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培优点2　带电粒子在交变电磁场及立体空间中的运动
一、带电粒子在交变电磁场中的运动
1.分析在一个周期内粒子的运动情况，明确运动性质或运动过程，判断周期性变化的电场或磁场对粒子运动的影响。
2.画出粒子运动轨迹，分析运动在空间上的周期性，时间上的周期性。
1.(2024·广东卷·15)如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子在t=0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t=t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t=2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t=3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
(1)(2分)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
(2)(4分)求金属板的板间距离D和带电粒子在t=t0时刻的速度大小v；
(3)(6分)求从t=0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
二、带电粒子在立体空间中的运动
2.(2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)(4分)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
(2)(3分)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值；
(3)(3分)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
3.(2023·山东济宁市一模)如图所示，在三维坐标系O-xyz中存在一长方体ABCD-abOd，yOz平面左侧存在沿z轴负方向、磁感应强度大小为B1(未知)的匀强磁场，右侧存在沿BO方向、磁感应强度大小为B2(未知)的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度v从A点沿平面ABCD进入磁场，经C点垂直yOz平面进入右侧磁场，此时撤去yOz平面左侧的磁场B1，换上电场强度为E(未知)的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在Aa棱上。已知AB=2L、Aa=AD=L，B2=5B1，粒子的电荷量为q，质量为m(重力不计)。求：
(1)(3分)磁感应强度B1的大小；
(2)(4分)粒子第二次经过yOz平面的坐标；
(3)(3分)电场强度E的大小。
1.(多选)(2023·重庆市江北区期末)如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度B和电场强度E的大小随时间周期性变化，B、E的变化周期分别为4t0、2t0，如图乙和图丙所示。在t=0时刻从O点发射一带负电的粒子，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向，在x轴上有一点A(图中未标出)，坐标为(，0)。若规定垂直纸面向里为B的正方向，y轴正方向为E的正方向，v0、t0、B0为已知量，B与E的大小满足：=，粒子的比荷满足：=，不计粒子重力，下列说法正确的是：
A.在t=t0时，粒子的位置坐标为(，0)
B.运动过程中粒子的最大速度为3v0
C.粒子偏离x轴的最大距离为1.5v0t0+
D.粒子运动至A点的时间为t=13t0
2.如图所示，O-xyz坐标系的y轴正方向为竖直向上，在yOz平面左侧-2L(1)(2分)匀强电场电场强度E1的大小；
(2)(4分)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(3)(6分)带电粒子打到荧光屏上的位置坐标。
答案精析
高频考点练
1.(1)正电　
(2)　π
(3)
解析　(1)根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；
粒子在磁场中运动的周期为T=2t0①
根据T=②
则粒子所带的电荷量q=③
(2)若金属板的板间距离为D，则板长为粒子在板间运动时=vt0④
出金属板间电场时竖直速度为零，
则竖直方向y=2××(0.5t0)2⑤
在磁场中时qvB=m⑥
其中y=2r=⑦
联立解得v=π⑧
D=⑨
(3)带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由③④⑦联立可得金属板的板间距离D=3r
则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动，速度为零后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上金属板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有最初t0在左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，
则W=mv2+q·=+=。
2.(1)　(2)　(3)
解析　(1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t
在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，
由牛顿第二定律知Bevy=m
可得R=
T==
若所有电子均能经过O进入电场，则有
t=nT(n=1，2，3，…)
联立得B=
当n=1时，B有最小值，可得
Bmin=
(2)将电子的速度分解，有tan θ=
θ最大时，tan θ有最大值，即vy最大，
此时Rmax==r，
联立可得vym=tan θ=
(3)当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym，
根据匀变速直线运动规律有
ym=
由牛顿第二定律知a=
联立得ym=
3.(1)　(2)(0)　(3)
解析　(1)带电粒子在yOz平面左侧磁场中做圆周运动，由几何关系得
