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章末总结
网络建构
知识辨析
判断对错(正确的打“√”,错误的打“×”).
1.对任意角α,=tan 2α都成立.(　×　)
2.sin α= .(　×　)
3.存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立.(　√　)
4.对任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立.(　×　)
5.二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　×　)
6.tan α=.(　×　)
7.在公式asin x+bcos x=sin(x+)(a,b不同时为0)中,角所在象限由a,b的符号确定.(　√　)
8.对任意三角形ABC,tan A+tan B+tan C=tan A·tan Btan C均成立.(　×　)
题型一　给值(角)求值问题
[例1] (1)设sin 20°=m,cos 20°=n,则-等于(　　)
A. B.- C. D.-
(2)已知=7,则cos(α-)等于(　　)
A.- B. C. D.
(3)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
解析:(1)因为sin 20°=m,cos 20°=n,
所以-
=-
=-=-
=-==.
故选A.
(2)因为cos(2α+)=1-2sin2(α+),
所以==7,
化简得[4sin(α+)-1][sin(α+)+2]=0,
因为sin(α+)∈[-1,1],
所以sin(α+)=,
所以cos(α-)=cos[(α+)-]=sin(α+)=.故选B.
(3)因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin α·sin β=m,
而tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,
故cos αcos β-2cos αcos β=m
即cos αcos β=-m,
从而sin αsin β=-2m,
故cos(α-β)=-3m.
故选A.
“给角求值”“给值求值”问题求解的关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系,借助角之间的联系寻找转化方法.
题型二　三角函数的给值求角
[例2] 若sin α=,sin β=,且α,β均为锐角,求α+β的值.
解:因为α为锐角,所以cos α==.
又β为锐角,所以cos β==,
且cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
由于0°<α<90°,0°<β<90°,
所以0°<α+β<180°,
故α+β=45°.
本题中由于已知角α,β的正弦值,且α,β均为锐角,因此在求α+β时,应选择角α+β的余弦而不能选择正弦,这是因为若求α+β的正弦,则得到sin(α+β)=,0°<α+β<180°,而得到α+β=45°或135°是正确的,但题设中sin α=<,sin β=<,使得0°<α<30°,0°<β<30°,从而0°<α+β<60°,故上述结论是错误的.因此在给值求角的问题中,角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除.要避免上述情况的发生,解题时应合理选择三角函数形式进行求解,根据计算结果,估算出角的较精确的取值范围,并不断缩小角的范围.
题型三　三角函数的化简
[例3] 化简:.
解:法一　原式=
=
===1.
法二　原式=
=
=
=
==1.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,一般化异角为同角通过看角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式.
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,一般化异名为同名从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.
题型四　三角恒等变换与三角函数的
综合问题
[例4] 已知函数f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)-2cos2(ωx+)+1
(ω>0),且满足　　　　.
①f(x)的图象与直线y=-2的两个相邻交点之间的距离等于π;②f(x)的两个相邻对称中心之间的距离为.从这两个条件中选择一个,补充在上面问题的横线中并作答.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同的解,求实数m的取值范围.
解:(1)f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)-2cos2(ωx+)+1
=sin(2ωx-)-cos(2ωx+)=sin(2ωx-)-cos(2ωx-+)
=sin(2ωx-)+sin(2ωx-)=2sin(2ωx-).
若选择条件①:f(x)的图象与直线y=-2的两个相邻交点之间的距离等于π,函数f(x)的最小值为-2,则函数f(x)的最小正周期为T=π,
即=π,所以ω=1.所以f(x)=2sin(2x-).
若选择条件②:f(x)的两个相邻对称中心之间的距离为,则函数f(x)的最小正周期为T=π,即=π,所以ω=1,所以f(x)=2sin(2x-).
(2)关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同的解,
即sin(2x-)=在区间[0,m]上有两个不同的解,
当x∈[0,m]时,2x-∈,所以≤2m-<,
解得≤m<,即实数m的取值范围为[,).
三角恒等变换与三角函数的综合应用问题,常以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简为y=Asin(ωx+)+k或y=Acos(ωx+)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
题型五　三角函数与向量的综合应用
[例5] 已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解:(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,
所以-cos x=3sin x.
若cos x=0,则sin x=0,
与sin2x+cos2x=1矛盾,
故cos x≠0.
于是tan x=-.
