资源简介

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
探究点一　余弦定理、正弦定理的应用
角度1　正弦、余弦定理在几何问题中的应用
[例1] 如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=,BC=,AB⊥AD,AC⊥CD.
(1)若sin ∠BAC=,求sin ∠BCA;
(2)若AD=3AC,求AC.
解:(1)在△ABC中,由正弦定理得=,即=,
解得sin ∠BCA=.
(2)设AC=x,AD=3x,在Rt△ACD中,CD==2x,
sin ∠CAD==.
在△ABC中,由余弦定理得
cos ∠BAC==.
又∠BAC+∠CAD=,
所以cos ∠BAC=sin ∠CAD,即=,
整理得3x2-8x-3=0,解得x=3或x=-(舍去),即AC=3.
求几何图形中线段的长度与角度的方法
(1)求几何图形中线段的长度主要是转化为求三角形的边长,解决此类问题要恰当地选择或构造三角形,利用正弦、余弦定理求解.
(2)求角度时,首先选择涉及该角的三角形,根据其余条件选择三角形后利用正弦、余弦定理求解,有时也需要利用A+B+C=π求解.
[针对训练] 如图所示,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在边BC上,∠ADC=45°,求AD的长度.
解:在△ABC中,由余弦定理,有
cos C===,因为0°在△ACD中,由正弦定理,有=,
所以AD===,即AD的长度为.
角度2　利用正弦、余弦定理进行边角互化解三角形
[例2] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A为锐角,sin B-cos C=.
(1)求角A的大小;
(2)若b=c,且BC边上的高为2,求△ABC的面积.
解:(1)由sin B-cos C=得2absin B-2abcos C=c2-a2,
由余弦定理得2absin B+c2-a2-b2=c2-a2,
所以2asin B=b,
由正弦定理得2sin Asin B=sin B,B是三角形内角,sin B≠0,
所以sin A=,又A为锐角,所以A=.
(2)由(1)及余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=c2+c2-2×c·c·cos=c2,a=c,
所以S△ABC=bcsin A=a·2,
即×c2·=×c·2,
解得c=4,b=c=,
所以S△ABC=bcsin A=××4×=7.
利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化,把条件化为边的关系或化为角的关系.
[针对训练] △ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=120°,sin C=,c=2,则△ABC的面积等于(　　)
A. B.2 C. D.
解析:因为B=120°,sin C=,c=2,
所以由正弦定理=,
可得b==,
所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得7=a2+4-2·a·2×(-),可得a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3(不合题意,舍去).
所以S△ABC=absin C=×1××=.故选A.
探究点二　正弦、余弦定理在实际问题中的应用
角度1　利用正弦、余弦定理求距离
[例3] 如图,某渔船在湖面上A处捕鱼时,天气预报预测几小时后会有恶劣天气,该渔船的东偏北θ方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气,在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25 km,渔船向小岛行驶50 km 后到达B处,测得∠DBC=45°,BD=25(-) km.
(1)求A处距离航标灯D的距离AD;
(2)求cos θ的值.
解:(1)因为AB=50 km,BD=25(-) km,∠DBC=45°,所以在△ABD中由余弦定理得
AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos 135°
=502+[25(-)]2-2×50×25(-)×(-)=5 000,
所以AD=50 km.
(2)因为∠BCD=90°+θ,在△BDC中,
由正弦定理得=,
所以cos θ=sin(90°+θ)==-1.
实际问题中与距离有关的问题的求解策略
(1)解决与距离有关的实际问题的关键是转化为求三角形中的边的问题,因此首先根据题意从实际问题中抽象出几何图形,根据图形特征求解.
(2)若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正弦、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正弦、余弦定理求解.
[针对训练] (1)某地拟对该地某湖泊进行治理,在治理前,需测量该湖泊的相关数据.如图所示,测得 A=23°,C=120°,AC=60 m,则A,B间的直线距离约为(参考数据:sin 37°≈0.6)(　　)
A.60 m B.120 m C.150 m D.300 m
(2)如图,某山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,某人在山脚B处看索道AC,发现∠ABC=120°,从B处攀登400 m后到达D处,再看索道AC,发现∠ADC=150°,从D处再攀登 800 m 后到达C处,则索道AC的长为　 　　　m.
解析:(1)由题意知,B=180°-A-C=37°,在△ABC中,=,即=,所以AB=≈150(m).故选C.
