资源简介

§4　平行关系
4.1　直线与平面平行
学习目标
1.理解直线与平面平行的判定定理和性质定理,发展直观想象的核心素养.
2.能够利用直线与平面平行的判定定理和性质定理解决空间中的平行关系问题,增强逻辑推理的核心素养.
知识探究
知识点1　直线与平面平行的性质定理
文字语言:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
图形语言:
符号语言:a∥α,a β,α∩β=b a∥b.
[思考1] 若一条直线与一个平面平行,则直线与平面内的直线是什么关系
提示:平行或异面.
知识点2　直线与平面平行的判定定理
文字语言:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
图形语言:
符号语言:a α,b α,a∥b a∥α.
[思考2] 直线与平面平行的判定定理中的“平面外一条直线”中的“平面外”能去掉吗
提示:不能.因为与平面内的一条直线平行的直线既可以与平面平行,也可以在平面内.
(1)应用线面平行的判定定理的注意点:在推证线面平行时,一定要强调直线a不在平面内,直线b在平面内,且a∥b,否则会出现错误.
(2)应用线面平行的性质定理的注意点:一条直线平行于一个平面,它可以与平面内的无数条直线平行,但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行,也可能异面.
(3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别:如果结论中有a∥α,要用判定定理,则在平面α内找(或作)与a平行的直线;如果条件中有a∥α,要用性质定理,则找(或作)过直线a且与平面α相交的平面.
探究点一　直线与平面平行的性质
[例1] 如图所示,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体,求证:截面MNPQ是平行四边形.
(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤.
(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
[针对训练] 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,求线段EF的长度.
探究点二　直线与平面平行的判定
[例2] 如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,D为AC的中点,求证:AB1∥平面BC1D.
证明直线与平面平行主要是利用直线与平面平行的判定定理,即结合已知条件证明直线与平面内的一条直线平行.一般地,在题目中出现中点时,常见的证明线线平行的两种途径为:
(1)中位线→线线平行;
(2)平行四边形→线线平行.
[针对训练] 如图,四边形ABCD是平行四边形,P是平面ABCD外一点,M,N分别是AB,PC的中点.求证:MN∥平面PAD.
探究点三　直线与平面平行的综合应用
[例3] 如图所示的一块正四棱锥PABCD木料,侧棱长和底面边长均为13,M为侧棱PA上的点.
(1)若PM∶MA=1∶1,要经过点M和棱BC将木料锯开,在木料表面应该怎样画线 (请写出必要作图说明)
(2)若PM∶MA=5∶8,在线段BD上是否存在一点N,使直线MN∥平面PBC 如果不存在,请说明理由;如果存在,求出BN∶ND的值以及线段MN的长.
直线与平面平行的判定定理与性质定理的应用方法
直线与平面平行的判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链,即
线线平行线面平行线线平行
[针对训练] 如图,在几何体ABCDFE中,四边形ABCD为直角梯形,DC=2AB,GC=2FG,平面ABFE∩平面CDEF=EF.
(1)求证:AF∥平面BDG.
(2)求证:AB∥EF.
学海拾贝
直线与平面平行中的线段计算问题
[典例探究] 已知BC∥平面α,D在线段BC上,A α,直线AB,AC,AD分别交平面α于点E,G,F,且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的长.
求解直线与平面平行相关的线段长度问题,主要是利用直线与平面平行的性质,转化为直线与直线的平行关系,结合平行线等分线段成比例求解,求解时要注意分类讨论思想的应用.
[应用探究] 如图所示,直线a∥平面α,A α,并且a和A位于平面α两侧,点B∈a,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F.若BC=4,CF=5,AF=3,则EF=　　　　.