又x∈[0,π],所以x=.
(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos(x+).
因为x∈[0,π],所以x+∈[,],
从而-1≤cos(x+)≤.
于是,当x+=,即x=0时,
f(x)取到最大值3;
当x+=π,即x=时,
f(x)取到最小值-2.
求解向量与三角恒等变换的综合问题,应根据题目特征,将向量式化为三角式,再根据三角函数式的特征进行恒等变换.
题型六　三角恒等变换与解三角形的综合
问题
[例6] 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2c,cos A=-.
(1)求c的值;
(2)求sin B的值;
(3)求sin(2A-B)的值.
解:(1)由a2=b2+c2-2bccos A,得6=b2+c2+bc,而b=2c,代入得6=6c2,解得c=1.
(2)由(1)可求出b=2,而0所以sin A==,又=,
所以sin B===.
(3)因为cos A=-,sin A=,
所以sin 2A=2sin Acos A=2×(-)×=-,
cos 2A=2cos2A-1=2×-1=-.
因为cos A<0,所以而sin B=,所以cos B==,
故sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=(-)×+×=.
(1)三角形问题中,若已知条件含边的一次式与三角形内角的正弦、余弦的积,常利用正弦定理将边变化为角后利用两角和与差的三角函数公式求解.
(2)已知三角形的一个内角的值,求另外两个角的正弦或余弦的和差问题,常见的解法是将两个角消去一个角后,化为关于一个角的三角函数问题后求解.
第四章　检测试题
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若tan α=-,cos α>0,则sin α等于(　D　)
A. B. C.- D.-
解析:因为tan α=-<0,cos α>0,所以sin α<0,
由tan α=- =- =,解得sin2 α= sin α=-.故选D.
2.若tan α=,则tan(α-)等于(　A　)
A. B. C.- D.
解析:因为tan α=,所以tan(α-)===.故选A.
3.化简:等于(　A　)
A.2cos α B.2cos α
C.2sin α D.sin α
解析:原式==2cos α.故选A.
4.已知α∈(0,),cos(α+)=-,则cos α等于(　B　)
A.- B. C. D.±
解析:因为α∈(0,),
所以α+∈(,π),则sin(α+)>0,
所以sin(α+)==,
所以cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)·cos+sin(α+)sin=.
故选B.
5.的值为(　B　)
A. B. C. D.2
解析:=
====.故选B.
6.已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则(　C　)
A.f(x)在(-,-)上单调递减
B.f(x)在(-,)上单调递增
C.f(x)在(0,)上单调递减
D.f(x)在(,)上单调递增
解析:依题意可知f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,
对于A选项,因为x∈(-,-),所以2x∈(-π,-),
函数f(x)=cos 2x在(-,-)上单调递增,所以A选项不正确;
对于B选项,因为x∈(-,),所以2x∈(-,),
函数f(x)=cos 2x在(-,)上不单调,所以B选项不正确;
对于C选项,因为x∈(0,),所以2x∈(0,),
函数f(x)=cos 2x在(0,)上单调递减,所以C选项正确;
对于D选项,因为x∈(,),所以2x∈(,),
函数f(x)=cos 2x在(,)上不单调,所以D选项不正确.故选C.
7.已知sin α=+cos α,且α∈(0,),则的值为(　B　)
A. B.- C. D.-
解析:因为sin α=+cos α,所以sin α-cos α=,两边平方可得1-2sin αcos α=,所以2sin αcos α=,所以1+2sin αcos α=,所以(sin α+cos α)2=.因为α∈(0,),所以sin α+cos α=,所以==-(sin α+cos α)=-.故选B.
8.已知函数f(x)=cos2ωx-sin ωxcos ωx+(ω>0)在区间[0,π]有且仅有2个零点,则ω的取值范围是(　A　)
A.[,) B.[,)
C.[,) D.[,)
解析:由题意f(x)=cos2ωx-sin ωxcos ωx+
=-sin 2ωx+=cos(2ωx+)+1(ω>0),
若函数f(x)在区间[0,π]有且仅有2个零点,
即cos(2ωx+)=-1在[0,π]上有2个解,
当x=0时,2ωx+=<π,则当x=π时,解得≤ω<.故选A.
