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专题一　力与运动
微专题1　力与物体的平衡
1.物体处于平衡状态的常见情况：
(1)物体处于静止状态；
(2)物体做匀速直线运动；
(3)动态平衡(物体缓慢移动)；
(4)带电粒子在复合场中做直线运动。
2.物体处于平衡状态的条件：合力始终为零。
3.解决平衡问题的步骤和方法
4.注意点
(1)力的分析顺序：先整体后隔离；先分析其他力再分析摩擦力；
(2)静电力、安培力或洛伦兹力的出现可能对弹力或摩擦力产生影响；
(3)出现“最大”“最小”“恰好”等文字时，一般为临界问题。
考点一　受力分析　静态平衡问题
1.(2024·河北卷·5)如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为：
A. N B.1.0 N
C. N D.2.0 N
2.(2024·河北保定市一模)如图所示，质量为m的均匀直木杆静置在水平地面与倾角为37°的光滑斜面之间，已知斜面对木杆的支持力大小为F，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，下列说法正确的是：
A.木杆处于四力平衡状态
B.水平地面可能是光滑的
C.水平地面对木杆的支持力大小为mg-0.6F
D.水平地面对木杆的摩擦力大小为0.8F
【点拨·提炼】　共点力问题中，把物体在不同接触面的受力平移到重心上进行分析，较为有效。
3.(2024·江苏南京市零模)如图所示，有4 042个质量均为m的小球(可视为质点)，将它们用长度相等的轻绳依次连接，再将其左端固定在天花板上，右端施加一水平力使全部小球静止。已知连接天花板的轻绳与水平方向的夹角为60°，设第2 021个小球和第2 022个小球之间的轻绳的弹力大小是4 042个小球的总重力的k倍，则k值为：
A. B. C. D.
4.(2024·湖北卷·6)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为Ff，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为：
A.Ff B.Ff
C.2Ff D.3Ff
考点二　动态平衡问题
5.(2024·黑龙江哈尔滨市一模)如图甲所示，直导线P、Q分别被两根等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴上，且P固定于水平轴正下方，两组绳长也相同且都与水平轴垂直，其截面图如图乙所示，导线P通以垂直纸面向里的电流；导线Q电流方向未知，平衡时两导线位于同一平面，且Q的两根绝缘轻绳与竖直方向夹角均为θ。已知Q的质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是：
A.导线Q中电流方向垂直纸面向里
B.导线P、Q间的安培力大小为2mgsin
C.仅使导线P中电流I缓慢增大且θ不超过90°，导线Q对轻绳的拉力大小逐渐增大
D.当导线P中电流突然消失的瞬间，导线Q受到两绳的拉力大小之和为mgsin θ
6.(多选)(2024·河南省信阳高级中学二模)如图所示，两质量相等的光滑小圆环A、B用细线相连，水平横杆穿过圆环A，竖直杆穿过圆环B。开始时，细线贴着竖直杆处于竖直方向。现在细线某点上施加一水平向右的拉力F，使两环缓慢移动，则在这一移动过程中：
A.水平向右的拉力F逐渐增大
B.横杆对环A的弹力逐渐增大
C.细线对环B的拉力逐渐增大
D.细线对球A的拉力逐渐增大
7.(2024·湖南长沙市二模)图(a)所示的采棉机在运输圆柱形棉包的过程中缓慢经过一段如图(b)所示路面(运动时，圆柱形棉包在前，路段足够长)，CD、EF为水平路面，M点为倾角最大的位置，倾角为30°。棉包放在如图(c)所示的“V”形挡板上，两板间夹角恒为120°，初始时OA与水平面的夹角为30°。运动过程中，棉包不脱离挡板，忽略“V”形挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g。则：
A.从D到M斜面对采棉机的作用力越来越小
B.从D到M棉包对OA板的压力先增大后减小
C.从D到M棉包对OB板的压力一直增大
D.采棉机在EF段做减速运动，加速度大小可以为g
考点三　平衡中的临界和极值问题
8.(2024·江苏镇江市一模)如图所示，宽为l的光滑导轨与水平面成α角，质量为m、长为l的金属杆水平放置在导轨上。空间存在着匀强磁场，当回路中电流为I时，金属杆恰好能静止，已知重力加速度为g。匀强磁场磁感应强度大小不可能是下列选项中的：
