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第2课时　基本事实4、等角定理、异面直线的夹角
学习目标
1.理解并掌握基本事实4及等角定理,发展逻辑推理的核心素养.
2.了解异面直线的定义、画法及判断方法,发展直观想象的核心素养.
3.掌握异面直线所成的角的概念、求法,发展逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养.
知识探究
问题1:在平面几何中,我们学习过“平行于同一条直线的两条直线互相平行”,观察一个棱柱的三条侧棱,它们所在的三条直线确定了几个平面 它们所在的直线都互相平行吗
提示:三条直线确定三个平面,这三条直线互相平行.
知识点1　基本事实4
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
[思考1] 如何用符号语言表示基本事实4
提示: a∥c.
问题2:空间两条平行直线和两条相交直线都在同一个平面内(即共面),空间内还有这样的两条直线,它们不能处在同一个平面内,以长方体ABCDA1B1C1D1为例,找出这样的两组直线.
提示:直线AB与直线CC1,直线AB与直线A1D1(答案不唯一).
知识点2　异面直线
(1)异面直线:不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线.
(2)空间两条直线的位置关系有且只有三种:
(3)异面直线的画法.
画异面直线时,为了表示异面直线a,b不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点,如图(a)(b)(c)所示.
[思考2] “异面直线就是不同在一个平面内的直线”这种说法对吗
提示:不对.不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线,如图,虽然有a α,b β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.
知识点3　等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或
互补.
[思考3] 一个角的两边与另一个角的两边分别平行时,两个角相等或互补的条件是什么
提示:若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反,那么这两个角相等;若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,其中一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这两个角互补.
问题3:平面内两条直线相交成4个角,它们之间有什么关系
提示:所成的对顶角相等,邻补角互补.
知识点4　 两条直线的夹角
(1)平面内两条直线相交成4个角,其中不大于90°的角称为它们的夹角.夹角刻画了一条直线相对于另一条直线的位置关系.
(2)异面直线的夹角.
①已知两条异面直线a,b,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,这时a′,b′共面,我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a,b的夹角.
②若两条异面直线a,b的夹角是直角,则称这两条直线互相垂直,记作:a⊥b.
③当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们的夹角为0°,所以空间两条直线的夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
探究点一　基本事实4及等角定理
[例1] 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,
B1C1,C1D1的中点.求证:
(1)EFE1F1.
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
证明:(1)如图,
连接BD,B1D1,
在△ABD中,
因为E,F分别为AB,AD的中点,
所以EFBD.
同理,E1F1B1D1.
在正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1DD1,
所以四边形BB1D1D为平行四边形,
所以BDB1D1.
又EFBD,E1F1B1D1,
所以EFE1F1.
(2)如图,取A1B1的中点M,连接F1M,BM,
则MF1B1C1.
又B1C1BC,
所以MF1BC,
所以四边形BMF1C为平行四边形,
所以BM∥CF1.
因为A1M=A1B1,BE=AB,
且A1B1AB,
所以A1MBE,
所以四边形BMA1E为平行四边形,
所以BM∥A1E,
所以CF1∥A1E.
同理可证A1F∥CE1.
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,且方向都相反,
所以∠EA1F=∠E1CF1.
(1)空间两条直线平行的证明:
一是定义法,即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点.
二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质.
三是利用基本事实4,找到一条直线使所证的直线都与这条直线平行.
(2)证明角相等的方法:若已知条件中涉及角的边的平行问题,常借助等角定理证明,使用等角定理时要注意说明角的两边的方向.
[针对训练] 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.
证明:(1)因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为正方体,
所以AD=A1D1,且AD∥A1D1.
又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,
所以AM=A1M1,且AM∥A1M1,
所以四边形AMM1A1为平行四边形,
所以M1M=AA1,且M1M∥AA1.
又AA1=BB1,且AA1∥BB1,
所以MM1=BB1,且MM1∥BB1,
所以四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)法一　由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
所以B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
所以C1M1∥CM.
因为∠BMC和∠B1M1C1的两边分别对应平行,且方向都相同,
所以由等角定理可知,∠BMC=∠B1M1C1.
法二　由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
所以B1M1=BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
所以C1M1=CM.
又因为B1C1=BC,所以△BCM≌△B1C1M1,
所以∠BMC=∠B1M1C1.
探究点二　异面直线的定义
[例2] 如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1为正方体,证明:直线BC1与直线A1C是异面直线.
