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微专题7　带电粒子在磁场中的运动
一、有界磁场中临界问题解题方法
1.动态放缩法
(1)适用条件：速度方向一定、大小不同
(2)特点：
①粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化。
②轨迹圆圆心共线
如图甲所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，轨迹半径也越大，可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线CO上。
(3)界定方法
以入射点O为定点，圆心位于直线CO上，将半径放缩并作出轨迹，从而探索出临界条件。
2.定圆旋转法
(1)适用条件：速度大小一定、方向不同
(2)特点：
①粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若粒子入射初速度为v0，由qv0B=得圆周运动半径R=，半径R不变。
②轨迹圆圆心共圆
如图乙所示(图中只画出粒子带正电的情景)，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径R=的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上。
(3)界定方法：
将半径为R=的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“定圆旋转法”。
二、磁聚焦与磁发散
1.带电粒子的会聚
如图丙所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R=r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。
2.带电粒子的发散
如图丁所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场
半径相等(R=r)，则所有粒子射出磁场的方向平行。
三、带电粒子在磁场中运动的多解问题成因
1.磁场方向不确定；
2.带电粒子电性不确定；
3.速度不确定；
4.运动的周期性。
考点一　带电粒子在磁场中的运动分析
1.(2024·广西卷·5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为+q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为：
A. B.
C.(1+ D.(1+
2.(2024·辽宁辽阳市二模)如图所示，空间存在范围足够大、沿x轴负方向的匀强电场(图中未画出)，一质量为m、带电荷量为-q(q>0)的带电粒子从坐标原点O沿y轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点A(h，h)，不计粒子受到的重力及空气阻力。
(1)(4分)求匀强电场的电场强度大小E；
(2)(4分)若将匀强电场换为垂直xOy平面向里的匀强磁场，带电粒子仍恰好经过A点，求匀强磁场的磁感应强度大小B。
3.(2024·重庆卷·14)有人设计了一粒子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。
(1)(2分)求OK间的距离；
(2)(3分)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离；
(3)(5分)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时0点。求打开磁场的那一时刻。
【点拨·提炼】 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法
考点二　带电粒子在有界磁场中的运动
4.(多选)(2024·四川眉山市模拟)如图所示为某速度选择器的主要工作区域，圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，O点为磁场的圆心，水平虚线为圆的一条直径。S点有一粒子发射源能在纸面内沿SO向外发射一系列比荷均为k的正粒子，M、N为水平虚线下方半圆的三等分点，P为水平虚线下方半圆的一个四等分点。粒子发射速率为v0时，粒子在磁场中运动时间为t0并从M点离开磁场，粒子初速度范围为0.1v0~10v0，可连续变化，且不同速度的粒子数量相同。下列说法正确的是：
A.磁感应强度大小为
B.从P点射出的粒子的速率为v0sin 22.5°
C.粒子的速度越小，在磁场中运动时间越短
D.从弧SM射出的粒子数小于从弧MN射出的
5.(多选)(2024·安徽合肥市模拟)磁聚焦技术常用于电子透镜等高科技仪器中，如图所示，半径为R的半圆的圆心为O，AC 为直径，E为AO的中点，F为OC的中点，平行直线AB和CD与半圆围成的区域内没有磁场，成为电子的入射通道。入射通道的外侧足够大空间有垂直纸面向里的匀强磁场。平行电子束的速度方向与BA一致，速度大小为v，电子的质量为m，电荷量为e，这些电子经过磁场的偏转后将会聚于一点。下列说法正确的是：
A.磁聚焦的会聚点为A点
B.要实现磁聚焦，磁感应强度必须B=
C.经过E点的电子在磁场中运动的时间后到达会聚点
D.经过F点的电子在磁场中运动的时间后到达会聚点
【点拨·提炼】 1.处理动态圆问题首先要明确题目中是放缩圆还是旋转圆。 2.对于磁聚焦和磁发散问题可以理解为旋转圆问题，即以会聚点为定点，以磁场区域半径为半径的旋转圆问题。
考点三　带电粒子在有界磁场中的临界和多解问题
6.(多选)(2024·江西上饶市模拟)如图所示的等腰梯形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B，等腰梯形中∠P=45°，PQ=2MN=4L，一带电粒子由M点垂直PM射入匀强磁场，带电粒子刚好不从PQ边界射出磁场，已知粒子的比荷为k，粒子的重力忽略不计。则下列说法正确的是：
A.粒子的轨道半径可能为(2+)L
B.粒子的速度一定为(2-)BkL
C.粒子在磁场中运动的时间可能小于
D.粒子在磁场中运动的时间一定为
7.(2024·山东省模拟)如图所示，在直线边界MNPQ的上方存在垂直纸面向里磁感应强度大小为B的匀强磁场，A点在PQ上。现从A点垂直PQ在纸面内向上发射速度大小不同、质量均为m、电荷量均为q(q>0)的粒子，已知AP=a，PN=a，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间为：