(2)在△ABD中,BD=400 m,∠ABD=120°,
因为∠ADB=180°-∠ADC=30°,所以∠DAB=30°,所以AB=BD=400 m,
在△ABD中,AD==400(m).
在△ADC中,DC=800 m,∠ADC=150°,
AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC
=(400)2+8002-2×400×800×cos 150°=4002×13,
所以AC=400(m),
故索道AC的长为400 m.
答案:(1)C　(2)400
角度2　利用正弦、余弦定理求高度
[例4] 某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB,先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°,然后从点C处沿南偏东30°方向前进20 m到达点D处,在D处测得杆顶的仰角为30°,则旗杆的高为(　　)
A.20 m B.10 m C.10 m D. m
解析:如图所示,AB表示旗杆,
由题意可知∠ACB=45°,∠ACD=60°,∠ADB=30°,
所以设AB=x,
则AD=x,AC=x.
在△ACD中,AD2=AC2+CD2-2·AC·CD·cos∠ACD,
即(x)2=x2+202-20x,
解得x=10(x=-20舍去).
故选B.
利用正弦、余弦定理求高度的方法
(1)处理有关高度问题时,要正确理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.
(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
[针对训练] 如图,为测得某大桥的最高点到地面的距离,在地面上的A,B两点测得最高点P的仰角分别为30°,60°(点A,B与P在地面上的投影O在同一条直线上),又测得AB=140 m,根据测量数据可得高度PO=　　　　 m.
解析:由题可得∠APB=∠PAB=30°,所以PB=140 m,在△BPO中,由正弦定理=,可得PO==140×=70(m).
答案:70
角度3　利用正弦、余弦定理求解与角度有关的问题
[例5] 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a km,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的 倍,问:甲船应向什么方向前进才能在最短时间内追上乙船 此时乙船行驶多少千米
解:如图所示,
设到C点甲船追上乙船,乙到C点用的时间为t,乙船速度为v,
则BC=tv,AC=tv,B=120°.
在△ABC中,由正弦定理可知=,
即=,
所以sin ∠CAB=.
又B=120°>90°,所以∠CAB<90°,
所以∠CAB=30°,
所以∠ACB=30°,
可得BC=AB=a,
所以甲船沿着北偏东30°方向前进才能在最短时间内追到乙船,相遇时乙船已经行驶了a km.
(1)利用正弦、余弦定理求解与角度有关的问题的方法.
利用正弦、余弦定理求解与角度有关的问题首先是画出满足题意的几何图形,利用正弦、余弦定理求角.
(2)常见与角度有关的概念.
名称 定义 图示
仰角 与俯角 在视线和水平线所成角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角,如图
方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角,如图,B点的方位角为α
方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角,如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°(如图所示)
[针对训练] 当太阳光与水平面的倾斜角为60°时,一根长为2 m的竹竿如图所示放置,要使它的影子最长,则竹竿与地面所成的角是(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
解析:设竹竿与地面所成的角为α,影子长为x m,
由正弦定理得=,
所以x=sin(120°-α).
所以当120°-α=90°,即α=30°时,x有最大值,
即当竹竿与地面所成的角是30°时,影子最长.故选B.
当堂检测
1.某大学校园内有一个湖,湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆,如图,若设音乐教室在A处,图书馆在B处,为测量A,B两地之间的距离,甲同学选定了与A,B不共线的C处,构成△ABC,以下是不同方案的测量数据:①测量∠A,∠B,∠C;②测量∠A,∠B,BC;③测量∠A,AC,BC;④测量∠C,AC,BC.其中要求能唯一确定A,B两地之间的距离,甲同学应选择的方案的序号为(　C　)
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
解析:①测量∠A,∠B,∠C,知道三个角度值,三角形有无数多组解,不能唯一确定A,B两地之间的距离;②测量∠A,∠B,BC,已知两角及一边,由正弦定理可知,三角形有唯一的解,能唯一确定A,B两地之间的距离;③测量∠A,AC,BC,已知两边及其一边的对角,由正弦定理可知,三角形可能有2个解,不能唯一确定A,B两地之间的距离;④测量∠C,AC,BC,已知两边及夹角,由余弦定理可知,三角形有唯一的解,能唯一确定A,B两地之间的距离.综上可得,一定能唯一确定A,B两地之间的距离的所有方案的序号是②④.故选C.
