或，，此时.
②若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设，，，，
化简整理可得，
故，
，.
，，
故
.
恒成立，故，解得，
若恒成立.结合①②可知，.
故T点纵坐标的取值范围为.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用实轴长，和焦距求出渐近线.
（2）利用双曲线定义，及两点之间线段最短，得到点在线段上，得到直线的方程，再代入得到面积.
【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，，
由，得，则，所以双曲线的渐近线方程为.
（2）由双曲线的定义可得，
所以的周长为,
由于为定值，要使的周长最小，则应使最小为，
即点在线段上,
∵，所以直线的方程为：，
即，将其代入，解得或（舍去），
因此点.所以
12．(1)
(2)直线EG过定点.
(3).
【分析】（1）设出方程带入点，得到方程.
（2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程再进行联立，再易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为，最后得到过定点.
（3）考虑子圆，两圆的圆心之间的距离，最后得到答案.
【详解】（1）设双曲线的方程为，
将点代入得，即，双曲线的方程为
（2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程为，，，.
由消去整理得，
依题意得：，且，即且，
，.
易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为.
令，得
.
直线EG过定点.
当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为，过点，
综上，直线EG过定点.
（3）考虑以为圆心的“子圆”，
由的方程与的方程消去，得关于的二次方程.
依题意，该方程的判别式，.
对于外切于点的两个“子圆”，，显然点在轴上，
设，，的半径分别为，，
不妨设，的圆心分别为，.
则，.
两式相减得：，而，.
，整理得：.
，点.
，故.
13．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）将点坐标代入方程求出值即得.
（2）根据给定条件，设直线，抛物线方程联立，利用韦达定理，结合方程组法求出点纵坐标即可.
（3）利用弦长公式列式求出的函数关系，借助基本不等式求出最小值.
【详解】（1）由在抛物线上，得，解得，
所以抛物线的准线方程为.
（2）直线的斜率，设直线，，
由消去，得，则，，
直线方程为，直线方程为，即，
由，得点纵坐标，即点，
同理得直线方程为，直线方程为，点，
所以直线方程为.

（3）由（2）知，，
令，而，要最小，则，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据顶点和离心率列方程求解可得；
（2）设出直线方程，联立双曲线方程消去y，韦达定理结合列方程求解可得.
【详解】（1）由题得，解得，
双曲线C的标准方程为
（2）由题可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
联立双曲线的方程，得，
设，，则，，
直线l交双曲线左支于A，B两点，
，解得，
，
，即，
解得或，
，时，
15．(1)
(2)
【分析】（1）整理直线方程，得到关于实数的方程组，求解方程组即可；
（2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出，得到直线方程..
【详解】（1）由可得，
由解得，所以直线恒过点.
（2）若经过点，所以，解得
所以直线的方程为.
16．(1)；
(2)或.
【分析】（1）应用待定系数法求圆的方程，进而标准化即可；
（2）由（1）圆心为，半径，讨论直线的斜率存在性，结合直线与圆相切求直线方程.
【详解】（1）由题意，可设圆的一般方程为，
代入三点坐标可得，解得，
所以圆的一般方程为，标准方程为.
（2）由（1）知，圆心为，半径，
①当过点的直线斜率不存在时，
此时切线的一般式方程为，且圆心到该直线的距离，满足条件；
②当过点的直线斜率存在时，
设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，解得，
此时切线的一般式方程为，
综上所述：切线的一般式方程为或.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案；
（2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案.
【详解】（1）由题意知动点到点的距离等于到直线的距离，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以的方程为.
（2）设，，则，
两式相减得，整理可得.
因为线段的中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即.
18．(1)，
(2)存在，
【分析】（1）根据椭圆的焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，得到求解；
（2）设点的坐标为，分过点的动直线的斜率不存在，过点的动直线的斜率存在，设该直线方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理，由求解.
【详解】（1）解：椭圆的焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，
，
，
椭圆的标准方程为，
离心率.
（2）设点的坐标为，
①若过点的动直线的斜率不存在，
则或，
此时只需.
②若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为，
设，
由可得

