资源简介

§6　函数y=Asin(ωx+)的性质与图象
6.1　探究ω对y=sin ωx的图象的影响
6.2　探究对y=sin(x+)的图象的影响
6.3　探究A对y=Asin(ωx+)的图象的影响
学习目标
1.理解并掌握ω,,A对函数y=Asin(ωx+)的图象的影响,提高直观想象的核心素养.
2.理解并掌握函数y=Asin(ωx+)图象的平移与伸缩变换,提升数学抽象的核心素养.
3.掌握函数y=Asin(ωx+)的性质,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究
问题1:你能根据函数y=sin x图象与性质的研究方法,研究函数y=sin x的图象与性质吗
提示:从周期、图象(五点法)、单调性、值域和最值方面考虑,列表如下:
函数 y=sin x y=sin x
周期 2π 4π
图象
单调性 在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上单调递增; 在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上单调递减 在[4kπ-π,4kπ+π](k∈Z)上单调递增; 在[4kπ+π,4kπ+3π](k∈Z)上单调递减
值域 [-1,1] [-1,1]
最值 当x=2kπ+(k∈Z)时取最大值1; 当x=2kπ-(k∈Z)时取最小值-1 当x=4kπ+π(k∈Z)时取最大值1; 当x=4kπ-π(k∈Z)时取最小值-1
知识点1　ω对y=sin ωx的图象的影响
(1)一般地,对于ω>0,有sin ωx=sin(ωx+2π)=sin[ω(x+)],根据周期函数的定义,T=是函数y=sin ωx的最小正周期.
(2)函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)得到的.
(3)周期的倒数=为频率.
[思考1] 函数y=sin ωx图象的对称中心的坐标是什么 对称轴方程是什么 如果ω<0,则函数y=sin ωx的最小正周期是什么
提示:对称中心坐标为(,0)(k∈Z),对称轴方程x=(k∈Z),如果ω<0,则函数y=sin ωx的最小正周期为-.
问题2:(1)观察如图所示的函数图象,比较函数y=sin(x+)与函数y=sin x的图象的形状和位置,你有什么发现
(2)同样比较函数y=sin(x-)与函数y=sin x的图象,你又有什么发现呢
提示:(1)两图象形状完全相同,只是位置不同,函数y=sin(x+),x∈R的图象可看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向左平移个单位长度而得到.
(2)函数y=sin(x-),x∈R的图象可看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到.
知识点2　对y=sin(x+)的图象的影响
(1)函数y=sin(x+)与函数y=sin x的周期相同.函数y=sin(x+)的图象,可以看作将函数y=sin x图象上的所有点向左(>0)或向右(<0)平移||个单位长度得到的.
[思考2] 函数y=sin(x+)图象的对称中心坐标是什么 对称轴方程是什么
提示:对称中心坐标为(kπ-,0)(k∈Z),对称轴方程为x=kπ+-
(k∈Z).
(2)对函数y=sin(ωx+)的图象的影响.
①函数y=sin(ωx+)与函数y=sin ωx有相同的周期.
函数y=sin(ωx+)的图象,可以看作将函数y=sin ωx图象上的所有点向左(>0)或向右(<0)平移||个单位长度得到的.
②在函数y=sin(ωx+)中,决定了x=0时的函数值,通常称为初相,ωx+为相位.
[思考3] 如何求函数y=sin(ωx+)图象的对称中心的横坐标 如何求函数y=sin(ωx+)图象的对称轴方程
提示:令ωx+=kπ(k∈Z),解得的x=(kπ-),k∈Z即为函数y=sin(ωx+)图象的对称中心的横坐标;由ωx+=kπ+(k∈Z),解得的x=(kπ+-),k∈Z即为函数y=sin(ωx+)图象的对称轴方程.
知识点3　A对y=Asin(ωx+)的图象的影响
(1)y=Asin(ωx+)(A>0)的图象是将y=sin(ωx+)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0[思考4] 函数y=Asin(ωx+)的图象与函数y=Asin(ωx+)+B的图象有什么关系
提示:函数y=Asin(ωx+)+B的图象可以看作是函数y=Asin(ωx+)的图象向上(B>0)或者向下(B<0)平移|B|个单位长度(横坐标不变)得到的.
[思考5] 根据上面的学习,你能归纳出根据参数ω,,A研究函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象与性质的步骤吗
提示:一般步骤为
第一步:确定函数的周期T=.
第二步:令ωx+=0,,π,,2π,得出函数y=Asin(ωx+)图象的五个关键点.
第三步:用光滑的曲线顺次连接五个关键点,即可画出函数y=Asin(ωx+)在一个周期上的图象,再利用周期性把图象延拓到R,即可以得到它在R上的图象.
第四步:借助图象讨论性质.