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列各式中,值为的是(　CD　)
A.2sin 22.5°cos 22.5° B.2sin215°-1
C. D.
解析:2sin 22.5°cos 22.5°=sin 45°=,不符合题意;
2sin215°-1=-(1-2sin215°)=-cos 30°=-,不符合题意;
=tan 30°=,符合题意;
====,
符合题意.故选CD.
10.已知≤α≤π,sin 2α=,则(　BC　)
A.sin α=- B.sin α-cos α=
C.cos α= D.sin α+cos α=
解析:由≤α≤π,得≤2α≤2π,
又sin 2α=>0,
所以≤2α≤π,≤α≤,
cos 2α=-=-.
cos 2α=-=1-2sin2α,得到sin α=,A错误;
cos 2α=-=2cos 2α-1,得到cos α=,C正确;
sin α-cos α=-=,B正确;
sin α+cos α=+=,D错误.故选BC.
11.已知f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(|θ|<)是偶函数,将函数f(x)图象上所有点向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则(　BD　)
A.g(x)在(-,)的值域为(-1,1)
B.y=g(x)的图象关于直线x=对称
C.g(x)在[-,)上有5个零点
D.y=g(x)的图象关于点(,0)对称
解析:f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin(2x++θ),
因为函数f(x)为偶函数,所以+θ=+kπ,k∈Z,即θ=+kπ,k∈Z.
因为|θ|<,所以θ=,
即f(x)=2sin(2x++)=2cos 2x,
所以g(x)=2cos[2(x-)]=2cos(2x-).
当x∈(-,)时,2x-∈(-,),
所以2cos(2x-)∈(-1,2],故A错误;
令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,故当k=2时,x=,故y=g(x)的图象关于直线x=对称,B正确;
当x∈[-,)时,2x-∈[-,),
因为函数y=2cos x在[-,)上有4个零点,
所以g(x)在[-,)上有4个零点,故C错误;
g()=2·cos=0,所以y=g(x)的图象关于点(,0)对称,故D正确.故选BD.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上.
12.已知tan α=3,则tan 2α=　　　　.
解析:tan 2α==-.
答案:-
13.若f(x)=2tan x-,则f()的值为　　　　.
解析:f(x)=2tan x-=2tan x+=2·=,
故f()==8.
答案:8
14.如图,扇形OPQ的半径为1,圆心角为θ,且tan θ=2,C是扇形弧上的动点,矩形ABCD内接于扇形,当tan ∠POC=　　 　　时,矩形ABCD的周长最大,最大周长为　 .
解析:设∠POC=α,0则AD=BC=sin α,OB=cos α,OA==,
所以AB=cos α-,
所以矩形ABCD的周长为
2(cos α-)+2sin α=sin α+2cos α=sin(α+),
其中cos =,sin =,tan =2.
则<<,
所以当α+=时,矩形ABCD的周长最大,
此时α=-,tan α=tan(-)===,
且矩形ABCD周长的最大值为.
答案:　
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知第二象限角α满足sin α,cos α是关于x的方程25x2-5x-12=0的两个实根.
(1)求tan α+的值.
(2)求的值.
解:(1)由于sin α,cos α是关于x的方程25x2-5x-12=0的两个实根,则α为第二象限角,
解得sin α=,cos α=-,
则tan α=-,
所以tan α+=-.
(2)===-.
16.(本小题满分15分)
设函数f(x)=sin2x-cos2x+2cos xcos(x-).
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)求函数f(x)的单调递减区间.
(3)求函数f(x)在闭区间[0,]内的最大值以及此时对应的x的值.
解:(1)f(x)=sin2x-cos2x+2cos xcos(x-)
=-cos 2x+2cos x(cos xcos +sin xsin)
=-cos 2x++sin 2x
=sin 2x-cos 2x+
=sin(2x-)+.
函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z.
(3)因为0≤x≤,则-≤2x-≤,
所以-≤sin(2x-)≤1.
当2x-=,即x=时,f(x)有最大值.
17.(本小题满分15分)
在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bsin A-a=0.
(1)求角B的大小.
(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.
解:(1)由正弦定理得2sin Bsin A=sin A,
又sin A>0,
故sin B=,
由题意得B=.
(2)由A+B+C=π,
得C=-A,
由△ABC是锐角三角形得A∈(,).
由 cos C=cos(-A)=-cos A+sin A得
cos A+ cos B+ cos C=sin A+ cos A+=sin(A+)+∈(,].
