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微专题19　解三角形与其他知识的综合问题
[考情分析]　解三角形与三角函数、数列及平面向量的综合问题是高考考查的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，主要考查以三角恒等变换、数列和平面向量为工具，与三角形相结合求解求值、最值与范围问题，常以选择、填空的形式出现，解三角形与三角函数相结合有时以解答题的形式出现，难度中等.
微点一　解三角形与三角函数交汇
1.(2024·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin Bsin=cos Bsin，b=2，sin B=.则a的值为(　　)
A. B. C. D.
2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面积为S，且4S=(a+b)2-c2，则sin等于(　　)
A.1 B. C. D.
3.(13分)(2024·南充模拟)已知函数f(x)=4cossin x-2sin-1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；(6分)
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，记△ABC的面积为S，若f(A)=1，S=ab.求证：a2=b2+bc.(7分)
微点二　解三角形与平面向量交汇
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=60°，a=3，S△ABC=，则AB边上的中线长为(　　)
A. B.7 C. D.
5.(5分)(2024·凉山模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(sin A，)，n=(a，2b).若m∥n，则的取值范围是　　　　　　.
6.(13分)(2024·长郡中学、杭州二中、南师大附中三校联考)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin =asin C.
(1)求A的大小；(6分)
(2)若a=3，D为BC边上一点，AD=2，2DB=DC，求△ABC的面积.(7分)
微点三　解三角形与数列交汇
7.(5分)(2024·大连模拟)在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列.若=，数列{an}满足an=其前n项和为Sn，则S2n=　　　　　　.
8.(13分)(2024·漳州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=，b=2.
(1)若a，b，c成等差数列，求△ABC的面积；(5分)
(2)若sin A-sin C=b，求a.(8分)
[总结提升]
正确分析题意，用平面向量、数列的概念性质提炼相关等式，利用解三角形解决问题；或者利用定理、公式、性质等进行三角形中的边角互化，进行三角恒等变换，来求解三角函数值以及讨论三角函数的性质.
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若5acos A=bcos C+ccos B，则cos 2A等于(　　)
A. B. C.- D.-
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则等于(　　)
A. B. C. D.
3.(2024·西宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c，且sin +cos =2cos C，则cos C的值为(　　)
A. B. C. D.
4.设O是△ABC的外心，点D为AC的中点，满足=λ-λ，λ∈R，若||=2，则△ABC面积的最大值为(　　)
A.2 B.4 C.4 D.8
5.(多选)(2024·黔东南模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B+bcos A=2a，且sin2B=sin Asin C，则(　　)
A.a，b，c成等比数列
B.sin A∶sin B∶sin C=1∶2∶
C.A，B，C成等差数列
D.若a=2，则S△ABC=
6.(多选)(2024·曲靖模拟)在△ABC中，AB=4，AC=6，A=，D为边BC上一动点，则(　　)
A.BC=2
B.当AD为角A的平分线时，AD=
C.当D为边BC的中点时，AD=3
D.若点P为△ABC内任一点，·的最小值为-
7.(5分)(2024·永州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B+bcos A=-2ccos C，sin=，则cos(A-B)=　　　　.
8.(5分)(2024·上饶模拟)在△ABC中，A，B，C依次成等差数列，AC=2，·的取值范围为　　　　　　.
9.(13分)(2024·惠州模拟)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边.若向量m=(a，cos A)，向量n=(cos C，c)，且m·n=3bcos B.
(1)求cos B的值；(5分)
(2)若2a，b，c成等比数列，求+的值.(8分)
10.(13分)(2024·枣庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=sin Atan .
(1)求C的大小；(5分)
(2)若a=8，b=5，CH是边AB上的高，且=m+n，求.(8分)
答案精析
高频考点练
1.A　[由sin Bsin=cos Bsin，
sin=cos，
得sin Bsin=cos Bcos，
即cos Bcos-sin Bsin=0，
所以cos=0，
又0所以B+C-=，
即B+C=，所以A=，
又b=2，sin B=，
由正弦定理，得=，
所以a==×=.]
2.D　[由4S=(a+b)2-c2得
4×absin C=a2+b2-c2+2ab，
∵a2+b2-c2=2abcos C，
∴2absin C=2abcos C+2ab，
即sin C-cos C=1，
即2sin=1，
则sin=，
∵0∴C-=，即C=，
则sin=sin=sin cos +cos sin =×+×=.]
