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微专题4　运动的合成与分解
1.曲线运动：由运动的独立性可知物体在分方向上时间相同，根据分方向的运动特点分别分析分方向的速度、位移等。
2.平抛运动常用的二级结论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(2)平抛运动速度的偏角θ的正切值是位移偏角α正切值的2倍，tan θ=2tan α。
3.平抛运动与斜面、圆弧等结合的问题一般由速度或位移的几何关系，例如垂直、平行、相切等几何关系，利用速度角或位移角的正切值解答。
4.做(类)平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同。
5.斜抛运动的常用思路：将速度、受力正交分解，分方向分别分析；逆向思维；对称性等。
6.斜上抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称，两对称点与最高点的时间差相等，两对称点的速度大小相等。
考点一　运动的合成与分解
1.(2023·江苏卷·10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是：
A　　　　　　　 B
C D
2.(多选)(2024·安徽卷·9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图甲所示。从t=0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则：
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t=1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C.t=1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2
D.t=2 s时，物块的速度大小为10 m/s
【点拨·提炼】 1.处理运动的合成与分解问题常用方法 将速度、合外力(加速度)分别正交分解，根据动力学知识分析各个分方向的运动情况，再根据需要将速度、合外力(加速度)、位移合成。 2.若两物体有相对运动时，转换参考系可使问题简化。
考点二　平抛运动
3.(2024·湖北卷·3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到：
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
4.(多选)(2024·湖南省长郡中学二模)如图所示，D点为固定斜面AC的三等分点，DC=2AD，在A点先后分别以初速度v01和v02水平抛出同一个小球，结果小球分别落在斜面上的D点和C点。空气阻力不计。设小球在空中运动的时间分别为t1和t2，落到D点和C点瞬间的速度方向与斜面AC的夹角分别为θ1和θ2，落到D点和C点瞬间重力的瞬时功率分别为P1和P2，则下列关系式正确的是：
A.= B.=
C.= D.θ1=θ2
【点拨·提炼】　将小球以不同的初速度v01与v02从倾角为θ的斜面上水平抛出，已知小球均落在斜面上。 (1)运动时间为t=。 (2)运动时间比值为t1∶t2=v01∶v02。 (3)水平位移的比值为x1∶x2=∶。 (4)竖直位移的比值为H1∶H2=∶。 (5)末速度的比值为v1∶v2=v01∶v02，且末速度的方向平行(因位移角θ均相等，由2tan θ=tan α知，故速度角α相等，即末速度的方向平行)。
5.(2021·山东卷·16)海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝类动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量m=0.1 kg的鸟蛤，在H=20 m的高度、以v0=15 m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度g=10 m/s2，忽略空气阻力。
(1)(3分)若鸟蛤与地面的碰撞时间Δt=0.005 s，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F；(碰撞过程中不计重力)
(2)(5分)在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L=6 m的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为20 m，速度大小在15 m/s~17 m/s之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。
【点拨·提炼】　解决平抛运动临界问题的常用方法 1.根据题意画出运动过程示意图。 2.找到位移关系、速度关系的临界条件。 3.分别列出分方向的运动学方程，根据需要找到两方向上物理量关系。 4.将临界条件代入求解。
考点三　斜抛运动
6.(多选)(2024·江西卷·8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是：
A　 　 　B　 　　C　　 　 D
7.(多选)(2024·福建卷·8)先后两次从高为OH=1.4 m高处斜向上抛出质量为m=0.2 kg的同一物体分别落于Q1、Q2，测得OQ1=8.4 m，OQ2=9.8 m，两轨迹交于P点，两条轨迹最高点等高且距水平地面高为3.2 m，g=10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是：
A.第一次抛出上升时间、下降时间比值为∶4
B.第一次过P点比第二次机械能少1.3 J