而，

因为恒成立，故，
解得.
由①②可知，，
存在，使得恒成立.
19．(1)或
(2)
【分析】（1）验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可；
（2）设，则，根据是圆上一动点，可得直线与圆有公共点，根据圆心到直线的距离小于等于半径列不等式求解即可
【详解】（1）圆的方程可化为，圆心，半径.
过点且斜率不存在的直线与圆相切，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
，解得，切线方程为，
所求切线方程为或.
（2）设，则，
即，
因为是圆上一动点，
所以与有公共点，
所以，解得，
的取值范围
20．(1)
(2)
【分析】（1）依次求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，即得线段的垂直平分线的斜率，即可写出方程；
（2）求出线段的垂直平分线的方程，再将线段、的中垂线方程联立，求出圆心，再求出半径，即得圆的方程.
【详解】（1）依题意，设线段的中点为，因，，则，
直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为，
故其直线方程为：，即.
（2）设线段的中点为，因，，则，
直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为，
得线段的垂直平分线的方程为,即，
由（1）线段的垂直平分线方程为，
由，解得：，
即圆心为，圆的半径为：，
故圆的方程为：.
21．(1)
(2)或
【分析】（1）利用抛物线的定义建立方程，求解参数，得到抛物线方程即可.
（2）对直线斜率进行讨论，再利用焦点弦公式建立方程，求解参数，得到所求直线方程即可.
【详解】（1）由题意得，由抛物线的定义得，解得，
将代入抛物线，得到，
且，所以(负根舍去)，故抛物线的方程为.
（2）由（1）知，当直线斜率不存在时（不合题意），
如图，故设，
联立，化简得，
则
又，得，则，
所以直线的倾斜角为或.
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用椭圆的定义列出关于的方程求解即可，
（2）设直线的方程为联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，将用韦达定理代入，同时将得到的式子转化成关于的韦达定理进行约分化简得到最后的结果.
【详解】（1）设椭圆的方程，由题意可知
，解之得，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，
联立方程组，得
①②得，，所以，
所以为定值.
23．(1)或.
(2)①；②.
【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线距离公式列式化简即得.
（2）①联立的方程与抛物线方程，用表示并建立不等式求出范围；②利用斜率坐标公式，结合二次函数性质求出范围.
【详解】（1）依题意，，化简得，
所以曲线的方程为：或.
（2）①由（1）可知，或，
当时，由，得，而，，无解；
当时，由，得，由，解得，
所以的取值范围为.
②直线的斜率，由①知，且，
令，则，则，
当，即时，，
当，时，，
所以直线的斜率取值范围为.
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据这些关系求出动圆圆心M到两定圆圆心的距离之和为定值，从而根据椭圆的定义确定M的轨迹方程.
（2）利用点差法求出直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程，再根据点关于直线对称的性质求出点P的坐标.
【详解】（1）设动圆M的半径为r，的圆心，半径；
的圆心，半径. 圆相内切，
因为动圆M与外切，所以；
动圆M与内切，所以，则.
又.
因为，
根据椭圆的定义，点M的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆.
则，，根据，可得.
所以M的轨迹方程为.
（2）设，.
因为A，B在椭圆上，所以.
两式相减得：.
因为N为线段AB的中点，所以，.
则直线AB的斜率.
直线AB的方程为，即.
设点P，则，即.
又中点在直线AB上，所以.
将代入上式得：.
解得，.
所以点P的坐标为.
25．(1)
(2)或
【分析】（1）根据，，得到，再由求解；
（2）当直线l与x轴垂直，容易判断；当直线l与x轴不垂直，设直线l的方程是，与椭圆C的方程联立，由，即结合韦达定理求解.
【详解】（1）因为，所以椭圆C的左焦点的坐标是，
所以，解得，
所以椭圆C的方程为
（2）当直线l与x轴垂直，
则直线l与椭圆C的交点M，N的坐标分别是，
所以，符合题意；
此时直线的方程是；
若直线l与x轴不垂直，设直线的方程是，
由，消去y并整理，得，
设，则，
，
又，所以，即，
所以
，
即，
，
显然满足，
所以直线l与x轴不垂直时，直线的方程是，即.
综上：直线的方程为或，
26．(1)
(2)或
【分析】（1）根据焦点坐标以及渐近线方程计算可得结果；
（2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得到，再由点到直线距离公式计算得出三角形面积表达式，解方程即可.
【详解】（1）由焦点坐标可得，再由渐近线方程可得；
又，可得；
所以双曲线的标准方程为；
（2）如下图所示：
依题意直线的斜率一定存在，设为，则直线方程为，设；
联立可得，
显然，且，解得；
则，
可得，
原点到直线的距离为，
所以的面积为，
解得或0（舍），即，
所以直线的方程为或.

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