当堂检测
1.已知a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a β,α∩β=b,则a与b的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
2.已知直线l,m和平面α.若m α,l α,则“l∥m”是“l∥α”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,Q为AD的中点,点M在线段PC上,PM=tPC,PA∥平面MQB,则实数t的值为(　　)
A. B. C. D.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
直线与平面平行的判定 定理及性质定理 1,2,3,4,6, 7,8,9,10
直线与平面平行的综合应用 5,11,12,13
基础巩固
1.若直线l与平面α内的一条直线平行,则l和α的位置关系是(　　)
A.l α B.l∥α
C.l α或l∥α D.l和α相交
2.如图,已知平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面
α=c,若a∥b,则c与a,b的位置关系是(　　)
A.c与a,b都异面
B.c与a,b都相交
C.c至少与a,b中的一条相交
D.c与a,b都平行
3.下列选项中,一定能得出直线m与平面α平行的是(　　)
A.直线m在平面α外
B.直线m与平面α内的两条直线平行
C.平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D.直线m与平面α内所有直线平行
4.(多选题)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,给出以下结论,其中正确的是(　　)
A.OM∥PD B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
5.(多选题)如图,在四面体 ABCD中,截面PQMN是正方形,则(　　)
A.AC⊥BD
B.AC∥平面PQMN
C.AC=BD
D.M,N分别是线段DC,AD的中点
6.如图,在五面体FEABCD中,四边形CDEF为矩形,M,N分别是BF,BC的中点,则MN与平面ADE的位置关系是　　　　.
7.如图,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状是　 .
8.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是PA上一点,当点E满足条件　　　　　　　　　　时,PC∥平面EBD.
能力提升
9.(多选题)如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,满足直线MN∥平面ABC的有(　　)
　
A B
　
C D
10.如图,已知三棱柱ABCA1B1C1中,E是BC上的动点,D是AA1上的动点,且=m,AE∥平面DB1C.
(1)若E是BC的中点,则m的值为　　　　　　.
(2)若E是BC上靠近点B的三等分点,则m的值为　　　　　　.
11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,设M,N分别是线段DA1,B1D1上的动点(不与端点重合),若MN∥平面CC1D1D,则线段MN长的最小值为　　　　.
12.如图,P为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AC,BD为圆锥底面的两条直径,M为母线PD上一点,连接MA,MO,MC.
(1)若M为PD的中点,证明:PB∥平面MAC.
(2)若PB∥平面MAC,证明:M为PD的中点.
应用创新
13.如图,在三棱锥PABC中,点D,E分别为棱PB,BC的中点.若点F在线段AC上,且满足AD∥平面PEF,则的值为(　　)
A.1 B.2
C. D.§4　平行关系
4.1　直线与平面平行
学习目标
1.理解直线与平面平行的判定定理和性质定理,发展直观想象的核心素养.
2.能够利用直线与平面平行的判定定理和性质定理解决空间中的平行关系问题,增强逻辑推理的核心素养.
知识探究
知识点1　直线与平面平行的性质定理
文字语言:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
图形语言:
符号语言:a∥α,a β,α∩β=b a∥b.
[思考1] 若一条直线与一个平面平行,则直线与平面内的直线是什么关系
提示:平行或异面.
知识点2　直线与平面平行的判定定理
文字语言:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
图形语言:
符号语言:a α,b α,a∥b a∥α.
[思考2] 直线与平面平行的判定定理中的“平面外一条直线”中的“平面外”能去掉吗
提示:不能.因为与平面内的一条直线平行的直线既可以与平面平行,也可以在平面内.
(1)应用线面平行的判定定理的注意点:在推证线面平行时,一定要强调直线a不在平面内,直线b在平面内,且a∥b,否则会出现错误.
(2)应用线面平行的性质定理的注意点:一条直线平行于一个平面,它可以与平面内的无数条直线平行,但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行,也可能异面.
(3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别:如果结论中有a∥α,要用判定定理,则在平面α内找(或作)与a平行的直线;如果条件中有a∥α,要用性质定理,则找(或作)过直线a且与平面α相交的平面.
探究点一　直线与平面平行的性质
[例1] 如图所示,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体,求证:截面MNPQ是平行四边形.
证明:因为AB∥平面MNPQ,
平面ABC∩平面MNPQ=MN,
且AB 平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,
知AB∥MN.
同理AB∥PQ,
所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤.
(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
[针对训练] 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,求线段EF的长度.
解:因为EF∥平面AB1C,又平面ADC∩平面AB1C=AC,EF 平面ADC,
所以EF∥AC,
因为E是AD的中点,
所以EF=AC=×2=.
探究点二　直线与平面平行的判定
[例2] 如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,D为AC的中点,求证:AB1∥平面BC1D.
证明:如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.
因为四边形BCC1B1是平行四边形,所以O为B1C的中点.
因为D为AC的中点,所以OD为△AB1C的中位线,所以OD∥AB1.
因为OD 平面BC1D,AB1 平面BC1D,所以AB1∥平面BC1D.