2.某数学小组为测量某塔的高度,如图,选取了与塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得AB=30 m,在A,B两点观察塔顶C点,仰角分别为45°和30°,∠ADB=150°,则此塔的高度CD是(　C　)
A.25 m B.25 m
C.30 m D.30 m
解析:设CD=x m,在△ACD中,∠CDA=90°,∠CAD=45°,则AD=x m,在△BCD中,∠CDB=90°,∠CBD=30°,则BD=x m.在△ADB中,∠ADB=150°,所以由余弦定理得x2+3x2-2x·xcos 150°=(30)2,解得x=30.故选C.
3.张叔叔从自家小区楼下出发,向正北方向走了80 m,到达爱心小屋,随后向南偏东60°方向走了30 m,到达健身器械处,则他回到自家小区楼下至少还需走　　　　m.
解析:由题意,设张叔叔的家为A,爱心小屋为B,健身器械处为C,则此人的行走路线如图所示.
在△ABC中,因为AB=80,BC=30,B=60°,
由余弦定理可得AC=
==70,
即张叔叔回到自家小区楼下至少还需走70 m.
答案:70
4.如图,在四边形ABCD中,已知∠ADC=75°,AD=5,AB=7,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BD的长为　　　　,CD的长为　　　　.
解析:在△ABD中,AD=5,AB=7,∠BDA=60°,
由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠BDA,
即49=25+BD2-2×5·BDcos 60°,则BD2-5BD-24=0,
解得BD=8(BD=-3舍去).
在△BCD中,
∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60°=15°,
又∠BCD=135°,
则∠CBD=180°-135°-15°=30°.
由正弦定理,得=,
即=,解得CD=4.
答案:8　4
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
正、余弦定理求解几何问题 1,4,6,8
正、余弦定理在实际问题中的应用 2,3,5,7,9,10,13
正、余弦定理的综合应用 11,12,14
基础巩固
1.在△ABC中,a=4,b=4,A=30°,则角B等于(　D　)
A.30° B.30°或150°
C.60° D.60°或120°
解析:根据正弦定理,得sin B===,因为b>a>bsin A,所以B>A=30°有两解,所以B=60°或120°.故选D.
2.已知船甲在船乙的南偏东15°方向且与船乙的距离为12 km,船丙在船甲的正西方向,若测得船丙在船乙的南偏西45°方向,则船甲与船丙的距离为(　A　)
A.6 km B.6 km
C.4 km D.12 km
解析:如图,设船甲、船丙、船乙所在位置分别为A,B,C,
则∠ACB=45°+15°=60°,∠BAC=90°-15°=75°,
∠ABC=180°-60°-75°=45°.
在△ABC中,由正弦定理得=,即=,
解得AB=6,即船甲与船丙的距离为 6 km.故选A.
3.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是(　D　)
A.10 m B.10 m
C.10 m D.10 m
解析:在△BCD中,CD=10 m,∠BDC=45°,
∠BCD=15°+90°=105°,所以∠DBC=30°,
由正弦定理,得=,
所以BC==10(m).
所以在Rt△ABC中,AB=BC·tan 60°=10(m).故选D.
4.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为(　D　)
A. B. C. D.
解析:设BD=2,则AB=AD=,BC=4.在△ABD中,由余弦定理,得cos A=
==,则sin A=.在△ABC中,由正弦定理,得=,即=,解得sin C=.故选D.
5.如图,在离地面h的热气球M上观察到山顶C处的仰角为θ,在山脚A处观察到山顶C处的仰角为60°,若A到热气球的距离AM=400 m,山的高度BC=600 m,∠ACM=45°,则θ等于(　D　)
A.30° B.25° C.20° D.15°
解析:在Rt△ABC中,BC=600 m,∠CAB=60°,所以AC==400 m.
在△MAC中,由正弦定理知=,解得sin ∠AMC=,所以∠AMC=60°或120°.
当∠AMC=60°时,∠MAC=75°,∠MAD=45°,
所以θ=60°-45°=15°.
当∠AMC=120°时,∠MAC=15°,∠MAB=75°,
θ=120°-(180°-75°)=15°.
所以θ=15°.故选D.
6.一角槽的横断面如图所示,四边形ABED是矩形,已知∠DAC=50°,∠CBE=70°,AC=90,BC=150,则DE=　　　　.
解析:由题意知∠ACB=120°,
在△ACB中,由余弦定理,
得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos ∠ACB
=902+1502-2×90×150×(-)=44 100,
所以AB=210,DE=210.
