资源简介

§7　正切函数
7.1　正切函数的定义
7.2　正切函数的诱导公式
7.3　正切函数的图象与性质
学习目标
1.掌握正切函数的定义,提升数学抽象的核心素养.
2.理解并掌握正切函数的诱导公式,发展数学运算的核心素养.
3.掌握正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质,提升数学运算的核心素养.
知识探究
问题:在平面直角坐标系中,角α的终边与单位圆交于点P(a,b)(a≠0),那么比值与角α的正弦、余弦有什么关系
提示:由单位圆与正弦函数、余弦函数的定义可得sin α=b,cos α=a,因此=.
知识点1　正切函数的定义
比值是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x,其中定义域为{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}.
[思考1] 正弦函数、余弦函数的定义域是R,为什么正切函数的定义域是{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}
提示:由于当cos x=0时,x=+kπ(k∈Z),
而tan x=,因此y=tan x中要求cos x≠0,所以正切函数的定义域为{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}.
知识点2　正切函数的诱导公式
角x 函数y=tan x 记忆口诀
kπ+x(k∈Z) tan x 函数名不变, 符号看象限
-x -tan x
π-x -tan x
x+ -
-x
[思考2] 能否仿照研究正弦函数、余弦函数的诱导公式时,使用角的终边的对称、旋转来研究正切函数的诱导公式 举例说明.
提示:能.设角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),根据正切函数的定义tan α=.如tan(π+α),由于π+α的终边与单位圆的交点与α的终边与单位圆的交点关于坐标原点对称,故π+α的终边与单位圆的交点为P′(-u,-v),所以tan(π+α)===tan α.
知识点3　正切函数的图象与性质
函数 y=tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇函数
单 调 性 递增区间 (k∈Z)
递减区间 无
对称中心 (,0)(k∈Z)
[思考3] 能否说正切函数在整个定义域内是增函数
提示:不能.正切函数y=tan x在每段区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)上是增函数,但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数.
探究点一　正切函数的定义
[例1] (1)若sin θcos θ>0,<0,则角θ的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)角α的终边经过点P(-b,4)且cos α=-,则tan α=　　　　.
[变式探究] 本例(2)的条件不变,求的值.
(1)已知角α终边上的一点M(a,b)(a≠0),求该角的正切函数值,或者已知角α的正切值,求角α终边上一点的坐标,都应紧扣正切函数的定义求解,在解题过程中,应注意分子、分母的位置.
(2)正切函数在各个象限内的符号:在第一、第三象限为正数,在第二、第四象限为负数.
(3)形如(abcd≠0),与tan α有关的求值问题,可将分子、分母同时除以cos α后构造与 tan α 有关的式子求解.
探究点二　正切函数的诱导公式
[例2] 求下列各式的值.
(1)tan(-);
(2)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin (-606°).
利用诱导公式求值的一般方法:
任意角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角的三角函数
[针对训练] (1)已知=2,则tan(α+)等于(　　)
A.5 B.-5 C. D.-
(2)tan(-)=　　　　　.
探究点三　正切函数的图象与性质
角度1　正切函数的图象
[例3] 图中的图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈(-,)内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)
　
a b
　
c d
A.①②③④ B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
解决图象识别问题的常用方法
(1)作图法:先作出相关函数的图象,再对照选项确定正确答案.
(2)性质法:研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等),排除相关选项,从而确定正确答案.
[针对训练] 函数y=tan(x-)在一个周期内的图象是(　　)
　　　
A B
　　　
C D
角度2　正切函数单调性的简单应用
[例4] 比较下列各组中正切函数值的大小.
(1)tan 与tan ;
(2)tan 2,tan 3,tan 4.
利用正切函数的单调性比较大小,角不在同一单调区间上的,利用诱导公式化为同一单调区间上的角的正切值.
[针对训练] 比较下列各组数的大小.