A. B.
C. D.
9.(2024·广西桂林市一模)在“互联网+”时代，网上购物已经成为一种常见的消费方式，网购也促进了快递业发展。如图，一快递小哥在水平地面上拖拉一个货箱，货箱和里面快递的总质量为30 kg，货箱与地面间的动摩擦因数μ=。若该小哥拉着货箱在水平地面上做匀速直线运动，取g=10 m/s2，则所施加拉力的最小值和方向为：
A.大小为100 N，方向指向左上方与水平方向的夹角成30°
B.大小为100 N，方向指向左上方与水平方向的夹角成60°
C.大小为150 N，方向指向左上方与水平方向的夹角成30°
D.大小为150 N，方向指向左上方与水平方向的夹角成60°
【点拨·提炼】　在力的方向发生变化的平衡问题中求拉力的极小值时，常利用： (1)三角函数极值法(辅助角法或求导法)； (2)摩擦角法：利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡。 物体做匀速直线运动，θ角改变，求拉力F的最小值。 设支持力与摩擦力的合力为F'，F'与竖直方向的夹角为θ 则tan θ==μ 当拉力F与F'垂直时拉力最小， Fmin=mgsin θ。
1.(2024·山东卷·2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于：
A. B. C. D.
2.(2024·贵州遵义市一模)如图甲，燃气灶具有四个相同的支撑架，支撑架均匀分布。假设支撑架上部分为一斜面，且该斜面与竖直方向的夹角为θ，如图乙所示。现将一质量为m的半球形锅正放在燃气灶上，且锅与支撑架斜面接触，重力加速度大小为g，下列说法正确的是：
A.每个支撑架给锅的作用力大小为mg
B.每个支撑架给锅的弹力大小为mgsin θ
C.每个支撑架与锅之间存在摩擦力
D.无论支撑架斜面光滑与否，每个支撑架给锅的作用力大小不变
3.(2024·浙江1月选考·6)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ=30°(不计摩擦)，重力加速度g=10 m/s2，则细线a、b的拉力分别为：
A.2 N　1 N B.2 N　0.5 N
C.1 N　1 N D.1 N　0.5 N
4.(多选)(2024·宁夏银川一中、云南昆明一中二模联考)压跷跷板是小朋友们特别喜欢的娱乐运动项目，跷跷板在幼儿园以及公共娱乐健身场所都可以见到。某实验小组利用该娱乐设施进行物理研究，如图所示。质量为m的小球B置于光滑半球形凹槽A内，凹槽放置在跷跷板上，凹槽的质量为M，当板的倾角为α=30°时，凹槽恰好静止。令最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则在缓慢压低跷跷板的Q端至跟P端等高的过程中，下列说法正确的是：
A.开始时凹槽受到沿跷跷板向上的摩擦力大小为
B.凹槽与跷跷板之间的动摩擦因数为
C.小球对凹槽的压力大小始终为mg
D.跷跷板对凹槽的作用力逐渐增大
5.(2024·安徽黄山市模拟)如图所示，两个质量分别为M和m的小球带同种电荷，电荷量分别为Q和q，用长度分别为L1和L2的轻绳悬挂于同一点，平衡时，两绳与竖直方向的夹角分别是α和β，则等于：