C.落地瞬间，第一次、第二次动能之比为72∶85
D.第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大
8.(2024·江苏连云港市五校联考)运动员在单板滑雪大跳台上训练的某段过程简化成如图所示的运动，运动员从倾角为α=30°的斜面顶端O点以v0=10 m/s的速度飞出，且与斜面夹角为θ=60°。图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为在斜面上的落点，已知运动员的质量为m=60 kg(含装备)。重力加速度取g=10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)(4分)从O运动到A点所用时间；
(2)(4分)OB之间的距离。
【点拨·提炼】　如图所示，将小球以初速度v0从斜面上水平抛出，斜面倾角为θ，小球最终落在斜面上，P点为平抛轨迹离斜面的最远点，此时小球距斜面的距离为h，重力加速度为g。 (1)以沿斜面的方向为x方向，以垂直斜面的方向为y方向，将速度和加速度分别沿x、y方向进行分解。(x、y方向的选取与θ角有关) x方向：小球做匀加速直线运动 初速度vx=v0cos θ， 加速度ax=gsin θ， y方向：小球做类竖直上抛运动 初速度vy=v0sin θ， 加速度ay=gcos θ， (2)离斜面最远的时间t=。 (3)离斜面最远的距离h=。
1.(2024·江苏卷·4)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的：
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高点的速度相同 D.在空中的时间相同
2.(2024·安徽淮南市二模)实验小组利用风洞研究曲线运动，如图所示。在风洞内无风时，将一小球从O点以某一速度水平抛出后，经过一段时间小球落到水平面上的O2点。现让风洞内存在图示方向的风，使小球受到恒定的风力，小球仍以相同的速度从O点水平抛出。下列说法正确的是：
A.小球从抛出到落到水平面上的时间一定增大
B.小球落到水平面上时的速度方向一定不与水平面垂直
C.小球可能落在水平面上的O1点
D.小球可能落在水平面上的O2点
3.(多选)(2024·河北省第五次联考)如图，两竖直光滑墙相邻，一可看作质点的小球自左侧墙体最高点O水平抛出，A'、B'、C'、…A、B、C、…为小球与左、右两侧墙体的碰撞点，小球与墙体碰撞前后，竖直速度不变，水平速度等大、反向，墙足够高，不计空气阻力。下列说法正确的是：
A.A、B、C…间的距离之比满足yAB∶yBC∶yCD∶…=1∶3∶5∶…
B.小球在A、B、C的竖直速度分量之比满足vAy∶vBy∶vCy∶…=1∶3∶5∶…
C.小球与墙体碰撞时速度变化量均相同
D.小球与墙体两次碰撞之间，小球的动量变化率均相同
4.(2024·安徽六安市舒城中学一模)如图所示，斜面固定在竖直向下的、电场强度为E的匀强电场中，从斜面顶点分别水平向右以v和2v抛出两个质量都为m、带电荷量分别为+q和+2q的小球A、B，两小球都落在斜面上。已知mg=Eq，g为重力加速度，则：
A.两小球从抛出到落到斜面上所用时间之比为1∶2
B.两小球从抛出到落到斜面上静电力的冲量之比为3∶4
C.两小球从抛出到落到斜面上动量变化量之比为1∶4
D.两小球从抛出到落到斜面上动能变化量之比为1∶4
5.(多选)(2024·山东卷·12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是：
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
6.(2024·福建师范大学附属中学模拟)掷铅球是一项需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，某同学参加掷铅球比赛，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，=5.5，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，则：
(1)(3分)她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5 m，速度为v0=10 m/s，则铅球运动的水平距离是多少米？
(2)(5分)第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从离地高为H=1.8 m处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次推出铅球时铅球的速度大小仍为10 m/s，则这次投掷的成绩为多少米？
答案精析
高频考点练
1.D　[以罐子为参考系，沙子在水平方向向左做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，合加速度恒定，沙子在空中排列在一条斜向左下的直线上，故选D。]
2.BD　[根据题图乙可得F1=4-t(N)，F2=3t(N)，故两力的合力为Fx=4+2t(N)
物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向受到的力Fx在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误；
沿y轴方向物块做匀加速直线运动，加速度为
ay==gsin 30°=5 m/s2
故t=1 s时，物块的y坐标值为
y=ayt2=2.5 m
故B正确；
t=1 s时，Fx=6 N，
故ax==5 m/s2
则a==5 m/s2
故C错误；
沿x轴正方向，对物块根据动量定理得Fxt=mvx-0
由于Fx与时间t成线性关系，故可得
×2=1.2vx
解得vx=10 m/s