(2)函数y=Asin(ωx+)的性质如下表:
定义域 R
值域 [-A,A]
周期性 最小正周期T=
奇偶性 =kπ(k∈Z)时是奇函数, =kπ+(k∈Z)时是偶函数, ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数
单调 区间 单调递增区间可由2kπ-≤ωx+≤2kπ+(k∈Z)得到,单调递减区间可由2kπ+≤ωx+≤2kπ+(k∈Z)得到
对称性 对称轴方程:x=+-(k∈Z). 对称中心:(-,0)(k∈Z)
探究点一　三角函数图象的变换
角度1　同名三角函数图象之间的变换
[例1] (1)(2022·浙江卷)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+)图象上所有的点(　　)
A.向左平移 个单位长度
B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度
D.向右平移 个单位长度
(2)(多选题)函数y=cos(2x+)的图象是由函数y=cos x的图象经过变换得到,则这个变换可以是(　　)
A.先将图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的
B.先将图象向右平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的
C.先将图象上所有点的横坐标变为原来的,再将图象向左平移个单位长度
D.先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,再将图象向左平移个单位长度
解析:(1)因为y=2sin(3x+)=2sin[3(x+)],所以要得到函数y=
2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+)的图象上所有的点向右平移个单位长度即可.故选D.
(2)先将函数y=cos x的图象向左平移个单位长度得到函数y=cos(x+)的图象,再将图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y=cos(2x+)的图象,故A正确;先将函数y=cos x 的图象向右平移个单位长度得到函数y=cos(x-)=cos(x+)的图象,再将图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y=cos(2x+)的图象,故B正确;先将函数y=cos x 的图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y=cos 2x 的图象,再将图象向左平移个单位长度得到函数y=cos(2x+)的图象,故C正确;先将函数y=cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数y=cos x的图象,再将图象向左平移个单位长度得到函数 y=cos(x+)的图象,故D错误.故选ABC.
由函数y=sin x(y=cos x)的图象得到函数y=sin(ωx+)(y=
cos(ωx+))(ω>0)的图象有以下两种途径.
(1)先伸缩后平移:
(2)先平移后伸缩:
[针对训练] (1)把函数y=sin 2x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到f(x)的图象,则f(x)=(　　)
A.sin x B.-sin x
C.sin 4x D.-sin 4x
(2)(多选题)函数y=sin x的图象经过怎样的平移可以得到函数y=sin(x+)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(3)为了得到函数f(x)=cos(x+)的图象,只需把曲线g(x)=cos x上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度,再把纵坐标伸长到原来的2倍
B.向右平移个单位长度,再把纵坐标伸长到原来的2倍
C.向左平移个单位长度,再把纵坐标缩短到原来的
D.向右平移个单位长度,再把纵坐标缩短到原来的
解析:(1)由图象的变换知,当函数y=sin 2x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数f(x)=sin(2×2x)=sin 4x的图象.故选C.
(2)函数y=sin x的图象向左平移个单位长度可以得到函数y=sin(x+)的图象,函数y=sin x的图象向右平移个单位长度可以得到函数y=sin(x-)=sin(x+)的图象.故选AD.
(3)函数g(x)=cos x的图象上所有点向左平移个单位长度后,得到函数y=cos(x+)的图象,再把所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变),得到函数f(x)=cos(x+)的图象.故选C.
角度2　异名三角函数图象之间的变换
[例2] 要得到函数f(x)=cos(2x-)的图象,只需将函数g(x)=sin 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:因为sin 2x=cos(-2x)=cos[2(x-)],y=cos[2(x-+)]=
cos(2x-).故选A.
关于正弦函数、余弦函数间的图象变换问题,首先要利用诱导公式sin α=cos(α-),cos α=sin(α+)将不同名函数转换成同名函数,另外,在进行图象变换时,要记住每一个变换总是对变量x而言.
[针对训练] (1)为了得到函数y=cos(4x+1)的图象,可以将函数y=sin(4x+1)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(2)为了得到函数y1=sin(2x-)的图象,可以将函数y2=cos 2x的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析:(1)y=cos(4x+1)=sin(4x++1),
所以需要将函数y=sin(4x+1)的图象向左平移个单位长度.故选A.
(2)因为y2=cos 2x=sin(2x+)(利用诱导公式将异名化同名),
而y1=sin(2x-)=sin[2(x-)+],
所以将y2=cos 2x的图象向右平移个单位长度可得到y1=sin(2x-)的图象.故选B.
探究点二　根据正弦函数、余弦函数的图象
求函数解析式
[例3] 已知函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象如图所示,求该函数的一个解析式.
解:法一　由图象知函数的最大值为,最小值为-,又A>0,
所以A=.
由图象知=-=,所以T=π=,
所以ω=2.
又×(+)=,所以图象上的最高点为(,),
所以=sin(2×+),
即sin(+)=1,可取=-.
故函数的一个解析式为y=sin(2x-).
法二(五点对应法)　由图象知A=.又图象过点(,0),(,0),
根据“五点法”原理得
解得
故函数的一个解析式为y=sin(2x-).
法三(图象变换法)　由图可知A=,=-=,
所以T=π=,
所以ω=2.
所以该函数的图象可由y=sin 2x的图象向右平移个单位长度得到.故所求函数的一个解析式为y=sin[2(x-)],
即y=sin(2x-).
由部分图象确定函数解析式y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的“两法”
方法一　
(1)A:一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,A=.