3.(1)解　f(x)=4sin x+2cos 2x-1
=sin 2x+1-cos 2x+2cos 2x-1=2sin，
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
则-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)证明　由f(A)=1得
2sin=1，
即sin=，
在△ABC中，A∈(0，π)，
∴2A+∈，
∴2A+=，∴A=，
∵S=absin C=ab，∴sin C=1.
∵0∴B=，c=2b，a=b，
∴a2=b2+bc.
4.D　[因为S△ABC =absin C=×3×b×=，故可得b=5，
根据余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=19，故c=，
不妨取AB中点为M，
故=+)，
故=
==.
即AB边上的中线长为.]
5.(-1，1)
解析　由m∥n可得2bsin A=a，
由正弦定理可得
2sin Bsin A=sin A，
由sin A≠0可得sin B=，
由0所以A+C=，
由正弦定理可得
==(sin A+sin C)(sin A-sin C)
=sin cos cos ·sin =sin cos =sin(A-C)，
由A+C=可得A=-C，
所以=sin，
又
解得由可得-<-2C<，
所以-所以-1所以的取值范围是(-1，1).
6.解　(1)因为csin =asin C，
由正弦定理得
sin Csin =sin Asin C，
因为C为三角形的内角，
所以sin C≠0，
所以sin =sin A，
又B+C=π-A，
所以sin =sin =sin=cos ，
因此cos =sin A=2sin cos ，
因为0<<，所以cos ≠0，
所以sin =，即=，A=.
(2)由(1)知∠BAC=，且a=3，
在△ABC中，由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccos∠BAC，
即b2+c2-bc=9， ①
由于2DB=DC，
所以=+=+-)=+，
两边平方得||2=||2+||||cos∠BAC+||2，
代数得b2+4c2+2bc=36， ②
由①②得，b=2，c=，
所以△ABC的面积为bcsin∠BAC=×2××=.
7.
解析　因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，即sin2B=sin Asin C，
又=，
所以=，
即sin B=，
由cos B==≥>0知0当n为偶数时，an=2n=2n=2n；
当n为奇数时，an=an+1+1=2n+1+1，
所以S2n=+
=2+n
=2×+n=.
8.解　(1)因为a，b，c成等差数列，
所以a+c=2b，
又b=2，所以a+c=4， ①
在△ABC中，由余弦定理可得
b2=a2+c2-2accos B，
又B=，
所以12=a2+c2-ac
=(a+c)2-3ac， ②
由①②得ac=12，
所以△ABC的面积S=acsin B=×12×=3.
(2)因为b=2，sin A-sin C=b，
所以sin A-sin C=，
又因为A+B+C=π且B=，
所以C=-A，
所以sin A-sin=，
所以sin A-cos A-sin A=，
所以sin A-cos A=，
所以sin=，
又因为0所以-所以A-=，
所以A=，所以a==4.
补偿强化练
1.D　[由于在△ABC中，
5acos A=bcos C+ccos B，
故5sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B，
即5sin Acos A=sin(B+C)=sin A，
而A∈(0，π)，sin A≠0，
故5cos A=1，所以cos A=，
所以cos 2A=2cos2A-1=2×-1=-.]
2.A　[方法一　因为a，b，c成等差数列，则2b=a+c c=2b-a，
又由余弦定理可得
cos A====，
cos C====.
则===.
方法二　令a=b=c，则△ABC为等边三角形，
且cos A=cos C=cos =，
所以==.]
3.B　[因为sin +cos =2cos C，
所以2cos C=2=2cos，
即cos C=cos，
因为0则0<-<，
且余弦函数y=cos x在(0，π)上单调递减，
所以C=-，所以A+3C=π，
又A+B+C=π，所以B=2C，
由正弦定理得=，
即=，
所以cos C=.]
4.B　[因为=λ-λ，λ∈R，DO⊥AC，
所以·=·=cbcos∠BAC-b2=0，λ∈R，
从而4cbcos∠BAC=3b2，
即4cb·=3b2，
所以c2+b2-4=，
所以c2=+4，
所以△ABC的面积为
S△ABC=bcsin∠BAC=bc=
===
==≤=4，
当且仅当b=4，c=2时等号成立，
综上所述，△ABC面积的最大值为4.]