A. B. C. D.
6.(2024·河北保定市二模)如图所示，倾角为θ的斜面固定在水平地面上，两个物块A、B用与斜面平行的轻质弹簧连接，两物块恰好能静止在斜面上。已知物块A的质量为1 kg，物块A与斜面间的动摩擦因数为0.4，物块B与斜面间的动摩擦因数为0.8，两物块受到的摩擦力方向相同，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，取重力加速度大小g=10 m/s2，sin θ=0.6，下列说法正确的是：
A.弹簧可能处于压缩状态
B.弹簧中的弹力大小为2.4 N
C.物块B的质量为7 kg
D.物块B受到的摩擦力大小为56 N
7.(2024·广东佛山市二模)如图，用AB与AC两根轻绳悬挂一质量分布不均(重心偏左)的矩形画框，画框底部需保持与水平地面平行。若保持AB绳长不变，将C端左移，AC绳缩短至某一长度(但AC绳仍长于AB绳)后悬挂画框，画框保持原状态不动，则改变AC绳长前后：
A.AB绳的拉力大小总等于AC绳的拉力大小
B.AB绳的拉力大小总小于AC绳的拉力大小
C.AB绳的拉力大小不变
D.AC绳的拉力大小可能相等
答案精析
高频考点练
1.A　[对小球受力分析如图所示
由几何关系可得力F与力FN与竖直方向的夹角均为30°，因此将力F和FN正交分解可得
FNsin 30°=Fsin 30°，FNcos 30°+Fcos 30°+FT=mg
解得F=FN= N，故选A。]
2.A　[根据题意，对木杆受力分析，受重力、斜面的支持力和水平地面的支持力，由于斜面光滑，木杆和斜面间没有摩擦力，由平衡条件可知，水平地面一定给木杆水平向右的摩擦力，如图所示，可知，木杆处于四力平衡状态，且水平地面不可能是光滑的，故A正确，B错误；由平衡条件有Ff=Fsin 37°=0.6F，FN+Fcos 37°=mg，解得FN=mg-0.8F，故C、D错误。]
3.B　[以4 042个小球组成的整体为研究对象，分析受力情况，如图甲所示，根据平衡条件得F=mg，再以第2 022个到第4 042个小球共2 021个小球组成的整体为研究对象，分析受力情况，如图乙所示，则有FT2=·2 021mg，所以k==故B正确，A、C、D错误。]
4.B　[根据题意对S受力分析如图甲
正交分解可知2FTcos 30°=Ff
所以有FT=Ff
对P受力分析如图乙
根据平衡条件：
Fcos α=FTcos 30°+Ff
Fsin α=FTsin 30°
联立解得F=故选B。]
5.B　[对Q进行受力分析可知，P对Q的力为斥力，由安培定则和左手定则可知，两导线的电流方向相反，即导线Q中电流方向垂直纸面向外，故A错误；设导线Q受到两绳的拉力之和为FT，导线P、Q间的安培力为F，对Q进行受力分析，根据三角形定则，受力如图所示，由于两组绳长相同，则根据几何知识可得FT=mg，F=2mgsin 故B正确；由上述分析可知，导线Q受到两绳的拉力之和FT始终为mg，与电流I和角度θ无关，则导线Q对轻绳的拉力大小不变，故C错误；当导线P中电流突然消失的瞬间，导线P、Q间的安培力消失，此时导线Q沿两绳方向上的合力为零，则导线Q受到两绳的拉力大小之和为mgcos θ，故D错误。]
6.AC　[由于A受到重力、支持力和细线拉力作用平衡，所以拉A的细线竖直。任意状态的受力如图甲所示，对B受力分析如图乙，可以构成如图丙所示矢量三角形
设与B相连的细线与竖直方向的夹角为θ，当F继续向右运动，则θ增大，由FT2=得出FT2变大，故C正确；
设F与细线的作用点为O点，对O点受力分析如图丁
三力平衡有F=FT2'sin θ
FT1'=FT2'cos θ
又FT2'=FT2
则F=Gtan θ，
FT1'=G
随着θ增大，则F增大，细线对A的拉力FT1'不变，故A受的弹力FN1=FT1'+G=2G不变，故A正确，B、D错误。]
7.C　[采棉机在斜面上缓慢行驶时受到重力和斜面对采棉机的作用力，受力平衡，所以斜面对采棉机的作用力与重力等大、反向，故从D到M斜面对采棉机的作用力不变，故A错误；采棉机从D点运动到M点的过程中，棉包重力大小和方向不变，OA板、OB板对棉包的作用力夹角不变，FOA与竖直方向的夹角变大，作出力矢量三角形的外接圆如图甲所示，由图可知，FOA一直减小，FOB一直增大，根据牛顿第三定律可得，棉包对OA板的压力一直减小，棉包对OB板的压力一直增大，故B错误，C正确；
采棉机在EF段做减速运动，挡板OB对棉包的支持力为0时，棉包受力如图乙所示，
根据牛顿第二定律可得=ma，解得a=g，当加速度大于g时，棉包会从采棉机上滚下来，故D错误。]
8.D　[当安培力的方向沿斜面向上时，安培力最小，此时磁感应强度最小，由mgsin α=BminIl，可得Bmin=则匀强磁场磁感应强度大小不可能是故选D。]
9.C　[方法一：三角函数极值法