(2)ω:因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω,可通过已知曲线及其与x轴的交点来确定T,注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为,相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T.
(3):以“五点法”中的第二个点为突破口,即当ωx+=+2kπ,k∈Z时,y有最大值,或者以“五点法”中的第一个点(-,0)为突破口,从图象的升降情况找准“第一点”的位置.
方法二(五点对应法)
如图,①“第一点”:ωx+=0.
②“第二点”:ωx+=.
③“第三点”:ωx+=π.
④“第四点”:ωx+=.
⑤“第五点”:ωx+=2π.
在用以上方法确定的取值时,还要注意题目中给出的的范围,不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内.
特别地,当三角函数图象涉及上下变换时,如函数形为y=Asin(ωx+
)+k(A>0,ω>0)时,可根据k=确定k的值,参数A,T,ω,的确定同上.
[针对训练] 若如图所对应的是某个函数的一部分图象,则此函数解析式为(　　)
A.y=cos(3x-π)+
B.y=cos(3x-)+
C.y=cos(3x+)+
D.y=cos(3x+)+
解析:设函数解析式为y=Acos(ωx+)+k,
由函数图象可知k==,A==,
函数周期为T=π-=,所以ω==3,
所以y=cos(3x+)+.
当x=+T=+×=时,函数取得最大值,即函数过点(,),
所以=cos(3×+)+,
解得3×+=2kπ(k∈Z),即=2kπ-(k∈Z),k=1时,=,所以y=cos(3x+)+.
故选D.
探究点三　函数y=Asin(ωx+)与y=Acos(ωx+)的性质
角度1　正弦型、余弦型函数的单调性
[例4] 函数y=2sin(2x-)的单调递增区间为　　　　　　.
解析:函数y=sin x的单调递增区间为[-+2kπ,+2kπ],k∈Z.
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数y=2sin(2x-)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
答案:[-+kπ,+kπ],k∈Z
求单调区间的基本方法——基本函数法
用“基本函数法”求函数y=Asin(ωx+)或y=A·cos(ωx+)(A>0,ω>0)的单调区间的步骤:
(1)写出基本函数y=sin x(或y=cos x)的相应单调区间.
(2)将“ωx+”视为整体替换“x”.
(3)解关于x的不等式(组).
释疑　用“同增异减”的眼光看正弦型函数的单调性:
该母题取材于教材[习题16]A组第4题,求正弦型函数的单调区间可谓是各类考试的常客.解此类题的关键是对求复合函数单调性的口诀“同增异减”的灵活运用,函数y=2sin(2x-)可看成是外层函数y=2sin u,内层函数u=2x-的复合,内层函数u=2x-在定义域R上是单调递增的,但是外层函数在定义域上显然有增有减,根据“同增异减”口诀,函数y=2sin(2x-)与外层函数的单调性相同.这就是令
-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)的由来.
[针对训练] 函数y=2sin(-2x)+1的单调递增区间为　　 　　.
解析:法一　y=2sin(-2x)+1=2sin[π-(-2x)]+1=2sin(2x+)+1,
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,
所以函数的单调递增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.
法二　y=2sin(-2x)+1=-2sin(2x-)+1,求它的单调递增区间,
即求函数y=sin(2x-)的单调递减区间.
由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函数的单调递增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.
法三　函数y=2sin x的单调递减区间为[+2kπ,+2kπ],k∈Z,
y=-2x是减函数,因此由复合函数的单调性可知,求y=2sin(-2x)+1的单调递增区间,即求+2kπ≤-2x≤+2kπ,k∈Z的解集.
解之可得--kπ≤x≤--kπ,k∈Z,①
由k的任意性可知,①式等价于kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
所以y=2sin(-2x)+1的单调递增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.
答案:[kπ+,kπ+],k∈Z
角度2　正弦型、余弦型函数的周期性、奇偶性与对称性
[例5] (1)(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和 g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(2)已知函数f(x)=sin(x++)是奇函数,则 的值可以是(　　)
A.0 B.-
C. D.π
解析:(1)A选项,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)的零点,
令g(x)=sin(2x-)=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)的零点,
显然f(x),g(x)的零点不同,A选项错误;
B选项,显然f(x)max=g(x)max=1,B选项正确;
C选项,根据周期公式,f(x),g(x)的周期均为 =π,C选项正确;
D选项,根据正弦函数的性质,f(x)的对称轴满足2x=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,
g(x)的对称轴满足2x-=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,
显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,D选项错误.
故选BC.
(2)法一　f(x)=sin(x++)为奇函数,则只需+=kπ(k∈Z),从而=kπ-(k∈Z).
显然当k=0时,=-满足题意.故选B.
法二　易知f(0)=0,即sin(+)=0
(在x=0处有定义的奇函数f(x)必有f(0)=0),
将各选项代入可知-满足题意.故选B.
(1)对于函数y=sin(ωx+),y=cos(ωx+)(ω≠0),其中最小正周期T=,图象的对称性问题,应将ωx+看成一个整体,利用整体代入思想,令ωx+等于kπ(k∈Z)或kπ+(k∈Z),解出的x的值即对称中心的横坐标(纵坐标为零)或对称轴与x轴的交点的横坐标.