(1)tan 167°与tan 173°;
(2)tan 2与tan 9.
角度3　正切函数性质的综合应用
[例5] (多选题)已知函数f(x)=tan(x+),则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的定义域为{x|x≠2k+,k∈Z}
B.函数f(x)的最小正周期为T=4
C.函数f(x)的单调递增区间为{-+2kπ,+2kπ},k∈Z
D.函数f(x)图象的对称中心为(k-,0),k∈Z
(1)求解与正切函数有关的定义域应明确y=tan x的定义域是{x|x≠
kπ+,k∈Z}.
(2)求解与正切函数有关的单调性问题,在保证正切函数中自变量的系数大于0时,可借助正切函数在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上单调递增,列出关于自变量的不等式,要注意是开区间不能写成闭区间.
(3)函数y=Atan(ωx+)的对称中心是(x0,0),其中x0满足ωx0+=
(k∈Z).
[针对训练] 已知函数f(x)=tan(2x+),则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在定义域内是增函数
B.f(x)图象的对称中心是(-,0)(k∈Z)
C.f(x)是奇函数
D.f(x)图象的对称轴是x=+(k∈Z)
当堂检测
1.函数y=tan(-x)的定义域是(　　)
A.{x|x≠,x∈R}
B.{x|x≠-,x∈R}
C.{x|x≠kπ+,k∈Z,x∈R}
D.{x|x≠kπ+,k∈Z,x∈R}
2.函数y=2tan(x-),x∈[-,]的值域是(　　)
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[-2,2] D.[-,1]
3.(多选题)已知函数f(x)=tan(x+),则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}
C.f(x)是增函数
D.f()4.求值:tan 600°=　　 　　.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
正切函数的定义、诱导公式 2,3,6,11,12
正切函数的性质 1,7,14
正切函数性质的综合应用 4,5,8,9,10,13
基础巩固
1.tan(-300°)等于(　　)
A. B.1 C. D.-
2.函数y=-3tan(2x-)的最小正周期为(　　)
A. B. C.π D.2π
3.已知角α的终边在直线y=2x上,则tan α的值是(　　)
A.2 B.±2 C. D.±
4.函数f(x)=x·tan x(-1　　　
A B
　　　
C D
5.(多选题)已知函数f(x)=Atan(ωx+)(ω>0,||<)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z}
C.点(-,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
D.f(x)在x∈[,π]上的值域为[-1,1]
6.已知角α的终边上一点P(-2,1),则tan(π-α)=　　　　.
7.不等式tan(x+)≥1的解集为　　　　　　　　.
能力提升
8.(多选题)下列关于函数y=|tan(2x+)|的说法正确的是(　　)
A.定义域为{x|x≠+,k∈Z}
B.在区间(-,)上单调递增
C.最小正周期是
D.图象关于直线x=对称
9.函数f(x)=tan(2x-)-m在[-,n]上的最大值为3,最小值为-1,则mn等于(　　)
A. B. C.- D.-
10.已知函数f(x)=tan(ωx+)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离是,则f()=　　　　.
11.下列各函数值:
①tan 2;②tan(-10);③;
④tan 2 013°.
其中符号为负的有　　 　　.(填序号)
12.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(3,y),且tan α=-.
(1)求y的值;
(2)求的值.
13.已知f(x)=-atan x(a≠0).
(1)判断f(x)在x∈[-,]上的奇偶性;
(2)求f(x)的最小正周期;
(3)求f(x)的单调区间;
(4)若a>0,求f(x)在[,)上的值域.
应用创新
14.若函数y=tan ωx(ω∈N+)的图象的一个对称中心是点(,0),则ω的最小值为(　)
A.2 B.3 C.6 D.9§7　正切函数
7.1　正切函数的定义
7.2　正切函数的诱导公式
7.3　正切函数的图象与性质
学习目标
1.掌握正切函数的定义,提升数学抽象的核心素养.