证明:法一(反证法)　假设直线BC1与直线A1C不是异面直线,则直线BC1与直线A1C共面.
设直线BC1与直线A1C所在的平面为α,
则B,C,C1,A1∈α,
因为B,C,C1三点确定的平面为平面BCC1,
即平面BCC1B1,
所以平面BCC1B1为α,所以A1∈平面BCC1B1.
这与事实相矛盾,故假设不成立.
所以直线BC1与直线A1C是异面直线.
法二　因为A1 平面BCC1B1,
C∈平面BCC1B1,C∈直线A1C,
又因为BC1 平面BCC1B1,且C BC1,
所以直线BC1与直线A1C是异面直线.
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内.
(2)连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.
(3)反证法:假设两条直线不是异面直线,由此推出一个矛盾的结论.
[针对训练] (1)在三棱锥SABC中,与SA是异面直线的是(　　)
A.SB B.SC C.BC D.AB
(2)若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是(　　)
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
解析:(1)在三棱锥SABC中,SB,SC,AB,AC都与SA相交,只有BC与SA为异面直线.故选C.
(2)可借助长方体来判断.
如图,在长方体ABCDA′B′C′D′中,设A′D′所在直线为a,AB所在直线为b,已知a和b是异面直线,b和c是异面直线,则c可以是长方体 ABCDA′B′C′D′中的B′C′,CC′,DD′.
故a和c可以平行、相交或异面.故选D.
探究点三　异面直线的夹角
[例3] 如图所示,在正方体ABCDEFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
(1)异面直线BE与CG的夹角;
(2)异面直线FO与BD的夹角.
解:(1)由题图知,因为CG∥BF,
所以∠EBF为异面直线BE与CG的夹角,
又在等腰直角三角形BEF中,
∠EBF=45°,
所以异面直线BE与CG的夹角为45°.
(2)连接FH,
因为HD∥EA,EA∥FB,
所以HD∥FB.
又HD=FB,
所以四边形HFBD为平行四边形.
所以HF∥BD,
所以∠HFO为异面直线FO与BD的夹角.
连接HA,AF,易得FH=HA=AF,
所以△AFH为等边三角形,所以∠HFA=60°.
又因为O为AH的中点,
所以FO是∠HFA的平分线,
所以∠HFO=30°,
即异面直线FO与BD的夹角为30°.
[变式探究1] 在本例中,若P是平面EFGH的中心,其他条件不变,求异面直线OP与CD的夹角.
解:如图,连接EG,HF,
则P为HF的中点,
连接AF,AH,
则OP∥AF.
又CD∥AB,
所以∠BAF为异面直线OP与CD的夹角,
由于△ABF是等腰直角三角形,
所以∠BAF=45°,
故异面直线OP与CD的夹角为45°.
[变式探究2] 在本例正方体中,若M,N分别是BF,CG的中点,且AG与BN的夹角约为39.2°,求异面直线AM与BN的夹角.
解:如图,连接MG,
因为四边形BCGF是正方形,
所以BFCG.
因为M,N分别是BF,CG的中点,
所以BMNG,
所以四边形BNGM是平行四边形,
所以BN∥MG,
所以∠AGM是AG与BN的夹角,
∠AMG(或其补角)是AM与BN的夹角.
因为AM=MG,
所以∠MAG=∠AGM≈39.2°,
所以∠AMG≈101.6°,
所以异面直线AM与BN的夹角约为78.4°.
求异面直线的夹角的步骤
(1)找出(或作出)适合题意的角——用平移法,若题中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找
的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ即为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求.
当堂检测
1.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于(　B　)
A.30° B.30°或150°
C.150° D.以上结论都不对
解析:∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行,但方向不能确定是否相同,
所以∠PQR=30°或150°.故选B.
2.如果两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是(　D　)
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
解析:由两条直线的位置关系,可知a与b平行或异面.故选D.
3.(多选题)如图是一个正方体的展开图,则在原正方体中(　ABD　)
A.CD∥GH B.AB与EF异面
C.AD∥EF D.AB与CD相交
解析:把展开图还原成正方体,如图所示.由正方体的性质得CD∥GH,AB与EF异面,AD与EF异面,AB与CD相交.故选ABD.
4.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,
(1)AC和DD1的夹角是　　　　　　;
(2)AC和D1C1的夹角是　　　　　　;
(3)AC和B1D1的夹角是　　　　　　;
(4)AC和A1B的夹角是　　　　　　.