(2)由于函数y=Asin ωx (Aω≠0)是奇函数,y=Acos ωx (Aω≠0)是偶函数,因此有如下结论.
①要使y=Asin(ωx+)(A,ω≠0)为奇函数,则=kπ(k∈Z).
②要使y=Asin(ωx+)(A,ω≠0)为偶函数,则=kπ+(k∈Z).
③要使y=Acos(ωx+)(A,ω≠0)为奇函数,则=kπ+(k∈Z).
④要使y=Acos(ωx+)(A,ω≠0)为偶函数,则=kπ(k∈Z).
[针对训练] (1)已知函数f(x)=2cos(ωx+)(ω>0)的图象关于直线x=对称,且f()=0,则ω的最小值为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)将函数f(x)=2sin(x-)的图象向右平移(0≤≤)个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则等于(　　)
A. B. C. D.
解析:(1)对称中心到相邻对称轴的距离为×,显然当直线x=为点(,0)的相邻对称轴时,周期最大,则ω最小,所以×=-,得ωmin=2.故选A.
(2)由题意g(x)=f(x-)=2sin(x--)=2cos[-(x--)]=2cos(-x++)是偶函数,所以+=kπ,k∈Z,解得=kπ-,k∈Z,又0≤≤,
所以k=1,=.故选A.
当堂检测
1.将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则g(x)等于(　A　)
A.cos 2x B.-cos 2x
C.sin(2x+) D.sin(2x-)
解析:把函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度后可得y=sin[2(x+)]=sin(2x+)=cos 2x的图象.故选A.
2.函数y=sin(ωx+)(ω>0,-π<≤π)的部分图象如图所示,则(　A　)
A.y=sin(πx-)
B.y=sin(πx-)
C.y=sin(πx+)
D.y=sin(πx+)
解析:由函数图象可知,最小正周期T=2×(-)=2,因为ω>0,所以=2,解得ω=π,所以y=sin(πx+),因为函数过点(0,-),将其代入解析式可得sin =-,其中-π<≤π,解得=-,
所以函数解析式为y=sin(πx-).故选A.
3.函数y=cos(-x)的单调递增区间为　　　　　　　　　　　　.
解析:根据诱导公式,
得y=cos(-x)=cos(x-),
令-π+2kπ≤x-≤2kπ(k∈Z),
解得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),
故函数y=cos(-x)的单调递增区间是[-+2kπ,+2kπ](k∈Z).
答案:[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)
4.若将函数f(x)=4cos(x+)图象上所有点的横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变),得到函数g(x) 的图象,则g(x)=　　　　　　,函数g(x)的对称轴方程是　　　　　　　　　　 .
解析:将函数f(x)=4cos(x+)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数g(x)=4cos(2x+)的图象,由2x+=kπ(k∈Z)可得x=-
(k∈Z).
答案:4cos(2x+)　x=-(k∈Z)
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
根据正弦、余弦型函数图象 求解析式 5,7,9
正弦、余弦型函数图象的变换 1,2,3
函数y=Asin(ωx+)与y= Acos(ωx+)的性质及应用 4,6,8,10,11,12
基础巩固
1.将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数f(x)的图象,则(　C　)
A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)
C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)
解析:将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到f(x)=sin[2(x+)]=sin(2x+)的图象.故选C.
2.将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后得到一个奇函数的图象,则该函数的解析式可能为(　D　)
A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(x-)
C.f(x)=cos(2x-) D.f(x)=cos(2x+)
解析:将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度后得到y=sin(2x-+)=sin(2x-) 的图象,函数y=sin(2x-)显然不是奇函数,故A错误;
将函数f(x)=sin(x-)的图象向右平移个单位长度后得到y=
sin(x--)=-cos x的图象,函数y=-cos x显然是偶函数,故B错误;
将函数f(x)=cos(2x-)的图象向右平移个单位长度后得到y=cos(2x--)=-cos 2x的图象,函数y=-cos 2x显然是偶函数,故 C错误;
将函数f(x)=cos(2x+)的图象向右平移个单位长度后得到y=cos(2x-+)=sin 2x的图象,函数y=sin 2x显然是奇函数,故D正确.故选D.
3.将函数f(x)=cos(x-)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是(　C　)
A.g(x)在[-,-]上单调递增
B.g(x)在[,]上单调递增
C.g(x)在[-,-]上单调递减
D.g(x)在[,]上单调递减
解析:依题意,g(x)=cos(3x-),令2kπ≤3x-≤π+2kπ,k∈Z,得+≤x≤+,k∈Z.取k=0,得g(x)在[,]上单调递减,所以g(x)在 [,]上单调递减或单调递增都不正确;取k=-1,得g(x)在[-,-]上单调递减,所以g(x)在[-,-]上单调递减.故选C.
4.(多选题)下列函数,最小正周期为π的有(　BD　)
A.y=sin|x| B.y=|sin x|
C.y=2cos x-1 D.y=sin(-2x)
解析:对于A,y=sin|x|为偶函数,图象关于y轴对称,其图象如图(1)所示,不是周期函数,所以A不正确.对于B,作出函数y=|sin x|的图象如图(2)所示,可得其最小正周期为π,所以B正确.