证明直线与平面平行主要是利用直线与平面平行的判定定理,即结合已知条件证明直线与平面内的一条直线平行.一般地,在题目中出现中点时,常见的证明线线平行的两种途径为:
(1)中位线→线线平行;
(2)平行四边形→线线平行.
[针对训练] 如图,四边形ABCD是平行四边形,P是平面ABCD外一点,M,N分别是AB,PC的中点.求证:MN∥平面PAD.
证明:如图,取PD的中点G,连接GA,GN.
因为G,N分别是△PDC的边PD,PC的中点,
所以GN∥DC,GN=DC.
因为M为平行四边形ABCD的边AB的中点,
所以AM=DC,AM∥DC,
所以AM∥GN,AM=GN,
所以四边形AMNG为平行四边形,
所以MN∥AG.
又因为MN 平面PAD,AG 平面PAD,
所以MN∥平面PAD.
探究点三　直线与平面平行的综合应用
[例3] 如图所示的一块正四棱锥PABCD木料,侧棱长和底面边长均为13,M为侧棱PA上的点.
(1)若PM∶MA=1∶1,要经过点M和棱BC将木料锯开,在木料表面应该怎样画线 (请写出必要作图说明)
(2)若PM∶MA=5∶8,在线段BD上是否存在一点N,使直线MN∥平面PBC 如果不存在,请说明理由;如果存在,求出BN∶ND的值以及线段MN的长.
解:(1)因为PM∶MA=1∶1,所以M为PA的中点.
作MG∥AD,交PD于G,则G为PD的中点,连接MB,GC,
由题意知四边形ABCD为平行四边形,则BC∥AD,
故GM∥BC,即B,M,G,C共面,
故要经过点M和棱BC将木料锯开,在木料表面沿线段BM,MG,GC画线即可.
(2)存在,BN∶ND=5∶8.说明如下:
如图,假设在线段BD上存在一点N,使直线MN∥平面PBC,连接AN并延长交BC于E,连接PE,
因为MN∥平面PBC,MN 平面PAE,
平面PAE∩平面PBC=PE,
故MN∥PE,
则==.
由题意知四边形ABCD为正方形,故BC∥AD,
则==,即假设成立,
故在线段BD上存在一点N,使直线MN∥平面PBC,此时=.
由于BC∥AD,AD=13,故==,
故BE=.
在△PBE中,∠PBE=60°,
则PE2=PB2+BE2-2PB·BEcos 60°=132+()2-2×13××=,
即PE=,而MN∥PE,PM∶MA=5∶8,
故==,则MN=×=7.
直线与平面平行的判定定理与性质定理的应用方法
直线与平面平行的判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链,即
线线平行线面平行线线平行
[针对训练] 如图,在几何体ABCDFE中,四边形ABCD为直角梯形,DC=2AB,GC=2FG,平面ABFE∩平面CDEF=EF.
(1)求证:AF∥平面BDG.
(2)求证:AB∥EF.
证明:(1)如图,连接AC交BD于O,连接OG.
因为四边形ABCD为直角梯形,DC=2AB,所以==,
又因为GC=2FG,==,所以AF∥OG,
因为OG 平面BDG,AF 平面BDG,
所以AF∥平面BDG.
(2)因为四边形ABCD为直角梯形,
所以AB∥CD.
因为CD 平面CDEF,AB 平面CDEF,
所以AB∥平面CDEF.
因为AB 平面ABFE,
平面CDEF∩平面ABFE=EF.
所以AB∥EF.
学海拾贝
直线与平面平行中的线段计算问题
[典例探究] 已知BC∥平面α,D在线段BC上,A α,直线AB,AC,AD分别交平面α于点E,G,F,且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的长.
解:(1)当BC位于点A与平面α之间时,
如图(a),AB∩AC=A,
由AB,AC确定平面β,
所以BC β,
α∩β=EG.
因为BC∥平面α,
所以BC∥EG.
在△AFG中,=,
在△AEG中,=,
所以=,即=,
所以EG=.
(2)当点A位于BC与平面α之间时,如图(b),
因为BC∥平面α,
同理有BC∥EG,
=,
即=,
所以EG=.
(3)当点A和BC位于平面α两侧时,如图(c).
同理有BC∥EG,
=,
即=,
所以EG=.
综上,EG的长为或或.
求解直线与平面平行相关的线段长度问题,主要是利用直线与平面平行的性质,转化为直线与直线的平行关系,结合平行线等分线段成比例求解,求解时要注意分类讨论思想的应用.