此时y轴方向速度大小为
vy=gsin 30°·t=5×2 m/s=10 m/s
故此时物块的速度大小为
v==10 m/s
故D正确。]
3.C　[青蛙做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，则有x=vt，h=gt2，
可得v=x
因此水平位移越小，竖直高度越大，初速度越小，因此它应跳到荷叶c上面。故选C。]
4.AD　[设斜面的倾角为α，落点与A点的距离为l，根据tan α==lcos α=v0t，可得v0=∝因=可知=t=∝v0，可知==选项A正确，C错误；落到斜面上瞬间重力的瞬时功率P=mgvy=mg2t∝t，可知==选项B错误；落到斜面上时速度的偏向角(θ+α)满足tan (θ+α)==2tan α，可知θ1=θ2，选项D正确。]
5.(1)500 N
(2)[34 m，36 m]或(34 m，36 m)
解析　(1)设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度大小为v。竖直方向分速度大小为vy，得H=gt2，vy=gt，v=
在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v的方向为正方向，由动量定理得-FΔt=0-mv
联立解得F=500 N。
(2)若释放鸟蛤的初速度为v1=15 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标值为x1，击中右端时，释放点的x坐标值为x2，得x1=v1t，x2=x1+L
联立解得x1=30 m，x2=36 m
若释放鸟蛤的初速度为v2=17 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标值为x1'，击中右端时，释放点的x坐标值为x2'，得x1'=v2t，x2'=x1'+L
联立解得x1'=34 m，x2'=40 m
综上得x坐标区间[34 m，36 m]或(34 m，36 m)。
6.AD　[小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为定值，则有水平位移x=vxt，故A正确，C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则y=vy0t-gt2，vy=vy0-gt，且最高点时竖直方向的分速度为0，故B错误，D正确。]
7.BD　[第一次抛出上升的高度为h1=3.2 m-1.4 m=1.8 m，故上升时间为t上1==0.6 s，最高点距水平地面高为h0=3.2 m，故下降的时间为t下1==0.8 s，故第一次抛出上升时间、下降时间比值为3∶4，故A错误；两条轨迹最高点等高，故可知两次从抛出到落地的时间相等为t=t上1+t下1=1.4 s，故可得第一次、第二次抛出时水平方向的分速度分别为vx1==6 m/s，vx2==7 m/s，由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度相等为vy=gt上1=6 m/s，由于物体在空中机械能守恒，故第一次过P点比第二次机械能少，ΔE=m-m=1.3 J，故B正确；从抛出到落地瞬间根据动能定理Ek1=Ek01+mg·OH=m(+)+mg·OH=10 J，Ek2=Ek02+mg·OH=m(+)+mg·OH=11.3 J，故落地瞬间，第一次、第二次动能之比为100∶113，故C错误；根据前面分析可知两次抛出时竖直方向的分速度相同，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相同，由于第一次的水平分速度较小，物体在水平方向速度不变，故可知第一次抛出时速度方向与水平方向的夹角较大，第一次落地时速度方向与水平方向的夹角也较大，故可知第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大，故D正确。]
8.(1)1 s　(2)20 m
解析　(1)由题意可知，将运动员的速度和加速度分解，如图所示
从O点到A点过程中，运动员在垂直斜面方向上有
vy=v0cos α
vy=gcos α·t
联立代入数据可得t=1 s
(2)由对称性可知，从O到B点的时间为2t，则从O到B过程有
x=v0sin α·2t+gsin α·(2t)2
代入数据解得x=20 m
补偿强化练
1.A　[不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向的分速度为vx，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t=2可知tb>ta，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度vx=由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小关系，B、C错误。]
2.C　[无风时小球在竖直方向上的加速度a1=g，有风时，设风力大小为F，小球受力情况如图所示，此时小球竖直方向的加速度a1'==g+>a1，根据h=at2可知，有风时小球从抛出到落到水平面上的时间减小，故A错误；由于v0、h、F及θ大小关系不确定，小球可能在水平方向向右刚好减速到零时，小球下落的速度方向与水平面垂直；小球也可能在水平方向上向右减速到零后，再反向加速回到OO1竖直线上时，小球刚好落到水平面上的O1点，故B错误，C正确；O1O2=v0t，有风时，小球水平向右移动的最大距离x=v0t'，由A项分析可知t'3.BD　[小球在水平方向做速率不变的运动，竖直方向做自由落体运动，则tOA=tAA'=tA'B=tBB'=tB'C=…，物体做初速度为0的匀变速直线运动时，在连续相等时间内位移之比为1∶3∶5∶…，由于A点有竖直向下的分速度，则A、B、C…之间的距离之比满足yAB∶yBC∶yCD∶…≠1∶3∶5∶…，由v=gt知，小球在A、B、C的竖直速度分量之比满足vAy∶vBy∶vCy∶…=1∶3∶5∶…，故A错误，B正确；小球与墙体碰撞前后，竖直速度不变，水平速度等大、反向，小球与墙体每次碰撞时速度变化量大小相等，均为Δv=2v0，但方向不是都相同，故C错误；由动量定理知I=mg·Δt=mg，小球与墙体前后两次碰撞之间，小球的动量变化率即为小球重力，均相同，故D正确。]