故cos A+ cos B+ cos C的取值范围是(,].
18.(本小题满分17分)
在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,sin Bsin C=cos2.
(1)证明:△ABC是等腰三角形.
(2)若tan+tan=4,a=2,求△ABC的周长.
(1)证明:由sin Bsin C=cos2可得sin Bsin C=,A,B,C为△ABC三个内角,
所以A=π-B-C,
所以2sin Bsin C=1-cos(B+C),
即2sin Bsin C+cos Bcos C-sin Bsin C=1,
即cos(B-C)=1.
又因为B-C∈(-π,π),所以B-C=0,
即B=C,所以b=c,所以△ABC是等腰三角形.
(2)解:由tan+tan=4,
得tan+tan=4,
即+=4,
所以+=4,
所以=4 =4,
所以sin C=.
因为B=C,所以C为锐角,所以C=,
所以B=,A=,a=2,
由正弦定理,==,解得b=c=2,
所以△ABC的周长为4+2.
19.(本小题满分17分)
某学校有一处矩形地块ABCD,如图所示,AB=50 m,BC=25 m,为了便于校园绿化,计划在矩形地块内铺设三条绿化带OE,EF和OF,考虑到整体规划,要求O是边AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且∠EOF=.
(1)设∠BOE=α,α∈[,],试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式.
(2)在(1)的条件下,为增加夜间照明亮度,决定在两条绿化带OE和OF上安装智能照明装置,已知两条绿化带每米增加智能照明装置的费用均相等,当新加装的智能照明装置的费用最低时,求α的大小(注:sin=).
解:(1)由题意知AB=50 m,O是边AB的中点,
所以OB=OA=25 m.
在Rt△BOE中,由∠BOE=α,α∈[,],可得OE=.
由于∠EOF=,
故在Rt△AOF中,∠AOF=-α,∠AFO=α,
可得OF=.
又在Rt△EOF中,由勾股定理得
EF===,
所以l=++=
,α∈[,].
(2)根据题意,要使费用最低,只需OE+OF最小即可,
由(1)得OE+OF=,α∈[,].
设sin α+cos α=t,则sin α·cos α=,
得OE+OF====.
由于t=sin α+cos α=sin(α+),
≤α+≤,而sin=sin=,
故≤t≤.
令f(t)=t-,
则f(t)=t-在[,]上为增函数,
则f(t)max=f()=,
所以当t=时,OE+OF=最小,
此时α=,
即当新加装的智能照明装置的费用最低时,α=.章末总结
网络建构
知识辨析
判断对错(正确的打“√”,错误的打“×”).
1.对任意角α,=tan 2α都成立.(　　)
2.sin α= .(　)
3.存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立.(　　)
4.对任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立.(　　)
5.二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　)
6.tan α=.(　　)
7.在公式asin x+bcos x=sin(x+)(a,b不同时为0)中,角所在象限由a,b的符号确定.(　　)
8.对任意三角形ABC,tan A+tan B+tan C=tan A·tan Btan C均成立.(　　)
题型一　给值(角)求值问题
[例1] (1)设sin 20°=m,cos 20°=n,则-等于(　　)
A. B.- C. D.-
(2)已知=7,则cos(α-)等于(　　)
A.- B. C. D.
(3)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
“给角求值”“给值求值”问题求解的关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系,借助角之间的联系寻找转化方法.
题型二　三角函数的给值求角
[例2] 若sin α=,sin β=,且α,β均为锐角,求α+β的值.
本题中由于已知角α,β的正弦值,且α,β均为锐角,因此在求α+β时,应选择角α+β的余弦而不能选择正弦,这是因为若求α+β的正弦,则得到sin(α+β)=,0°<α+β<180°,而得到α+β=45°或135°是正确的,但题设中sin α=<,sin β=<,使得0°<α<30°,0°<β<30°,从而0°<α+β<60°,故上述结论是错误的.因此在给值求角的问题中,角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除.要避免上述情况的发生,解题时应合理选择三角函数形式进行求解,根据计算结果,估算出角的较精确的取值范围,并不断缩小角的范围.
题型三　三角函数的化简
[例3] 化简:.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,一般化异角为同角通过看角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式.
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,一般化异名为同名从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.
题型四　三角恒等变换与三角函数的
综合问题
[例4] 已知函数f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)-2cos2(ωx+)+1
(ω>0),且满足　　　　.
