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章末总结
网络建构
知识辨析
判断对错(正确的打“√”,错误的打“×”).
1.零向量没有方向.(　　)
2.求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则.(　　)
3.若b是a的相反向量,则a与b一定不相等.(　　)
4.-=.(　　)
5.若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.(　　)
6.两个向量的数量积满足交换律、消去律.(　　)
7.0·a=0(　　)
8.相等的向量的坐标都相同.(　　)
9.在△ABC中,三边一角随便给出三个,可求剩余一个.(　　)
10.任意给出三角形的三个元素,都能求出其余元素.(　　)
题型一　平面向量的线性运算
[例1] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则等于(　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)如图所示,已知六边形ABCDEF是一正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,则等于(　　)
A.a+b B.a-b
C.-a-b D.b-a
平面向量的线性运算及运算律
(1)向量线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面.
(2)平面向量的加法满足交换律、结合律,向量加法是由三角形法则定义的,要点是“首尾相连”,即+=,而向量加法的平行四边形法则:将两向量移至共起点,分别为邻边作平行四边形,则同起点对角线的向量即为向量的和.
(3)向量减法的实质是向量加法的逆运算,是相反向量的运用.
几何意义有两个:一是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量;二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量,注意两向量要移至共起点.
(4)数乘运算即通过实数与向量的乘积,实现同向或反向上向量长度的伸缩变换.
题型二　平面向量的数量积
[例2] 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a,b的夹角为60°.
(1)求a+b的模;
(2)若λa-6b与λa+b互相垂直,求λ的值.
(1)灵活运用数量积的定义(直接应用求数量积)及其变形(求两向量夹角的余弦)、数量积的运算律、数量积性质.
(2)两向量垂直的充要条件是其数量积为零.
(3)向量a在向量b方向上的投影数量是a乘a与b夹角的余弦值,而向量a在向量b方向上的投影向量是其投影数量乘向量b方向上的单位向量.
题型三　向量的坐标运算
[例3] 已知直角梯形ABCD的三个顶点分别为A(-1,0),B(1,2),C(4,1),且AB∥DC.
(1)求顶点D的坐标;
(2)若E为线段BC上靠近点C的三等分点,F为线段AB的中点,求|3-2|.
(1)向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,引入向量的坐标表示后,向量的运算完全化为代数运算,实现数与形的统一.
(2)求解向量的坐标运算问题,要熟悉向量的坐标与运算法则.
题型四　解三角形
[例4] (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
(1)解三角形的一般方法.
①已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.
②已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.
③已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.
④已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.
(2)一般地,正弦、余弦定理与三角形的面积有关的综合问题,常利用面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A求解.
题型五　平面向量与解三角形的综合应用
[例5] 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C,且·=4,求△ABC的面积S.
平面向量与解三角形的综合应用问题求解的主要方法是将所给向量关系式转化为与向量的模、夹角有关的关系式,然后利用向量的模、夹角与三角形的边、内角的关系,结合正弦、余弦定理求解.
第二章　检测试题
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量a=(1,2),b=(x,-4),且a∥b,则实数x等于(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=1,a与b的夹角为,则a-b在b上的投影向量为(　　)
A.b B.b
C.b D.b
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若a=2b,
则的值为(　　)
A.- B. C.1 D.
4.已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos等于(　　)
A. B. C. D.
5.正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·等于(　　)
A. B.3 C.2 D.5
6.《九章算术》是中国古代一部数学专著,其中记载的“邪田”意为直角梯形,上、下底称为“畔”,高称为“正广”,非高腰边称为“邪”.如图所示,邪长为4,东畔长为2,在A处测得C,D两点处的俯角分别为49°和19°,则正广长约为(注:sin 41°≈0.66)(　)
A.4 B.3.3
C.6.6 D.7
7.在平行四边形ABCD中,=,=2,连接CE,DF交于点M,若=λ+μ,则实数λ与μ的乘积为(　　)
A. B.
C. D.
8.若O为正方形ABCD所在平面内一点,且=x+y,x,y∈R,则下列说法不正确的是(　　)
A.可以表示平面内任意一个向量
B.若x+y=1,则O在直线BD上
C.若x=y=,=,则=-+
D.若+2+3=0,则S△ABC=6S△BOC
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下列结论正确的是(　)
A.+=
B.=(+)
C.++=0
D.++=0
10.已知a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),则(　　)
A.(a+2b)⊥c B.(a+2b)∥c
C.|a+c|=2 D.|a+c|=2|b|
11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,b=6,则(　　)
A.△ABC为钝角三角形
B.C=
C.△ABC的周长为10+2
D.△ABC的外接圆的面积为
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上.