根据题意，设施加拉力为F，方向与水平面夹角为θ，则有Fcos θ=μ(mg-Fsin θ)，整理可得F=由数学知识，令sin α==cos α==则有F=当θ+α=即θ=30°时，F有最小值，最小值为Fmin==mg=150 N，方向指向左上方与水平方向的夹角成30°。
方法二：摩擦角法
货箱受四个力作用：重力mg，支持力FN，摩擦力Ff，斜向左上的拉力F，设FN与Ff的合力F'与竖直方向的夹角为θ，则tan θ==μ=所以θ=30°，货箱等效为受到mg、F和F'三个力的作用，
其矢量图如图所示，当F⊥F'时，F最小，此时Fmin=mgsin 30°=150 N，Fmin与水平方向的夹角成30°。]
补偿强化练
1.B　[根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有mgsin 30°≤μmgcos 30°
可得μ≥tan 30°=
故选B。]
2.D　[假设支撑面光滑，则支撑架与锅可以保持静止，因此支撑架给锅的摩擦力为0，C错误；设每个支撑架与锅之间的弹力为FN，则弹力与水平方向的夹角为θ，竖直方向根据平衡条件可得4FNsin θ=mg，每个支撑架给锅的弹力大小为B错误；由于摩擦力为0，因此支撑架对锅的作用力等于支撑架对锅的弹力，A错误；无论支撑架斜面光滑与否，摩擦力均为0，因此每个支撑架给锅的作用力大小不变，均为D正确。]
3.D　[由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为FTa=(mA+mB)g=1 N，设细线b与水平方向夹角为α，对A、B分析分别有FTbsin α+FTcsin θ=mAg，FTbcos α=FTdcos θ，解得FTb=0.5 N，故D正确。]
4.BC　[将小球跟凹槽视为整体，开始时恰好静止，那么根据受力平衡知Ff=(m+M)gsin α=g，故A错误；根据平衡条件有(m+M)gsin α-μ(m+M)gcos α=0，解得μ=故B正确；小球所在处的凹槽切线总是水平的，那么小球对凹槽的压力大小始终等于小球的重力，故C正确；由于小球、凹槽整体的重力不变化，与跷跷板的作用力等大反向，那么跷跷板对凹槽的作用力不变，故D错误。]
5.C　[设平衡时两球的距离为r，两个质量分别为M和m的小球连线与绳长为L1和L2的轻绳夹角分别为θ1、θ2，如图所示，对两球受力分析
由正弦定理得=
=
又=
联立解得=故选C。]
6.C　[因tan θ>0.4，物块A静止在斜面上，所以弹簧一定处于伸长状态，A错误；对物块A有mAgsin θ=μAmAgcos θ+F，解得F=2.8 N，B错误；把A、B看成一个整体，有μAmAgcos θ+μBmBgcos θ=(mA+mB)gsin θ，解得mB=7 kg，物块B受到的摩擦力大小为Ff=μBmBgcos θ=44.8 N，C正确，D错误。]
7.D　[对画框受力分析如图(a)所示，设AB绳上的拉力与水平方向的夹角为θ1，AC绳上的拉力与水平方向的夹角为θ2，根据题意，保持AB绳长不变，将C端左移，AC绳缩短至某一长度(但AC绳仍长于AB绳)，则可知该过程中θ1始终不变，且根据几何关系，始终有θ1>θ2，则在水平方向根据平衡条件有FABcos θ1=FACcos θ2，由于θ1始终大于θ2，因此FAB始终大于FAC，故A、B错误；画框的重力为恒力，AB绳上力的方向始终不变，作出力的矢量三角形如图(b)所示，
可知随着AC绳将C端向左移动，绳AC与竖直方向的夹角在减小，该过程中绳AC上的拉力可能先减小后增大，当绳AC垂直于绳AB时，绳AC上的拉力有最小值，因此AC绳的拉力大小可能相等，该过程中绳AB上的拉力FAB逐渐减小，但始终大于绳AC上的拉力FAC，故C错误，D正确。](共50张PPT)
专题一　力与运动
微专题1
力与物体的平衡
知识聚焦
高频考点练
内容索引
核心精讲
补偿强化练
知识聚焦
PART ONE
常见的力
力与物体的平衡
力与物体的平衡
1.物体处于平衡状态的常见情况：
(1)物体处于静止状态；
(2)物体做匀速直线运动；
(3)动态平衡(物体缓慢移动)；
(4)带电粒子在复合场中做直线运动。
2.物体处于平衡状态的条件：合力始终为零。
核心精讲
PART TWO
3.解决平衡问题的步骤和方法
4.注意点
(1)力的分析顺序：先整体后隔离；先分析其他力再分析摩擦力；
(2)静电力、安培力或洛伦兹力的出现可能对弹力或摩擦力产生影响；
(3)出现“最大”“最小”“恰好”等文字时，一般为临界问题。
考点一　受力分析　静态平衡问题
1. (2024·河北卷·5)如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为
A. N B.1.0 N
C. N D.2.0 N