4.D　[两小球都落在斜面上，设斜面倾角为θ，有tan θ===则两小球运动时间之比为=·=·=故A错误；两小球从抛出到落到斜面上静电力的冲量之比为==故B错误；由动量定理可知合外力的冲量等于动量变化量，则两小球从抛出到落到斜面上动量变化量之比为==故C错误；由动能定理知合外力做的功等于动能变化量，则两小球从抛出到落到斜面上动能变化量之比为===故D正确。]
5.BD　[解法一　以P点为坐标原点，建立直角坐标系如图甲所示(PQ为x轴)
将v0沿两个坐标轴分解，则有
v0x=v0cos 60°=10 m/s，
v0y=v0sin 60°=10 m/s
将重力加速度沿两个坐标轴分解，则有ax=gsin 30°=5 m/s2
ay=gcos 30°=5 m/s2
从P点抛出至落到Q点的过程中，由对称性可知t=2=4 s，A错误；
重物距PQ连线最远距离Y==10 m，C错误；
落至Q点时vx=v0x+axt=30 m/s
由对称性得vy=v0y=10 m/s
落至Q点时速度方向与x轴夹角设为θ
tan θ==
则θ=30°
又因PQ与水平方向夹角为30°，
则落地速度方向与水平方向夹角α=60°，B正确；
重物从抛出到最高点所用时间为t1==1 s
从最高点到落地所用时间为t2=t-t1=3 s
则轨迹最高点与落点的高度差为h=g=45 m，D正确。
解法二　以P点为坐标原点建立直角坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图乙所示，P'与P等高
v0x=v0cos 30°=10 m/s
v0y=v0sin 30°=10 m/s
从P→P'
t1==2 s
x1=v0xt1=20 m
vx=v0x=10 m/s
vy=v0y=10 m/s，
从P'→Q
x2=vxt2
y=vyt2+g
由几何关系知：
tan 30°==
解得：t2=2 s
t总=t1+t2=4 s
A错误；
从最高点至Q点时间为t3=t总-=3 s
vy'=gt3=30 m/s
tan α==α=60°，B正确；
H=g=45 m，D正确；
离PQ连线最远点速度方向与PQ平行，即垂直于PQ连线的分速度为0，最远距离D===10 m，C错误。]
6.(1)5.5 m　(2)10.8 m
解析　(1)由平抛运动知识h=gt2
铅球运动的水平距离为x=v0t
解得x=5.5 m
(2)被推出的铅球在竖直方向做竖直上抛运动，
则有-H=v0sin 53°·t'-gt'2
解得t'=1.8 s或t'=-0.2 s(舍去)
铅球在水平方向做匀速直线运动
x'=v0cos 53°·t'
这次投掷的成绩为x'=10.8 m。(共56张PPT)
专题一　力与运动
微专题4
运动的合成与分解
知识聚焦
高频考点练
内容索引
核心精讲
补偿强化练
知识聚焦
PART ONE
1.曲线运动：由运动的独立性可知物体在分方向上时间相同，根据分方向的运动特点分别分析分方向的速度、位移等。
2.平抛运动常用的二级结论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(2)平抛运动速度的偏角θ的正切值是位移偏角α正切值的2倍，tan θ=2tan α。
3.平抛运动与斜面、圆弧等结合的问题一般由速度或位移的几何关系，例如垂直、平行、相切等几何关系，利用速度角或位移角的正切值解答。
核心精讲
PART TWO
4.做(类)平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同。
5.斜抛运动的常用思路：将速度、受力正交分解，分方向分别分析；逆向思维；对称性等。
6.斜上抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称，两对称点与最高点的时间差相等，两对称点的速度大小相等。
考点一　运动的合成与分解
1.(2023·江苏卷·10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是
1
2
3
4
5
6
7
8
高频考点练
PART THREE
√
1
2
3
4
5
6
7
8
以罐子为参考系，沙子在水平方向向左做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，合加速度恒定，沙子在空中排列在一条斜向左下的直线上，故选D。
2.(多选)(2024·安徽卷·9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图甲所示。从t=0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t=1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C.t=1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2
D.t=2 s时，物块的速度大小为10 m/s
√
1
2
3
4
5
6
7
8
√
1
2
3
4
5
6
根据题图乙可得F1=4-t(N)，F2=3t(N)，故两力的合力为Fx=4+2t(N)
物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向受到的力Fx在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误；