A. B. C. D.
1.(多选)(2024·广西柳州市三模)如图所示，MN上方存在匀强磁场，同种粒子a、b从O点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界MN的夹角分别为30°和60°，且均由P点射出磁场，则a、b两粒子：
A.运动半径之比为∶1　 B.初速率之比为1∶
C.运动时间之比为5∶2　 D.运动时间之比为6∶5
2.(多选)(2023·湖南岳阳市三模)如图，长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场中(磁场空间足够大，图中未画出)，磁感应强度大小为B。挡板左侧O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为+q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知图中初速度与ON夹角为60°发射的粒子恰好经过N点，ON=a，ON⊥MN。不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用。则：
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B.挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C.能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的
D.挡板右侧能被粒子击中的竖直长度为a
3.(2024·湖北卷·7)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是：
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
4.(2024·天津市河西区三模)一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示，内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P点沿PM射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点，粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开，最后打在探测器上的N点，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。求：
(1)(2分)粒子1在P点的受力方向和电性；
(2)(3分)若两粒子的入射速率相等，比较粒子1与粒子2的比荷大小；
(3)(5分)改变粒子2入射方向，速率变为原来的，则粒子2在磁场中运动的最长时间。
答案精析
高频考点练
1.C　[粒子运动轨迹如图所示
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m
可得粒子做圆周运动的半径r=
根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+=(1+故选C。]
2.(1)　(2)
解析　(1)由题意可知，带电粒子做类平抛运动经过A点，粒子加速度为
a=
由类平抛知识可知y=h=v0t
x=h=at2
联立解得E=
(2)根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系有qv0B=m
(h)2+(R-h)2=R2
联立解得B=。
3.(1)　(2)　(3)
解析　(1)当粒子到达O点时打开磁场开关，粒子做匀速圆周运动，设轨迹半径为r1，如图中①所示
由洛伦兹力提供向心力得
qv0B=m
其中OK=2r1=
(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，则该粒子在磁场中运动的轨迹半径
r2 = 4r1
如图中②所示，由几何关系有
(4r1-2r1)2+MO2 = (4r1)2
解得MO=2r1=
(3)设速率为4v0的粒子射出一段时间t到达N点时打开磁场开关，要使粒子仍然经过K点，则N点在O点右侧，如图中③所示
由几何关系有
(4r1-2r1)2+ON2 = (4r1)2
解得ON=2r1=
粒子在打开磁场开关前运动时间为
t=
解得t=。
4.AD　[当粒子从M点离开磁场时，轨迹如图所示，粒子在磁场中运动的时间为t0=·所以B==故A正确；当粒子从M点射出时，根据洛伦兹力提供向心力qv0B=m=tan 30°，当粒子从P点射出时，根据洛伦兹力提供向心力qv1B=m=tan 22.5°，联立解得v1=v0tan 22.5°，故B错误；粒子的速度越小，轨迹半径越小，圆心角越大，则粒子在磁场中运动时间越长，故C错误；若粒子从N点射出，则qv2B=m=tan 60°，所以v2=3v0，从弧SM射出的粒子的速度大小为0.1v0~v0，从弧MN射出的粒子速度大小为v0~3v0，由此可知，从弧SM射出的粒子数小于从弧MN射出的粒子数，故D正确。]
5.AB　[根据磁聚焦原理结合左手定则可知，磁聚焦的会聚点为A点，故A正确；要实现磁聚焦，轨迹圆的半径与区域圆的半径相等，由evB=解得B=故B正确；经过E点的电子在磁场中运动轨迹如图甲所示，θ1=60°，轨迹的圆心角为300°=π，经过E点的电子在磁场中运动t1=×=后到达会聚点，故C错误；经过F点的电子在磁场中运动轨迹如图乙所示，θ2=120°，轨迹的圆心角为240°=π，经过F点的电子在磁场中运动t2=×=后到达会聚点，故D错误。]
6.AC　[若粒子带正电，粒子的轨迹如图中轨迹1所示，设粒子的轨道半径为R1，由几何关系得O1P+O1M=L，即R1+R1=L，解得R1=(2-)L，根据洛伦兹力提供向心力qv1B=m解得v1=(2-)BkL，粒子在磁场中的运动周期为T==粒子在磁场中偏转的角度为180°，则粒子在磁场中运动的时间为t1==；若粒子带负电，粒子的轨迹如图中2所示，轨迹与上边界PQ相切，设粒子的轨道半径为R2，由几何关系得R2=(R2-L)，解得R2=(2+)L，qv2B=m解得v2=(2+)BkL，粒子在磁场中偏转的角度为45°，小于90°，则粒子在磁场中运动的时间为t2小于故选A、C。]
