资源简介

§2　两角和与差的三角函数公式
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
学习目标
1.通过两角差的余弦公式的推导过程,发展数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.通过两角和与差的正弦、余弦及正切的公式的应用,培养逻辑推理、数学运算的核心素养.
3.掌握利用两角和与差的三角函数公式求值、化简及证明,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
情境导入
某城市的电视发射塔CD建在市郊的一座小山上.如图所示,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离约为60 m,从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°,求这座电视发射塔的高度.
设电视发射塔的高度CD=x,则AB=ACcos 15°=60cos 15°,BC=
ACsin 15°=60sin 15°,BD=ABtan 60°=60cos 15°tan 60°=
60cos 15°,所以x=BD-BC=60cos 15°-60sin 15°,如果能求出cos 15°,sin 15° 的值,就可求出电视发射塔的高度了.
探究:已知30°=60°-30°,那么cos 30°=cos 60°-cos 30°成立吗 类似的,15°=45°-30°,那么cos 15°=cos 45°-cos 30°成立吗 α,β∈R,则cos(α-β)=cos α-cos β成立吗
提示:cos 30°≠cos 60°-cos 30°;cos 15°≠cos 45°-cos 30°;
α,β∈R,cos(α-β)=cos α-cos β不一定成立.
知识探究
问题:如图所示,设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作角α,β,α-β,它们的终边分别与单位圆相交于点P1,A1,P.
点P1,A1,P的坐标如何表示 与有什么关系
提示:P1(cos α,sin α),A1(cos β,sin β),P(cos(α-β),
sin(α-β)),||=||.
知识点1　两角和与差的余弦公式
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.(Cα+β)
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.(Cα-β)
(1)公式中α,β可以是任意角,也可以是角的组合.
(2)当α,β中含有(k∈Z)形式时,可以直接使用诱导公式求解.
(3)公式的特点:公式左边是差(和)角的余弦,公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和(差)式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆公式.
[做一做1] cos 55°cos 5°-sin 55°sin 5°=　 .
知识点2　两角和与差的正弦公式
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.(Sα+β)
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.(Sα-β)
[思考] 公式sin(α+β)=sin α+sin β能成立吗
提示:当α,β,α+β中至少有一个为2kπ(k∈Z)时,公式sin(α+β)=sin α+sin β成立.
[做一做2] 已知α是锐角,sin α=,则sin(+α)=　　　　.
知识点3　两角和与差的正切公式
tan(α+β)=.(Tα+β)
tan(α-β)=.(Tα-β)
两角和与差的正切公式的变形
在运用两角和与差的正切公式时,要注意公式的正用、逆用、变形用:
tan(α+β)(1-tan αtan β)= tan α+tan β;
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β);
tan αtan β=1-;
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β);
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β);
tan αtan β=-1.
[做一做3] (1)已知tan α=2,则tan(α+)=　 .
(2)=　　　　.
探究点一　利用两角和与差的公式给角求值
角度1　直接逆用或正用公式求值
[例1] 求值:cos(x+20°)cos(x-40°)+cos(x-70°)sin(x-40°).
涉及正弦、余弦的积的和与差问题时,应考虑转化为逆用两角和与差的正弦、余弦公式.
在逆用公式时,要紧紧抓住公式的特点,必要时使用诱导公式的变形,使之符合公式的特征,有时还可以把三角函数式的系数作为特殊值转化为特殊角.
[针对训练] (1)sin 75°cos 30°-sin 15°sin 150°的值为(　　)
A.1 B. C. D.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=
2cos(α+)sin β,则(　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
角度2　利用和差公式及角的变形给值求值
[例2] 已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos 2α的值.
[变式探究] (1)若本例的条件不变,求sin 2α的值.
(2)将本例改为:<β<α<,sin(α-β)=,sin(α+β)=-,
求sin 2β的值.
解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.
(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差.
(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余、互补”关系.
(3)对于角还可以进行配凑,常见的配凑技巧有:
①α=(α+β)-β;
②α=β-(β-α);
③α=[(α+β)+(α-β)];
④α=[(β+α)-(β-α)];
⑤=(α-)-(-β);
⑥α-γ=(α-β)+(β-γ)等.
