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分课时教学设计
第九课时《7.3 定义、命题、定理（第二课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的主要教学内容是理解定理、证明的概念，理解通过反例判断假命题的方法。命题是数学教学的基本依据，经过推理证实的命题如定理可以作为继续推理的依据，进而会用逻辑推理进行简单地证明，这是几何证明中的演绎推理的入门，是把握推理论证的基础，因此，本节内容具有承上启下的作用。
学习者分析 学生已经学习了定义和命题的相关知识，对命题已经有了一定的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于进行简单的推理，并做到步步有据，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析，课堂上一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
教学目标 1．了解定理与证明的概念，理解定理可以作为继续推理的依据。 2．初步接触逻辑推理的形式，知道逻辑推理的根据主要有已知、定义、定理、基本事实等，理解证明中的每一步都要有根据。 3．掌握利用反例来判断一个命题是假命题的方法。
教学重点 理解证明的必要性和证明的过程步步有根据。
教学难点 理解什么是证明，填写一些证明的关键步骤和根据。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解定理与证明的概念，理解定理可以作为继续推理的依据。 2．初步接触逻辑推理的形式，知道逻辑推理的根据主要有已知、定义、定理、基本事实等，理解证明中的每一步都要有根据。 3．掌握利用反例来判断一个命题是假命题的方法。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1.可以判断为正确 （或真）或错误 （或假）的陈述语句，叫作________ 。被判断为正确 （或真）的命题叫作_________。被判断为错误 （或假）的命题叫作________。 答案：命题，真命题，假命题 2.数学中的命题常可以写成“________________”的形式，这时“如果”后接的部分是_______，“那么”后接的部分是_______。 答案：如果……那么……，题设，结论 3.判断一个命题真命题还是假命题，首先找出此命题的题设和结论，然后看题设成立时结论是否一定成立，如果结论一定_______，此命题就是真命题，否则，就是_________． 答案：成立，假命题学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 从学生已知的命题知识出发，为下文探究定理的概念做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 一、定理 问题1：说出两个我们学过的基本事实． 预设：如：“两点确定一条直线”、“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等． 问题2：说出两个经过推理得到的真命题． 预设：（1）“对顶角相等” 推理过程如下： 因为∠2 与∠3 互补，（邻补角的定义）， ∠4 与∠3 互补 所以∠2＝∠4（同角的补角相等）． （2）“内错角相等，两直线平行” 推理过程如下： 因为∠2＝∠3，而∠3＝∠1， 所以∠1＝∠2，即同位角相等， 从而 a//b． 归纳：有一些命题，如 “对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理 ． 定理也可以作为继续推理的依据． 二、证明 指出：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明 ． 证明：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条. 已知：如图所示，直线a⊥b ，b//c． 求证：a⊥c． 证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1＝90 （垂直的定义）． ∵ b//c（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2＝90 （等式的基本事实）． ∴ a⊥c（垂直的定义）． 归纳：证明中的每一步推理都要有根据，不能 “想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等。 推理和证明是有区别的，推理是证明过程中的组成部分． 例1：在下面的括号内，填上推理的依据. 如图，AB//CD，CB//DE , 求证：∠B+ ∠D=180°. 证明： ∵ AB//CD, ∴ ∠B=∠C( ). ∵ CB//DE， ∴ ∠C+ ∠D=180°( ). ∴ ∠B+ ∠D=180°( ). 答案：两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 等量代换 归纳：注明的理由主要是依据的性质、定理、基本事实等，“已知”式的理由可以不注明． 三、举反例判断假命题 指出：判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了. 举反例说明：“相等的角是对顶角”是错误的。 解：如图所示， ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠1＝∠2 但∠1和∠2不是对顶角 ∴“相等的角是对顶角”是错误的。 例2：命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例． 解：不是，反例如图所示，∠1和∠2是同位角，但∠1≠∠2． 归纳：举反例是判断一个命题是假命题的常用方法，举反例的方法在生活中也常用到．学生活动3： 学生积极思考、讨论交流，在了解定理、证明和举反例判断假命题后，先独立完成例题，然后组内交流，班内汇报活动意图说明： 通过问题，让学生了解定理、证明等相关概念，并通过例题，提高学生的综合应用能力，掌握综合法进行证明，并会用举反例说明一个命题是假命题。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：7.3 定义、命题、定理（第二课时）一、定理 二、证明 三、举反例判断假命题教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．