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§6　平面向量的应用
6.1　余弦定理与正弦定理
学习目标
1.会用向量方法推导余弦、正弦定理,通过余弦、正弦定理的推导过程提高逻辑推理、数学抽象的核心素养.
2.掌握用余弦、正弦定理解三角形问题,培养数学运算、数学抽象的核心素养.
3.通过用余弦、正弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题,增强数学建模与数学运算的核心素养.
第1课时　余弦定理
知识探究
知识点1　余弦定理
条件 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
文字表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍
公式表达 a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C
变形 cos A=, cos B=, cos C=
[思考1] 余弦定理与勾股定理的关系是什么
提示:余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
[思考2] 在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC是钝角三角形吗 请简要说明.
提示:在△ABC中,由a2>b2+c2可得cos A<0,因此角A一定是钝角,所以△ABC是钝角三角形.
知识点2　三角形的面积公式
任意三角形的面积等于其两边及其夹角正弦乘积的二分之一,即S=bcsin A=acsin B=absin C.
(1)余弦定理的特点.
①适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.
②揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量.
(2)解三角形.
①一般地,三角形的三个内角A,B,C和它们的对边a,b,c叫作三角形的元素.
②已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.
(3)判断三角形的形状时经常用到以下结论.
①△ABC为直角三角形 a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.
②△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.
③△ABC为钝角三角形 a2+b2(4)三角形的其他面积公式.
①S=a·ha=b·hb=c·hc(ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高).
②S=(a+b+c)·r(r为△ABC内切圆的半径).
说明:三角形的面积公式S=absin C与原来的面积公式S=ah(h为a边上的高)的关系为h=bsin C,实质上bsin C就是△ABC中边a上的高.
探究点一　余弦定理的应用
角度1　利用余弦定理解三角形
[例1] (1)在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C;
(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A、角C和边a.
解:(1)根据余弦定理得,cos A===,
又A∈(0,π),故A=.
cos C===.
又C∈(0,π),故C=,故B=π--=.
所以A=,B=,C=.
(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.
当a=3时,A=30°,C=120°;
当a=6时,由余弦定理,得cos A===0,
所以A=90°,
所以C=60°.
(1)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边.
(2)若已知角是其中一边的对角,主要是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.
(3)若已知三角形的三边的关系或比例关系,常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质,转化为已知三边结合余弦定理的变形求角.
[针对训练] 在△ABC中,已知a2+c2+bc-6b=2accos B,a=4,则三角形的周长是(　　)
A.2 B.6
C.8 D.10
解析:a2+c2+bc-6b=2accos B=2ac·=a2+c2-b2 b(b+c-6)=0.因为b>0,所以b+c=6.又a=4,所以a+b+c=10.
故选D.
角度2　利用余弦定理判断三角形的形状
[例2] (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“=”是“△ABC是等腰三角形”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)在△ABC中,若-=·,则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析:(1)在△ABC中,由=,结合余弦定理,得a·=b·,整理得a2c2-a4=b2c2-b4,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则a=b或a2+b2=c2,△ABC为等腰三角形或直角三角形,即“=”不能推出“△ABC是等腰三角形”,而△ABC为等腰三角形,不能确定哪两条边相等,不能保证有=成立,所以“=”是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.故选D.
(2)在△ABC中,记角A,B,C的对边分别为a,b,c.因为-=·,所以c2-a2=bccos A=bc·,化简可得c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.故选B.
利用余弦定理判断三角形的形状:首先根据给定的三边找到三角形的最大角,然后判断最大角的余弦值的大小.假设最大角为C,那么当cos C=<0,即a2+b2c2.
[针对训练] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cos B=,则△ABC一定是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析:因为cos B=,
所以b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-2ac·=c2,即b2=c2,则b=c,所以△ABC是等腰三角形.故选A.
探究点二　三角形的面积
角度1　求三角形的面积
[例3] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=3,a=2c,则当C取最大值时,△ABC的面积是　(　　)
A. B.
C. D.
解析:因为cos C===(c+)≥×2=,当且仅当c=时取等号,所以C的最大值为,此时b=3,a=2c=2,△ABC的面积是absin C=×2×3×=.
故选D.
涉及与余弦定理有关的三角形面积问题的解法,一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解,可分为以下两种情况:
(1)若所给条件为边角关系,则需要运用余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解.
(2)若所求面积为多边形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.
[针对训练] 在锐角三角形ABC中,已知a=3,c=,C=60°,则△ABC的面积为(　　)
A. B.或
C. D.
解析:在锐角三角形ABC中,
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,
即7=9+b2-3b,
解得b=1或b=2.
若b=1,则由b2+c2-a2=-1<0,
得A>90°,不符合题意,
所以b=2,
所以△ABC的面积为
S=absin C=×3×2×sin 60°=.