12.与向量a=(12,5)反向的单位向量是　 .
13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=30°,b=12,若△ABC有两解,写出a的一个可能的值为　　　　.
14.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,G是线段AD上一点,且==2,过点G作直线与AB,AC分别交于点E,F,则+=　　　　.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=7,b=8,从下面两个条件中任选一个作为已知条件,判断△ABC是不是钝角三角形,并说明
理由.
①cos C=;②cos B=.
注:若选择条件①,条件②分别解答,则按条件①解答计分.
16.(本小题满分15分)
已知向量a=(2,-1),b=(1,2),c=(3,-4).
(1)若|e|=1,且e∥a,求e的坐标;
(2)若c=ma+nb,求m+n;
(3)若(ka+b)⊥c,求实数k的值.
17.(本小题满分15分)
一艘海轮从A出发,沿北偏东70°的方向航行(-1)km后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东10°的方向航行2 km到达海岛C.
(1)求AC的长;
(2)如果下次航行直接从海岛A出发到达海岛C,应沿什么方向航行
18.(本小题满分17分)
如图,设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点.
(1)试用向量证明PQ∥AB;
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB的值.
19.(本小题满分17分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且向量m=(c,a-b),
n=(sin B-sin C,sin A+sin B),m⊥n.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,△ABC的周长为l,面积为S,求的最大值.章末总结
网络建构
知识辨析
判断对错(正确的打“√”,错误的打“×”).
1.零向量没有方向.(　×　)
2.求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则.(　×　)
3.若b是a的相反向量,则a与b一定不相等.(　×　)
4.-=.(　×　)
5.若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.(　×　)
6.两个向量的数量积满足交换律、消去律.(　×　)
7.0·a=0(　×　)
8.相等的向量的坐标都相同.(　√　)
9.在△ABC中,三边一角随便给出三个,可求剩余一个.(　√　)
10.任意给出三角形的三个元素,都能求出其余元素.(　×　)
题型一　平面向量的线性运算
[例1] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则等于(　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)如图所示,已知六边形ABCDEF是一正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,则等于(　　)
A.a+b B.a-b
C.-a-b D.b-a
解析:(1)因为BD=2DA,所以=3,
所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B.
(2)==+=-+=a-b.故选B.
平面向量的线性运算及运算律
(1)向量线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面.
(2)平面向量的加法满足交换律、结合律,向量加法是由三角形法则定义的,要点是“首尾相连”,即+=,而向量加法的平行四边形法则:将两向量移至共起点,分别为邻边作平行四边形,则同起点对角线的向量即为向量的和.
(3)向量减法的实质是向量加法的逆运算,是相反向量的运用.
几何意义有两个:一是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量;二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量,注意两向量要移至共起点.
(4)数乘运算即通过实数与向量的乘积,实现同向或反向上向量长度的伸缩变换.
题型二　平面向量的数量积
[例2] 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a,b的夹角为60°.
(1)求a+b的模;
(2)若λa-6b与λa+b互相垂直,求λ的值.
解:(1)因为向量a,b满足|a|=1,|b|=2,
且a,b的夹角为60°,
所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×2×cos 60°+4=7,解得|a+b|=.
(2)因为λa-6b与λa+b互相垂直,
所以(λa-6b)·(λa+b)=λ2a2-5λa·b-6b2=λ2-5λ·1×2×cos 60°-24=0,
即λ2-5λ-24=0,
解得λ=8或λ=-3.
(1)灵活运用数量积的定义(直接应用求数量积)及其变形(求两向量夹角的余弦)、数量积的运算律、数量积性质.
(2)两向量垂直的充要条件是其数量积为零.
