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微专题6　圆周运动　万有引力与宇宙航行
考点一　圆周运动
1.(2023·全国甲卷·17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于：
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2024·广东卷·5)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为：
A.r B.l C.r D.l
3.(多选)(2024·广东湛江市二模)某马戏团上演的飞车节目如图所示，在竖直平面内有半径为R的固定圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，重力加速度大小为g，摩托车以的速度通过圆轨道的最高点B。关闭摩托车的动力，不计摩擦，忽略空气阻力，人和摩托车整体可视为质点，下列说法正确的是：
A.摩托车经过B点时对轨道的压力大小为2mg
B.摩托车经过A点时的速度大小为
C.摩托车从B点到A点的过程中，重力的功率先增大后减小
D.摩托车从B点到A点的过程中，先超重后失重
4.(多选)(2024·江西鹰潭市模拟)如图所示，空间内存在方向水平向右的匀强电场，一根长为L，不可伸长的绝缘细绳的一端连着一个质量为m、带电荷量为+q(q>0)的小球(视为质点)，另一端固定于O点。初始时细绳(张紧状态)与电场线平行，由静止释放小球，小球摆到O点正下方时速度为零，重力加速度大小为g，下列说法正确的是：
A.匀强电场的电场强度大小为
B.摆动过程中小球的最大速度为
C.摆动过程中小球所受的最大拉力为(3-2)mg
D.摆动过程中小球减少的重力势能与增加的电势能始终相等
【点拨·提炼】　对于带电体在电场和重力场叠加下的圆周运动： (1)先求出等效重力加速度：作出重力与静电力的合力F合，将这个合力视为一个等效重力，则等效重力加速度g'=。 (2)找等效最高点和最低点：在“等效重力场”中做圆周运动的带电体，过圆心作合力的平行线，交于圆周上的两点即为等效最高点和最低点。
5.(2024·江西卷·14)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)(3分)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
(2)(5分)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
考点二　万有引力与宇宙航行
6.(多选)(2024·湖南卷·7)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是：
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
7.(2024·新课标卷·16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的：
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
8.(2024·安徽卷·5)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时：
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
9.(2024·湖北卷·4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则：
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
【点拨·提炼】 1.开普勒第三定律适用于围绕同一中心天体运行的各种轨道的天体 (1)椭圆轨道与椭圆轨道：=k； (2)圆轨道与圆轨道：=k； (3)椭圆轨道与圆轨道：=。 2.卫星经过两个轨道的相切点时，加速度相等。 3.不同轨道周期的比较：无论是圆轨道还是椭圆轨道，都是外轨道的周期较大。 4.同一卫星在不同轨道上机械能的比较：轨道半径越大，机械能越大。
10.(2024·重庆卷·7)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量是G，则：
A.c的线速度大小为a的倍 B.c的向心加速度大小为b的一半
C.c在一个周期内的路程为2πr D.c的角速度大小为
1.(2024·浙江6月选考·8)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则：
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比=
D.甲乙两星从远日点到近日点的时间之比=
2.(2024·江苏卷·11)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则：
A.线速度vA>vB B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAFB
3.(2024·黑吉辽·7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为：
A.2n B. C. D.