对于C,由周期的计算公式T=可得y=2cos x-1的最小正周期为
2π,所以C不正确.
对于D,y=sin(-2x)的最小正周期T==π,所以D正确.故选BD.
5.已知函数f(x)=Acos(ωx+)(A>0,ω>0,||≤)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　　　　.
解析:观察图象知,A=2,令函数f(x)的周期为T,则=-(-)=,解得T=π,ω==2.由题图知f()=2,则2×+=2kπ,k∈Z,故=2kπ-.又||≤,故=-,所以f(x)的解析式是f(x)=2cos(2x-).
答案:f(x)=2cos(2x-)
6.(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　 .
解析:因为T=,f()=,所以cos(2π+)=,即cos =.又0<<π,所以=.因为x=为f(x)的零点,所以ω+=+kπ(k∈Z),解得ω=9k+3(k∈Z).又ω>0,所以当 k=0时,ω取最小值,且最小值为3.
答案:3
7.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+)(其中0-<<)的图象,列出的部分数据如下表:
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 -1 -2
经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数y=A·sin(ωx+)的解析式应是　　　　　　　　.
解析:由题意可知点(0,1),(2,1)关于对称轴对称,且对称轴为直线x=1,由三角函数的对称性可知,正弦函数在对称轴处取得最值,且过点(1,A),从而可得第二组(1,0)错误.把点(1,A)代入函数解析式可得ω+=.
点(2,1),(3,-1)关于点(,0)对称,所以(,0)是与函数的对称轴x=1相邻的一个对称中心,
从而函数的最小正周期为T=4×(-1)=6,根据周期公式T==6,得ω=,=.所以函数f(x)=Asin(x+),把函数图象上的点(0,1)代入函数解析式可得Asin=1,所以A=2.
答案:y=2sin(x+)
能力提升
8.将函数y=2sin(x+)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则m的最小值是(　D　)
A. B. C. D.
解析:将y=2sin(x+)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得y=2sin(x+m+),
因为y=2sin(x+m+)的图象关于原点对称,
所以m+=kπ(k∈Z),
解得m=-+kπ(k∈Z),又m>0,
所以当k=1时,m取得最小值.故选D.
9.(多选题)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y=sin(ωx+)的部分图象,则sin(ωx+)等于(　BC　)
A.sin(x+) B.sin(-2x)
C.cos(2x+) D.cos(-2x)
解析:由题图可知,函数的最小正周期T=2(-)=π,
所以=π,ω=±2.
当ω=2时,y=sin(2x+),
将点(,0)代入得,sin(2×+)=0,
所以2×+=2kπ+π,k∈Z,
即=2kπ+,k∈Z,故y=sin(2x+).
由于y=sin(2x+)=sin[π-(2x+)]=sin(-2x),故选项B正确;
又y=sin(-2x)=cos[-(-2x)]=cos(2x+),选项C正确;
对于选项A,当x=时,sin(+)=1≠0,错误;
对于选项D,当x==时,cos(-2×)=1≠-1,错误.
当ω=-2时,y=sin(-2x+),
将(,0)代入,得sin(-2×+)=0,
结合函数图象,知-2×+=π+2kπ,k∈Z,
得=+2kπ,k∈Z,
所以y=sin(-2x+),
但当x=0时,y=sin(-2x+)=-<0,
与图象不符合,舍去.故选BC.
10.将函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移 (0<<) 个单位长度得到函数g(x)的图象,若存在x1,x2使得f(x1)·g(x2)=-1,且 |x1-x2| 的最小值为,则等于(　D　)
A. B. C. D.
解析:因为g(x)=sin[2(x+)-],f(x1)·g(x2)=-1,则f(x1)和g(x2)中一个取1,另一个取-1,所以可令2x1--(2x2+2-)=(2k+1)π,k∈Z,解得x1-x2=++kπ,k∈Z,
因为|x1-x2|的最小值为,所以=.故选D.
11.已知函数f(x)=cos(3x+),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴;
(2)求f(x)的单调递增区间和单调递减区间;
(3)当x∈[0,]时,求f(x)的值域.
解:(1)T=,令3x+=kπ,k∈Z,
则x=-+,k∈Z,
故f(x)的最小正周期为T=,对称轴方程为x=-+(k∈Z).
(2)由-π+2kπ≤3x+≤2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z.
由2kπ≤3x+≤π+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,-+kπ](k∈Z),单调递减区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(3)因为x∈[0,],所以≤3x+≤,
所以-≤f(x)≤1,
所以当x∈[0,]时,f(x)的值域为[-,1].
12.已知函数f(x)=sin(ωx+)(其中ω>0,0<<)的最小正周期为π,且　　　　　　.
①点(,1)在函数y=f(x)的图象上;
②函数f(x)的一个零点为-;
③f(x)的一个增区间为(-,).