(3)向量a在向量b方向上的投影数量是a乘a与b夹角的余弦值,而向量a在向量b方向上的投影向量是其投影数量乘向量b方向上的单位向量.
题型三　向量的坐标运算
[例3] 已知直角梯形ABCD的三个顶点分别为A(-1,0),B(1,2),C(4,1),且AB∥DC.
(1)求顶点D的坐标;
(2)若E为线段BC上靠近点C的三等分点,F为线段AB的中点,求|3-2|.
解:(1)设D(x,y),因为A(-1,0),
B(1,2),C(4,1),
则=(2,2),=(3,-1),
=(4-x,1-y),=(x+1,y).
如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,
且·=(-2,-2)·(3,-1)=-4<0,
所以A,D为直角,
则即
解得x=1,y=-2,
所以顶点D的坐标为(1,-2).
(2)因为E为线段BC上靠近点C的三等分点,
则=3,设E(a,b),
则(3,-1)=3(4-a,1-b),
所以a=3,b=,
所以E(3,).
又因为F为线段AB的中点,则F(0,1),
所以=(2,),=(-1,3),
则3-2=3(2,)-2(-1,3)=(8,4),
所以|3-2|==4.
(1)向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,引入向量的坐标表示后,向量的运算完全化为代数运算,实现数与形的统一.
(2)求解向量的坐标运算问题,要熟悉向量的坐标与运算法则.
题型四　解三角形
[例4] (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
解:(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C,对比已知a2+b2-c2=ab,
可得cos C===.
因为C∈(0,π),所以sin C>0,
从而sin C===.
又因为sin C=cos B,即cos B=,
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)由(1)可得B=,cos C=,C∈(0,π),从而C=,A=π--=,
而sin A=sin=sin(+)=×+×=,
由正弦定理有==,
从而a=·c=c,b=·c=c.
由三角形面积公式可知,△ABC的面积可表示为
S△ABC=absin C=·c·c·=c2,
由已知△ABC的面积为3+,
可得c2=3+,
所以c=2(负值舍去).
(1)解三角形的一般方法.
①已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.
②已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.
③已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.
④已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.
(2)一般地,正弦、余弦定理与三角形的面积有关的综合问题,常利用面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A求解.
题型五　平面向量与解三角形的综合应用
[例5] 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C,且·=4,求△ABC的面积S.
解:由已知得b2+c2=a2+bc,
所以bc=b2+c2-a2=2bccos A,
所以cos A=,sin A=.
由·=4,得bccos A=4,所以bc=8.
所以S=bcsin A=2.
平面向量与解三角形的综合应用问题求解的主要方法是将所给向量关系式转化为与向量的模、夹角有关的关系式,然后利用向量的模、夹角与三角形的边、内角的关系,结合正弦、余弦定理求解.
第二章　检测试题
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量a=(1,2),b=(x,-4),且a∥b,则实数x等于(　D　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
解析:因为向量a=(1,2),b=(x,-4),且a∥b,所以1×(-4)-2x=0,解得x=-2.故选D.
2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=1,a与b的夹角为,则a-b在b上的投影向量为(　D　)
A.b B.b
C.b D.b
解析:因为|a|=1,|b|=1,a与b的夹角为,
所以(a-b)·b=a·b-b2=|a||b|cos -|b|2=-1,
所以a-b在b上的投影向量为·=(-1)b=b.故选D.
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若a=2b,
则的值为(　A　)
A.- B. C.1 D.
解析:由正弦定理得===-.故选A.
4.已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos等于(　B　)
A. B. C. D.
解析:由题意知,a+b=(5,3),a-b=(1,-1),
所以cos====.故选B.
5.正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·等于(　B　)
A. B.3 C.2 D.5
解析:法一　由题意知,=+=+,=+=-+,
所以·=(+)·(-+)=-,
由题意知=||=2,
所以·=4-1=3.
故选B.
法二　以点A为坐标原点,,的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则E(1,0),C(2,2),D(0,2),
则=(1,2),=(-1,2),·=-1+4=3.
故选B.