2.理解并掌握正切函数的诱导公式,发展数学运算的核心素养.
3.掌握正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质,提升数学运算的核心素养.
知识探究
问题:在平面直角坐标系中,角α的终边与单位圆交于点P(a,b)(a≠0),那么比值与角α的正弦、余弦有什么关系
提示:由单位圆与正弦函数、余弦函数的定义可得sin α=b,cos α=a,因此=.
知识点1　正切函数的定义
比值是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x,其中定义域为{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}.
[思考1] 正弦函数、余弦函数的定义域是R,为什么正切函数的定义域是{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}
提示:由于当cos x=0时,x=+kπ(k∈Z),
而tan x=,因此y=tan x中要求cos x≠0,所以正切函数的定义域为{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}.
知识点2　正切函数的诱导公式
角x 函数y=tan x 记忆口诀
kπ+x(k∈Z) tan x 函数名不变, 符号看象限
-x -tan x
π-x -tan x
x+ -
-x
[思考2] 能否仿照研究正弦函数、余弦函数的诱导公式时,使用角的终边的对称、旋转来研究正切函数的诱导公式 举例说明.
提示:能.设角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),根据正切函数的定义tan α=.如tan(π+α),由于π+α的终边与单位圆的交点与α的终边与单位圆的交点关于坐标原点对称,故π+α的终边与单位圆的交点为P′(-u,-v),所以tan(π+α)===tan α.
知识点3　正切函数的图象与性质
函数 y=tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇函数
单 调 性 递增区间 (k∈Z)
递减区间 无
对称中心 (,0)(k∈Z)
[思考3] 能否说正切函数在整个定义域内是增函数
提示:不能.正切函数y=tan x在每段区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)上是增函数,但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数.
探究点一　正切函数的定义
[例1] (1)若sin θcos θ>0,<0,则角θ的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)角α的终边经过点P(-b,4)且cos α=-,则tan α=　　　　.
解析:(1)根据sin θcos θ>0,可知角θ的终边可能在第一或第三象限,再根据<0,可知角θ的终边可能在第三或第四象限,故角θ的终边在第三象限.故选C.
(2)由题意知cos α==-,所以b=3,所以tan α=-.
答案:(1)C　(2)-
[变式探究] 本例(2)的条件不变,求的值.
解:由于tan α=,因此====16.
(1)已知角α终边上的一点M(a,b)(a≠0),求该角的正切函数值,或者已知角α的正切值,求角α终边上一点的坐标,都应紧扣正切函数的定义求解,在解题过程中,应注意分子、分母的位置.
(2)正切函数在各个象限内的符号:在第一、第三象限为正数,在第二、第四象限为负数.
(3)形如(abcd≠0),与tan α有关的求值问题,可将分子、分母同时除以cos α后构造与 tan α 有关的式子求解.
探究点二　正切函数的诱导公式
[例2] 求下列各式的值.
(1)tan(-);
(2)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin (-606°).
解:(1)tan(-)=-tan=-tan(3π+)=-tan(π+)=-tan=-.
(2)原式=tan 10°+tan(180°-10°)+sin 1 866°-sin(-606°)
=tan 10°-tan 10°+sin(5×360°+66°)-sin [(-2)×360°+
114°]
=sin 66°-sin 66°=0.
利用诱导公式求值的一般方法:
任意角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角的三角函数
[针对训练] (1)已知=2,则tan(α+)等于(　　)
A.5 B.-5 C. D.-
(2)tan(-)=　　　　　.
解析:(1)因为=2,
所以==2,
解得tan α=-5,
所以tan(α+)=-=-=.故选C.
(2)tan(-)=-tan=-tan(2π+)=-tan =-tan(π+)=
-tan =-.