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高频考点练
PART THREE
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对小球受力分析如图所示
由几何关系可得力F与力FN与竖直方向的夹角均为
30°，因此将力F和FN正交分解可得
FNsin 30°=Fsin 30°，FNcos 30°+Fcos 30°+FT=mg
解得F=FN= N，故选A。
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2.(2024·河北保定市一模)如图所示，质量为m的均匀直木杆静置在水平地面与倾角为37°的光滑斜面之间，已知斜面对木杆的支持力大小为F，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，下列说法正确的是
A.木杆处于四力平衡状态
B.水平地面可能是光滑的
C.水平地面对木杆的支持力大小为mg-0.6F
D.水平地面对木杆的摩擦力大小为0.8F
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根据题意，对木杆受力分析，受重力、斜面的支
持力和水平地面的支持力，由于斜面光滑，木杆
和斜面间没有摩擦力，由平衡条件可知，水平地
面一定给木杆水平向右的摩擦力，如图所示，可知，木杆处于四力平衡状态，且水平地面不可能是光滑的，故A正确，B错误；
由平衡条件有Ff=Fsin 37°=0.6F，FN+Fcos 37°=mg，解得FN=mg-0.8F，故C、D错误。
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点拨·提炼
共点力问题中，把物体在不同接触面的受力平移到重心上进行分析，较为有效。
3.(2024·江苏南京市零模)如图所示，有4 042个质量均为m的小球(可视为质点)，将它们用长度相等的轻绳依次连接，再将其左端固定在天花板上，右端施加一水平力使全部小球静止。已知连接天花板的轻绳与水平方向的夹角为60°，设第2 021个小球和第2 022个小球之间的轻绳的弹力大小是4 042个小球的总重力的k倍，则k值为
A. B.
C. D.
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以4 042个小球组成的整体为研究对象，分析
受力情况，如图甲所示，根据平衡条件得F
=mg，再以第2 022个到第4 042个小球共
2 021个小球组成的整体为研究对象，分析受
力情况，如图乙所示，则有FT2=·2 021mg，所以k==，故B正确，A、C、D错误。
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4.(2024·湖北卷·6)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为Ff，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为
A.Ff B.Ff
C.2Ff D.3Ff
√
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根据题意对S受力分析如图甲
正交分解可知2FTcos 30°=Ff
所以有FT=Ff
对P受力分析如图乙
根据平衡条件：Fcos α=FTcos 30°+Ff
Fsin α=FTsin 30°
联立解得F=，故选B。
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考点二　动态平衡问题
5.(2024·黑龙江哈尔滨市一模)如图甲所示，直导线P、Q分别被两根等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴上，且P固定于水平轴正下方，两组绳长也相同且都与水平轴垂直，其截面图如图乙所示，导线P通以垂直纸面向里的电流；导线Q电流方向未知，平衡时两导线位于同一平面，且Q的两根绝缘轻绳与竖直方向夹角均为θ。已知Q的质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是
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A.导线Q中电流方向垂直纸面向里
B.导线P、Q间的安培力大小为2mgsin
C.仅使导线P中电流I缓慢增大且θ不超过90°，
导线Q对轻绳的拉力大小逐渐增大
D.当导线P中电流突然消失的瞬间，导线Q受到两绳的拉力大小之和为
mgsin θ