答案:210
7.如图,现有一直径AB=200 m的半圆形广场,AB所在直线上存在两点C,D,满足OC=OD=200 m(O为AB的中点).市政规划要求,从广场的半圆弧AB上选取一点E,各修建一条地下管道EC和ED通往C,D两点.
(1)设∠EOB=θ,试将管道总长(即线段EC+ED)表示为变量θ的函数;
(2)求管道总长的最大值.
解:(1)在△DOE中,由余弦定理得
ED2=OD2+OE2-2OD·OE·cos ∠EOD=40 000+10 000-2×20 000cos θ=50 000-40 000cos θ.在△COE中,由余弦定理得EC2=OC2+OE2-2·OC·OE·cos ∠EOC=40 000+10 000-2×20 000cos(π-θ)=50 000+40 000 cos θ,
所以管道总长f(θ)=EC+ED
=+
=100(+),θ∈[0,π].
(2)由(1)可得
[f(θ)]2=[100(+)]2
=10 000(10+2·)
=10 000(10+2),
因为θ∈[0,π],所以0≤cos2θ≤1,[f(θ)]2=10 000(10+2)≤10 000(10+2)=200 000,
当且仅当cos2 θ=0,即θ=时取等号.
因为f(θ)=100(+)>0,
所以f(θ)≤=200(m).
所以管道总长的最大值为200 m.
能力提升
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且B=60°,a+c=2b,则△ABC的形状为(　C　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
解析:由题意,在△ABC中,B=60°,a+c=2b,故cos B==,代入b=,可得a2+c2-2ac=(a-c)2=0,即a=c.即b==c,故a=b=c,故△ABC的形状为正三角形.故选C.
9.(多选题)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上,距离为12km;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上,距离8km.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向上,则下列说法正确的是(　AC　)
A.A处与D处之间的距离是24 km
B.灯塔C与D处之间的距离是16 km
C.灯塔C在D处的南偏西30°方向上
D.D在灯塔B的北偏西30°方向上
解析:由题意可知∠ADB=60°,∠BAD=75°,∠CAD=30°,
所以B=180°-60°-75°=45°,AB=12,AC=8.在△ABD中,由正弦定理得=,所以AD==24,故A正确;
在△ACD中,由余弦定理得
CD=,
即CD==8,故B错误;
因为CD=AC,所以∠CDA=∠CAD=30°,所以灯塔C在D处的南偏西30°方向上,故C正确;
由∠ADB=60°,D在灯塔B的北偏西60°方向上,故D错误.故选AC.
10.我国古代数学家刘徽在《九章算术》中指出:“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差.”也就是说目标“极高”“绝深”等不能靠近进行测量时,必须用两次(或两次以上)测量的方法加以实现.为测量某山MN的高度,在A,B测得的数据如图所示(单位:m),则山高MN=
　　　　m,A到山顶的距离AM=　 m.
解析:设MN=h,则BN=h,AN=h,AM=2h,
由题意得AN-BN=100,
即(-1)h=100,得h=50(+1),
则AM=2h=100(+1).
答案:50(+1)　100(+1)
11.如图,四边形ABCD的外接圆直径为5,且cos A=,则四边形ABCD周长的最大值为　　　　.
解析:如图,连接BD,设AB=c,BD=a,AD=b,BC=n,CD=m.由cos A=且0(m+n)2-mn≥(m+n)2-·=,即(m+n)2≤100,
即4所以该四边形ABCD周长的最大值为30.
答案:30
12.(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=,求b.
解:(1)由S1-S2+S3=,
得(a2-b2+c2)=,
即a2-b2+c2=2.
又a2-b2+c2=2accos B,所以accos B=1.
由sin B=,
得cos B=或cos B=-(舍去),
所以ac==,
则△ABC的面积S=acsin B=××=.
(2)由sin Asin C=,ac=及正弦定理知===,
即b2=×=,得b=.
13.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 km的A处,并正以30 km/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v km/h的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少
(2)假设小艇的最高航行速度大小只能达到30 km/h,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇.
解:(1)设相遇时小艇航行的距离为s km,
则s==
=,
当t=时,smin=10,
此时v==30.
所以小艇以30 km/h的速度航行,
相遇时小艇的航行距离最小.
(2)设小艇与轮船在B处相遇,
则v2t2=400+900t2-2×20×30t·cos(90°-30°),故v2=900-+.
又0即-≤0,解得t≥.