下列可以作为定理的有（ ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 3．要说明命题“若，则，”是假命题，则 ， ． 答案：2 （答案不唯一） 选做题： 4．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例． (1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； (2)同旁内角互补． 解：（1）题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角． 这个命题是真命题． （2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补， 这个命题是假命题． 反例：如图中与是同旁内角，， 【综合拓展类作业】 5．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．能说明命题“若，则．”是假命题的反例可以是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（ ） A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但 C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但 答案：A 3．下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 答案：2 选做题： 4．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题． (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 解：（1）命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【综合拓展类作业】 5．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题． (1)这三个命题中，真命题有______个； (2)选择一个真命题，并且完成证明过程． 解：（1）3； （2）已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．
教学反思 从教学目标达成情况来看，基本目标已实现，学生对定理、证明的概念有了初步认知，也能举反例判断假命题。然而，对于复杂定理的理解和证明过程的书写，部分学生仍存在困难，这反映出在教学深度和进度把控上，还需进一步优化。 在教学方法方面，以对话和讨论为主的互动模式，确实营造了轻松的课堂氛围，激发了学生的参与热情。 在学生学习效果反馈上，课堂练习暴露出学生对概念的混淆，尤其是在证明步骤的逻辑性和严谨性上问题较多。 后面的教学中，应强化重点知识的讲解与练习，同时丰富教学手段，引入更多生动的案例和实践活动，帮助学生更好地理解和运用知识，提升他们的逻辑思维和推理能力。
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第七章 相交线与平行线
7.3 定义、命题、定理
（第二课时）
1．了解定理与证明的概念，理解定理可以作为继续推理的依据。
2．初步接触逻辑推理的形式，知道逻辑推理的根据主要有已知、定义、定理、基本事实等，理解证明中的每一步都要有根据。
3．掌握利用反例来判断一个命题是假命题的方法。
1.可以判断为正确 （或真）或错误 （或假）的陈述语句，叫作________ 。被判断为正确 （或真）的命题叫作_________。被判断为错误 （或假）的命题叫作________。
2.数学中的命题常可以写成“________________”的形式，这时“如果”后接的部分是_______，“那么”后接的部分是_______。
3.判断一个命题真命题还是假命题，首先找出此命题的题设和结论，然后看题设成立时结论是否一定成立，如果结论一定_______，此命题就是真命题，否则，就是_________．
命题
真命题
假命题
如果……那么……
题设
结论
成立
假命题
问题1：说出两个我们学过的基本事实．
如：
“两点确定一条直线”
“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等．
问题2：说出两个经过推理得到的真命题．
“对顶角相等”
因为∠2 与∠3 互补，
∠4 与∠3 互补
（邻补角的定义），
所以∠2＝∠4
（同角的补角相等）．
推理过程如下：
A
D
B
C
1
3
O
2
4
“内错角相等，两直线平行”
因为∠2＝∠3，而∠3＝∠1，
所以∠1＝∠2，即同位角相等，
从而 a//b．
推理过程如下：
c
a
b
2
1
3
问题2：说出两个经过推理得到的真命题．
有一些命题，如 “对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理 ．
定理也可以作为继续推理的依据．
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明 ．
证明：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
已知：如图所示，直线a⊥b ，b//c．
求证：a⊥c．
证明：∵ a⊥b（已知），
∴∠1＝90 （垂直的定义）．
∵ b//c（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2＝90 （等式的基本事实）．
∴ a⊥c（垂直的定义）．
证明中的每一步推理都要有根据，不能 “想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等。
推理和证明是有区别的，推理是证明过程中的组成部分．
条件
结论
定义、定理、基本事实
推理
例1：在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB//CD，CB//DE ,
求证：∠B+ ∠D=180°.
证明： ∵ AB//CD,
∴ ∠B=∠C( ).
∵ CB//DE，
∴ ∠C+ ∠D=180°( ).
∴ ∠B+ ∠D=180°( ).