5.AD　[∵sin2B=sin Asin C，由正弦定理可得b2=ac，且a>0，b>0，c>0，
则a，b，c成等比数列，故A正确；
将acos B+bcos A=2a，利用正弦定理化简得
sin Acos B+sin Bcos A=2sin A，
即sin(A+B)=2sin A，
∴sin C=2sin A，利用正弦定理化简得c=2a，
∴b2=ac=2a2，∴b=a，
∴sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=a∶a∶2a=1∶∶2，故B错误；
若A，B，C成等差数列，
则2B=A+C，且A+B+C=π，
可得B=，
则由余弦定理可得
cos B===≠，故C错误；
若a=2，可得b=2，c=4，则b由cos B=，B∈(0，π)，
可得sin B=，
所以S△ABC=acsin B=，故D正确.]
6.AB　[对于A，在△ABC中，由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=42+62-2×4×6cos =28，
所以BC=2，所以A正确；
对于B，当AD为角A的平分线时，
由等面积法得×4×6sin =×4×AD·sin +×6×AD·sin ，
即5AD=12，解得AD=，所以B正确；
对于C，当D为边BC的中点时，可得=+)，
则=++2·)=(16+36+24)=19，
所以AD==，所以C错误；
对于D，以A为原点，以AC所在直线为x轴，过A垂直AC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
所以A(0，0)，B(2，2)，C(6，0)，设P(x，y)，
则=(6-x，-y)，=(2-x，2-y)，=(-x，-y)，
·(+)=(-x，-y)·
=(-x，-y)·(8-2x，2-2y)=2x2-8x+2y2-2y=2，
因为≥0，≥0，
所以·≥2×=-，
当且仅当x=2，y=时，等号成立.
因为点在△ABC内，
所以·的最小值为-，所以D错误.]
7.
解析　因为acos B+bcos A=-2ccos C，
由正弦定理可得sin Acos B+sin Bcos A=-2sin Ccos C，
即sin(A+B)=-2sin Ccos C，
所以sin=-2sin Ccos C，
即sin C=-2sin Ccos C，
因为sin C>0，所以cos C=-，
因为0所以C=，即A+B=，
所以cos=cos=cos=sin=.
8.(0，6]
解析　设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据题意2B=A+C，
又A+B+C=π，所以B=，
而·=||||cos B=ac，
由正弦定理有====4，
所以a=4sin A，c=4sin C，
所以·=ac=8sin Asin C=8sin Asin=8sin A=4sin Acos A+4sin2A
=2sin 2A-2cos 2A+2=4sin+2，
而A的取值范围是，
所以2A-的取值范围是，
sin的取值范围是，
所以4sin的取值范围是(-2，4]，
所以·=4sin+2的取值范围为(0，6].
9.解　(1)因为m=(a，cos A)，n=(cos C，c)，且m·n=3bcos B，
所以acos C+ccos A=3bcos B，
由正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A=3sin Bcos B，
所以sin(A+C)=3sin Bcos B，
即sin B=3sin Bcos B，
又B为三角形内角，sin B≠0，
所以cos B=.
(2)因为2a，b，c成等比数列，
所以b2=2ac，由正弦定理，可得sin2B=2sin Asin C，
又cos B=，B为三角形内角，
所以sin B=，
所以+=+= =====.
10.解　(1)在△ABC中，=sin Atan ，由正弦定理和同角三角函数的商数关系，得=，
由倍角公式得=.
又因为A，C为△ABC的内角，
所以sin A≠0，cos ≠0.
所以sin2=，sin =，
则有=，得C=.
(2)方法一　由题意及(1)知a=8，b=5，∠ACB=·=||·||·cos∠ACB=abcos∠ACB
=8×5×cos =20，
所以=b2=25，=a2=64，
由题意知CH⊥AB，
所以·=0，
即(m+n)·(-)
=(m-n)·-m+n
=20(m-n)-25m+64n=0.
所以5m=44n，所以=.
方法二　在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos∠ACB=82+52-2×8×5×=49，
所以c=7.
又因为S△ABC=absin∠ACB=c·CH，
所以CH===.