[应用探究] 如图所示,直线a∥平面α,A α,并且a和A位于平面α两侧,点B∈a,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F.若BC=4,CF=5,AF=3,则EF=　　　　.
解析:由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面β,所以α∩β=EF.
因为a∥平面α,a 平面β,
所以EF∥a,
所以=.
所以EF===.
答案:
当堂检测
1.已知a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a β,α∩β=b,则a与b的位置关系是(　A　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
解析:因为a∥α,a β,α∩β=b,所以a∥b.故选A.
2.已知直线l,m和平面α.若m α,l α,则“l∥m”是“l∥α”的(　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:①若l∥m,因为l α,直线m α,所以l∥α成立,所以充分性成立;
②若直线l∥α,因为m α,则l∥m或者l,m是异面直线,所以必要性不成立.
所以“l∥m”是“l∥α”的充分不必要条件.故选A.
3.在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,Q为AD的中点,点M在线段PC上,PM=tPC,PA∥平面MQB,则实数t的值为(　C　)
A. B. C. D.
解析:如图,连接AC交BQ于点N,连接MN,易证PA∥MN,得===,
所以PM=MC,PM=PC.故选C.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
直线与平面平行的判定 定理及性质定理 1,2,3,4,6, 7,8,9,10
直线与平面平行的综合应用 5,11,12,13
基础巩固
1.若直线l与平面α内的一条直线平行,则l和α的位置关系是(　C　)
A.l α B.l∥α
C.l α或l∥α D.l和α相交
解析:由题意,直线l与平面α内的一条直线平行,
若l α,由线面平行的判定定理,得l∥α.
也有可能l α.故选C.
2.如图,已知平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面
α=c,若a∥b,则c与a,b的位置关系是(　D　)
A.c与a,b都异面
B.c与a,b都相交
C.c至少与a,b中的一条相交
D.c与a,b都平行
解析:因为a∥b,a 平面γ,b 平面γ,
所以a∥平面γ.因为a 平面α,
平面γ∩平面α=c,
所以a∥c,所以b∥c.所以a∥b∥c.故选D.
3.下列选项中,一定能得出直线m与平面α平行的是(　C　)
A.直线m在平面α外
B.直线m与平面α内的两条直线平行
C.平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D.直线m与平面α内所有直线平行
解析:选项A不符合题意,因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交;选项B不符合题意,因为缺少条件m α;选项C中,由直线与平面平行的判定定理,知直线m与平面α平行;选项D本身说法错误,直线m不可能与平面α内任意一条直线都平行.故选C.
4.(多选题)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,给出以下结论,其中正确的是(　ABC　)
A.OM∥PD B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
解析:由题意知,OM是△BPD的中位线,所以 OM∥PD,故A正确;PD 平面PCD,OM 平面PCD,所以OM∥平面PCD,故B正确;同理,可得OM∥平面PDA,故C正确;OM与平面PBA相交于点M,故D不正确.故选ABC.
5.(多选题)如图,在四面体 ABCD中,截面PQMN是正方形,则(　AB　)
A.AC⊥BD
B.AC∥平面PQMN
C.AC=BD
D.M,N分别是线段DC,AD的中点
解析:因为四边形PQMN为正方形,所以PQ∥MN.又PQ 平面ADC,MN 平面ADC,所以PQ∥平面ADC.又PQ 平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,所以PQ∥AC,同理QM∥BD.因为PQ⊥QM,所以AC⊥BD,故A正确.由PQ∥AC,PQ 平面PQMN,AC 平面PQMN,可得AC∥平面PQMN,故B正确.根据条件只能判断线、面间的位置关系,不能判断长度关系.故选AB.
6.如图,在五面体FEABCD中,四边形CDEF为矩形,M,N分别是BF,BC的中点,则MN与平面ADE的位置关系是　　　　.
解析:因为M,N分别是BF,BC的中点,
所以 MN∥CF.
又四边形CDEF为矩形,所以CF∥DE,
所以 MN∥DE.
又MN 平面ADE,DE 平面ADE,
所以MN∥平面ADE.
答案:平行
7.如图,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状是　 .
解析:因为AB∥α,平面ABC∩平面α=EG,AB 平面ABC,
所以EG∥AB.
同理FH∥AB,EF∥CD,GH∥CD,
所以EG∥FH,EF∥GH,
所以四边形EFHG是平行四边形.