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对Q进行受力分析可知，P对Q的力为斥力，由安培定则和左手定则可知，两导线的电流方向相反，即导线Q中电流方向垂直纸面向外，故A错误；
设导线Q受到两绳的拉力之和为FT，导线P、Q间的安培
力为F，对Q进行受力分析，根据三角形定则，受力如图
所示，由于两组绳长相同，则根据几何知识可得FT=mg，
F=2mgsin ，故B正确；
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由上述分析可知，导线Q受到两绳的拉力之和FT始终为mg，与电流I和角度θ无关，则导线Q对轻绳的拉力大小不变，故C错误；
当导线P中电流突然消失的瞬间，导线P、Q间的安培力消失，此时导线Q沿两绳方向上的合力为零，则导线Q受到两绳的拉力大小之和为mgcos θ，故D错误。
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6.(多选)(2024·河南省信阳高级中学二模)如图所示，两质量相等的光滑小圆环A、B用细线相连，水平横杆穿过圆环A，竖直杆穿过圆环B。开始时，细线贴着竖直杆处于竖直方向。现在细线某点上施加一水平向右的拉力F，使两环缓慢移动，则在这一移动过程中
A.水平向右的拉力F逐渐增大
B.横杆对环A的弹力逐渐增大
C.细线对环B的拉力逐渐增大
D.细线对球A的拉力逐渐增大
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由于A受到重力、支持力和细线拉力作用平衡，所以拉A的细线竖直。任意状态的受力如图甲所示，对B受力分析如图乙，可以构成如图丙所示矢量三角形
设与B相连的细线与竖直方向的夹角为θ，当F继续向右运动，则θ增大，由FT2=得出FT2变大，故C正确；
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设F与细线的作用点为O点，对O点受力分析如图丁
三力平衡有F=FT2'sin θ
FT1'=FT2'cos θ
又FT2'=FT2
则F=Gtan θ，
FT1'=G
随着θ增大，则F增大，细线对A的拉力FT1'不变，故A受的弹力FN1= FT1'+G=2G不变，故A正确，B、D错误。
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7.(2024·湖南长沙市二模)图(a)所示的采棉机在运输圆柱形棉包的过程中缓慢经过一段如图(b)所示路面(运动时，圆柱形棉包在前，路段足够长)，CD、EF为水平路面，M点为倾角最大的位置，倾角为30°。棉包放在如图(c)所示的“V”形挡板上，两板间夹角恒为120°，初始时OA与水平面的夹角为30°。运动过程中，棉包不脱离挡板，忽略“V”形挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g。则
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A.从D到M斜面对采棉机的作用力越来越小
B.从D到M棉包对OA板的压力先增大后减小
C.从D到M棉包对OB板的压力一直增大
D.采棉机在EF段做减速运动，加速度大小可以为g
√
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采棉机在斜面上缓慢行驶时受到重力和斜面对采棉机的作用力，受力平衡，所以斜面对采棉机的作用力与重力等大、反向，故从D到M斜面对采棉机的作用力不变，故A错误；
采棉机从D点运动到M点的过程中，棉包重力大小和方向
不变，OA板、OB板对棉包的作用力夹角不变，FOA与竖
直方向的夹角变大，作出力矢量三角形的外接圆如图甲
所示，由图可知，FOA一直减小，FOB一直增大，根据牛
顿第三定律可得，棉包对OA板的压力一直减小，棉包对OB板的压力一直增大，故B错误，C正确；
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采棉机在EF段做减速运动，挡板OB对棉包的支持力为0时，
棉包受力如图乙所示，根据牛顿第二定律可得=ma，解得a=g，当加速度大于g时，棉包会从采棉机上滚下
来，故D错误。
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考点三　平衡中的临界和极值问题
8.(2024·江苏镇江市一模)如图所示，宽为l的光滑导轨与水平面成α角，质量为m、长为l的金属杆水平放置在导轨上。空间存在着匀强磁场，当回路中电流为I时，金属杆恰好能静止，已知重力加速度为g。匀强磁场磁感应强度大小不可能是下列选项中的