角的代换的实质是根据解题的需要把角看活,要在“活”字上做文章.
角度3　利用正切函数的变形式求值
[例3] (1-tan 11°)(1-tan 47°)(1-tan 88°)·(1-tan 124°)等于(　　)
A.2 B.-2
C.4 D.-4
(1)给角求值问题中,若涉及角的正切的和与积的问题,常考虑两角的和与差的正切公式的变形式,如两角和与差的正切公式,可以变形为tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β),利用这个变形,可得如tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)= -tan 20°tan 40°的等式.
(2)若(1+tan α)(1+tan β)=2,则α+β=kπ+(k∈Z),反之,若α+β=kπ+,则(1+tan α)(1+tan β)=2,是一个常用的关系式[式子中α,β均不为kπ+(k∈Z)].
[针对训练] 若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)等于(　　)
A.0 B.1 C. D.2
探究点二　利用和差公式给值求角
[例4] 已知角α,β均为锐角,且cos α=,sin β=,则α-β的值为(　　)
A. B.
C.- D.或-
(1)求解给值求角问题的一般步骤.
①求角的某一个三角函数值.
②确定角的范围.
③根据角的三角函数值及范围确定角的值.
(2)在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数.
①已知正切函数值,选正切函数.
②已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是(0,),选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为(-,),选正弦较好.
[针对训练] 在△ABC中,若tan A(sin C-sin B)=cos B-cos C,且
B≠C,则A的值为　　　　.
当堂检测
1.sin 15°cos 45°+sin 105°sin 135°等于(　　)
A. B. C. D.1
2.设α,β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β等于(　　)
A. B.
C.或 D.或
3.已知sin α=,α∈(,π),则cos(-α)的值为　　　　.
4.若0<α<,0<β<,且tan α=,tan β=,则α+β的值为　　　　.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
给值求值 4,5,7,8
给值求角、给角求值 1,2,3,10,15,16
和差公式的综合应用 6,9,11,12,13,14
基础巩固
1.sin 65°cos 35°-cos 65°cos 55°等于(　　)
A.- B.- C. D.
2.已知 α+β=-,则(1+tan α)·(1+tan β)的值是(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.4
3.已知sin α=,sin β=,且α和β均为钝角,则α+β的值为(　　)
A. B.
C.或 D.
4.已知α,β∈(-,),tan α=3,cos(α+β)=-,则tan(α-β)等于(　　)
A.- B. C.2 D.
5.已知tan α=,tan(α-β)=-.那么tan(2α-β)的值为(　　)
A.- B. C.- D.
6.在△ABC中,A=,AB边上的高等于AB,则tan ∠ACB=　　　　.
7.已知cos α+cos β=,sin α+sin β=,则cos(α-β)=　　　.
8.化简下列各式:
(1);
(2).
能力提升
9.(多选题)已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则(　　)
A.sin 2α= B.cos(α-β)=
C.cos αcos β= D.tan αtan β=3
10.(多选题)已知0<α<β<,且tan α,tan β是方程x2-mx+2=0的两个实根,则下列结论正确的是(　　)
A.tan α+tan β=-m B.m>2
C.m+tan α≥4 D.tan(α+β)=-m
11.如图是由三个半圆构成的几何图形,直径分别为Rt△ABC的斜边AB、直角边BC、直角边AC,点D在以AC为直径的半圆上.已知以直角边AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为3∶1,且cos∠DAB=,则
cos∠DAC等于(　　)
A. B.
C. D.
12.已知α,β∈(,π),sin(α+β)=-,sin(β-)=,则
tan(α+)=　　　　.
13.如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点P的坐标为(-,).
(1)求的值;
(2)若sin β=,β∈(0,),求sin(α+β)的值.
14.已知0<α<,<β<2π,tan α=,sin β=-.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)求α+β的值.
应用创新
15.定义运算|a　bc　d|=ad-bc.若cos α=,
|sin α　sin βcos α　cos β|=,0<β<α<,则β= 　　.
16.log2(1+tan 1°)+log2(1+tan 2°)+log2(1+tan 3°)+…+
log2(1+tan 45°)=　　　　. §2　两角和与差的三角函数公式
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
学习目标
1.通过两角差的余弦公式的推导过程,发展数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.通过两角和与差的正弦、余弦及正切的公式的应用,培养逻辑推理、数学运算的核心素养.