又t=时,v=30,
即v=30时,t取得最小值为.
此时,如图,在△OAB中,有OA=OB=AB=20 km,故可设计航行方案:航行方向为北偏东30°,航行速度大小为30 km/h,小艇能以最短时间与轮船相遇.
应用创新
14.如图所示,为了分割麦田,将BD连接,经测量AB=BC=CD=2,AD=2.
(1)若角C=60°,求角A的大小;
(2)研究发现无论BD多长,cos A-cos C为一个定值,请验证该结论,并求出这个定值.
解:(1)由BC=CD=2,C=60°,
可知△BCD是等边三角形,
所以BD=2,
cos A==.
因为0°所以A=30°.
(2)在△ABD中,由余弦定理得
BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=16-8cos A.
在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=8-8cos C.
则16-8cos A=8-8cos C,
即cos A-cos C=1.
所以无论BD多长,cos A-cos C为定值1.第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
探究点一　余弦定理、正弦定理的应用
角度1　正弦、余弦定理在几何问题中的应用
[例1] 如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=,BC=,AB⊥AD,AC⊥CD.
(1)若sin ∠BAC=,求sin ∠BCA;
(2)若AD=3AC,求AC.
求几何图形中线段的长度与角度的方法
(1)求几何图形中线段的长度主要是转化为求三角形的边长,解决此类问题要恰当地选择或构造三角形,利用正弦、余弦定理求解.
(2)求角度时,首先选择涉及该角的三角形,根据其余条件选择三角形后利用正弦、余弦定理求解,有时也需要利用A+B+C=π求解.
[针对训练] 如图所示,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在边BC上,∠ADC=45°,求AD的长度.
角度2　利用正弦、余弦定理进行边角互化解三角形
[例2] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A为锐角,sin B-cos C=.
(1)求角A的大小;
(2)若b=c,且BC边上的高为2,求△ABC的面积.
利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化,把条件化为边的关系或化为角的关系.
[针对训练] △ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=120°,sin C=,c=2,则△ABC的面积等于(　　)
A. B.2 C. D.
探究点二　正弦、余弦定理在实际问题中的应用
角度1　利用正弦、余弦定理求距离
[例3] 如图,某渔船在湖面上A处捕鱼时,天气预报预测几小时后会有恶劣天气,该渔船的东偏北θ方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气,在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25 km,渔船向小岛行驶50 km 后到达B处,测得∠DBC=45°,BD=25(-) km.
(1)求A处距离航标灯D的距离AD;
(2)求cos θ的值.
实际问题中与距离有关的问题的求解策略
(1)解决与距离有关的实际问题的关键是转化为求三角形中的边的问题,因此首先根据题意从实际问题中抽象出几何图形,根据图形特征求解.
(2)若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正弦、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正弦、余弦定理求解.
[针对训练] (1)某地拟对该地某湖泊进行治理,在治理前,需测量该湖泊的相关数据.如图所示,测得 A=23°,C=120°,AC=60 m,则A,B间的直线距离约为(参考数据:sin 37°≈0.6)(　　)
A.60 m B.120 m C.150 m D.300 m
(2)如图,某山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,某人在山脚B处看索道AC,发现∠ABC=120°,从B处攀登400 m后到达D处,再看索道AC,发现∠ADC=150°,从D处再攀登 800 m 后到达C处,则索道AC的长为　 　　　m.
角度2　利用正弦、余弦定理求高度
[例4] 某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB,先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°,然后从点C处沿南偏东30°方向前进20 m到达点D处,在D处测得杆顶的仰角为30°,则旗杆的高为(　　)
A.20 m B.10 m C.10 m D. m
利用正弦、余弦定理求高度的方法
(1)处理有关高度问题时,要正确理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.
(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
[针对训练] 如图,为测得某大桥的最高点到地面的距离,在地面上的A,B两点测得最高点P的仰角分别为30°,60°(点A,B与P在地面上的投影O在同一条直线上),又测得AB=140 m,根据测量数据可得高度PO=　　　　 m.
角度3　利用正弦、余弦定理求解与角度有关的问题
[例5] 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a km,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的 倍,问:甲船应向什么方向前进才能在最短时间内追上乙船 此时乙船行驶多少千米
(1)利用正弦、余弦定理求解与角度有关的问题的方法.
利用正弦、余弦定理求解与角度有关的问题首先是画出满足题意的几何图形,利用正弦、余弦定理求角.