A. B.
C. D.
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当安培力的方向沿斜面向上时，安培力最小，
此时磁感应强度最小，由mgsin α=BminIl，可得
Bmin=
，故选D。
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9.(2024·广西桂林市一模)在“互联网+”时代，网上购物已经成为一种常见的消费方式，网购也促进了快递业发展。如图，一快递小哥在水平地面上拖拉一个货箱，货箱和里面快递的总质量为30 kg，货箱与地面间的动摩擦因数μ=。若该小哥拉着货箱在水平地面上做匀速直线运动，取g=10 m/s2，则所施加拉力的最小值和方向为
A.大小为100 N，方向指向左上方与水平方向的夹角成30°
B.大小为100 N，方向指向左上方与水平方向的夹角成60°
C.大小为150 N，方向指向左上方与水平方向的夹角成30°
D.大小为150 N，方向指向左上方与水平方向的夹角成60°
√
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方法一：三角函数极值法
根据题意，设施加拉力为F，方向与水平面夹角为θ，
则有Fcos θ=μ(mg-Fsin θ)，整理可得F=，由
数学知识，令sin α==，cos α==，则有F=，
当θ+α=，即θ=30°时，F有最小值，最小值为Fmin==mg=
150 N，方向指向左上方与水平方向的夹角成30°。
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方法二：摩擦角法
货箱受四个力作用：重力mg，支持力FN，摩擦力Ff，
斜向左上的拉力F，设FN与Ff的合力F'与竖直方向的
夹角为θ，则tan θ==μ=，所以θ=30°，货箱等效
为受到mg、F和F'三个力的作用，
其矢量图如图所示，当F⊥F'时，F最小，此时Fmin=
mgsin 30°=150 N，Fmin与水平方向的夹角成30°。
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点拨·提炼
在力的方向发生变化的平衡问题中求拉力的极小值时，常利用：
(1)三角函数极值法(辅助角法或求导法)；
(2)摩擦角法：利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡。
物体做匀速直线运动，θ角改变，求拉力F的最小值。
设支持力与摩擦力的合力为F'，F'与竖直方向的夹角为θ
则tan θ==μ
当拉力F与F'垂直时拉力最小，
Fmin=mgsin θ。
1.(2024·山东卷·2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于
A. B.
C. D.
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补偿强化练
PART FOUR
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根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于
30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”
分析有mgsin 30°≤μmgcos 30°
可得μ≥tan 30°=
故选B。
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2.(2024·贵州遵义市一模)如图甲，燃气灶具有四个相同的支撑架，支撑架均匀分布。假设支撑架上部分为一斜面，且该斜面与竖直方向的夹角为θ，如图乙所示。现将一质量为m的半球形锅正放在燃气灶上，且锅与支撑架斜面接触，重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A.每个支撑架给锅的作用力大小为mg
B.每个支撑架给锅的弹力大小为mgsin θ
C.每个支撑架与锅之间存在摩擦力
D.无论支撑架斜面光滑与否，每个支撑架给锅的作用力大小不变
√
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假设支撑面光滑，则支撑架与锅可以保
持静止，因此支撑架给锅的摩擦力为0，
C错误；
设每个支撑架与锅之间的弹力为FN，则弹力与水平方向的夹角为θ，竖直方向根据平衡条件可得4FNsin θ=mg，每个支撑架给锅的弹力大小为，B错误；
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由于摩擦力为0，因此支撑架对锅的作用
力等于支撑架对锅的弹力，A错误；
无论支撑架斜面光滑与否，摩擦力均为0，
因此每个支撑架给锅的作用力大小不变，均为，D正确。
3.(2024·浙江1月选考·6)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ=30°(不计摩擦)，重力加速度g=10 m/s2，则细线a、b的拉力分别为
A.2 N　1 N B.2 N　0.5 N
C.1 N　1 N D.1 N　0.5 N
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由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小
相等、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉
力大小为FTa=(mA+mB)g=1 N，设细线b与水平方向夹
角为α，对A、B分析分别有FTbsin α+FTcsin θ=mAg，
FTbcos α=FTdcos θ，解得FTb=0.5 N，故D正确。
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4.(多选)(2024·宁夏银川一中、云南昆明一中二模联考)压跷跷板是小朋友们特别喜欢的娱乐运动项目，跷跷板在幼儿园以及公共娱乐健身场所都可以见到。某实验小组利用该娱乐设施进行物理研究，如图所示。质量为m的小球B置于光滑半球形凹槽A内，凹槽放置在跷跷板上，凹槽的质量为M，当板的倾角为α=30°时，凹槽恰好静止。令最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则在缓慢压低跷跷板的Q端至跟P端等高的过程中，下列说法正确的是
A.开始时凹槽受到沿跷跷板向上的摩擦力大小为
B.凹槽与跷跷板之间的动摩擦因数为
C.小球对凹槽的压力大小始终为mg
D.跷跷板对凹槽的作用力逐渐增大
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将小球跟凹槽视为整体，开始时恰好静止，那么根
据受力平衡知Ff=(m+M)gsin α=g，故A错误；
根据平衡条件有(m+M)gsin α-μ(m+M)gcos α=0，解得
μ=，故B正确；
小球所在处的凹槽切线总是水平的，那么小球对凹槽的压力大小始终等于小球的重力，故C正确；
由于小球、凹槽整体的重力不变化，与跷跷板的作用力等大反向，那么跷跷板对凹槽的作用力不变，故D错误。
5.(2024·安徽黄山市模拟)如图所示，两个质量分别为M和m的小球带同种电荷，电荷量分别为Q和q，用长度分别为L1和L2的轻绳悬挂于同一点，平衡时，两绳与竖直方向的夹角分别是α和β，则等于