所以AH==，=.
所以=+=+-)=+.
由平面向量基本定理知，m=，n=，所以=.(共62张PPT)
专题二　三角函数与解三角形
微专题19
解三角形与其他知识的综合问题
解三角形与三角函数、数列及平面向量的综合问题是高考考查的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，主要考查以三角恒等变换、数列和平面向量为工具，与三角形相结合求解求值、最值与范围问题，常以选择、填空的形式出现，解三角形与三角函数相结合有时以解答题的形式出现，难度中等.
考情分析
思维导图
高频考点练
补偿强化练
内容索引
高频考点练
PART ONE
微点一　解三角形与三角函数交汇
1.(2024·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin Bsin=cos Bsin，b=2，sin B=.则a的值为
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
由sin Bsin=cos Bsin，sin=cos，
得sin Bsin=cos Bcos，
即cos Bcos-sin Bsin=0，
所以cos=0，
又0所以B+C-=，
1
2
3
4
5
6
7
8
即B+C=，所以A=，
又b=2，sin B=，
由正弦定理，得=，
所以a==×=.
1
2
3
4
5
6
7
8
2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面积为S，且4S=(a+b)2-c2，则sin等于
A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
由4S=(a+b)2-c2得4×absin C=a2+b2-c2+2ab，
∵a2+b2-c2=2abcos C，
∴2absin C=2abcos C+2ab，
即sin C-cos C=1，即2sin=1，则sin=，
∵0∴C-=，即C=，
则sin=sin=sin cos +cos sin =×+×=.
1
2
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7
8
3.(2024·南充模拟)已知函数f(x)=4cossin x-2sin-1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
1
2
3
4
5
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7
8
f(x)=4sin x+2cos 2x-1
=sin 2x+1-cos 2x+2cos 2x-1=2sin，
令-+2kπ≤2x++2kπ，k∈Z，
则-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，记△ABC的面积为S，若f(A)=1，S=ab.求证：a2=b2+bc.
1
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6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
由f(A)=1得2sin=1，
即sin=，
在△ABC中，A∈(0，π)，
∴2A+∈，∴2A+=，∴A=，
∵S=absin C=ab，∴sin C=1.
∵0∴a2=b2+bc.
微点二　解三角形与平面向量交汇
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=60°，a=3，S△ABC=，则AB边上的中线长为
A.　　　　B.7　　　　C.　　　　D.
√
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2
3
4
5
6
7
8
因为S△ABC =absin C=×3×b×=，故可得b=5，
根据余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=19，故c=，
不妨取AB中点为M，故=+)，
故=
==.
即AB边上的中线长为.
1
2
3
4
5
6
7
8
5.(2024·凉山模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(sin A，)，n=(a，2b).若m∥n，则的取值范围是　　 　.
1
2
3
4
5
6
7
8
(-1，1)
由m∥n可得2bsin A=a，
由正弦定理可得2sin Bsin A=sin A，
由sin A≠0可得sin B=，
由0所以A+C=，
1
2
3
4
5
6
7
8
由正弦定理可得==(sin A+sin C)(sin A-sin C)
=sin cos cos sin
=sin cos =sin(A-C)，
由A+C=可得A=-C，
所以=sin，
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7
8
又由所以-所以-1所以的取值范围是(-1，1).
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8
6.(2024·长郡中学、杭州二中、南师大附中三校联考)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin =asin C.
(1)求A的大小；
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因为csin =asin C，
由正弦定理得sin Csin =sin Asin C，
因为C为三角形的内角，所以sin C≠0，
所以sin =sin A，
又B+C=π-A，
所以sin =sin =sin=cos ，
6
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7
8
因此cos =sin A=2sin cos ，
因为0<<，所以cos ≠0，
所以sin =，
即=，A=.
(2)若a=3，D为BC边上一点，AD=2，2DB=DC，求△ABC的面积.
6
1
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7
8
由(1)知∠BAC=，且a=3，
在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC，
即b2+c2-bc=9， ①
由于2DB=DC，
所以=+=+-)=+，
两边平方得||2=||2+||||cos∠BAC+||2，
代数得b2+4c2+2bc=36， ②
由①②得，b=2，c=，
所以△ABC的面积为bcsin∠BAC=×2××=.