(2)常见与角度有关的概念.
名称 定义 图示
仰角 与俯角 在视线和水平线所成角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角,如图
方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角,如图,B点的方位角为α
方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角,如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°(如图所示)
[针对训练] 当太阳光与水平面的倾斜角为60°时,一根长为2 m的竹竿如图所示放置,要使它的影子最长,则竹竿与地面所成的角是(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
当堂检测
1.某大学校园内有一个湖,湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆,如图,若设音乐教室在A处,图书馆在B处,为测量A,B两地之间的距离,甲同学选定了与A,B不共线的C处,构成△ABC,以下是不同方案的测量数据:①测量∠A,∠B,∠C;②测量∠A,∠B,BC;③测量∠A,AC,BC;④测量∠C,AC,BC.其中要求能唯一确定A,B两地之间的距离,甲同学应选择的方案的序号为(　C　)
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
2.某数学小组为测量某塔的高度,如图,选取了与塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得AB=30 m,在A,B两点观察塔顶C点,仰角分别为45°和30°,∠ADB=150°,则此塔的高度CD是(　C　)
A.25 m B.25 m
C.30 m D.30 m
3.张叔叔从自家小区楼下出发,向正北方向走了80 m,到达爱心小屋,随后向南偏东60°方向走了30 m,到达健身器械处,则他回到自家小区楼下至少还需走　　　　m.
4.如图,在四边形ABCD中,已知∠ADC=75°,AD=5,AB=7,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BD的长为　　　　,CD的长为　　　　.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
正、余弦定理求解几何问题 1,4,6,8
正、余弦定理在实际问题中的应用 2,3,5,7,9,10,13
正、余弦定理的综合应用 11,12,14
基础巩固
1.在△ABC中,a=4,b=4,A=30°,则角B等于(　　)
A.30° B.30°或150°
C.60° D.60°或120°
2.已知船甲在船乙的南偏东15°方向且与船乙的距离为12 km,船丙在船甲的正西方向,若测得船丙在船乙的南偏西45°方向,则船甲与船丙的距离为(　　)
A.6 km B.6 km
C.4 km D.12 km
3.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是(　　)
A.10 m B.10 m
C.10 m D.10 m
4.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为(　　)
A. B. C. D.
5.如图,在离地面h的热气球M上观察到山顶C处的仰角为θ,在山脚A处观察到山顶C处的仰角为60°,若A到热气球的距离AM=400 m,山的高度BC=600 m,∠ACM=45°,则θ等于(　　)
A.30° B.25° C.20° D.15°
6.一角槽的横断面如图所示,四边形ABED是矩形,已知∠DAC=50°,∠CBE=70°,AC=90,BC=150,则DE=　　　　.
7.如图,现有一直径AB=200 m的半圆形广场,AB所在直线上存在两点C,D,满足OC=OD=200 m(O为AB的中点).市政规划要求,从广场的半圆弧AB上选取一点E,各修建一条地下管道EC和ED通往C,D两点.
(1)设∠EOB=θ,试将管道总长(即线段EC+ED)表示为变量θ的函数;
(2)求管道总长的最大值.
能力提升
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且B=60°,a+c=2b,则△ABC的形状为(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
9.(多选题)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上,距离为12km;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上,距离8km.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向上,则下列说法正确的是(　　)
A.A处与D处之间的距离是24 km
B.灯塔C与D处之间的距离是16 km
C.灯塔C在D处的南偏西30°方向上
D.D在灯塔B的北偏西30°方向上
10.我国古代数学家刘徽在《九章算术》中指出:“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差.”也就是说目标“极高”“绝深”等不能靠近进行测量时,必须用两次(或两次以上)测量的方法加以实现.为测量某山MN的高度,在A,B测得的数据如图所示(单位:m),则山高MN=
　　　　m,A到山顶的距离AM=　 m.
11.如图,四边形ABCD的外接圆直径为5,且cos A=,则四边形ABCD周长的最大值为　　　　.
12.(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=,求b.
13.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 km的A处,并正以30 km/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v km/h的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少
(2)假设小艇的最高航行速度大小只能达到30 km/h,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇.
应用创新
14.如图所示,为了分割麦田,将BD连接,经测量AB=BC=CD=2,AD=2.
(1)若角C=60°,求角A的大小;
(2)研究发现无论BD多长,cos A-cos C为一个定值,请验证该结论,并求出这个定值.

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