A. B.
C. D.
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设平衡时两球的距离为r，两个质量分别为M和m的小球连线与绳长为L1和L2的轻绳夹角分别为θ1、θ2，如图所示，对两球受力分析
由正弦定理得=
=
又=
联立解得=，故选C。
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6.(2024·河北保定市二模)如图所示，倾角为θ的斜面固定在水平地面上，两个物块A、B用与斜面平行的轻质弹簧连接，两物块恰好能静止在斜面上。已知物块A的质量为1 kg，物块A与斜面间的动摩擦因数为0.4，物块B与斜面间的动摩擦因数为0.8，两物块受到的摩擦力方向相同，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，取重力加速度大小g=10 m/s2，sin θ=0.6，下列说法正确的是
A.弹簧可能处于压缩状态
B.弹簧中的弹力大小为2.4 N
C.物块B的质量为7 kg
D.物块B受到的摩擦力大小为56 N
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因tan θ>0.4，物块A静止在斜面上，所以弹簧一定处于伸长状态，A错误；
对物块A有mAgsin θ=μAmAgcos θ+F，解得F=2.8 N，B错误；
把A、B看成一个整体，有μAmAgcos θ+μBmBgcos θ=(mA+mB)gsin θ，解得mB=7 kg，物块B受到的摩擦力大小为Ff=μBmBgcos θ=44.8 N，C正确，D错误。
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7.(2024·广东佛山市二模)如图，用AB与AC两根轻绳悬挂一质量分布不均(重心偏左)的矩形画框，画框底部需保持与水平地面平行。若保持AB绳长不变，将C端左移，AC绳缩短至某一长度(但AC绳仍长于AB绳)后悬挂画框，画框保持原状态不动，则改变AC绳长前后
A.AB绳的拉力大小总等于AC绳的拉力大小
B.AB绳的拉力大小总小于AC绳的拉力大小
C.AB绳的拉力大小不变
D.AC绳的拉力大小可能相等
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对画框受力分析如图(a)所示，设AB绳上的拉力与水
平方向的夹角为θ1，AC绳上的拉力与水平方向的夹
角为θ2，根据题意，保持AB绳长不变，将C端左移，
AC绳缩短至某一长度(但AC绳仍长于AB绳)，则可知
该过程中θ1始终不变，且根据几何关系，始终有θ1>θ2，则在水平方向根据平衡条件有FABcos θ1=FACcos θ2，由于θ1始终大于θ2，因此FAB始终大于FAC，故A、B错误；
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画框的重力为恒力，AB绳上力的方向始终不变，作出力的
矢量三角形如图(b)所示，可知随着AC绳将C端向左移动，
绳AC与竖直方向的夹角在减小，该过程中绳AC上的拉力可
能先减小后增大，当绳AC垂直于绳AB时，绳AC上的拉力有
最小值，因此AC绳的拉力大小可能相等，该过程中绳AB上的拉力FAB逐渐减小，但始终大于绳AC上的拉力FAC，故C错误，D正确。

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