7.C　[根据题意可知，当粒子由N点飞出时，运动的时间最长，运动轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系有R2-(a-R)2=a2，解得R=a，由cos ∠PON=联立解得cos ∠PON=则∠PON=60°，则粒子的运动时间为t=·=故选C。]
补偿强化练
1.AC　[设OP=2d，则由几何关系可知ra==2d，rb==可知a、b的运动半径之比为∶1，选项A正确；根据qvB=m可得v=∝r，初速率之比为∶1，选项B错误；根据T=t=T∝θ，a、b两粒子转过的角度之比为300°∶120°=5∶2，则运动时间之比为5∶2，选项C正确，D错误。]
2.CD　[如图中轨迹1，
由几何关系可知
2Rsin 60°=a
可得R=a，故A错误；
当轨迹刚好与MN相切时，粒子打到挡板左侧的位置最高，如图中轨迹2，设初速度方向与ON夹角为θ，由几何关系可得Rsin θ+R=a
可得sin θ=-1
则挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为
Rcos θ=a故B错误；
要使粒子打在挡板右侧，有两个临界条件，如图中轨迹1、3，由几何关系可知轨迹1、3对应粒子的初速度与ON的夹角均为60°，则能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的=故C正确；
如图轨迹1对应的粒子经过M点，所以由几何关系可知挡板右侧能被粒子击中的竖直长度为a，故D正确。]
3.D　[在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿着径向射出的。根据圆的几何知识可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故A、B错误；
粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，则根据对称性可知时间最短的轨迹如图(a)所示，则最短时间为t=2T=故C错误；
若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图(b)所示，设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知r=根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m可得v=故D正确。]
4.(1)向下　带负电　(2)粒子1的比荷大于粒子2的比荷　(3)t
解析　(1)粒子1向下偏转，受力向下，由左手定则可知，粒子1带负电。
(2)根据洛伦兹力提供粒子在磁场中做圆周运动所需的向心力
qvB=m
可得=
由题图可知粒子1运动的半径小于粒子2运动的半径，若两粒子的速度相同，则粒子1的比荷大于粒子2的比荷。
(3)PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，则粒子2在磁场中轨迹所对应的圆心角为α=180°-=60°
设内圆半径为R，根据几何关系，粒子2在磁场中运动半径为r1==R
粒子2速率变为原来的此时粒子2在磁场中运动半径为
r2=r1=2R，
根据几何关系，当粒子2的轨迹对应的弦为直径PM时，粒子2在磁场中运动的时间最长，此时的圆心角为β=60°，如图所示
速度改变后，粒子2在磁场中运动的最长时间为
t2=T=T=t。(共50张PPT)
专题一　力与运动
微专题7
带电粒子在磁场中的运动
知识聚焦
高频考点练
内容索引
核心精讲
补偿强化练
知识聚焦
PART ONE
一、有界磁场中临界问题解题方法
1.动态放缩法
(1)适用条件：速度方向一定、大小不同
(2)特点：
①粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化。
核心精讲
PART TWO
②轨迹圆圆心共线
如图甲所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，轨迹半径也越大，可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线CO上。
(3)界定方法
以入射点O为定点，圆心位于直线CO上，将半径放缩并作出轨迹，从而探索出临界条件。
2.定圆旋转法
(1)适用条件：速度大小一定、方向不同
(2)特点：
①粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若粒子入射初速度为v0，由qv0B=得圆周运动半径R=，半径R不变。
②轨迹圆圆心共圆
如图乙所示(图中只画出粒子带正电的情景)，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径R=的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上。
(3)界定方法：
将半径为R=的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“定圆旋转法”。
二、磁聚焦与磁发散
1.带电粒子的会聚
如图丙所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R=r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。
2.带电粒子的发散
如图丁所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等(R=r)，则所有粒子射出磁场的方向平行。
三、带电粒子在磁场中运动的多解问题成因
1.磁场方向不确定；
2.带电粒子电性不确定；
3.速度不确定；
4.运动的周期性。
考点一　带电粒子在磁场中的运动分析
1.(2024·广西卷·5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为+q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为