沿y轴方向物块做匀加速直线运动，加速度为
ay==gsin 30°=5 m/s2
故t=1 s时，物块的y坐标值为
y=ayt2=2.5 m
故B正确；
7
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1
2
3
4
5
6
t=1 s时，Fx=6 N，故ax==5 m/s2
则a==5 m/s2
故C错误；
沿x轴正方向，对物块根据动量定理得
Fxt=mvx-0
由于Fx与时间t成线性关系，故可得
×2=1.2vx
7
8
1
2
3
4
5
6
解得vx=10 m/s
此时y轴方向速度大小为
vy=gsin 30°·t=5×2 m/s=10 m/s
故此时物块的速度大小为
v==10 m/s
故D正确。
7
8
1
2
3
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5
6
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8
点拨·提炼
1.处理运动的合成与分解问题常用方法
将速度、合外力(加速度)分别正交分解，根据动力学知识分析各个分方向的运动情况，再根据需要将速度、合外力(加速度)、位移合成。
2.若两物体有相对运动时，转换参考系可使问题简化。
考点二　平抛运动
3. (2024·湖北卷·3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
1
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√
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1
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青蛙做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，
竖直方向为自由落体运动，则有x=vt，h=gt2，
可得v=x
因此水平位移越小，竖直高度越大，初速度越小，因此它应跳到荷叶c上面。故选C。
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4.(多选)(2024·湖南省长郡中学二模)如图所示，D点为固定斜面AC的三等分点，DC=2AD，在A点先后分别以初速度v01和v02水平抛出同一个小球，结果小球分别落在斜面上的D点和C点。空气阻力不计。设小球在空中运动的时间分别为t1和t2，落到D点和C点瞬间的速度方向与斜面AC的夹角分别为θ1和θ2，落到D点和C点瞬间重力的瞬时功率分别为P1和P2，则下列关系式正确的是
A.= B.=
C.= D.θ1=θ2
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√
√
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落到斜面上瞬间重力的瞬时功率P=mgvy=mg2t∝t，可知==，选项
B错误；
落到斜面上时速度的偏向角(θ+α)满足tan (θ+α)==2tan α，可知θ1=θ2，选项D正确。
设斜面的倾角为α，落点与A点的距离为l，根据tan α
==，lcos α=v0t，可得v0=∝==，t=∝v0，可知==，
选项A正确，C错误；
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点拨·提炼
将小球以不同的初速度v01与v02从倾角为θ的斜面上水平抛出，已知小球均落在斜面上。
(1)运动时间为t=。
(2)运动时间比值为t1∶t2=v01∶v02。
(3)水平位移的比值为x1∶x2=∶。
(4)竖直位移的比值为H1∶H2=∶。
(5)末速度的比值为v1∶v2=v01∶v02，且末速度的方向平行(因位移角θ均相等，由2tan θ=tan α知，故速度角α相等，即末速度的方向平行)。
5.(2021·山东卷·16)海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝类动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量m=0.1 kg的鸟蛤，在H=20 m的高度、以v0=15 m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度g=10 m/s2，忽略空气阻力。
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答案　500 N
(1)若鸟蛤与地面的碰撞时间Δt=0.005 s，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F；(碰撞过程中不计重力)
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在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v的方向为正方向，由动量定理得-FΔt=0-mv
联立解得F=500 N。
设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度
大小为v。竖直方向分速度大小为vy，得H=gt2，vy=gt，v=
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(2)在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L=6 m的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为20 m，速度大小在15 m/s~17 m/s之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。