请你从以上三个条件中选择一个(如果选择多个,则按选择的第一个给分),将题目补充完整,并求解下列问题:
(1)求f(x)的解析式;
(2)用“五点作图法”画出函数f(x)一个周期内的图象.
解:(1)由题意,最小正周期为T==π,ω>0,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x+).
若选①,则f()=sin(2×+)=1,
所以+=+2kπ,k∈Z,又0<<,
所以k=0,=,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).
若选②,则f(-)=sin(-+)=0,
所以-+=kπ,k∈Z,又0<<,
所以k=0,=,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).
若选③,即f(x)的一个增区间为(-,),
当x∈(-,)时,t=2x+∈(-+,+),
又0<<,由复合函数单调性可知,
只能(-+,+)=(-,),=,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).
综上所述,无论选哪个条件,函数f(x)的解析式均为f(x)=sin(2x+).
(2)列表如下:
x -
t=2x+ 0 π 2π
f(x)=sin(2x+) 0 1 0 -1 0
描点、连线(光滑曲线)画出函数f(x)一个周期内的图象如图所示:§6　函数y=Asin(ωx+)的性质与图象
6.1　探究ω对y=sin ωx的图象的影响
6.2　探究对y=sin(x+)的图象的影响
6.3　探究A对y=Asin(ωx+)的图象的影响
学习目标
1.理解并掌握ω,,A对函数y=Asin(ωx+)的图象的影响,提高直观想象的核心素养.
2.理解并掌握函数y=Asin(ωx+)图象的平移与伸缩变换,提升数学抽象的核心素养.
3.掌握函数y=Asin(ωx+)的性质,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究
问题1:你能根据函数y=sin x图象与性质的研究方法,研究函数y=sin x的图象与性质吗
提示:从周期、图象(五点法)、单调性、值域和最值方面考虑,列表如下:
函数 y=sin x y=sin x
周期 2π 4π
图象
单调性 在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上单调递增; 在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上单调递减 在[4kπ-π,4kπ+π](k∈Z)上单调递增; 在[4kπ+π,4kπ+3π](k∈Z)上单调递减
值域 [-1,1] [-1,1]
最值 当x=2kπ+(k∈Z)时取最大值1; 当x=2kπ-(k∈Z)时取最小值-1 当x=4kπ+π(k∈Z)时取最大值1; 当x=4kπ-π(k∈Z)时取最小值-1
知识点1　ω对y=sin ωx的图象的影响
(1)一般地,对于ω>0,有sin ωx=sin(ωx+2π)=sin[ω(x+)],根据周期函数的定义,T=是函数y=sin ωx的最小正周期.
(2)函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)得到的.
(3)周期的倒数=为频率.
[思考1] 函数y=sin ωx图象的对称中心的坐标是什么 对称轴方程是什么 如果ω<0,则函数y=sin ωx的最小正周期是什么
提示:对称中心坐标为(,0)(k∈Z),对称轴方程x=(k∈Z),如果ω<0,则函数y=sin ωx的最小正周期为-.
问题2:(1)观察如图所示的函数图象,比较函数y=sin(x+)与函数y=sin x的图象的形状和位置,你有什么发现
(2)同样比较函数y=sin(x-)与函数y=sin x的图象,你又有什么发现呢
提示:(1)两图象形状完全相同,只是位置不同,函数y=sin(x+),x∈R的图象可看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向左平移个单位长度而得到.
(2)函数y=sin(x-),x∈R的图象可看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到.
知识点2　对y=sin(x+)的图象的影响
(1)函数y=sin(x+)与函数y=sin x的周期相同.函数y=sin(x+)的图象,可以看作将函数y=sin x图象上的所有点向左(>0)或向右(<0)平移||个单位长度得到的.
[思考2] 函数y=sin(x+)图象的对称中心坐标是什么 对称轴方程是什么
提示:对称中心坐标为(kπ-,0)(k∈Z),对称轴方程为x=kπ+-
(k∈Z).
(2)对函数y=sin(ωx+)的图象的影响.
①函数y=sin(ωx+)与函数y=sin ωx有相同的周期.
函数y=sin(ωx+)的图象,可以看作将函数y=sin ωx图象上的所有点向左(>0)或向右(<0)平移||个单位长度得到的.
②在函数y=sin(ωx+)中,决定了x=0时的函数值,通常称为初相,ωx+为相位.
[思考3] 如何求函数y=sin(ωx+)图象的对称中心的横坐标 如何求函数y=sin(ωx+)图象的对称轴方程
提示:令ωx+=kπ(k∈Z),解得的x=(kπ-),k∈Z即为函数y=sin(ωx+)图象的对称中心的横坐标;由ωx+=kπ+(k∈Z),解得的x=(kπ+-),k∈Z即为函数y=sin(ωx+)图象的对称轴方程.
知识点3　A对y=Asin(ωx+)的图象的影响
(1)y=Asin(ωx+)(A>0)的图象是将y=sin(ωx+)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0[思考4] 函数y=Asin(ωx+)的图象与函数y=Asin(ωx+)+B的图象有什么关系
提示:函数y=Asin(ωx+)+B的图象可以看作是函数y=Asin(ωx+)的图象向上(B>0)或者向下(B<0)平移|B|个单位长度(横坐标不变)得到的.