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微点三　解三角形与数列交汇
7.(2024·大连模拟)在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知
a，b，c成等比数列.若=，数列{an}满足
其前n项和为Sn，则S2n=　　 　　　　.
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7
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an=
因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，即sin2B=sin Asin C，
又==，
即sin B=，
由cos B==>0知0当n为偶数时，an=2n=2n=2n；
当n为奇数时，an=an+1+1=2n+1+1，
所以S2n=+
=2+n=2×+n=.
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8.(2024·漳州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=，b=2.
(1)若a，b，c成等差数列，求△ABC的面积；
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因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b，
又b=2，所以a+c=4， ①
在△ABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B，
又B=，
所以12=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac， ②
由①②得ac=12，
所以△ABC的面积S=acsin B=×12×=3.
(2)若sin A-sin C=b，求a.
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因为b=2，sin A-sin C=b，
所以sin A-sin C=，
又因为A+B+C=π且B=，
所以C=-A，
所以sin A-sin=，
所以sin A-cos A-sin A=，
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所以sin A-cos A=，
所以sin=，
又因为0所以-所以A=，所以a==4.
总结提升
正确分析题意，用平面向量、数列的概念性质提炼相关等式，利用解三角形解决问题；或者利用定理、公式、性质等进行三角形中的边角互化，进行三角恒等变换，来求解三角函数值以及讨论三角函数的性质.
补偿强化练
PART TWO
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若5acos A=bcos C+ccos B，则cos 2A等于
A.　　　　B. 　　　　C.-　　　　D.-
√
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由于在△ABC中，5acos A=bcos C+ccos B，
故5sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B，
即5sin Acos A=sin(B+C)=sin A，
而A∈(0，π)，sin A≠0，
故5cos A=1，所以cos A=，
所以cos 2A=2cos2A-1=2×-1=-.
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2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则等于
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
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方法一　因为a，b，c成等差数列，则2b=a+c c=2b-a，
又由余弦定理可得
cos A====，
cos C====.
则===.
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方法二　令a=b=c，则△ABC为等边三角形，且cos A=cos C=cos =，
所以==.
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3.(2024·西宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c，且sin +cos =2cos C，则cos C的值为
A.　　　　B. 　　　　C.　　　　D.
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因为sin +cos =2cos C，
所以2cos C=2=2cos，
即cos C=cos，
因为0且余弦函数y=cos x在(0，π)上单调递减，
所以C=-，所以A+3C=π，
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又A+B+C=π，所以B=2C，
由正弦定理得==，
所以cos C=.
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4.设O是△ABC的外心，点D为AC的中点，满足=λ-λ，λ∈R，若||=2，则△ABC面积的最大值为
A.2　　　　B.4　　　　C.4　　　　D.8
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因为=λ-λ，λ∈R，DO⊥AC，
所以·=·=cbcos∠BAC-b2=0，λ∈R，
从而4cbcos∠BAC=3b2，
即4cb·=3b2，
所以c2+b2-4=，所以c2=+4，
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所以△ABC的面积为S△ABC=bcsin∠BAC=bc
==
===
=≤=4，
当且仅当b=4，c=2时等号成立，
综上所述，△ABC面积的最大值为4.
5.(多选)(2024·黔东南模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B+bcos A=2a，且sin2B=sin Asin C，则
A.a，b，c成等比数列
B.sin A∶sin B∶sin C=1∶2∶
C.A，B，C成等差数列
D.若a=2，则S△ABC=
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∵sin2B=sin Asin C，由正弦定理可得b2=ac，且a>0，b>0，c>0，
则a，b，c成等比数列，故A正确；
将acos B+bcos A=2a，利用正弦定理化简得sin Acos B+sin Bcos A=2sin A，
即sin(A+B)=2sin A，
∴sin C=2sin A，利用正弦定理化简得c=2a，
∴b2=ac=2a2，∴b=a，
∴sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=a∶a∶2a=1∶∶2，故B错误；
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若A，B，C成等差数列，则2B=A+C，且A+B+C=π，可得B=，
则由余弦定理可得cos B===≠，故C错误；
若a=2，可得b=2，c=4，则b由cos B=，B∈(0，π)，可得sin B=，
所以S△ABC=acsin B=，故D正确.