4.(2024·河北卷·13)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)(2分)电场强度E的大小；
(2)(6分)小球在A、B两点的速度大小。
答案精析
高频考点练
1.C　[质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T=质点所受合外力等于质点圆周运动的向心力，根据F合=Fn=mr，联立可得Fn=r3，其中为常数，r的指数为3，故题中n=3，故选C。]
2.A　[由题意可知当插销刚卡进固定端盖时弹簧的伸长量为Δx=
根据胡克定律有F=kΔx=
插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销，弹力提供向心力，
则有F=mlω2
对卷轴有v=rω
联立解得v=r故选A。]
3.BC　[由题意可知，摩托车在B点时，有FB+mg=m解得FB=mg，由牛顿第三定律可知，摩托车经过B点时对轨道的压力大小为mg，选项A错误；摩托车从B点到A点的过程中，由机械能守恒定律有2mgR+m=m其中vB=解得vA=选项B正确；摩托车从B点到A点的过程中，竖直速度vy先增大后减小，重力的功率P=mgvy，重力的功率先增大后减小，选项C正确；摩托车从B点到A点的过程中，加速度竖直分量先向下后向上，即先失重后超重，选项D错误。]
4.AC　[设匀强电场的电场强度大小为E，小球由静止释放至最低点的过程中，根据动能定理有mgL-qEL=0，解得E=故A正确；将静电力与重力合成，则有F合==mg，合力方向与竖直方向成45°斜向右下，将合力看成一个等效重力，找出等效最低点O'，则OO'与竖直方向成45°斜向右下，小球由静止运动到O'点的过程，根据动能定理有mgL(1-cos 45°)=m解得摆动过程中小球的最大速度为vm=故B错误；小球在O'点时受到的拉力最大，设拉力为FTm，根据牛顿第二定律有FTm-F合=m解得FTm=(3-2)mg，故C正确；摆动过程中小球减少的重力势能等于小球的动能增加量和电势能的增加量之和，故D错误。]
5.(1)　(2)
解析　(1)设转椅做匀速圆周运动时轻绳拉力为FT，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供转椅做圆周运动的向心力，故可得
FTcos α=mr1，μmg=FTsin α
联立解得tan α=
(2)设此时轻绳拉力为FT'，沿A1B方向和垂直A1B方向竖直向上的分力分别为FT1=FT'sin θ，
FT2=FT'cos θ
对转椅根据牛顿第二定律得FT1cos β=mr2
沿切线方向根据平衡条件有FT1sin β=Ff=μFN
竖直方向根据平衡条件有FN+FT2=mg
联立解得ω2=。
6.BD　[返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有
mg月=得v月=①
由于地球第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，
同理可得v地=②
由①②可得v月=v地
故A错误，B正确；
再根据线速度和周期的关系有
T=·R=·=
得T月=T地，故C错误，D正确。]
7.B　[设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，行星绕红矮星运行周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，地球到太阳距离为r2，地球公转周期为T2；根据万有引力提供向心力有G=m1r1
G=m2r2
联立得=()3·()2
由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，得≈0.1，故选B。]
8.B　[根据开普勒第三定律有=可知鹊桥二号在捕获轨道运行周期T2=T1≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律可知，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；
从捕获轨道到冻结轨道，鹊桥二号在近月点进行近月制动减速，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；
鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。]
9.A　[在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；
因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；
变轨后在P点获得竖直向下的反冲速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误；
由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。]
10.A　[a、b、c三个天体角速度相同，由于m M，则对a天体有G=Mω2r，解得ω=故D错误；设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α=mω2解得α = 30°，则c的轨道半径为rc==r，由v=ωr可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a=ω2r可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s=2πrc=2πr，故C错误。]
补偿强化练
1.D　[根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误；
根据=ma，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；
根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比==故C错误；
甲乙两行星从远日点到近日点的时间均为各自做椭圆运动的半个周期，可得==故D正确。]
2.C　[设绳子与竖直方向夹角为θ，从小球到顶点的绳子长度为l，小球所在平面距离顶点的竖直高度为h，对小球受力分析有F向=mgtan θ=ma，由题图可知，小球从A高度到B高度θ增大，则FB>FA，aB>aA，故C正确，D错误；
又mgtan θ=mrω2=mr=htan θ=lsin θ，整理有v=ω=小球从A处到达B处，l减小，θ增大，则无法判断vA、vB的关系，又hBωA，故A、B错误。]
3.C　[设地球表面的重力加速度为g，某球状天体表面的重力加速度为g'，弹簧的劲度系数为k，小球质量为m，根据简谐运动的平衡位置合力为零有k·2A=mg，k·A=mg'，可得g=g'=可得=2，设某球状天体的半径为R，在地球和天体表面，分别有G=mg，
G=mg'，
联立可得=故选C。]
4.(1)　(2)　
解析　(1)由匀强电场中电势差与电场强度的关系，电场强度E=
(2)在A点细线对小球的拉力为0，
根据牛顿第二定律得
Eq-mg=m
A到B过程根据动能定理得
qU-mgL=m-m
联立解得vA=vB=。(共42张PPT)
专题一　力与运动
微专题6
圆周运动　万有引力与宇宙航行
知识聚焦
高频考点练
内容索引
补偿强化练
知识聚焦
PART ONE
考点一　圆周运动
1.(2023·全国甲卷·17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于
A.1 B.2
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高频考点练
PART TWO