答案　[34 m，36 m]或(34 m，36 m)
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若释放鸟蛤的初速度为v2=17 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标值为x1'，击中右端时，释放点的x坐标值为x2'，得x1'=v2t，x2'=x1'+L
联立解得x1'=34 m，x2'=40 m
综上得x坐标区间[34 m，36 m]或(34 m，36 m)。
若释放鸟蛤的初速度为v1=15 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标值为x1，击中右端时，释放点的x坐标值为x2，得x1=v1t，x2=x1+L
联立解得x1=30 m，x2=36 m
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点拨·提炼
解决平抛运动临界问题的常用方法
1.根据题意画出运动过程示意图。
2.找到位移关系、速度关系的临界条件。
3.分别列出分方向的运动学方程，根据需要找到两方向上物理量关系。
4.将临界条件代入求解。
考点三　斜抛运动
6.(多选)(2024·江西卷·8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是
√
√
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小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则y=vy0t-gt2，vy=vy0-gt，且最高点时竖直方向的分速度为0，故B错误，D正确。
小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为定值，则有水平位移x=vxt，故A正确，C错误；
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7.(多选)(2024·福建卷·8)先后两次从高为OH=1.4 m高处斜向上抛出质量为m=0.2 kg的同一物体分别落于Q1、Q2，测得OQ1=8.4 m，OQ2=9.8 m，两轨迹交于P点，两条轨迹最高点等高且距水平地面高为3.2 m，g=10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是
A.第一次抛出上升时间、下降时间比值为∶4
B.第一次过P点比第二次机械能少1.3 J
C.落地瞬间，第一次、第二次动能之比为72∶85
D.第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大
√
√
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h0=3.2 m，故下降的时间为t下1==0.8 s，故第一次抛出上升时间、下降时间比值为3∶4，故A错误；
第一次抛出上升的高度为h1=3.2 m-1.4 m=1.8 m，故
上升时间为t上1==0.6 s，最高点距水平地面高为
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vx2==7 m/s，由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度相等为vy=gt上1=6 m/s，由于物体在空中机械能守恒，故第一次过P点比第二次机械能少，ΔE=m-m=1.3 J，故B正确；
两条轨迹最高点等高，故可知两次从抛出到落地的时间相等为t=t上1+t下1=1.4 s，故可得第一次、第二次抛出时水平方向的分速度分别为vx1==6 m/s，
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m(+)+mg·OH=11.3 J，故落地瞬间，第一次、第二次动能之比为100∶113，故C错误；
根据前面分析可知两次抛出时竖直方向的分速度相同，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相同，由于第一次的水平分速度较小，物体在水平方向速度不变，故可知第一次抛出时速度方向与水平方向的夹角较大，第一次落地时速度方向与水平方向的夹角也较大，故可知第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大，故D正确。
从抛出到落地瞬间根据动能定理Ek1=Ek01+mg·OH
=m(+)+mg·OH=10 J，Ek2=Ek02+mg·OH=
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8.(2024·江苏连云港市五校联考)运动员在单板滑雪大跳台上训练的某段过程简化成如图所示的运动，运动员从倾角为α=30°的斜面顶端O点以v0=10 m/s的速度飞出，且与斜面夹角为θ=60°。图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为在斜面上的落点，已知运动员的质量为m=60 kg(含装备)。重力加速度取g=10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)从O运动到A点所用时间；
答案　1 s　
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由题意可知，将运动员的速度和加速度分解，如图所示
从O点到A点过程中，运动员在垂直斜面方向上有