[思考5] 根据上面的学习,你能归纳出根据参数ω,,A研究函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象与性质的步骤吗
提示:一般步骤为
第一步:确定函数的周期T=.
第二步:令ωx+=0,,π,,2π,得出函数y=Asin(ωx+)图象的五个关键点.
第三步:用光滑的曲线顺次连接五个关键点,即可画出函数y=Asin(ωx+)在一个周期上的图象,再利用周期性把图象延拓到R,即可以得到它在R上的图象.
第四步:借助图象讨论性质.
(2)函数y=Asin(ωx+)的性质如下表:
定义域 R
值域 [-A,A]
周期性 最小正周期T=
奇偶性 =kπ(k∈Z)时是奇函数, =kπ+(k∈Z)时是偶函数, ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数
单调 区间 单调递增区间可由2kπ-≤ωx+≤2kπ+(k∈Z)得到,单调递减区间可由2kπ+≤ωx+≤2kπ+(k∈Z)得到
对称性 对称轴方程:x=+-(k∈Z). 对称中心:(-,0)(k∈Z)
探究点一　三角函数图象的变换
角度1　同名三角函数图象之间的变换
[例1] (1)(2022·浙江卷)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+)图象上所有的点(　　)
A.向左平移 个单位长度
B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度
D.向右平移 个单位长度
(2)(多选题)函数y=cos(2x+)的图象是由函数y=cos x的图象经过变换得到,则这个变换可以是(　　)
A.先将图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的
B.先将图象向右平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的
C.先将图象上所有点的横坐标变为原来的,再将图象向左平移个单位长度
D.先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,再将图象向左平移个单位长度
由函数y=sin x(y=cos x)的图象得到函数y=sin(ωx+)(y=
cos(ωx+))(ω>0)的图象有以下两种途径.
(1)先伸缩后平移:
(2)先平移后伸缩:
[针对训练] (1)把函数y=sin 2x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到f(x)的图象,则f(x)=(　　)
A.sin x B.-sin x
C.sin 4x D.-sin 4x
(2)(多选题)函数y=sin x的图象经过怎样的平移可以得到函数y=sin(x+)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(3)为了得到函数f(x)=cos(x+)的图象,只需把曲线g(x)=cos x上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度,再把纵坐标伸长到原来的2倍
B.向右平移个单位长度,再把纵坐标伸长到原来的2倍
C.向左平移个单位长度,再把纵坐标缩短到原来的
D.向右平移个单位长度,再把纵坐标缩短到原来的
角度2　异名三角函数图象之间的变换
[例2] 要得到函数f(x)=cos(2x-)的图象,只需将函数g(x)=sin 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
关于正弦函数、余弦函数间的图象变换问题,首先要利用诱导公式sin α=cos(α-),cos α=sin(α+)将不同名函数转换成同名函数,另外,在进行图象变换时,要记住每一个变换总是对变量x而言.
[针对训练] (1)为了得到函数y=cos(4x+1)的图象,可以将函数y=sin(4x+1)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(2)为了得到函数y1=sin(2x-)的图象,可以将函数y2=cos 2x的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
探究点二　根据正弦函数、余弦函数的图象
求函数解析式
[例3] 已知函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象如图所示,求该函数的一个解析式.
由部分图象确定函数解析式y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的“两法”
方法一　
(1)A:一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,A=.
(2)ω:因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω,可通过已知曲线及其与x轴的交点来确定T,注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为,相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T.
(3):以“五点法”中的第二个点为突破口,即当ωx+=+2kπ,k∈Z时,y有最大值,或者以“五点法”中的第一个点(-,0)为突破口,从图象的升降情况找准“第一点”的位置.
方法二(五点对应法)
如图,①“第一点”:ωx+=0.
②“第二点”:ωx+=.
③“第三点”:ωx+=π.
④“第四点”:ωx+=.
⑤“第五点”:ωx+=2π.
在用以上方法确定的取值时,还要注意题目中给出的的范围,不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内.
特别地,当三角函数图象涉及上下变换时,如函数形为y=Asin(ωx+
)+k(A>0,ω>0)时,可根据k=确定k的值,参数A,T,ω,的确定同上.
[针对训练] 若如图所对应的是某个函数的一部分图象,则此函数解析式为(　　)
A.y=cos(3x-π)+
B.y=cos(3x-)+
C.y=cos(3x+)+
D.y=cos(3x+)+
探究点三　函数y=Asin(ωx+)与y=Acos(ωx+)的性质
角度1　正弦型、余弦型函数的单调性
[例4] 函数y=2sin(2x-)的单调递增区间为　　　　　　.
求单调区间的基本方法——基本函数法
用“基本函数法”求函数y=Asin(ωx+)或y=A·cos(ωx+)(A>0,ω>0)的单调区间的步骤:
(1)写出基本函数y=sin x(或y=cos x)的相应单调区间.
(2)将“ωx+”视为整体替换“x”.
(3)解关于x的不等式(组).