3.掌握利用两角和与差的三角函数公式求值、化简及证明,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
情境导入
某城市的电视发射塔CD建在市郊的一座小山上.如图所示,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离约为60 m,从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°,求这座电视发射塔的高度.
设电视发射塔的高度CD=x,则AB=ACcos 15°=60cos 15°,BC=
ACsin 15°=60sin 15°,BD=ABtan 60°=60cos 15°tan 60°=
60cos 15°,所以x=BD-BC=60cos 15°-60sin 15°,如果能求出cos 15°,sin 15° 的值,就可求出电视发射塔的高度了.
探究:已知30°=60°-30°,那么cos 30°=cos 60°-cos 30°成立吗 类似的,15°=45°-30°,那么cos 15°=cos 45°-cos 30°成立吗 α,β∈R,则cos(α-β)=cos α-cos β成立吗
提示:cos 30°≠cos 60°-cos 30°;cos 15°≠cos 45°-cos 30°;
α,β∈R,cos(α-β)=cos α-cos β不一定成立.
知识探究
问题:如图所示,设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作角α,β,α-β,它们的终边分别与单位圆相交于点P1,A1,P.
点P1,A1,P的坐标如何表示 与有什么关系
提示:P1(cos α,sin α),A1(cos β,sin β),P(cos(α-β),
sin(α-β)),||=||.
知识点1　两角和与差的余弦公式
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.(Cα+β)
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.(Cα-β)
(1)公式中α,β可以是任意角,也可以是角的组合.
(2)当α,β中含有(k∈Z)形式时,可以直接使用诱导公式求解.
(3)公式的特点:公式左边是差(和)角的余弦,公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和(差)式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆公式.
[做一做1] cos 55°cos 5°-sin 55°sin 5°=　 .
解析:原式=cos(55°+5°)=cos 60°=.
答案:
知识点2　两角和与差的正弦公式
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.(Sα+β)
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.(Sα-β)
[思考] 公式sin(α+β)=sin α+sin β能成立吗
提示:当α,β,α+β中至少有一个为2kπ(k∈Z)时,公式sin(α+β)=sin α+sin β成立.
[做一做2] 已知α是锐角,sin α=,则sin(+α)=　　　　.
解析:因为α是锐角,sin α=,
所以cos α=,
所以sin(+α)=sincos α+cos sin α=×+×=.
答案:
知识点3　两角和与差的正切公式
tan(α+β)=.(Tα+β)
tan(α-β)=.(Tα-β)
两角和与差的正切公式的变形
在运用两角和与差的正切公式时,要注意公式的正用、逆用、变形用:
tan(α+β)(1-tan αtan β)= tan α+tan β;
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β);
tan αtan β=1-;
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β);
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β);
tan αtan β=-1.
[做一做3] (1)已知tan α=2,则tan(α+)=　 .
(2)=　　　　.
解析:(1)tan(α+)===-3.
(2)原式=tan(75°-15°)=tan 60°=.
答案:(1)-3　(2)
探究点一　利用两角和与差的公式给角求值
角度1　直接逆用或正用公式求值
[例1] 求值:cos(x+20°)cos(x-40°)+cos(x-70°)sin(x-40°).
解:原式=cos(x+20°)cos(x-40°)+cos[-90°+(x+20°)]·sin(x-40°)
=cos(x+20°)cos(x-40°)+sin(x+20°)sin(x-40°)
=cos[(x+20°)-(x-40°)]=cos 60°=.
涉及正弦、余弦的积的和与差问题时,应考虑转化为逆用两角和与差的正弦、余弦公式.
在逆用公式时,要紧紧抓住公式的特点,必要时使用诱导公式的变形,使之符合公式的特征,有时还可以把三角函数式的系数作为特殊值转化为特殊角.
[针对训练] (1)sin 75°cos 30°-sin 15°sin 150°的值为(　　)
A.1 B. C. D.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=
2cos(α+)sin β,则(　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
解析:(1)sin 75°=sin(90°-15°)=cos 15°,sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°,
因此sin 75°cos 30°-sin 15°sin 150°
=cos 15°cos 30°-sin 15°sin 30°
=cos(15°+30°)=cos 45°=.故选C.