答案:(1)C　(2)-
探究点三　正切函数的图象与性质
角度1　正切函数的图象
[例3] 图中的图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈(-,)内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)
　
a b
　
c d
A.①②③④ B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
解析:y=|tan x|≥0,其图象在x轴及其上方,只有图象a符合,即a对应①,易知y=tan x在(-,)内的图象为b,即b对应②,故排除B,C选项.y=tan(-x)=-tan x在(-,)上单调递减,只有图象d符合,即d对应③,故排除A选项.故选D.
解决图象识别问题的常用方法
(1)作图法:先作出相关函数的图象,再对照选项确定正确答案.
(2)性质法:研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等),排除相关选项,从而确定正确答案.
[针对训练] 函数y=tan(x-)在一个周期内的图象是(　　)
　　　
A B
　　　
C D
解析:当x=时, tan(×-)=0,排除C,D;
当x=时, tan(×-)=tan ,无意义,排除B.故选A.
角度2　正切函数单调性的简单应用
[例4] 比较下列各组中正切函数值的大小.
(1)tan 与tan ;
(2)tan 2,tan 3,tan 4.
解:(1)tan =tan ,tan =tan ,
又0<<<,y=tan x在[0,)上单调递增,
所以tan (2)因为tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),tan 4=tan(4-π),-<2-π<3-π<4-π<且y=tan x在(-,)上单调递增,
所以tan(2-π)利用正切函数的单调性比较大小,角不在同一单调区间上的,利用诱导公式化为同一单调区间上的角的正切值.
[针对训练] 比较下列各组数的大小.
(1)tan 167°与tan 173°;
(2)tan 2与tan 9.
解:(1)因为90°<167°<173°<180°,且y=tan x在(90°,180°)上单调递增,
所以tan 167°(2)因为tan 9=tan(9-2π),而<2<9-2π<π,
且函数y=tan x在(,π)上单调递增,所以tan 2即tan 2角度3　正切函数性质的综合应用
[例5] (多选题)已知函数f(x)=tan(x+),则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的定义域为{x|x≠2k+,k∈Z}
B.函数f(x)的最小正周期为T=4
C.函数f(x)的单调递增区间为{-+2kπ,+2kπ},k∈Z
D.函数f(x)图象的对称中心为(k-,0),k∈Z
解析:由x+≠kπ+(k∈Z),
得x≠2k+(k∈Z),
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠2k+,k∈Z},故A正确;
函数f(x)的最小正周期为T==2,故B错误;
由-+kπ得-+2k所以函数f(x)的单调递增区间为(-+2k,+2k),k∈Z,故C错误;
由x+=得x=k-(k∈Z),所以函数f(x)图象的对称中心为(k-,0),
k∈Z,故D正确.故选AD.
(1)求解与正切函数有关的定义域应明确y=tan x的定义域是{x|x≠
kπ+,k∈Z}.
(2)求解与正切函数有关的单调性问题,在保证正切函数中自变量的系数大于0时,可借助正切函数在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上单调递增,列出关于自变量的不等式,要注意是开区间不能写成闭区间.
(3)函数y=Atan(ωx+)的对称中心是(x0,0),其中x0满足ωx0+=
(k∈Z).
[针对训练] 已知函数f(x)=tan(2x+),则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在定义域内是增函数
B.f(x)图象的对称中心是(-,0)(k∈Z)
C.f(x)是奇函数
D.f(x)图象的对称轴是x=+(k∈Z)
解析:由2x+≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,所以函数f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z},在定义域内不是增函数,选项A错误;令2x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以 f(x) 图象的对称中心为(-,0)(k∈Z),选项B正确;由于函数f(x)的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)是非奇非偶函数,选项C错误;函数f(x)的图象无对称轴,选项D错误.故选B.
当堂检测
1.函数y=tan(-x)的定义域是(　D　)
A.{x|x≠,x∈R}
B.{x|x≠-,x∈R}
C.{x|x≠kπ+,k∈Z,x∈R}
D.{x|x≠kπ+,k∈Z,x∈R}
解析:要使函数有意义,则x-≠kπ+(k∈Z).