故选C.
角度2　三角形面积的最值
[例4] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos C=.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的周长为6,求△ABC的面积S的最大值.
解:(1)由余弦定理得=,
即a2+b2-c2=2b2-bc,则b2+c2-a2=bc,
所以cos A==,
又0(2)由题意得a+b+c=6,
根据余弦定理得a2=b2+c2-2bccos =b2+c2-bc,
则6=a+b+c=+b+c≥+2=3,
所以bc≤4,当且仅当b=c=2时,取等号.
所以△ABC的面积S=bcsin A=bc≤,故△ABC的面积S的最大值为.
已知三角形的一边(如a)及其对角(如A)求三角形面积的最大值的方法:主要是先利用余弦定理得到a2=b2+c2-2bccos A,再结合基本不等式b2+c2≥2bc,求出bc的最值后求面积的最值.
[针对训练] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,且△ABC的面积的最大值为,求b的值.
解:由B=及余弦定理得b2=a2+c2-2ac×(-)=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac(当且仅当a=c时,取等号),
所以ac≤,
所以S△ABC=acsin B≤××=.
由题意可知=,解得b=4.
当堂检测
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,A=60°,则c等于(　C　)
A.1 B.2 C.4 D.6
解析:由余弦定理,得a2=c2+b2-2cbcos A,
所以13=c2+9-2c·3·cos 60°,
整理得c2-3c-4=0,
解得c=4或c=-1(舍去).
故选C.
2.已知△ABC的边长分别为2,3,4,则它的最大内角的余弦值是(　B　)
A. B.- C. D.-
解析:设△ABC三边a,b,c分别为2,3,4,则C最大,
所以cos C===-.故选B.
3.在△ABC中,若S△ABC=(b2+c2-a2),则A等于(　C　)
A.90° B.60° C.45° D.30°
解析:S△ABC=(b2+c2-a2)=bcsin A,
即sin A=,
得cos A=sin A,
即tan A=1,又A∈(0°,180°),
所以A=45°.
故选C.
4.已知在△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),则△ABC中最小角的大小为　　　.
解析:已知a∶b∶c=2∶∶(+1),令a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0),因此边a所对的角最小.
由余弦定理的变形,
得cos A=
==,
因为0°答案:45°
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
余弦定理及其应用 1,2,5,6,9,10,11
三角形面积 7,8,12,14
综合应用 3,4,13,15
基础巩固
1.在△ABC中,若AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为(　A　)
A. B. C. D.
解析:由题意知cos ∠BAC==-,
因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=.故选A.
2.在△ABC中,A=60°,a2=bc,则△ABC一定是(　D　)
A.等腰直角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
解析:在△ABC中,因为A=60°,a2=bc,所以由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,所以bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0,所以b=c,结合A=60°,得△ABC一定是等边三角形.故选D.
3.在△ABC中,a=7,b=4,c=,则△ABC的最小角为(　C　)
A. B. C. D.
解析:由已知,在△ABC中,a=7,b=4,c=,因为a>b>c,所以△ABC的最小角为C,所以cos C===.又因为C∈(0,π),所以C=.故选C.
4.《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》章给出了弧田面积的计算方法.弧田是由圆弧和其对弦AB围成的图形,如图中阴影部分所示.若弧田所在圆的半径为,O为圆心,弦AB的长是3,则弧田的面积是(　D　)
A. B.2π-
C.- D.π-
解析:依题意,AO=BO=,AB=3,所以由余弦定理得cos∠AOB===-.因为0<∠AOB<π,所以∠AOB=,故的弧长为×=,则扇形AOB的面积为××=π,△AOB的面积为×××=,所以弧田的面积为π-.故选D.
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值为　　　　.
解析:由余弦定理知cos B===,又0答案:
6.已知△ABC中,a=1,b=2,若△ABC为钝角三角形,则c的取值范围是 　　　　　　.
解析:在△ABC中,a=1,b=2,则b-a答案:(1,)∪(,3)
7.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=60°,则△ABC的面积为　　　　.
解析:在△ABC中,因为C=60°,
所以由余弦定理得
c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab.
因为(a+b)2-c2=4,
所以(a+b)2-(a2+b2-ab)=4,化简得3ab=4,
所以ab=,
所以△ABC的面积为absin C=××=.
答案:
能力提升
8.已知钝角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=,a=,c=3,则△ABC的面积为(　C　)
A. B.
C. D.或
解析:因为A=,a=,c=3,由余弦定理可知,cos A===,整理得b2-3b+2=0,解得b=1或b=2.又△ABC是钝角三角形,比较a,b,c三边大小可知,c为最大边,所以角C为最大角,即C为钝角.当b=1时,cos C==<0,符合题意,此时△ABC的面积为S=bcsin A=×1×3×=;当b=2时,cos C==>0,不符合题意.综上可知,△ABC的面积为.故选C.