(2)由题意得sin αcos β+cos αsin β+cos α cos β-
sin αsin β=2×(cos α-sin α)·sin β,
整理得sin αcos β-sin β cos α+cos αcos β+
sin α·sin β=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,
所以tan(α-β)=-1.故选C.
角度2　利用和差公式及角的变形给值求值
[例2] 已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos 2α的值.
解:因为<β<α<,
所以-<-β<-.
所以0<α-β<,π<α+β<,
所以sin(α-β)===,
cos(α+β)=-=-=-,
所以cos 2α=cos[(α-β)+(α+β)]
=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)
=×(-)-×(-)=-,
即cos 2α=-.
[变式探究] (1)若本例的条件不变,求sin 2α的值.
(2)将本例改为:<β<α<,sin(α-β)=,sin(α+β)=-,
求sin 2β的值.
解:(1)由本例解析知sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
=×(-)+×(-)=-.
(2)因为<β<α<,
所以0<α-β<,π<α+β<,
所以cos(α-β)=,
cos(α+β)=-,
所以sin 2β=sin[(α+β)-(α-β)]
=sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)
=(-)×-(-)×=0.
解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.
(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差.
(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余、互补”关系.
(3)对于角还可以进行配凑,常见的配凑技巧有:
①α=(α+β)-β;
②α=β-(β-α);
③α=[(α+β)+(α-β)];
④α=[(β+α)-(β-α)];
⑤=(α-)-(-β);
⑥α-γ=(α-β)+(β-γ)等.
角的代换的实质是根据解题的需要把角看活,要在“活”字上做文章.
角度3　利用正切函数的变形式求值
[例3] (1-tan 11°)(1-tan 47°)(1-tan 88°)·(1-tan 124°)等于(　　)
A.2 B.-2
C.4 D.-4
解析:因为tan 135°==-1,
所以1-tan 11°-tan 124°+tan 11°tan 124°=2,
同理可得1-tan 47°-tan 88°+tan 47°tan 88°=2.
所以(1-tan 11°)(1-tan 47°)(1-tan 88°)(1-tan 124°)=(1-tan 11°-tan 124°+tan 11°·tan 124°)(1-tan 47°-tan 88°+tan 47°tan 88°)=4.故选C.
(1)给角求值问题中,若涉及角的正切的和与积的问题,常考虑两角的和与差的正切公式的变形式,如两角和与差的正切公式,可以变形为tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β),利用这个变形,可得如tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)= -tan 20°tan 40°的等式.
(2)若(1+tan α)(1+tan β)=2,则α+β=kπ+(k∈Z),反之,若α+β=kπ+,则(1+tan α)(1+tan β)=2,是一个常用的关系式[式子中α,β均不为kπ+(k∈Z)].
[针对训练] 若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)等于(　　)
A.0 B.1 C. D.2
解析:因为α+β=,所以tan(α+β)=tan ,所以=-1,所以tan α+tan β=tan αtan β-1,所以(1-tan α)(1-tan β)=
1-(tan α+tan β)+tan αtan β
=1-(tan αtan β-1)+tan αtan β=2.故选D.
探究点二　利用和差公式给值求角
[例4] 已知角α,β均为锐角,且cos α=,sin β=,则α-β的值为(　　)
A. B.
C.- D.或-
解析:因为0<α<,0<β<,所以-<α-β<,
又因为cos α=,sin β=,所以sin α=,cos β=,
所以sin(α-β)=sin α·cos β-cos αsin β=-=-,
又-<α-β<,所以α-β=-.故选C.
(1)求解给值求角问题的一般步骤.
①求角的某一个三角函数值.
②确定角的范围.
③根据角的三角函数值及范围确定角的值.
(2)在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数.
①已知正切函数值,选正切函数.
②已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是(0,),选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为(-,),选正弦较好.
[针对训练] 在△ABC中,若tan A(sin C-sin B)=cos B-cos C,且
B≠C,则A的值为　　　　.