A. B.
C.(1+ D.(1+
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√
高频考点练
PART THREE
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粒子运动轨迹如图所示
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，
可得粒子做圆周运动的半径r=，
根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+=(1+，故选C。
2.(2024·辽宁辽阳市二模)如图所示，空间存在范围足够大、沿x轴负方向的匀强电场(图中未画出)，一质量为m、带电荷量为-q(q>0)的带电粒子从
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答案　　
坐标原点O沿y轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点A(h，h)，不计粒子受到的重力及空气阻力。
(1)求匀强电场的电场强度大小E；
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由题意可知，带电粒子做类平抛运动经过A点，
粒子加速度为a=
由类平抛知识可知y=h=v0t
x=h=at2
联立解得E=
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(2)若将匀强电场换为垂直xOy平面向里的匀强磁场，带电粒子仍恰好经过A点，求匀强磁场的磁感应强度大小B。
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答案　
根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系有
qv0B=m
(h)2+(R-h)2=R2
联立解得B=。
3.(2024·重庆卷·14)有人设计了一粒子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。
(1)求OK间的距离；
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答案　　
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当粒子到达O点时打开磁场开关，粒子做匀速圆周运动，设轨迹半径为r1，如图中①所示
由洛伦兹力提供向心力得
qv0B=m
其中OK=2r1=
(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离；
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答案　　
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速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，则该粒子在磁场中运动的轨迹半径
r2 = 4r1
如图中②所示，由几何关系有
(4r1-2r1)2+MO2 = (4r1)2
解得MO=2r1=
(3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时0点。求打开磁场的那一时刻。
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答案　
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设速率为4v0的粒子射出一段时间t到达N点时打开磁场开关，要使粒子仍然经过K点，则N点在O点右侧，如图中③所示
由几何关系有
(4r1-2r1)2+ON2 = (4r1)2
解得ON=2r1=
粒子在打开磁场开关前运动时间为t=
解得t=。
1
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点拨·提炼
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法
1
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考点二　带电粒子在有界磁场中的运动
4.(多选)(2024·四川眉山市模拟)如图所示为某速度选择器的主要工作区域，圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，O点为磁场的圆心，水平虚线为圆的一条直径。S点有一粒子发射源能在纸面内沿SO向外发射一系列比荷均为k的正粒子，M、N为水平虚线下方半圆的三等分点，P为水平虚线下方半圆的一个四等分点。粒子发射速率为v0
7
时，粒子在磁场中运动时间为t0并从M点离开磁场，粒子初速度范围为0.1v0~10v0，可连续变化，且不同速度的粒子数量相同。下列说法正确的是
1
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A.磁感应强度大小为