9.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,a=c,则=　　　　.
解析:由余弦定理得,cos A=,
又A=,a=c,
则=-,即=-1,
即-=-1.令=t(t>0),得t-+1=0,
即t2+t-2=0,解得t=-2(舍去)或t=1.
即=1.
答案:1
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S△ABC=,a=1,b=4,则c=　　　　.
解析:由三角形的面积公式可得S△ABC=absin C=×1×4×sin C=2sin C=,则sin C=.因为0=;当C=时,由余弦定理可得c==
=.
答案:或
11.已知钝角三角形的三边分别为a=k,b=k+2,c=k+4(k>0),则实数k的取值范围是　　　　.
解析:因为c>b>a,且△ABC为钝角三角形,
所以C为钝角.
所以cos C===<0,
所以k2-4k-12<0,解得0由两边之和大于第三边得k+k+2>k+4,
所以k>2.
所以2答案:(2,6)
12.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.若△ABC同时满足下列四个条件中的三个:①sin =;②a2+b2-c2-ab=0;③b=3;④c=2.
(1)请指出符合题意的三个条件,并说明理由;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)符合题意的三个条件是②③④.理由如下:
条件①:0<<,sin =,
则=,所以B=.
条件②:a2+b2-c2-ab=0,
由余弦定理知cos C===.
因为C∈(0,π),所以C=.
因为B+C<π,所以①②只能选择一个.
若选①③④,因为b=3,c=2,即c>b,
所以C>B=,与B+C<π相矛盾,
故①③④不能同时选,所以符合题意的三个条件是②③④.
(2)因为a2+b2-c2-ab=0,b=3,c=2,
所以a2+9-12-3a=0,即a2-3a-3=0,
解得a=或(舍去),
所以△ABC的面积S=absin C=××3×sin =.
13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin(+B)=.
(1)求A;
(2)若b+c=3,求BC边中线AM的取值范围.
解:(1)由已知可得cos B=,由余弦定理,可得=,整理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理,可得cos A==.
又A∈(0,π),所以A=.
(2)因为M为BC的中点,所以=(+),
则=(+)2=(++2·),
即AM2=(c2+b2+2bccos )=[(b+c)2-bc].
因为b+c=3,所以AM2=[9-b(3-b)]=(b2-3b+9)=(b-)2+,
所以AM2∈[,),
所以AM∈[,).
应用创新
14.在锐角三角形ABC中,点D为BC延长线上一点,且=2,AB=5,AC=10,B=,则三角形ABD的面积为(　C　)
A. B.
C. D.
解析:设CD=x,则BC=2x,x>0.
在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BCcos B,
得100=150+4x2-20x,
即2x2-10x+25=0,
解得x=.
当x=时,BC=5(-1),
cos∠ACB===-<0,
∠ACB是一个钝角,不合题意,舍去.
当x=时,BC=5(+1),
cos∠ACB===,
所以∠ACB=,又B=,则∠BAC=,符合题意.
在△ABD中,BD=3x=,
则△ABD的面积S=·AB·BD·sin B=×5××=.
故选C.
15.(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,
AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　.
解析:设BD=k(k>0),则CD=2k.根据题意作出大致图形如图.
在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=
22+k2-2×2k·(-)=k2+2k+4.
在△ACD中,由余弦定理得
AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k·=4k2-4k+4,
则===4-=4-=4-,
因为k+1+≥2(当且仅当k+1=,即k=-1时,等号成立),
所以≥4-=4-2=(-1)2,
所以当取得最小值-1时,BD=k=-1.
答案:-1§6　平面向量的应用
6.1　余弦定理与正弦定理
学习目标
1.会用向量方法推导余弦、正弦定理,通过余弦、正弦定理的推导过程提高逻辑推理、数学抽象的核心素养.
2.掌握用余弦、正弦定理解三角形问题,培养数学运算、数学抽象的核心素养.
3.通过用余弦、正弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题,增强数学建模与数学运算的核心素养.
第1课时　余弦定理
知识探究
知识点1　余弦定理
条件 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
文字表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍
公式表达 a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C
变形 cos A=, cos B=, cos C=
[思考1] 余弦定理与勾股定理的关系是什么
提示:余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
[思考2] 在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC是钝角三角形吗 请简要说明.
提示:在△ABC中,由a2>b2+c2可得cos A<0,因此角A一定是钝角,所以△ABC是钝角三角形.
知识点2　三角形的面积公式
任意三角形的面积等于其两边及其夹角正弦乘积的二分之一,即S=bcsin A=acsin B=absin C.