解得x≠kπ+(k∈Z),据此可得函数y=tan(-x)的定义域是
{x|x≠kπ+,k∈Z,x∈R}.故选D.
2.函数y=2tan(x-),x∈[-,]的值域是(　C　)
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[-2,2] D.[-,1]
解析:因为x∈[-,],所以x-∈[-,],所以tan(x-)∈[-,1],
所以y=2tan(x-)∈[-2,2].故选C.
3.(多选题)已知函数f(x)=tan(x+),则(　ABD　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}
C.f(x)是增函数
D.f()解析:对于A,函数f(x)的最小正周期为T==π,故A正确;
对于B,由x+≠+kπ,k∈Z,解得x≠+kπ,k∈Z,所以f(x)的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z},故B正确;
对于C,-+kπ对于D,由C知当k=1时,f(x)在(,)上单调递增,所以f()4.求值:tan 600°=　　 　　.
解析:由诱导公式可得tan 600°=tan(360°+240°)=tan 240°=
tan(180°+60°)=tan 60°=.
答案:
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
正切函数的定义、诱导公式 2,3,6,11,12
正切函数的性质 1,7,14
正切函数性质的综合应用 4,5,8,9,10,13
基础巩固
1.tan(-300°)等于(　A　)
A. B.1 C. D.-
解析:tan(-300°)=tan(-300°+360°)=tan 60°=.故选A.
2.函数y=-3tan(2x-)的最小正周期为(　B　)
A. B. C.π D.2π
解析:函数y=-3tan(2x-)的最小正周期T=.故选B.
3.已知角α的终边在直线y=2x上,则tan α的值是(　A　)
A.2 B.±2 C. D.±
解析:在角α的终边上取一点(k,2k)(k≠0),则tan α==2.故选A.
4.函数f(x)=x·tan x(-1　　　
A B
　　　
C D
解析:由f(x)=x·tan x(-1得f(-x)=(-x)tan(-x)=xtan x,
所以f(x)=f(-x),即函数f(x)是偶函数,
故排除A,C.
当00,排除D.故选D.故选B.
5.(多选题)已知函数f(x)=Atan(ωx+)(ω>0,||<)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　BCD　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z}
C.点(-,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
D.f(x)在x∈[,π]上的值域为[-1,1]
解析:由图象知=-=,
所以函数f(x)的最小正周期为,所以A不正确.
因为函数的最小正周期T==,可得ω=2,
所以f()=Atan(2×+)=0,
则+=kπ,k∈Z,
即=kπ-,k∈Z.
因为||<,所以当k=1时,=π-=,
则f(x)=Atan(2x+).
又因为f(0)=1,
所以f(0)=Atan=1,则A=1,
所以f(x)=tan(2x+).
由2x+≠kπ+,k∈Z,
可得x≠+,k∈Z,
所以f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z},
所以B正确.
因为2×(-)+=-,
可得点(-,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,所以C正确.
当x∈[,π]时,2x+∈[,],
可得tan(2x+)∈[-1,1],所以D正确.
故选BCD.
6.已知角α的终边上一点P(-2,1),则tan(π-α)=　　　　.
解析:由正切函数的定义知tan α=-,
则tan(π-α)=-tan α=.
答案:
7.不等式tan(x+)≥1的解集为　　　　　　　　.