等量代换
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
注明的理由主要是依据的性质、定理、基本事实等，“已知”式的理由可以不注明．
举反例说明：“相等的角是对顶角”是错误的。
解：如图所示，
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ ∠1＝∠2
但∠1和∠2不是对顶角
∴“相等的角是对顶角”是错误的。
判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
例2：命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例．
解：不是，反例如图所示，∠1和∠2是同位角，但∠1≠∠2．
1
2
A
B
C
D
E
F
举反例是判断一个命题是假命题的常用方法，举反例的方法在生活中也常用到．
【知识技能类作业】必做题：
1．下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．下列可以作为定理的有（ ）
①一个能被2整除的数也必能被4整除；
②相等的角是对顶角；
③25与x的平均值是3；
④三角形内角和为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
【知识技能类作业】必做题：
3．要说明命题“若，则，”是假命题，
则 ， ．
2
-1
（答案不唯一）
【知识技能类作业】选做题：
4．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例．
(1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角；
(2)同旁内角互补．
解：（1）题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角．
这个命题是真命题．
（2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，
这个命题是假命题．
反例：如图中与是同旁内角，。
5．补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：，
解：∵（已知）
（________________________）
（已知）
（__________）
（_______________________）
（______________________）
（___________）
【综合拓展类作业】
两直线平行，内错角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
对顶角相等
定理、证明
通过举反例判断假命题
定理的概念
证明的概念及过程
【知识技能类作业】必做题：
1．能说明命题“若，则．”是假命题的反例可以是（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
2．以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（ ）
A．设这个角是，它的余角是，但
B．设这个角是，它的余角是，但
C．设这个角是，它的余角是，但
D．设这个角是，它的余角是，但
A
【知识技能类作业】必做题：
3．下列命题可以作定理的有 个．
①2与6的平均值是8；
②能被3整除的数能被6整除；
③5是方程的根；
④三角形的内角和是；
⑤等式两边加上同一个数仍是等式．
2
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
解：（1）命题1：由①②得到③；
命题2：由①③得到②；
命题3：由②③得到①；
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
解：（2）命题1：由①②得到③. 证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
解：（2）命题2：由①③得到②. 证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
解：（2）命题3：由②③得到①. 证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【综合拓展类作业】
5．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
(1)这三个命题中，真命题有______个；
(2)选择一个真命题，并且完成证明过程．
3
【综合拓展类作业】
5．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（2）已知，，求证：．
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【综合拓展类作业】
5．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（2）已知，，求证：．
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【综合拓展类作业】
5．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（2）已知，，求证：．
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 7.3 定义、命题、定理（第二课时） 单元 第七章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1．了解定理与证明的概念，理解定理可以作为继续推理的依据。 2．初步接触逻辑推理的形式，知道逻辑推理的根据主要有已知、定义、定理、基本事实等，理解证明中的每一步都要有根据。 3．掌握利用反例来判断一个命题是假命题的方法。
重点 理解证明的必要性和证明的过程步步有根据。
难点 理解什么是证明，填写一些证明的关键步骤和根据。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.可以判断为正确 （或真）或错误 （或假）的陈述语句，叫作________ 。被判断为正确 （或真）的命题叫作_________。被判断为错误 （或假）的命题叫作________。 2.数学中的命题常可以写成“________________”的形式，这时“如果”后接的部分是_______，“那么”后接的部分是_______。 3.判断一个命题真命题还是假命题，首先找出此命题的题设和结论，然后看题设成立时结论是否一定成立，如果结论一定_______，此命题就是真命题，否则，就是_________．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助命题以及前面所学习的相关知识，研究定理、证明及用举反例的方法来判断假命题。 一、定理 问题1：说出两个我们学过的基本事实． 问题2：说出两个经过推理得到的真命题． 归纳：有一些命题，如 “对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过_________证实的，这样的真命题叫作________． 定理也可以作为继续________的依据． 二、证明 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作________． 下面，以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明． 已知：如图所示，直线a⊥b ，b//c． 求证：a⊥c． 证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1＝90 （____________）． ∵ b//c（________）， ∴∠1＝∠2（_________________）. ∴∠2＝90 （等式的基本事实）． ∴ a⊥c（垂直的定义）． 注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能 “想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的_________、__________、________等。 推理和证明是有区别的，推理是证明过程中的组成部分． 例1：在下面的括号内，填上推理的依据. 如图，AB//CD，CB//DE , 求证：∠B+ ∠D=180°. 证明： ∵ AB//CD, ∴ ∠B=∠C( ). ∵ CB//DE， ∴ ∠C+ ∠D=180°( ). ∴ ∠B+ ∠D=180°( ). 归纳：注明的理由主要是依据的性质、定理、基本事实等，“已知”式的理由可以不注明． 三、举反例判断假命题 指出：判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足________就可以了. 举反例说明：“相等的角是对顶角”是错误的。 解：如图所示， ∵ OC是________的平分线 ∴ ∠____＝∠2 但∠1和∠2不是________ ∴“相等的角是对顶角”是错误的。 例2：命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例． 归纳：举反例是判断一个命题是假命题的常用方法，举反例的方法在生活中也常用到．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（ ） A． B． C． D． 2．下列可以作为定理的有（ ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．要说明命题“若，则，”是假命题，则 ， ． 选做题： 4．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例． (1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； (2)同旁内角互补． 【综合拓展类作业】 5．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______）
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．能说明命题“若，则．”是假命题的反例可以是（ ） A． B． C． D． 2．以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（ ） A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但 C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但 3．下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 选做题： 4．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题． (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【综合拓展类作业】 5．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题． (1)这三个命题中，真命题有______个； (2)选择一个真命题，并且完成证明过程．
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