R2=(2L)2+(R-L)2
解得R=L
由牛顿第二定律可得qvB1=m
解得B1=
(2)在右侧磁场中由牛顿第二定律得
qvB2=m
解得r=L，第二次经过yOz平面时刚好转过了半个圆周，
有y=2rsin 45°=
z=L-2rcos 45°=
即坐标为(0)。
(3)粒子在电场中做类平抛运动，
x轴方向上2L=vt
y轴方向上L-y=t2
解得E=。
补偿强化练
1.ACD　[由题意，可判断知在t=t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qBv0=m=mr1，解得r1==T==2t0，则粒子在t0时间内转过的圆心角为α=π，所以t=t0时，粒子的位置坐标为(2r1，0)，即(0)，故A正确；在t0~2t0时间内，粒子将向y轴负方向做匀加速直线运动，设粒子经电场加速后的速度为v，根据运动学公式有v=v0+t0=2v0，在2t0~3t0时间内粒子又做匀速圆周运动，运动轨迹为半个圆周，接着3t0~4t0时间内，粒子将向y轴正方向做匀减速直线运动，
根据对称性可知，粒子在4t0时到达x轴，且速度大小为v0，至此粒子完成一个周期内的运动，周而复始，可画出粒子的运动轨迹如图所示，所以在整个过程中粒子的最大速度为2v0，故B错误；由选项B分析可知，粒子偏离x轴的最大距离为ymax=y1+r2，其中y1=·t0=v0t0，r2==可得ymax=1.5v0t0+故C正确；由选项A、B分析可知，粒子在xOy平面内做周期性运动的周期为4t0，故粒子在一个周期内向右运动的距离为d=2r1+2r2=由于AO的距离为=3×+=3d+2r1，粒子运动至A点的时间为t=3×4t0+t0=13t0，故D正确。]
2.(1)　(2)
(3)(-L，-L)
解析　(1)粒子在电场中运动做类平抛运动，
则沿x轴方向L=v0t
在y轴方向L=at2
由牛顿第二定律得qE1=ma
解得E1=a=
(2)在N点，设粒子速度v的方向与x轴间的夹角为θ，沿y轴负方向的速度为vy。
粒子进入磁场时竖直分速度大小
vy=at=v0，则tan θ==1
解得θ=45°
粒子进入磁场时的速度大小v==v0
粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子轨迹如图所示：
由几何知识可知，粒子做圆周运动轨迹的半径R=
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=
解得B=
(3)粒子在xOy平面内沿着与x轴正向成45°角的方向以速度v从O点进入平面yOz右侧区域，沿x方向的速度分量和沿y轴正向的速度分量均为v0，
则粒子在yOz平面内做匀速圆周运动，
半径r==
粒子沿x轴正向做匀加速运动，
加速度a'==
设粒子到达光屏的时间为t，
则x0=v0t+a't2
解得t=
粒子做圆周运动的周期T==
则t=T=T+T
则粒子在屏上的坐标y=-rsin 45°=-L，
z=-(r+rcos 45°)=-L，
x0=
即位置坐标(-L，-L)。(共40张PPT)
专题一　力与运动
培优点2
带电粒子在交变电磁场及立体空间中的运动
高频考点练
内容索引
补偿强化练
一、带电粒子在交变电磁场中的运动
1.分析在一个周期内粒子的运动情况，明确运动性质或运动过程，判断周期性变化的电场或磁场对粒子运动的影响。
2.画出粒子运动轨迹，分析运动在空间上的周期性，时间上的周期性。
高频考点练
PART ONE
1.(2024·广东卷·15)如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子在t=0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t=t0时
刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t=2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t=3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
(1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
答案　正电　　
根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；
粒子在磁场中运动的周期为T=2t0 ①
根据T= ②
则粒子所带的电荷量q= ③
(2)求金属板的板间距离D和带电粒子在t=t0时刻的速度大小v；
答案　　π
若金属板的板间距离为D，则板长为=vt0 ④
出金属板间电场时竖直速度为零，
则竖直方向y=2××(0.5t0)2 ⑤
在磁场中时qvB=m ⑥
其中y=2r= ⑦
联立解得v=π ⑧
D= ⑨
(3)求从t=0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
答案　
带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由③④⑦联立可得金属板的板间距离D=3r
则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动，速度为零后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上金属板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有最初t0在左侧电场时电场力做功和最后
0.5t0时间内电场力做功，则W=mv2+q·=+=。
二、带电粒子在立体空间中的运动
2.(2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在
xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
答案　　
电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t
在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，
由牛顿第二定律知Bevy=m
可得R=
T==
若所有电子均能经过O进入电场，则有
t=nT(n=1，2，3，…)
联立得B=
当n=1时，B有最小值，可得
Bmin=
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值；