6.《九章算术》是中国古代一部数学专著,其中记载的“邪田”意为直角梯形,上、下底称为“畔”,高称为“正广”,非高腰边称为“邪”.如图所示,邪长为4,东畔长为2,在A处测得C,D两点处的俯角分别为49°和19°,则正广长约为(注:sin 41°≈0.66)(　C　)
A.4 B.3.3
C.6.6 D.7
解析:由题意可得,∠DAC=49°-19°=30°,在△ACD中,由余弦定理可得DC2=AC2+AD2-2AC·AD·cos 30°,代入数据得28=AC2+48-12AC,
即(AC-2)(AC-10)=0,因为∠D>∠DCA,所以AC>AD,故AC=10,
故BC=AC·cos 49°=10·sin 41°≈6.6.故选C.
7.在平行四边形ABCD中,=,=2,连接CE,DF交于点M,若=λ+μ,则实数λ与μ的乘积为(　B　)
A. B.
C. D.
解析:由已知条件得E为AB的中点,F为BC的三等分点(靠近点B),如图,连接AF,AC.
=λ+μ=λ+μ
=λ+μ(-)=(λ-μ)+μ
=2(λ-μ)+μ.
因为E,M,C三点共线,所以2(λ-μ)+μ=1,①
同理=λ+μ=λ(+)+μ
=λ(-)+μ=λ(-)+μ
=λ+(μ-).
因为F,M,D三点共线,所以λ+μ-=1,②
将①②联立解得λ=,μ=,即μ·λ=.故选B.
8.若O为正方形ABCD所在平面内一点,且=x+y,x,y∈R,则下列说法不正确的是(　C　)
A.可以表示平面内任意一个向量
B.若x+y=1,则O在直线BD上
C.若x=y=,=,则=-+
D.若+2+3=0,则S△ABC=6S△BOC
解析:由题意AB⊥AD,又=x+y,
x,y∈R,以{,}为基的坐标系中,
根据平面向量基本定理易知可以表示平面内任意一个向量,A正确;由向量共线的推论知x+y=1,则O在直线BD上,B正确;
由题意知=(+),
则=+=(+),
所以=-,C错误;
由+2+3=0,
则3(+)=-=,
若E为BC的中点,则6=,
即∥且||=||,如图所示,
所以S△ABC=6S△BOC,D正确.
故选C.
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下列结论正确的是(　CD　)
A.+=
B.=(+)
C.++=0
D.++=0
解析:因为+=≠,故A错误;
由(+)=≠,故B错误;
因为++=(++)=0, 故C正确;
因为++=-+
=-(+++++)=0, 故D正确.故选CD.
10.已知a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),则(　BD　)
A.(a+2b)⊥c B.(a+2b)∥c
C.|a+c|=2 D.|a+c|=2|b|
解析:a+2b=(-3,5),(a+2b)·c=-3×3+5×(-5)≠0,a+2b与c不垂直,A不正确;a+2b=(-3,5)=-c,有(a+2b)∥c,B正确;a+c=(4,-2),有|a+c|==2,C不正确;|b|==,由选项C的分析知|a+c|=2,|a+c|=2|b|=2,D正确.故选BD.
11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,b=6,则(　BC　)
A.△ABC为钝角三角形
B.C=
C.△ABC的周长为10+2
D.△ABC的外接圆的面积为
解析:因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,
所以a∶b∶c=2∶3∶.又b=6,
所以a=4,c=2.
因为a又a2+c2=44>b2=36,
所以B为锐角,
故△ABC为锐角三角形,故A错误.
由cos C===,
C∈(0,π),可得C=,故B正确.
△ABC的周长为a+b+c=10+2,故C正确.
由正弦定理可得△ABC的外接圆的直径为
2R===,则R=,
可得△ABC的外接圆的面积为πR2=.
故D错误.故选BC.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上.
12.与向量a=(12,5)反向的单位向量是　 .
解析:与a=(12,5)反向的单位向量是-=(-,-).
答案:(-,-)
13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=30°,b=12,若△ABC有两解,写出a的一个可能的值为　　　　.