B.从P点射出的粒子的速率为v0sin 22.5°
C.粒子的速度越小，在磁场中运动时间越短
D.从弧SM射出的粒子数小于从弧MN射出的
7
√
√
1
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3
4
5
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7
当粒子从M点射出时，根据洛伦兹力提供向心力qv0B=m=tan 30°，当粒子从P点射出时，根据洛伦兹力提供向心力qv1B=m=tan 22.5°，
联立解得v1=v0tan 22.5°，故B错误；
当粒子从M点离开磁场时，轨迹如图所示，粒子在磁场中运动的时间为t0=·，所以B==，故A正确；
1
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以v2=3v0，从弧SM射出的粒子的速度大小为0.1v0~v0，从弧MN射出的粒子速度大小为v0~3v0，由此可知，从弧SM射出的粒子数小于从弧MN射出的粒子数，故D正确。
粒子的速度越小，轨迹半径越小，圆心角越大，则粒子在磁场中运动时间越长，故C错误；
若粒子从N点射出，则qv2B=m=tan 60°，所
5.(多选)(2024·安徽合肥市模拟)磁聚焦技术常用于电子透镜等高科技仪器中，如图所示，半径为R的半圆的圆心为O，AC 为直径，E为AO的中点，F为OC的中点，平行直线AB和CD与半圆围成的区域内没有磁场，成为电子的入射通道。入射通道的外侧足够大空间有垂直纸面向里的匀强磁场。平行电子束的速度方向与BA一致，速度大小为v，电子的质量为m，电荷量为e，这些电子经过磁场的偏转后将会聚于一点。下列说法正确的是
A.磁聚焦的会聚点为A点
B.要实现磁聚焦，磁感应强度必须B=
C.经过E点的电子在磁场中运动的时间后到达会聚点
D.经过F点的电子在磁场中运动的时间后到达会聚点
1
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经过E点的电子在磁场中运动轨迹如图甲所示，θ1=60°，
轨迹的圆心角为300°=π，经过E点的电子在磁场中运动t1=×=后到达会聚点，故C错误；
根据磁聚焦原理结合左手定则可知，磁聚焦的会聚点为A点，故A正确；
要实现磁聚焦，轨迹圆的半径与区域圆的半径相等，由evB=，解得B=，故B正确；
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5
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7
经过F点的电子在磁场中运动轨迹如图乙所示，θ2= 120°，轨迹的圆心角为240°=π，经过F点的电子在磁场中运动t2=×=后到达会聚点，故D错误。
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7
点拨·提炼
1.处理动态圆问题首先要明确题目中是放缩圆还是旋转圆。
2.对于磁聚焦和磁发散问题可以理解为旋转圆问题，即以会聚点为定点，以磁场区域半径为半径的旋转圆问题。
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考点三　带电粒子在有界磁场中的临界和多解问题
6.(多选)(2024·江西上饶市模拟)如图所示的等腰梯形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B，等腰梯形中∠P=45°，PQ=2MN=4L，一带电粒子由M点垂直PM射入匀强磁场，带电粒子刚好不从PQ边界射出磁场，已知粒子的比荷为k，粒子的重力忽略不计。则下列说法正确的是
A.粒子的轨道半径可能为(2+)L
B.粒子的速度一定为(2-)BkL
C.粒子在磁场中运动的时间可能小于
D.粒子在磁场中运动的时间一定为
√
7
√
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伦兹力提供向心力qv1B=m，解得v1=(2-)BkL，
粒子在磁场中的运动周期为T==，粒子在磁场中偏转的角度为180°，则粒子在磁场中运动的时间为t1==；
若粒子带正电，粒子的轨迹如图中轨迹1所示，设粒子的轨道半径为R1，由几何关系得O1P+O1M= L，即R1+R1=L，解得R1=(2-)L，根据洛
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解得v2=(2+)BkL，粒子在磁场中偏转的角度为45°，小于90°，则粒子在磁场中运动的时间为t2小于，故选A、C。
若粒子带负电，粒子的轨迹如图中2所示，轨迹与上边界PQ相切，设粒子的轨道半径为R2，由几何关系得R2=(R2-L)，解得R2=(2+)L，qv2B=m，
7.(2024·山东省模拟)如图所示，在直线边界MNPQ的上方存在垂直纸面向里磁感应强度大小为B的匀强磁场，A点在PQ上。现从A点垂直PQ在纸面内向上发射速度大小不同、质量均为m、电荷量均为q(q>0)的粒子，已知AP=a，PN=a，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间为