答案　　
将电子的速度分解，有tan θ=
θ最大时，tan θ有最大值，即vy最大，
此时Rmax==r，
联立可得vym=，tan θ=
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
答案　
当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym，
根据匀变速直线运动规律有
ym=
由牛顿第二定律知a=
联立得ym=
3.(2023·山东济宁市一模)如图所示，在三维坐标系O-xyz中存在一长方体ABCD-abOd，yOz平面左侧存在沿z轴负方向、磁感应强度大小为B1(未知)的匀强磁场，右侧存在沿BO方向、磁感应强度大小为B2(未知)的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度v从A点沿平面ABCD进入磁场，经C点垂直yOz平面进入右侧磁场，此时撤去yOz平面左侧的磁场B1，换上电场强
度为E(未知)的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在Aa棱上。已知AB=2L、Aa=AD=L，B2=5B1，粒子的电荷量为q，质量为m(重力不计)。求：
(1)磁感应强度B1的大小；
答案　
带电粒子在yOz平面左侧磁场中做圆周运动，
由几何关系得R2=(2L)2+(R-L)2
解得R=L
由牛顿第二定律可得qvB1=m
解得B1=
(2)粒子第二次经过yOz平面的坐标；
答案　(0，，)
在右侧磁场中由牛顿第二定律得qvB2=m
解得r=L，第二次经过yOz平面时刚好转过了半个圆周，
有y=2rsin 45°=，
z=L-2rcos 45°=
即坐标为(0，)。
(3)电场强度E的大小。
答案　
粒子在电场中做类平抛运动，
x轴方向上2L=vt
y轴方向上L-y=t2
解得E=。
1
2
补偿强化练
PART TWO
1.(多选)(2023·重庆市江北区期末)如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度B和电场强度E的大小随时间周期性变化，B、E的变化周期分别为4t0、2t0，如图乙和图丙所示。在t=0时刻从O点发射一带负电的粒子，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向，在x轴上有一点A(图中未标出)，坐标为(，0)。若规定垂直纸面向里为B的正方向，y轴正方向为E的正方向，v0、t0、B0为已知
量，B与E的大小满足：=，粒子的比荷满足：=，不计粒
子重力，下列说法正确的是
1
2
A.在t=t0时，粒子的位置坐标为(，0)
B.运动过程中粒子的最大速度为3v0
C.粒子偏离x轴的最大距离为1.5v0t0+
D.粒子运动至A点的时间为t=13t0
√
√
√
1
2
由题意，可判断知在t=t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qBv0=m=mr1，解得r1==，T==2t0，则粒子在t0时间内转过的圆心角为α=π，所以t=t0时，粒子的位置坐标为(2r1，0)，即(，0)，故A正确；
1
2
在t0~2t0时间内，粒子将向y轴负方向做匀加速直线运动，设粒子经电场加速后的速度为v，根据运动学公式有v=v0+t0=2v0，在2t0~3t0时间内粒子又做匀速圆周运动，运动轨迹为半个圆周，接着3t0~4t0时间内，粒子将向y轴正方向做匀减速直线运动，根据对称性可知，粒子在4t0
时到达x轴，且速度大小为v0，至此粒子完成一个周期内的运动，周而复始，可画出粒子的运动轨迹如图所示，所以在整个过程中粒子的最大速度为2v0，故B错误；
1
2
由选项B分析可知，粒子偏离x轴的最大距离为
ymax=y1+r2，其中y1=·t0=v0t0，r2==，可得ymax=1.5v0t0+，故C正确；
由选项A、B分析可知，粒子在xOy平面内做周期性运动的周期为4t0，故粒子在一个周期内向右运动的距离为d=2r1+2r2=，由于AO的距离为=3×+=3d+2r1，粒子运动至A点的时间为t=3×4t0 +t0=13t0，故D正确。
1
2
2.如图所示，O-xyz坐标系的y轴正方向为竖直向上，在yOz平面左侧-2L电场和匀强磁场，电场强度大小为E2=，磁感应强度大小与yOz平面左侧磁感应强度大小相等，电磁场均具有理想边界，在x轴正方向距离O点x0=处，
有一垂直于x轴放置的足够大的荧光屏(未画出)。一个质量为m，电荷量为+q的
粒子从M(-2L，，0)点以速度v0沿x轴正方向射入电场，经N(-L，0，0)点进入磁场区域，然后从O点进入到平面yOz右侧区域，不计粒子重力。求：
1
2
(1)匀强电场电场强度E1的大小；
答案　　
1
2
粒子在电场中运动做类平抛运动，
则沿x轴方向L=v0t
在y轴方向L=at2
由牛顿第二定律得qE1=ma
解得E1=，a=
1
2
(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
答案　　
1
2
在N点，设粒子速度v的方向与x轴间的夹角为θ，沿y轴负方向的速度为vy。
粒子进入磁场时竖直分速度大小
vy=at=v0，则tan θ==1
解得θ=45°
粒子进入磁场时的速度大小v==v0
1
2
粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子轨迹
如图所示：
由几何知识可知，
粒子做圆周运动轨迹的半径R=
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定
律得qvB=
解得B=
1
2
(3)带电粒子打到荧光屏上的位置坐标。
答案　(，-L，-L)
1
2
粒子在xOy平面内沿着与x轴正向成45°角的方向以速度v从O点进入平面yOz右侧区域，沿x方向的速度分量和沿y轴正向的速度分量均为v0，
则粒子在yOz平面内做匀速圆周运动，
半径r==
粒子沿x轴正向做匀加速运动，
加速度a'==
1
2
设粒子到达光屏的时间为t，
则x0=v0t+a't2
解得t=
粒子做圆周运动的周期T==
则t=T=T+T
则粒子在屏上的坐标y=-rsin 45°=-L，
1
2
z=-(r+rcos 45°)=-L，
x0=
即位置坐标(，-L，-L)。

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