答案:平行四边形
8.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是PA上一点,当点E满足条件　　　　　　　　　　时,PC∥平面EBD.
解析:如图,设过BD的平面与直线PA的交点为点M,连接AC,设AC∩BD=O,连接OM,则O为AC的中点.若PC∥平面BMD,又PC 平面PAC,平面PAC∩平面BMD=OM,故PC∥OM,故M为PA的中点,故点M即为点E,E为PA的中点(或EA=EP).
答案:E为PA的中点(或EA=EP)
能力提升
9.(多选题)如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,满足直线MN∥平面ABC的有(　ABC　)
　
A B
　
C D
解析:对于A,如图(1)所示,连接EF,易得AC∥EF,MN∥EF,则MN∥AC.又MN 平面ABC,AC 平面ABC,
则MN∥平面ABC,故A满足.
对于B,如图(2)所示,E为所在棱的中点,连接EA,EC,EB,易得AE=BC,AE∥BC,
则四边形ABCE为平行四边形,A,B,C,E四点共面,易知MN∥BE.
又MN 平面ABC,BE 平面ABC,则MN∥平面ABC,故B满足.
对于C,如图(3)所示,点D为所在棱的中点,连接DA,DC,DB,
易得四边形ABCD为平行四边形,A,B,C,D四点共面,且MN∥BD.
又MN 平面ABC,BD 平面ABC,则MN∥平面ABC,故C满足.
对于D,如图(4)所示,连接AM,BN,由条件及正方体的性质可知四边形AMNB是等腰梯形,所以AB与MN所在的直线相交,故不能推出MN与平面ABC平行,故D不满足.故选ABC.
10.如图,已知三棱柱ABCA1B1C1中,E是BC上的动点,D是AA1上的动点,且=m,AE∥平面DB1C.
(1)若E是BC的中点,则m的值为　　　　　　.
(2)若E是BC上靠近点B的三等分点,则m的值为　　　　　　.
解析:(1)如图,过点E作EG∥BB1交B1C于点G,连接DG.
因为AE∥平面DB1C,AE 平面ADGE,平面ADGE∩平面DB1C=DG,
所以AE∥DG.
又AD∥BB1,EG∥BB1,
所以AD∥EG,
则四边形DAEG是平行四边形.
故DA=GE.
因为E是BC的中点,所以G是CB1的中点.
故AD=DA1,即=1,即m=1.
(2)由(1)知,当E为BC上靠近点B的三等分点时,
因为EG∥BB1,
所以==.
因为四边形DAEG是平行四边形,
所以===,
故=2,即m=2.
答案:(1)1　(2)2
11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,设M,N分别是线段DA1,B1D1上的动点(不与端点重合),若MN∥平面CC1D1D,则线段MN长的最小值为　　　　.
解析:如图,过点M,N分别作MG∥A1D1交DD1于点G,NP∥A1D1交C1D1于点P,
连接PG,若MN∥平面CC1D1D,则四边形MGPN为平行四边形,故NP=MG.
设D1G=m∈(0,1),则PC1=m,故PD1=1-m,
由勾股定理得MN=PG==,
其中m2+(1-m)2=2m2-2m+1=2(m-)2+≥,
当且仅当m=时,等号成立,故MN≥.
答案:
12.如图,P为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AC,BD为圆锥底面的两条直径,M为母线PD上一点,连接MA,MO,MC.
(1)若M为PD的中点,证明:PB∥平面MAC.
(2)若PB∥平面MAC,证明:M为PD的中点.
证明:(1)因为M为PD的中点,O为BD的中点,所以MO∥PB.
又MO 平面MAC,PB 平面MAC,
所以PB∥平面MAC.
(2)若PB∥平面MAC,由PB 平面PBD,平面PBD∩平面MAC=MO,
可得PB∥MO.
又O为BD的中点,
所以DM=MP,
则M为PD的中点.
应用创新
13.如图,在三棱锥PABC中,点D,E分别为棱PB,BC的中点.若点F在线段AC上,且满足AD∥平面PEF,则的值为(　C　)
A.1 B.2
C. D.
解析:连接CD交PE于点G,连接FG,如图所示.
因为AD∥平面PEF,AD 平面ADC,平面ADC∩平面PEF=FG,
所以AD∥FG.
因为点D,E分别为棱PB,BC的中点,
所以点G是△PBC的重心,
所以==.
故选C.

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