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质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T=，质点所受合外力等于质点圆周运动的向心力，根据F合=Fn=mr，联立可得Fn=r3，其中为常数，r的指数为3，故题中n=3，故选C。
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2.(2024·广东卷·5)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为
A.r B.l
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插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销，弹力提供向心力，则有F=mlω2
对卷轴有v=rω
联立解得v=r，故选A。
由题意可知当插销刚卡进固定端盖时弹簧的
伸长量为Δx=，
根据胡克定律有F=kΔx=
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3.(多选)(2024·广东湛江市二模)某马戏团上演的飞车节目如图所示，在竖直平面内有半径为R的固定圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，重力加速度大小为g，摩托车以的速度通过圆轨道的最高点B。关闭摩托车的动力，不计摩擦，忽略空气阻力，人和摩托车整体可视为质点，下列说法正确的是
A.摩托车经过B点时对轨道的压力大小为2mg
B.摩托车经过A点时的速度大小为
C.摩托车从B点到A点的过程中，重力的功率先增大后减小
D.摩托车从B点到A点的过程中，先超重后失重
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摩托车从B点到A点的过程中，由机械能守恒定律有2mgR
+m=m，其中vB=，解得vA=，选项B正确；
摩托车从B点到A点的过程中，竖直速度vy先增大后减小，重力的功率P=mgvy，重力的功率先增大后减小，选项C正确；
摩托车从B点到A点的过程中，加速度竖直分量先向下后向上，即先失重后超重，选项D错误。
由题意可知，摩托车在B点时，有FB+mg=m，解得FB=mg，由牛顿第三定律可知，摩托车经过B点时对轨道的压力大小为mg，选项A错误；
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4.(多选)(2024·江西鹰潭市模拟)如图所示，空间内存在方向水平向右的匀强电场，一根长为L，不可伸长的绝缘细绳的一端连着一个质量为m、带电荷量为+q(q>0)的小球(视为质点)，另一端固定于O点。初始时细绳(张紧状态)与电场线平行，由静止释放小球，小球摆到O点正下方时速度为零，重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A.匀强电场的电场强度大小为
B.摆动过程中小球的最大速度为
C.摆动过程中小球所受的最大拉力为(3-2)mg
D.摆动过程中小球减少的重力势能与增加的电势能始终相等
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将静电力与重力合成，则有F合==
mg，合力方向与竖直方向成45°斜向右下，将合力看成一个等效重力，找出等效最低点O'，则OO'与竖直方向成45°斜向右下，小球由静止运动到O'点的过程，根据动能定理有mgL(1-cos 45°)=
m，解得摆动过程中小球的最大速度为vm=，故B错误；
设匀强电场的电场强度大小为E，小球由静止释放至最低点的过程中，根据动能定理有mgL-qEL=0，解得E=，故A正确；
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小球在O'点时受到的拉力最大，设拉力为FTm，根据牛顿第二定律有FTm-F合=m，解得FTm=(3-2)mg，故C正确；
摆动过程中小球减少的重力势能等于小球的动能增加量和电势能的增加量之和，故D错误。
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点拨·提炼
对于带电体在电场和重力场叠加下的圆周运动：
(1)先求出等效重力加速度：作出重力与静电力的合力F合，将这个合力视为一个等效重力，则等效重力加速度g'=。
(2)找等效最高点和最低点：在“等效重力场”中做圆周运动的带电体，过圆心作合力的平行线，交于圆周上的两点即为等效最高点和最低点。
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5.(2024·江西卷·14)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
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(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
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设转椅做匀速圆周运动时轻绳拉力为FT，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供转椅做圆周运动的向心力，故可得
FTcos α=mr1，μmg=FTsin α
联立解得tan α=
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(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
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设此时轻绳拉力为FT'，沿A1B方向和垂直A1B方向竖直向上的分力分别为FT1=FT'sin θ，FT2=FT'cos θ
对转椅根据牛顿第二定律得FT1cos β=mr2
沿切线方向根据平衡条件有FT1sin β=Ff=μFN
竖直方向根据平衡条件有FN+FT2=mg
联立解得ω2=。
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考点二　万有引力与宇宙航行
6.(多选)(2024·湖南卷·7)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是
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A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
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返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有
mg月=得v月= ①
由于地球第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，
同理可得v地= ②
由①②可得v月=v地
故A错误，B正确；
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再根据线速度和周期的关系有
T=·R，=·=
得T月=T地，故C错误，D正确。
10
7.(2024·新课标卷·16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
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√