解析:由正切函数的性质及tan(x+)≥1得kπ+≤x+所以kπ≤x答案:{x|kπ≤x能力提升
8.(多选题)下列关于函数y=|tan(2x+)|的说法正确的是(　ACD　)
A.定义域为{x|x≠+,k∈Z}
B.在区间(-,)上单调递增
C.最小正周期是
D.图象关于直线x=对称
解析:函数y=|tan(2x+)|满足2x+≠+kπ,k∈Z,
解得x≠+,k∈Z,所以函数定义域为{x|x≠+,k∈Z},故A正确;
当x∈(-,)时,2x+∈(-,),
所以函数y=tan(2x+)在区间(-,)上单调递增,
则函数y=|tan(2x+)|在区间(-,)上先减后增,故B不正确;
函数y=tan(2x+)的最小正周期是,
所以函数y=|tan(2x+)|的最小正周期是,故C正确;
函数y=|tan(2x+)|图象的对称轴满足2x+=,k∈Z,
所以x=-+,k∈Z,则函数y=|tan(2x+)|的图象关于直线x=对称,故D正确.故选ACD.
9.函数f(x)=tan(2x-)-m在[-,n]上的最大值为3,最小值为-1,则mn等于(　D　)
A. B. C.- D.-
解析:因为x∈[-,n],所以n>-,
所以2x-∈[-,2n-].
因为函数f(x)=tan(2x-)-m在[-,n]上的最大值为3,
最小值为-1,
所以2n-<,
即n<,所以-函数f(x)=tan(2x-)-m在[-,n]上单调递增,
所以f(-)=tan(-)-m=-1,
解得m=-2,f(n)=tan(2n-)-m=tan(2n-)+2=3,
解得tan(2n-)=.
所以2n-=+kπ,k∈Z,
得n=+,k∈Z,
又因为-所以n=.故mn=-2×=-.故选D.
10.已知函数f(x)=tan(ωx+)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离是,则f()=　　　　.
解析:函数f(x)=tan(ωx+)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离是,则f(x)的周期T==,解得ω=3,
于是得f(x)=tan(3x+),
所以f()=tan(π+)=tan=1.
答案:1
11.下列各函数值:
①tan 2;②tan(-10);③;
④tan 2 013°.
其中符号为负的有　　 　　.(填序号)
解析:因为<2<π,所以tan 2<0,所以①为负;
又tan(-10)=-tan(10-3π)<0,所以②为负;
因为sin >0,cos π=-1<0,
tan =tan(2π-)<0,所以>0,所以③为正;
又tan 2 013°=tan(11×180°+33°)=tan 33°>0,
所以④为正.
所以符号为负的有①②.
答案:①②
12.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(3,y),且tan α=-.
(1)求y的值;
(2)求的值.
解:(1)因为tan α==-,所以y=-4.
(2)原式=====-10.
13.已知f(x)=-atan x(a≠0).
(1)判断f(x)在x∈[-,]上的奇偶性;
(2)求f(x)的最小正周期;
(3)求f(x)的单调区间;
(4)若a>0,求f(x)在[,)上的值域.
解:(1)因为f(x)=-atan x(a≠0),x∈[-,],
定义域[-,]关于原点对称,
f(-x)=-atan(-x)=atan x=-f(x),
所以f(x)在x∈[-,]上为奇函数.
(2)f(x)的最小正周期为π.
(3)因为y=tan x在(kπ-,kπ+)(k∈Z)上单调递增,
所以当a>0时,f(x)在(kπ-,kπ+)(k∈Z)上单调递减;
当a<0时,f(x)在(kπ-,kπ+)(k∈Z)上单调递增.
(4)当a>0时,f(x)在[,)上单调递减,
故当x=时,f(x)max=-a,无最小值.
所以f(x)在[,)上的值域为(-∞,-a].
应用创新
14.若函数y=tan ωx(ω∈N+)的图象的一个对称中心是点(,0),则ω的最小值为(　B　)
A.2 B.3 C.6 D.9
解析:令ωx=(k∈Z),则x=,k∈Z,
所以函数y=tan ωx(ω∈N+)的图象的对称中心为点(,0)(k∈Z).又y=tan ωx(ω∈N+)的图象的一个对称中心是点(,0),
所以令=(k∈Z),
解得ω=3k(k∈Z).因为ω∈N+,
所以当k=1时,ω取得最小值3.故选B.

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