vy=v0cos α
vy=gcos α·t
联立代入数据可得t=1 s
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(2)OB之间的距离。
答案　20 m
由对称性可知，从O到B点的时间为2t，则从O到B过程有
x=v0sin α·2t+gsin α·(2t)2
代入数据解得x=20 m
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点拨·提炼
如图所示，将小球以初速度v0从斜面上水平抛出，斜面倾角为θ，小球最终落在斜面上，P点为平抛轨迹离斜面的最远点，此时小球距斜面的距离为h，重力加速度为g。
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点拨·提炼
(1)以沿斜面的方向为x方向，以垂直斜面的方向为y方向，将速度和加速度分别沿x、y方向进行分解。(x、y方向的选取与θ角有关)
x方向：小球做匀加速直线运动
初速度vx=v0cos θ，加速度ax=gsin θ，
y方向：小球做类竖直上抛运动
初速度vy=v0sin θ，加速度ay=gcos θ，
(2)离斜面最远的时间t=。
(3)离斜面最远的距离h=。
1.(2024·江苏卷·4)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高点的速度相同 D.在空中的时间相同
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补偿强化练
PART FOUR
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设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向的分速度为vx，竖直
方向，根据对称性可知在空中运动的时间t=2，可知tb>ta，D错误；
最高点的速度等于水平方向的分速度vx=，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小关系，B、C错误。
不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，A正确；
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2.(2024·安徽淮南市二模)实验小组利用风洞研究曲线运动，如图所示。在风洞内无风时，将一小球从O点以某一速度水平抛出后，经过一段时间小球落到水平面上的O2点。现让风洞内存在图示方向的风，使小球受到恒定的风力，小球仍以相同的速度从O点水平抛出。下列说法正确的是
A.小球从抛出到落到水平面上的时间一定增大
B.小球落到水平面上时的速度方向一定不与水
平面垂直
C.小球可能落在水平面上的O1点
D.小球可能落在水平面上的O2点
√
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抛出到落到水平面上的时间减小，故A错误；
由于v0、h、F及θ大小关系不确定，小球可能在水平方向向右刚好减速到零时，小球下落的速度方向与水平面垂直；小球也可能在水平方向上向右减速到零后，再反向加速回到OO1竖直线上时，小球刚好落到水平面上的O1点，故B错误，C正确；
无风时小球在竖直方向上的加速度a1=g，有风时，设风力大小为F，小球受力情况如图所示，此时小球竖直方向的加速度a1'==g+>a1，根据h=at2可知，有风时小球从
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O1O2=v0t，有风时，小球水平向右移动的最大距离x=v0t'，由A项分析可知t'6
3.(多选)(2024·河北省第五次联考)如图，两竖直光滑墙相邻，一可看作质点的小球自左侧墙体最高点O水平抛出，A'、B'、C'、…A、B、C、…为小球与左、右两侧墙体的碰撞点，小球与墙体碰撞前后，竖直速度不变，水平速度等大、反向，墙足够高，不计空气阻力。下列说法正确的是
A.A、B、C…间的距离之比满足yAB∶yBC∶yCD∶…=1∶3∶
5∶…
B.小球在A、B、C的竖直速度分量之比满足vAy∶vBy∶vCy∶
…=1∶3∶5∶…
C.小球与墙体碰撞时速度变化量均相同
D.小球与墙体两次碰撞之间，小球的动量变化率均相同
√
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√
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yCD∶…≠1∶3∶5∶…，由v=gt知，小球在A、B、C的竖直速度分量之比满足vAy∶vBy∶vCy∶…=1∶3∶5∶…，故A错误，B正确；
小球在水平方向做速率不变的运动，竖直方向做自由落体运动，则tOA=tAA'=tA'B=tBB'=tB'C=…，物体做初速度为0的匀变速直线运动时，在连续相等时间内位移之比为1∶3∶5∶…，由于A点有竖直向下的分速度，则A、B、C…之间的距离之比满足yAB∶yBC∶
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小球与墙体碰撞前后，竖直速度不变，水平速度等大、反向，小球与墙体每次碰撞时速度变化量大小相等，均为Δv=2v0，但方向不是都相同，故C错误；
由动量定理知I=mg·Δt，=mg，小球与墙体前后两次碰撞之间，小球的动量变化率即为小球重力，均相同，故D正确。
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4.(2024·安徽六安市舒城中学一模)如图所示，斜面固定在竖直向下的、电场强度为E的匀强电场中，从斜面顶点分别水平向右以v和2v抛出两个质量都为m、带电荷量分别为+q和+2q的小球A、B，两小球都落在斜面上。已知mg=Eq，g为重力加速度，则