解析:(1)因为DD1∥A1A,∠A1AC=90°,故AC和DD1的夹角是90°.
(2)因为D1C1∥DC,所以∠ACD即为AC和D1C1的夹角,由正方体的性质得∠ACD=45°.
(3)连接BD(图略),因为BD∥B1D1,BD⊥AC,所以B1D1⊥AC,即AC和B1D1的夹角是90°.
(4)连接AD1,D1C(图略),因为A1B∥D1C,△ACD1是等边三角形,所以AC和A1B的夹角是60°.
答案:(1)90°　(2)45°　(3)90°　(4)60°
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
基本事实4、等角定理 1,2,3,5,11
异面直线的概念及夹角 4,6,7,8,9,10,12,13,14
基础巩固
1.在空间中,与直线l都平行的直线a,b的位置关系是(　C　)
A.相交 B.异面
C.平行 D.平行、相交或异面
解析:由基本事实4得,在空间中,与直线l都平行的直线a,b的位置关系是平行.故选C.
2.已知空间两个角α,β,且α与β的两边对应平行,α=60°,则β为(　D　)
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
解析:因为α与β的两边对应平行,所以α与β相等或互补,故β为60°或120°.故选D.
3.在长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BD和CD的中点,长方体的各棱中与EF平行的有(　D　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:如图所示,
因为E,F分别为BD,CD的中点,
所以EF∥BC.
又因为BC∥B1C1,
所以EF∥B1C1.
同理,EF∥A1D1,EF∥AD.故选D.
4.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c(　C　)
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
解析:由于a∥b,a,c异面,此时,b和c可能相交,即共面,如图所示,b与c相交;b和c也可能异面,如图所示,b′与c异面.综上所述,b与c不可能是平行直线.故选C.
5.(多选题)如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,
AD,AC的中点,则下列说法正确的是(　ABC　)
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠DBC
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
解析:由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.由基本事实4易得MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A正确;由等角定理,知∠QME=∠DBC,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故B,C正确;由三角形的中位线定理知MQ∥BD,MQ=BD,NP∥BD,NP=BD,所以MQNP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D不正确.故选ABC.
6.在四棱锥PABCD中,各棱所在的直线互相异面的有　　　对.
解析:以底边所在直线为准进行考查,因为四边形ABCD是平面图形,
4条边在同一平面内,不可能组成异面直线,而每一边所在直线能与
2条侧棱组成2对异面直线,所以共有4×2=8(对)异面直线.
答案:8
7.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有　　　　 　　.(填序号)
解析:如题图①中,GH∥MN,因此,GH与MN共面.
题图②中,G,H,N三点共面,但M 平面GHN,因此直线GH与MN异面.
题图③中,连接GM(图略),GM∥HN,因此,GH与MN共面.
题图④中,G,M,N三点共面,但H 平面GMN,因此GH与MN异面.
所以题图②④中GH与MN异面.
答案:②④
8.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,若异面直线AD1与BB1的夹角为,则 AA1=　　　　.
解析:如图,由长方体的性质可得DD1∥BB1,故∠AD1D即为异面直线AD1与BB1的夹角.
在Rt△AD1D中,由于AD=1,
故tan∠AD1D==.
由于∠AD1D=,
所以tan==,
解得DD1=,
即AA1=.
答案:
能力提升
9.若a,b为两条异面直线,α,β为两个平面,a α,b β,α∩β=l,则下列结论正确的是(　A　)
A.l至少与a,b中一条相交
B.l至多与a,b中一条相交
C.l至少与a,b中一条平行
D.l必与a,b中一条相交,与另一条平行
解析:假设l与a,b都不相交,由于a与l共面,b与l共面,
则a∥l,b∥l,因此a∥b,与a,b异面矛盾,故A正确.故选A.
10.(多选题)一个正四棱锥的平面展开图如图所示,其中E,F,M,N,Q分别为P2A,P1D,P4D,P4C,P3C的中点,关于该正四棱锥,现有下列四个结论,其中正确的结论为(　BCD　)
A.直线AF与直线BQ是异面直线
B.直线BE与直线MN是异面直线
C.直线BQ与直线MN共面
D.直线BE与直线AF是异面直线
解析:根据展开图,复原几何体,如图所示.