A. B.
C. D.
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√
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解得R=a，由cos ∠PON=，联立解得cos ∠PON=，则∠PON =60°，则粒子的运动时间为t=·=，故选C。
根据题意可知，当粒子由N点飞出时，运动的时间最长，运动轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系有R2-(a-R)2=a2，
1.(多选)(2024·广西柳州市三模)如图所示，MN上方存在匀强磁场，同种粒子a、b从O点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界MN的夹角分别为30°和60°，且均由P点射出磁场，则a、b两粒子
A.运动半径之比为∶1
B.初速率之比为1∶
C.运动时间之比为5∶2
D.运动时间之比为6∶5
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√
补偿强化练
PART FOUR
√
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3
4
根据qvB=m，可得v=∝r，初速率之比为∶1，选项B错误；
根据T=，t=T∝θ，a、b两粒子转过的角度之比为300°∶120° =5∶2，则运动时间之比为5∶2，选项C正确，D错误。
设OP=2d，则由几何关系可知ra==2d，rb= =，可知a、b的运动半径之比为∶1，选项A正确；
2.(多选)(2023·湖南岳阳市三模)如图，长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场中(磁场空间足够大，图中未画出)，磁感应强度大小为B。挡板左侧O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为+q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知图中初速度与ON夹角为60°发射的粒子恰好经过N点，ON=a，ON⊥MN。不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用。则
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B.挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C.能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的
D.挡板右侧能被粒子击中的竖直长度为a
√
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2
3
4
√
1
2
3
4
如图中轨迹1，
由几何关系可知
2Rsin 60°=a
可得R=a，故A错误；
当轨迹刚好与MN相切时，粒子打到挡板左侧的位置最高，如图中轨迹2，设初速度方向与ON夹角为θ，由几何关系可得Rsin θ+R=a
可得sin θ=-1
则挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为Rcos θ=a，故B错误；
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3
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要使粒子打在挡板右侧，有两个临界条件，如图中轨迹1、3，由几何关系可知轨迹1、3对应粒子的初速度与ON的夹角均为60°，则能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的=，故C正确；
如图轨迹1对应的粒子经过M点，所以由几何关系可知挡板右侧能被粒子击中的竖直长度为a，故D正确。
3.(2024·湖北卷·7)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径
方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
√
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3
4
在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿着径向射出的。根据圆的几何知识可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故A、B错误；
粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，则根据对称性可知时间最短的轨迹如图(a)所示，则最短时间为t=2T=，故C错误；
1
2
3
4
若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图(b)所示，设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知r=，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得v=，故D正确。
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2
3
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4.(2024·天津市河西区三模)一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示，内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P点沿PM射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点，粒子2经磁场偏转后从磁场边界C
点离开，最后打在探测器上的N点，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。求：
1
2
3
4
(1)粒子1在P点的受力方向和电性；
答案　向下　带负电　
粒子1向下偏转，受力向下，由左手定则可知，粒子1带负电。
1
2
3
4
(2)若两粒子的入射速率相等，比较粒子1与粒子2的比荷大小；
答案　粒子1的比荷大于粒子2的比荷　
1
2
3
4
根据洛伦兹力提供粒子在磁场中做圆周运动
所需的向心力
qvB=m
可得=
由题图可知粒子1运动的半径小于粒子2运动的半径，若两粒子的速度相同，则粒子1的比荷大于粒子2的比荷。
1
2
3
4
(3)改变粒子2入射方向，速率变为原来的，则粒子2在磁场中运动的最长时间。
答案　t
1
2
3
4
PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，则粒子2在
磁场中轨迹所对应的圆心角为
α=180°-=60°
设内圆半径为R，根据几何关系，粒子2在磁场中
运动半径为r1== R
粒子2速率变为原来的，此时粒子2在磁场中运动半径为r2=r1=
2R，
1
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3
4
根据几何关系，当粒子2的轨迹对应的弦为直径PM时，粒子2在磁场中运动的时间最长，此时的圆心角为β=60°，如图所示
速度改变后，粒子2在磁场中运动的最长时间为
t2=T=T=t。

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