A.两小球从抛出到落到斜面上所用时间之比为1∶2
B.两小球从抛出到落到斜面上静电力的冲量之比为3∶4
C.两小球从抛出到落到斜面上动量变化量之比为1∶4
D.两小球从抛出到落到斜面上动能变化量之比为1∶4
√
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两小球从抛出到落到斜面上静电力的冲量之比为==，故B错误；
两小球都落在斜面上，设斜面倾角为θ，有tan θ==
==·=·
=，故A错误；
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由动能定理知合外力做的功等于动能变化量，则两小球从抛出到落到斜面上动能变化量之比为===，故D正确。
由动量定理可知合外力的冲量等于动量变化量，则两小球从抛出到落到斜面上动量变化量之比为= =，故C错误；
6
5.(多选)(2024·山东卷·12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
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√
√
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将重力加速度沿两个坐标轴分解，则有
ax=gsin 30°=5 m/s2
ay=gcos 30°=5 m/s2
从P点抛出至落到Q点的过程中，由对称性可知t=2=4 s，A错误；
解法一　以P点为坐标原点，建立直角坐标系如图甲所示(PQ为x轴)
将v0沿两个坐标轴分解，则有
v0x=v0cos 60°=10 m/s，v0y=v0sin 60°=10 m/s
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落至Q点时速度方向与x轴夹角设为θ
tan θ==，
则θ=30°
又因PQ与水平方向夹角为30°，
则落地速度方向与水平方向夹角α=60°，B正确；
重物距PQ连线最远距离Y==10 m，C错误；
落至Q点时vx=v0x+axt=30 m/s
由对称性得vy=v0y=10 m/s
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解法二　以P点为坐标原点建立直角坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图乙所示，P'与P等高
v0x=v0cos 30°=10 m/s
重物从抛出到最高点所用时间为t1==1 s
从最高点到落地所用时间为t2=t-t1=3 s
则轨迹最高点的落点与高度差为h=g=45 m，D正确。
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v0y=v0sin 30°=10 m/s
从P→P'
t1==2 s
x1=v0xt1=20 m
vx=v0x=10 m/s
vy=v0y=10 m/s，
从P'→Q
x2=vxt2
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y=vyt2+g
由几何关系知：
tan 30°==
解得：t2=2 s
t总=t1+t2=4 s
A错误；
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从最高点至Q点时间为t3=t总-=3 s
vy'=gt3=30 m/s
tan α==，α=60°，B正确；
H=g=45 m，D正确；
离PQ连线最远点速度方向与PQ平行，即垂直于PQ连线的分速度为0，最远距离D===10 m，C错误。
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6.(2024·福建师范大学附属中学模拟)掷铅球是一项需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，某同学参加掷铅球比赛，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，=5.5，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，则：
(1)她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5 m，速度为v0=10 m/s，则铅球运动的水平距离是多少米？
答案　5.5 m　
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由平抛运动知识h=gt2
铅球运动的水平距离为x=v0t
解得x=5.5 m
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(2)第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从离地高为H=1.8 m处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次推出铅球时铅球的速度大小仍为10 m/s，则这次投掷的成绩为多少米？
答案　10.8 m
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被推出的铅球在竖直方向做竖直上抛运动，
则有-H=v0sin 53°·t'-gt'2
解得t'=1.8 s或t'=-0.2 s(舍去)
铅球在水平方向做匀速直线运动
x'=v0cos 53°·t'
这次投掷的成绩为x'=10.8 m。
6

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