对于A,因为F,M,N,Q分别为P1D,P4D,P4C,P3C的中点,
所以FN∥CD,又AB∥CD,则FN∥AB,故F,N,A,B四点共面,
故直线AF与直线BQ是共面直线,故A错误;
对于B,E在过F,N,A,B四点的平面外,B和MN都在过F,N,A,B四点的平面内,
故直线BE与直线MN是异面直线,故B正确;
对于C,N,Q重合,故直线BQ与直线MN共面,故C正确;
对于D,E在过F,N,A,B四点的平面外,B和AF都在过F,N,A,B四点的平面内,故直线BE与直线AF是异面直线,故D正确.
故选BCD.
11.如图所示,在空间四边形 ABCD中,E,H分别为AB,AD的中点,F,G分别是BC,CD上的点,且==,若BD=6 cm,梯形EFGH的面积为
28 cm2,则平行线EH,FG间的距离为　　 　　cm.
解析:由题意得EH=3 cm,FG=6×=4(cm),设EH,FG间的距离为h,
由S梯形EFGH==28,
得h=8 cm.
答案:8
12.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,点E为正方形ABB1A1的中心,F为棱CC1的中点,求异面直线BF与CE所成角的正切值.
解:如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,取A1B1的中点G,连接FG,EG,BG,
由点E为正方形ABB1A1的中心,
得EG∥BB1,EG=BB1.
而BB1∥CC1,BB1=CC1,
于是EG∥CC1,EG=CC1,由F为棱CC1的中点,得EG∥CF,EG=CF.
则四边形CFGE是平行四边形,有FG∥CE,即∠BFG(或其补角)就是异面直线BF与CE所成的角.显然正三棱柱ABCA1B1C1所有棱长都相等,不妨令棱长为2,
则BF==,FG==2,BG==,
等腰△BFG底边FG上的高h==2,tan∠BFG==2,
所以异面直线BF与CE所成角的正切值为2.
答案:2
13.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=,DA⊥AC,
DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD夹角的
余弦值.
解:如图,取AC的中点F,连接EF,BF.
在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,
所以EF∥CD,
所以∠BEF(或其补角)即为异面直线BE与CD的夹角.
在Rt△ABC中,BC=,AB=AC,
所以AB=AC=1.
在Rt△EAB中,AB=1,AE=AD=,
所以BE=.
在Rt△AEF中,AF=AC=,AE=,
所以EF=.
在Rt△ABF中,AB=1,AF=,
所以BF=.
在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===,
所以异面直线BE与CD夹角的余弦值为.
应用创新
14.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD的夹角为90°,则MN=　　 　.
解析:如图,取AD的中点P,连接PM,PN,
则BD∥PM,AC∥PN,所以∠MPN即为异面直线AC与BD的夹角,
所以∠MPN=90°,
PN=AC=4,
PM=BD=3,
所以MN=5.
答案:5第2课时　基本事实4、等角定理、异面直线的夹角
学习目标
1.理解并掌握基本事实4及等角定理,发展逻辑推理的核心素养.
2.了解异面直线的定义、画法及判断方法,发展直观想象的核心素养.
3.掌握异面直线所成的角的概念、求法,发展逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养.
知识探究
问题1:在平面几何中,我们学习过“平行于同一条直线的两条直线互相平行”,观察一个棱柱的三条侧棱,它们所在的三条直线确定了几个平面 它们所在的直线都互相平行吗
提示:三条直线确定三个平面,这三条直线互相平行.
知识点1　基本事实4
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
[思考1] 如何用符号语言表示基本事实4
提示: a∥c.
问题2:空间两条平行直线和两条相交直线都在同一个平面内(即共面),空间内还有这样的两条直线,它们不能处在同一个平面内,以长方体ABCDA1B1C1D1为例,找出这样的两组直线.
提示:直线AB与直线CC1,直线AB与直线A1D1(答案不唯一).
知识点2　异面直线
(1)异面直线:不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线.
(2)空间两条直线的位置关系有且只有三种:
(3)异面直线的画法.
画异面直线时,为了表示异面直线a,b不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点,如图(a)(b)(c)所示.
[思考2] “异面直线就是不同在一个平面内的直线”这种说法对吗
提示:不对.不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线,如图,虽然有a α,b β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.
知识点3　等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或
互补.
[思考3] 一个角的两边与另一个角的两边分别平行时,两个角相等或互补的条件是什么
提示:若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反,那么这两个角相等;若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,其中一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这两个角互补.
问题3:平面内两条直线相交成4个角,它们之间有什么关系
提示:所成的对顶角相等,邻补角互补.