解析:由满足条件的△ABC有两个,得bsin A(注:满足a∈(6,12)均可)
答案:7(答案不唯一)
14.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,G是线段AD上一点,且==2,过点G作直线与AB,AC分别交于点E,F,则+=　　　　.
解析:因为E,G,F三点共线,
所以存在λ∈R,
使得=(1-λ)+λ.
由题知=2,
则-=2(-),
所以=+.
设=m,=n,则=m,=n,
因为=2,
所以==+,
所以=(1-λ)+λ=m(1-λ)+nλ,
所以即
两式相加得+=1,
所以+=+=.
答案:
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=7,b=8,从下面两个条件中任选一个作为已知条件,判断△ABC是不是钝角三角形,并说明
理由.
①cos C=;②cos B=.
注:若选择条件①,条件②分别解答,则按条件①解答计分.
解:若选①,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=49+64-2×7×8×=9,
所以c=3,
所以cos B==<0,
故△ABC为钝角三角形.
若选②,由余弦定理得cos B===>0,
所以c=-3(舍去)或c=5,又b>a>c,
故△ABC为锐角三角形,不是钝角三角形.
16.(本小题满分15分)
已知向量a=(2,-1),b=(1,2),c=(3,-4).
(1)若|e|=1,且e∥a,求e的坐标;
(2)若c=ma+nb,求m+n;
(3)若(ka+b)⊥c,求实数k的值.
解:(1)由e∥a,a=(2,-1),
设e=ta=(2t,-t)(t∈R),又|e|=1,
因此=|t|=1,
解得t=±,
所以e=(-,)或e=(,-).
(2)因为a=(2,-1),b=(1,2),c=(3,-4),
则c=m(2,-1)+n(1,2)=(2m+n,-m+2n),于是
解得所以m+n=1.
(3)依题意,ka+b=k(2,-1)+(1,2)=(2k+1,-k+2).
又(ka+b)⊥c,c=(3,-4),
因此(2k+1)×3+(-k+2)×(-4)=0,
解得k=,所以k=.
17.(本小题满分15分)
一艘海轮从A出发,沿北偏东70°的方向航行(-1)km后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东10°的方向航行2 km到达海岛C.
(1)求AC的长;
(2)如果下次航行直接从海岛A出发到达海岛C,应沿什么方向航行
解:(1)由题意知在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,
AB=(-1) km,BC=2 km,根据余弦定理,得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=(-1)2+4+2(-1)=6,
所以AC= km.
(2)根据正弦定理可得=,
即sin∠CAB====,
又BC所以∠CAB=45°.
所以应从海岛A沿北偏东25°的方向航行 km即可到达海岛C.
18.(本小题满分17分)
如图,设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点.
(1)试用向量证明PQ∥AB;
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB的值.
(1)证明:因为Q为BD的中点,
所以+=2.
又P为AC的中点,
所以=2,
所以2=2-2=(+)-
=++=+.
又向量与共线,
设向量=λ,
则2=(1+λ),
所以=.①
又在梯形ABCD中,||≠||,
所以λ≠-1,
所以∥,即PQ∥AB.
(2)解:因为向量与反向,
且||=3||,
所以=-3,
将λ=-代入①式,
得==,
所以PQ∶AB=1∶3.
19.(本小题满分17分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且向量m=(c,a-b),
n=(sin B-sin C,sin A+sin B),m⊥n.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,△ABC的周长为l,面积为S,求的最大值.
解:(1)因为m⊥n,故m·n=(c,a-b)·(sin B-sin C,sin A+sin B)=0,
即c(sin B-sin C)+(a-b)(sin A+sin B)=0,由正弦定理得,c(b-c)+(a-b)(a+b)=0,
整理得到a2=b2+c2-bc,
则cos A==.
又A∈(0,π),故A=.
(2)由(1)知a2=b2+c2-bc,
则4=b2+c2-bc,
所以4=(b+c)2-3bc,
即bc=[(b+c)2-4].
因为S=bcsin A=bc,l=b+c+2,
所以===(b+c-2).又bc≤,
所以4=(b+c)2-3bc≥,
所以b+c≤4,当且仅当b=c=2时,等号成立,
所以=(b+c-2)≤×(4-2)=,
即的最大值为.

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