(1)余弦定理的特点.
①适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.
②揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量.
(2)解三角形.
①一般地,三角形的三个内角A,B,C和它们的对边a,b,c叫作三角形的元素.
②已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.
(3)判断三角形的形状时经常用到以下结论.
①△ABC为直角三角形 a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.
②△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.
③△ABC为钝角三角形 a2+b2(4)三角形的其他面积公式.
①S=a·ha=b·hb=c·hc(ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高).
②S=(a+b+c)·r(r为△ABC内切圆的半径).
说明:三角形的面积公式S=absin C与原来的面积公式S=ah(h为a边上的高)的关系为h=bsin C,实质上bsin C就是△ABC中边a上的高.
探究点一　余弦定理的应用
角度1　利用余弦定理解三角形
[例1] (1)在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C;
(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A、角C和边a.
(1)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边.
(2)若已知角是其中一边的对角,主要是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.
(3)若已知三角形的三边的关系或比例关系,常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质,转化为已知三边结合余弦定理的变形求角.
[针对训练] 在△ABC中,已知a2+c2+bc-6b=2accos B,a=4,则三角形的周长是(　　)
A.2 B.6
C.8 D.10
角度2　利用余弦定理判断三角形的形状
[例2] (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“=”是“△ABC是等腰三角形”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)在△ABC中,若-=·,则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
利用余弦定理判断三角形的形状:首先根据给定的三边找到三角形的最大角,然后判断最大角的余弦值的大小.假设最大角为C,那么当cos C=<0,即a2+b2c2.
[针对训练] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cos B=,则△ABC一定是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
探究点二　三角形的面积
角度1　求三角形的面积
[例3] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=3,a=2c,则当C取最大值时,△ABC的面积是　(　　)
A. B.
C. D.
涉及与余弦定理有关的三角形面积问题的解法,一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解,可分为以下两种情况:
(1)若所给条件为边角关系,则需要运用余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解.
(2)若所求面积为多边形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.
[针对训练] 在锐角三角形ABC中,已知a=3,c=,C=60°,则△ABC的面积为(　　)
A. B.或
C. D.
角度2　三角形面积的最值
[例4] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos C=.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的周长为6,求△ABC的面积S的最大值.
已知三角形的一边(如a)及其对角(如A)求三角形面积的最大值的方法:主要是先利用余弦定理得到a2=b2+c2-2bccos A,再结合基本不等式b2+c2≥2bc,求出bc的最值后求面积的最值.
[针对训练] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,且△ABC的面积的最大值为,求b的值.
当堂检测
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,A=60°,则c等于(　　)
A.1 B.2 C.4 D.6
2.已知△ABC的边长分别为2,3,4,则它的最大内角的余弦值是(　　)
A. B.- C. D.-
3.在△ABC中,若S△ABC=(b2+c2-a2),则A等于(　　)
A.90° B.60° C.45° D.30°
4.已知在△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),则△ABC中最小角的大小为　　　.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
余弦定理及其应用 1,2,5,6,9,10,11
三角形面积 7,8,12,14
综合应用 3,4,13,15
基础巩固
1.在△ABC中,若AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为(　　)
A. B. C. D.
2.在△ABC中,A=60°,a2=bc,则△ABC一定是(　　)
A.等腰直角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
3.在△ABC中,a=7,b=4,c=,则△ABC的最小角为(　　)
A. B. C. D.
4.《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》章给出了弧田面积的计算方法.弧田是由圆弧和其对弦AB围成的图形,如图中阴影部分所示.若弧田所在圆的半径为,O为圆心,弦AB的长是3,则弧田的面积是(　　)
A. B.2π-
C.- D.π-
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值为　　　　.
6.已知△ABC中,a=1,b=2,若△ABC为钝角三角形,则c的取值范围是 　　　　　　.
7.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=60°,则△ABC的面积为　　　　.
能力提升
8.已知钝角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=,a=,c=3,则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C. D.或
9.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,a=c,则=　　　　.
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S△ABC=,a=1,b=4,则c=　　　　.
11.已知钝角三角形的三边分别为a=k,b=k+2,c=k+4(k>0),则实数k的取值范围是　　　　.
12.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.若△ABC同时满足下列四个条件中的三个:①sin =;②a2+b2-c2-ab=0;③b=3;④c=2.
(1)请指出符合题意的三个条件,并说明理由;
(2)求△ABC的面积.
13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin(+B)=.
(1)求A;
(2)若b+c=3,求BC边中线AM的取值范围.
应用创新
14.在锐角三角形ABC中,点D为BC延长线上一点,且=2,AB=5,AC=10,B=,则三角形ABD的面积为(　　)
A. B.
C. D.
15.(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,
AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　.

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