①f(x)的图象与直线y=-2的两个相邻交点之间的距离等于π;②f(x)的两个相邻对称中心之间的距离为.从这两个条件中选择一个,补充在上面问题的横线中并作答.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同的解,求实数m的取值范围.
三角恒等变换与三角函数的综合应用问题,常以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简为y=Asin(ωx+)+k或y=Acos(ωx+)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
题型五　三角函数与向量的综合应用
[例5] 已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
求解向量与三角恒等变换的综合问题,应根据题目特征,将向量式化为三角式,再根据三角函数式的特征进行恒等变换.
题型六　三角恒等变换与解三角形的综合
问题
[例6] 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2c,cos A=-.
(1)求c的值;
(2)求sin B的值;
(3)求sin(2A-B)的值.
(1)三角形问题中,若已知条件含边的一次式与三角形内角的正弦、余弦的积,常利用正弦定理将边变化为角后利用两角和与差的三角函数公式求解.
(2)已知三角形的一个内角的值,求另外两个角的正弦或余弦的和差问题,常见的解法是将两个角消去一个角后,化为关于一个角的三角函数问题后求解.
第四章　检测试题
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若tan α=-,cos α>0,则sin α等于(　　)
A. B. C.- D.-
2.若tan α=,则tan(α-)等于(　　)
A. B. C.- D.
3.化简:等于(　　)
A.2cos α B.2cos α
C.2sin α D.sin α
4.已知α∈(0,),cos(α+)=-,则cos α等于(　　)
A.- B. C. D.±
5.的值为(　　)
A. B. C. D.2
6.已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则(　　)
A.f(x)在(-,-)上单调递减
B.f(x)在(-,)上单调递增
C.f(x)在(0,)上单调递减
D.f(x)在(,)上单调递增
7.已知sin α=+cos α,且α∈(0,),则的值为(　　)
A. B.- C. D.-
8.已知函数f(x)=cos2ωx-sin ωxcos ωx+(ω>0)在区间[0,π]有且仅有2个零点,则ω的取值范围是(　　)
A.[,) B.[,)
C.[,) D.[,)
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列各式中,值为的是(　　)
A.2sin 22.5°cos 22.5° B.2sin215°-1
C. D.
10.已知≤α≤π,sin 2α=,则(　　)
A.sin α=- B.sin α-cos α=
C.cos α= D.sin α+cos α=
11.已知f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(|θ|<)是偶函数,将函数f(x)图象上所有点向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则(　　)
A.g(x)在(-,)的值域为(-1,1)
B.y=g(x)的图象关于直线x=对称
C.g(x)在[-,)上有5个零点
D.y=g(x)的图象关于点(,0)对称
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上.
12.已知tan α=3,则tan 2α=　　　　.
13.若f(x)=2tan x-,则f()的值为　　　　.
14.如图,扇形OPQ的半径为1,圆心角为θ,且tan θ=2,C是扇形弧上的动点,矩形ABCD内接于扇形,当tan ∠POC=　　 　　时,矩形ABCD的周长最大,最大周长为　 .
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知第二象限角α满足sin α,cos α是关于x的方程25x2-5x-12=0的两个实根.
(1)求tan α+的值.
(2)求的值.
16.(本小题满分15分)
设函数f(x)=sin2x-cos2x+2cos xcos(x-).
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)求函数f(x)的单调递减区间.
(3)求函数f(x)在闭区间[0,]内的最大值以及此时对应的x的值.
17.(本小题满分15分)
在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bsin A-a=0.
(1)求角B的大小.
(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.
18.(本小题满分17分)
在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,sin Bsin C=cos2.
(1)证明:△ABC是等腰三角形.
(2)若tan+tan=4,a=2,求△ABC的周长.
19.(本小题满分17分)
某学校有一处矩形地块ABCD,如图所示,AB=50 m,BC=25 m,为了便于校园绿化,计划在矩形地块内铺设三条绿化带OE,EF和OF,考虑到整体规划,要求O是边AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且∠EOF=.
(1)设∠BOE=α,α∈[,],试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式.
(2)在(1)的条件下,为增加夜间照明亮度,决定在两条绿化带OE和OF上安装智能照明装置,已知两条绿化带每米增加智能照明装置的费用均相等,当新加装的智能照明装置的费用最低时,求α的大小(注:sin=).

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