释疑　用“同增异减”的眼光看正弦型函数的单调性:
该母题取材于教材[习题16]A组第4题,求正弦型函数的单调区间可谓是各类考试的常客.解此类题的关键是对求复合函数单调性的口诀“同增异减”的灵活运用,函数y=2sin(2x-)可看成是外层函数y=2sin u,内层函数u=2x-的复合,内层函数u=2x-在定义域R上是单调递增的,但是外层函数在定义域上显然有增有减,根据“同增异减”口诀,函数y=2sin(2x-)与外层函数的单调性相同.这就是令
-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)的由来.
[针对训练] 函数y=2sin(-2x)+1的单调递增区间为　　 　　.
角度2　正弦型、余弦型函数的周期性、奇偶性与对称性
[例5] (1)(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和 g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(2)已知函数f(x)=sin(x++)是奇函数,则 的值可以是(　　)
A.0 B.-
C. D.π
(1)对于函数y=sin(ωx+),y=cos(ωx+)(ω≠0),其中最小正周期T=,图象的对称性问题,应将ωx+看成一个整体,利用整体代入思想,令ωx+等于kπ(k∈Z)或kπ+(k∈Z),解出的x的值即对称中心的横坐标(纵坐标为零)或对称轴与x轴的交点的横坐标.
(2)由于函数y=Asin ωx (Aω≠0)是奇函数,y=Acos ωx (Aω≠0)是偶函数,因此有如下结论.
①要使y=Asin(ωx+)(A,ω≠0)为奇函数,则=kπ(k∈Z).
②要使y=Asin(ωx+)(A,ω≠0)为偶函数,则=kπ+(k∈Z).
③要使y=Acos(ωx+)(A,ω≠0)为奇函数,则=kπ+(k∈Z).
④要使y=Acos(ωx+)(A,ω≠0)为偶函数,则=kπ(k∈Z).
[针对训练] (1)已知函数f(x)=2cos(ωx+)(ω>0)的图象关于直线x=对称,且f()=0,则ω的最小值为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)将函数f(x)=2sin(x-)的图象向右平移(0≤≤)个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则等于(　　)
A. B. C. D.
当堂检测
1.将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则g(x)等于(　　)
A.cos 2x B.-cos 2x
C.sin(2x+) D.sin(2x-)
2.函数y=sin(ωx+)(ω>0,-π<≤π)的部分图象如图所示,则(　　)
A.y=sin(πx-)
B.y=sin(πx-)
C.y=sin(πx+)
D.y=sin(πx+)
3.函数y=cos(-x)的单调递增区间为　　　　　　　　　　　　.
4.若将函数f(x)=4cos(x+)图象上所有点的横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变),得到函数g(x) 的图象,则g(x)=　　　　　　,函数g(x)的对称轴方程是　　　　　　　　　　 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
根据正弦、余弦型函数图象 求解析式 5,7,9
正弦、余弦型函数图象的变换 1,2,3
函数y=Asin(ωx+)与y= Acos(ωx+)的性质及应用 4,6,8,10,11,12
基础巩固
1.将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数f(x)的图象,则(　　)
A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)
C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)
2.将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后得到一个奇函数的图象,则该函数的解析式可能为(　　)
A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(x-)
C.f(x)=cos(2x-) D.f(x)=cos(2x+)
3.将函数f(x)=cos(x-)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.g(x)在[-,-]上单调递增
B.g(x)在[,]上单调递增
C.g(x)在[-,-]上单调递减
D.g(x)在[,]上单调递减
4.(多选题)下列函数,最小正周期为π的有(　　)
A.y=sin|x| B.y=|sin x|
C.y=2cos x-1 D.y=sin(-2x)
5.已知函数f(x)=Acos(ωx+)(A>0,ω>0,||≤)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　　　　.
6.(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　 .
7.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+)(其中0-<<)的图象,列出的部分数据如下表:
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 -1 -2
经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数y=A·sin(ωx+)的解析式应是　　　　　　　　.
能力提升
8.将函数y=2sin(x+)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则m的最小值是(　)
A. B. C. D.
9.(多选题)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y=sin(ωx+)的部分图象,则sin(ωx+)等于(　　)
A.sin(x+) B.sin(-2x)
C.cos(2x+) D.cos(-2x)
10.将函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移 (0<<) 个单位长度得到函数g(x)的图象,若存在x1,x2使得f(x1)·g(x2)=-1,且 |x1-x2| 的最小值为,则等于(　　)
A. B. C. D.
11.已知函数f(x)=cos(3x+),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴;
(2)求f(x)的单调递增区间和单调递减区间;
(3)当x∈[0,]时,求f(x)的值域.
12.已知函数f(x)=sin(ωx+)(其中ω>0,0<<)的最小正周期为π,且　　　　　　.
①点(,1)在函数y=f(x)的图象上;
②函数f(x)的一个零点为-;
③f(x)的一个增区间为(-,).
请你从以上三个条件中选择一个(如果选择多个,则按选择的第一个给分),将题目补充完整,并求解下列问题:
(1)求f(x)的解析式;
(2)用“五点作图法”画出函数f(x)一个周期内的图象.

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