解析:因为tan A(sin C-sin B)=cos B-cos C,
所以=,所以sin Asin C-sin A·sin B=cos Acos B-
cos Acos C,即cos Acos C+sin Asin C=cos Acos B+sin Asin B,所以cos(A-C)=cos(A-B).因为A,B,C∈(0,π),所以-π-π所以A=.
答案:
当堂检测
1.sin 15°cos 45°+sin 105°sin 135°等于(　C　)
A. B. C. D.1
解析:sin 15°cos 45°+sin 105°sin 135°
=sin 15°cos 45°+sin(90°+15°)sin(180°-45°)
=sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°
=sin(15°+45°)=sin 60°=.故选C.
2.设α,β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β等于(　A　)
A. B.
C.或 D.或
解析:因为α为锐角,
所以sin α==.
因为α,β都是锐角,所以0<α+β<π,
所以cos(α+β)=±.又α<α+β,
所以cos α>cos(α+β),故cos(α+β)=-,
则cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=.故选A.
3.已知sin α=,α∈(,π),则cos(-α)的值为　　　　.
解析:因为sin α=,α∈(,π),
所以cos α=-=-=-,
所以cos(-α)=coscos α+sin ·sin α=×(-)+×=.
答案:
4.若0<α<,0<β<,且tan α=,tan β=,则α+β的值为　　　　.
解析:由tan α=,tan β=,得tan(α+β)===1,
因为0<α<,0<β<,
所以0<α+β<π,
则α+β=.
答案:
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
给值求值 4,5,7,8
给值求角、给角求值 1,2,3,10,15,16
和差公式的综合应用 6,9,11,12,13,14
基础巩固
1.sin 65°cos 35°-cos 65°cos 55°等于(　C　)
A.- B.- C. D.
解析:sin 65°cos 35°-cos 65°cos 55°
=sin 65°·cos 35°-cos 65°cos(90°-35°)
=sin 65°cos 35°-cos 65°sin 35°=sin(65°-35°)
=sin 30°=.故选C.
2.已知 α+β=-,则(1+tan α)·(1+tan β)的值是(　C　)
A.-1 B.1 C.2 D.4
解析:(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)+1+tan αtan β
=1-tan αtan β+1+tan αtan β=2.故选C.
3.已知sin α=,sin β=,且α和β均为钝角,则α+β的值为(　D　)
A. B.
C.或 D.
解析:因为α和β均为钝角,
所以cos α=-=-,
cos β=-=-.
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=
-×(-)-×=.
由α和β均为钝角,得π<α+β<2π,
所以α+β=.故选D.
4.已知α,β∈(-,),tan α=3,cos(α+β)=-,则tan(α-β)等于(　B　)
A.- B. C.2 D.
解析:因为α∈(-,),tan α=3>0,
所以α∈(0,).
因为β∈(-,),所以-<α+β<π.
又cos(α+β)=-<0,
所以<α+β<π,所以sin(α+β)=,
所以tan(α+β)=-2,
所以tan β=tan[(α+β)-α]==1,
所以tan(α-β)==.
故选B.
5.已知tan α=,tan(α-β)=-.那么tan(2α-β)的值为(　D　)
A.- B. C.- D.
解析:tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]===.
故选D.
6.在△ABC中,A=,AB边上的高等于AB,则tan ∠ACB=　　　　.
解析:由题意设CD为AB边上的高,CD=AB,又A=,
所以AD===AB如图所示.
BD=AB-AD=AB,tan ∠BCD==,
又tan ∠ACD=tan(-)=tan =,
所以tan ∠ACB==3.
答案:3
7.已知cos α+cos β=,sin α+sin β=,则cos(α-β)=　　　.
解析:因为cos α+cos β=,sin α+sin β=,
所以(cos α+cos β)2=,(sin α+sin β)2=,
两式相加得2+2cos(α-β)=1,
所以cos(α-β)=-.
答案:-
8.化简下列各式:
(1);
(2).
解:(1)原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-.
(2)原式==tan(60°-15°)=tan 45°=1.