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6.(多选)(2024·曲靖模拟)在△ABC中，AB=4，AC=6，A=，D为边BC上一动点，则
A.BC=2
B.当AD为角A的平分线时，AD=
C.当D为边BC的中点时，AD=3
D.若点P为△ABC内任一点，·的最小值为-
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对于A，在△ABC中，由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=42+62-2×4×6cos =28，
所以BC=2，所以A正确；
对于B，当AD为角A的平分线时，
由等面积法得×4×6sin =×4×AD·sin +×6×AD·sin ，
即5AD=12，解得AD=，所以B正确；
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对于C，当D为边BC的中点时，可得=+)，
则=++2·)=(16+36+24)=19，
所以AD==，所以C错误；
对于D，以A为原点，以AC所在直线为x轴，过A垂直AC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，如图，
所以A(0，0)，B(2，2)，C(6，0)，设P(x，y)，
则=(6-x，-y)，=(2-x，2-y)，=(-x，-y)，
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·(+)=(-x，-y)·
=(-x，-y)·(8-2x，2-2y)=2x2-8x+2y2-2y
=2，
因为≥0，≥0，所以·≥2×=-，
当且仅当x=2，y=时，等号成立.
因为点在△ABC内，所以·的最小值为-，所以D错误.
7.(2024·永州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且acos B+bcos A=-2ccos C，sin=，则cos(A-B)=　 　.
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因为acos B+bcos A=-2ccos C，
由正弦定理可得sin Acos B+sin Bcos A=-2sin Ccos C，
即sin(A+B)=-2sin Ccos C，所以sin=-2sin Ccos C，
即sin C=-2sin Ccos C，因为sin C>0，所以cos C=-，
因为0所以cos=cos=cos=sin=.
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8.(2024·上饶模拟)在△ABC中，A，B，C依次成等差数列，AC=2，·的取值范围为　　　　.
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(0，6]
设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据题意2B=A+C，又A+B+C=π，
所以B=，
而·=||||cos B=ac，
由正弦定理有====4，
所以a=4sin A，c=4sin C，
所以·=ac=8sin Asin C=8sin Asin=8sin A
=4sin Acos A+4sin2A=2sin 2A-2cos 2A+2=4sin+2，
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而A的取值范围是，
所以2A-，
sin，
所以4sin的取值范围是(-2，4]，
所以·=4sin+2的取值范围为(0，6].
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9.(2024·惠州模拟)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边.若向量m=(a，cos A)，向量n=(cos C，c)，且m·n=3bcos B.
(1)求cos B的值；
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因为m=(a，cos A)，n=(cos C，c)，且m·n=3bcos B，
所以acos C+ccos A=3bcos B，
由正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A=3sin Bcos B，
所以sin(A+C)=3sin Bcos B，
即sin B=3sin Bcos B，
又B为三角形内角，sin B≠0，所以cos B=.
(2)若2a，b，c成等比数列，求+的值.
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因为2a，b，c成等比数列，
所以b2=2ac，由正弦定理，可得sin2B=2sin Asin C，
又cos B=，B为三角形内角，
所以sin B=，
所以+=+= =====.
10.(2024·枣庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=sin Atan .
(1)求C的大小；
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在△ABC中，=sin Atan ，由正弦定理和同角三角函数的商数关系，
得=，
由倍角公式得=.
又因为A，C为△ABC的内角，
所以sin A≠0，cos ≠0.
所以sin2=，sin =，则有=，得C=.
(2)若a=8，b=5，CH是边AB上的高，且=m+n，求.
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方法一　由题意及(1)知a=8，b=5，∠ACB=·=||·||·cos∠ACB=abcos∠ACB=8×5×cos =20，
所以=b2=25，=a2=64，
由题意知CH⊥AB，所以·=0，
即(m+n)·(-)=(m-n)·-m+n=20(m-n)-25m+64n=0.
所以5m=44n，所以=.
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方法二　在△ABC中，由余弦定理得
c2=a2+b2-2abcos∠ACB=82+52-2×8×5×=49，
所以c=7.
又因为S△ABC=absin∠ACB=c·CH，
所以CH===.
所以AH===.
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所以=+=+-)=+.
由平面向量基本定理知，m=，n=，
所以=.

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