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设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，行星绕红矮星运行周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，地球到太阳距离为r2，
地球公转周期为T2；根据万有引力提供向心力有G=m1r1
G=m2r2
联立得=()3·()2
由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，得≈0.1，
故选B。
10
8.(2024·安徽卷·5)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
√
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根据开普勒第二定律可知，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；
从捕获轨道到冻结轨道，鹊桥二号在近月点进行近月制动减速，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；
根据开普勒第三定律有=，可知鹊桥二号在捕获轨道运行周期T2=T1≈288 h，A
错误；
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鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。
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9.(2024·湖北卷·4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
√
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变轨后在P点获得竖直向下的反冲速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误；
由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。
在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；
因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；
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点拨·提炼
1.开普勒第三定律适用于围绕同一中心天体运行的各种轨道的天体
(1)椭圆轨道与椭圆轨道：=k；
(2)圆轨道与圆轨道：=k；
(3)椭圆轨道与圆轨道：=。
2.卫星经过两个轨道的相切点时，加速度相等。
3.不同轨道周期的比较：无论是圆轨道还是椭圆轨道，都是外轨道的周期较大。
4.同一卫星在不同轨道上机械能的比较：轨道半径越大，机械能越大。
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10.(2024·重庆卷·7)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量是G，则
A.c的线速度大小为a的倍
B.c的向心加速度大小为b的一半
C.c在一个周期内的路程为2πr
D.c的角速度大小为
√
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设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α
=mω2，解得α = 30°，则c的轨道半径为rc==r，由v=ωr可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；
由a=ω2r可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；
c在一个周期内运动的路程为s=2πrc=2πr，故C错误。
a、b、c三个天体角速度相同，由于m M，则对
a天体有G=Mω2r，解得ω=，故D错误；
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1.(2024·浙江6月选考·8)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比=
D.甲乙两星从远日点到近日点的时间之比=
补偿强化练
PART THREE
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√
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根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比==
，故C错误；
根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误；
根据=ma，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；
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甲乙两行星从远日点到近日点的时间均为各自做椭圆运动的半个周期，可得==，故D正确。
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2.(2024·江苏卷·11)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则
A.线速度vA>vB B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAFB
√
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又mgtan θ=mrω2=m，r=htan θ=lsin θ，整理有v=，ω=，小球从A处到达B处，l减小，θ增大，则无法判断vA、vB的关系，又hBωA，故A、B错误。
设绳子与竖直方向夹角为θ，从小球到顶点的绳子长度为l，小球所在平面距离顶点的竖直高度为h，对小球受力分析有F向=mgtan θ=ma，由题图可知，小球从A高度到B高度θ增大，则FB>FA，aB>aA，故C正确，D错误；
3.(2024·黑吉辽·7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为
A.2n B.
C. D.
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可得g=，g'==2，设某球状天体的半径为R，在地球和
天体表面，分别有G=mg，G=mg'，联立可得=，
故选C。
设地球表面的重力加速度为g，某球状天体表面的重力加速度为g'，弹簧的劲度系数为k，小球质量为m，根据简谐运动的平衡位置合力为零有k·2A=mg，k·A=mg'，
4.(2024·河北卷·13)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小
球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小；
答案　　
由匀强电场中电势差与电场强度的关系，电场强度E=
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(2)小球在A、B两点的速度大小。
答案　　
在A点细线对小球的拉力为0，
根据牛顿第二定律得Eq-mg=m
A到B过程根据动能定理得
qU-mgL=m-m
联立解得vA=，vB=。
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