能力提升
9.(多选题)已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则(　ABD　)
A.sin 2α= B.cos(α-β)=
C.cos αcos β= D.tan αtan β=3
解析:因为α,β为锐角,所以0<α<,0<β<,所以0<α+β<π,0<2α<π.又因为cos(α+β)=-<0,所以<α+β<π,所以sin(α+β)=
=.对于A项,因为cos 2α=-<0,所以<2α<π,则sin 2α==,故A项正确.对于B项,cos(α-β)=
cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=(-)×
(-)+×=,故B项正确.对于C项,因为cos(α-β)=
cos αcos β+sin αsin β=,cos(α+β)=cos αcos β-
sin αsin β=-,两式相加并化简得cos αcos β=,故C项错误.对于D项,由C项分析知,两式相减并化简得sin αsin β=,所以tan αtan β===3,故D项正确.故选ABD.
10.(多选题)已知0<α<β<,且tan α,tan β是方程x2-mx+2=0的两个实根,则下列结论正确的是(　BCD　)
A.tan α+tan β=-m B.m>2
C.m+tan α≥4 D.tan(α+β)=-m
解析:由题意,得tan α+tan β=m,
tan α·tan β=2,
tan(α+β)===-m,故D正确,A错误;
因为0<α<β<,则tan α,tan β均为正数,
所以tan α+tan β=m≥2=2,
当且仅当tan α=tan β,即α=β时,等号成立,而α<β,
所以等号不成立,故B正确;
m+tan α=2tan α+tan β≥2=4,
当且仅当2tan α=tan β时,取等号,故C正确.故选BCD.
11.如图是由三个半圆构成的几何图形,直径分别为Rt△ABC的斜边AB、直角边BC、直角边AC,点D在以AC为直径的半圆上.已知以直角边AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为3∶1,且cos∠DAB=,则
cos∠DAC等于(　B　)
A. B.
C. D.
解析:因为以直角边AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为3∶1,
所以=,所以在Rt△ABC中,∠BAC=.
因为cos∠DAB=,所以sin∠DAB=,
cos∠DAC=cos(∠DAB-)
=cos∠DABcos+sin∠DABsin
=×+×=.故选B.
12.已知α,β∈(,π),sin(α+β)=-,sin(β-)=,则
tan(α+)=　　　　.
解析:因为α,β∈(,π),
所以α+β∈(,2π),β-∈(,).
又sin(α+β)=-,
sin(β-)=,
所以cos(α+β)==,
cos(β-)=-=-.
所以tan(α+β)==-,
tan(β-)==-.
所以tan(α+)=tan[(α+β)-(β-)]
=
==.
答案:
13.如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点P的坐标为(-,).
(1)求的值;
(2)若sin β=,β∈(0,),求sin(α+β)的值.
解:(1)由题得cos α=-,sin α=,tan α=-,
所以===.
(2)由题得,sin β=,β∈(0,),所以cos β=,所以sin(α+β)=
sin αcos β+cos αsin β=×+(-)×=.
14.已知0<α<,<β<2π,tan α=,sin β=-.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)求α+β的值.
解:因为tan α=,所以=.
又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,
所以sin α=,cos α=.
因为sin β=-,<β<2π,
所以cos β===.
(1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×(-)=.
(2)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×(-)=-.
因为0<α<,<β<2π,
所以<α+β<,
所以α+β=.
应用创新
15.定义运算|a　bc　d|=ad-bc.若cos α=,
|sin α　sin βcos α　cos β|=,0<β<α<,则β= 　　.
解析:依题设得,|sin α　sin βcos α　cos β|
=sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.
因为0<β<α<,
所以0<α-β<,
所以cos(α-β)=.
又cos α=,
所以sin α=,
所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,
所以β=.
答案:
16.log2(1+tan 1°)+log2(1+tan 2°)+log2(1+tan 3°)+…+
log2(1+tan 45°)=　　　　.
解析:(1+tan 1°)(1+tan 44°)=1+tan 1°+tan 44°+tan 1°tan 44°=1+tan 1°tan 44°+tan(1°+44°)·(1-tan 1°tan 44°)=2,同理可得(1+tan 2°)(1+tan 43°)=2,…,
(1+tan 22°)·(1+tan 23°)=2,
故log2(1+tan 1°)+log2(1+tan 2°)+log2(1+tan 3°)+…+
log2(1+tan 45°)
=log2[(1+tan 1°)(1+tan 2°)…(1+tan 44°)(1+tan 45°)]
=log2223=23.
答案:23

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