知识点4　 两条直线的夹角
(1)平面内两条直线相交成4个角,其中不大于90°的角称为它们的夹角.夹角刻画了一条直线相对于另一条直线的位置关系.
(2)异面直线的夹角.
①已知两条异面直线a,b,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,这时a′,b′共面,我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a,b的夹角.
②若两条异面直线a,b的夹角是直角,则称这两条直线互相垂直,记作:a⊥b.
③当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们的夹角为0°,所以空间两条直线的夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
探究点一　基本事实4及等角定理
[例1] 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,
B1C1,C1D1的中点.求证:
(1)EFE1F1.
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
(1)空间两条直线平行的证明:
一是定义法,即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点.
二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质.
三是利用基本事实4,找到一条直线使所证的直线都与这条直线平行.
(2)证明角相等的方法:若已知条件中涉及角的边的平行问题,常借助等角定理证明,使用等角定理时要注意说明角的两边的方向.
[针对训练] 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.
探究点二　异面直线的定义
[例2] 如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1为正方体,证明:直线BC1与直线A1C是异面直线.
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内.
(2)连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.
(3)反证法:假设两条直线不是异面直线,由此推出一个矛盾的结论.
[针对训练] (1)在三棱锥SABC中,与SA是异面直线的是(　　)
A.SB B.SC C.BC D.AB
(2)若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是(　　)
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
探究点三　异面直线的夹角
[例3] 如图所示,在正方体ABCDEFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
(1)异面直线BE与CG的夹角;
(2)异面直线FO与BD的夹角.
[变式探究1] 在本例中,若P是平面EFGH的中心,其他条件不变,求异面直线OP与CD的夹角.
[变式探究2] 在本例正方体中,若M,N分别是BF,CG的中点,且AG与BN的夹角约为39.2°,求异面直线AM与BN的夹角.
求异面直线的夹角的步骤
(1)找出(或作出)适合题意的角——用平移法,若题中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找
的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ即为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求.
当堂检测
1.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于(　　)
A.30° B.30°或150°
C.150° D.以上结论都不对
2.如果两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是(　　)
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
3.(多选题)如图是一个正方体的展开图,则在原正方体中(　)
A.CD∥GH B.AB与EF异面
C.AD∥EF D.AB与CD相交
4.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,
(1)AC和DD1的夹角是　　　　　　;
(2)AC和D1C1的夹角是　　　　　　;
(3)AC和B1D1的夹角是　　　　　　;
(4)AC和A1B的夹角是　　　　　　.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
基本事实4、等角定理 1,2,3,5,11
异面直线的概念及夹角 4,6,7,8,9,10,12,13,14
基础巩固
1.在空间中,与直线l都平行的直线a,b的位置关系是(　　)
A.相交 B.异面
C.平行 D.平行、相交或异面
2.已知空间两个角α,β,且α与β的两边对应平行,α=60°,则β为(　　)
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
3.在长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BD和CD的中点,长方体的各棱中与EF平行的有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c(　　)
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
5.(多选题)如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,
AD,AC的中点,则下列说法正确的是(　　)
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠DBC
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
6.在四棱锥PABCD中,各棱所在的直线互相异面的有　　　对.
7.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有　　　　 　　.(填序号)
8.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,若异面直线AD1与BB1的夹角为,则 AA1=　　　　.
能力提升
9.若a,b为两条异面直线,α,β为两个平面,a α,b β,α∩β=l,则下列结论正确的是(　　)
A.l至少与a,b中一条相交
B.l至多与a,b中一条相交
C.l至少与a,b中一条平行
D.l必与a,b中一条相交,与另一条平行
10.(多选题)一个正四棱锥的平面展开图如图所示,其中E,F,M,N,Q分别为P2A,P1D,P4D,P4C,P3C的中点,关于该正四棱锥,现有下列四个结论,其中正确的结论为(　)
A.直线AF与直线BQ是异面直线
B.直线BE与直线MN是异面直线
C.直线BQ与直线MN共面
D.直线BE与直线AF是异面直线
11.如图所示,在空间四边形 ABCD中,E,H分别为AB,AD的中点,F,G分别是BC,CD上的点,且==,若BD=6 cm,梯形EFGH的面积为
28 cm2,则平行线EH,FG间的距离为　　 　　cm.
12.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,点E为正方形ABB1A1的中心,F为棱CC1的中点,求异面直线BF与CE所成角的正切值.
13.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=,DA⊥AC,
DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD夹角的
余弦值.
应用创新
14.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD的夹角为90°,则MN=　　 　.

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