资源简介

§3　二倍角的三角函数公式
3.1　二倍角公式
3.2　半角公式
学习目标
1.通过两角和的公式推导二倍角公式的学习以及二倍角公式的应用,提高逻辑推理与数学运算的核心素养.
2.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想,提高数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1　二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α.(S2α)
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(C2α)
tan 2α=.(T2α)
[思考1] 存在角α,使得sin 2α=2sin α成立吗
提示:存在,当α=kπ(k∈Z)时,公式sin 2α=2sin α成立.
[思考2] 公式tan 2α=成立的条件是什么
提示:当α≠kπ+,2α≠kπ+(k∈Z)时,公式tan 2α=成立.
[做一做1] 已知tan θ=,则cos 2θ等于(　D　)
A. B. C. D.
解析:由题意可得cos 2θ=cos2θ-sin2θ====.故选D.
知识点2　半角公式
sin =±;
cos =±;
tan =±==.
[思考3] 已知角α的象限,则所在的象限以及三角函数值的符号分别是什么
提示:
α sin cos tan
第一象限 第一、第三象限 +,- +,- +
第二象限 第一、第三象限 +,- +,- +
第三象限 第二、第四象限 +,- -,+ -
第四象限 第二、第四象限 +,- -,+ -
[做一做2] 若cos α=,且α∈(0,π),则cos 的值为(　A　)
A. B.- C.± D.±
解析:因为α∈(0,π),所以∈(0,),
所以cos ===.故选A.
(1)关于二倍角公式的理解.
①二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是的二倍等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想.
②对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0且tan α有意义,即α≠kπ+且α≠kπ-且α≠kπ+(k∈Z).
当α=kπ+及α=kπ-(k∈Z)时,tan 2α的值不存在;当α=kπ+
(k∈Z)时,tan α的值不存在,故不能用二倍角公式求tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.
(2)关于二倍角公式的逆用及变换.
①逆用:
2sin αcos α=sin 2α;
sin αcos α=sin 2α;
cos α=;
cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos 2α;
=tan 2α.
②因式分解变换:
cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α).
③配方变换:
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
④升幂缩角变换:
1+cos α=2cos2,
1-cos α=2sin2.
探究点一　利用二倍角公式求值
角度1　给角求值
[例1] 求下列各式的值:
(1)-cos2;
(2)2tan 15°+tan215°;
(3)tan 15°+.
解:(1)原式=-(cos+1)=--=-.
(2)原式=tan 30°(1-tan215°)+tan215°
=×(1-tan215°)+tan215°
=1.
(3)原式=+=====4.
给角求值问题的解法
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
(3)对于一些弦、切混合型的给角求值问题,一般将其统一成弦的形式,再利用二倍角公式,和、差角公式等进行求解.
[针对训练] 计算:(1)sincos;
(2)cos2-cos2;
(3).
解:(1)原式===.
(2)原式=cos2-sin2=cos(2×)=cos=.
(3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=-.
角度2　给值求值
[例2] 已知cos(α+)=,≤α<,求cos 2α与sin 2α的值.
解:因为≤α<,所以≤α+<.
因为cos(α+)>0,所以<α+<,
所以sin(α+)=-=-=-,
所以cos 2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2×(-)×=-,
sin 2α=-cos(2α+)=1-2cos2(α+)=1-2×()2=.
[变式探究] (1)将本例中的条件改为“cos(α-)=”,求sin 2α
的值.
(2)将本例中的条件改为“cos α-sin α=”,求sin 2α的值.
解:(1)sin 2α=cos(-2α)=cos(2α-)=2cos2(α-)-1
=2×()2-1=-.
(2)法一　由cos α-sin α=,两边平方可得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=,
即1-sin 2α=,因此sin 2α=.
法二　由于cos α-sin α=,且cos α-sin α=cos(α+),
因此cos(α+)=,
所以sin 2α=-cos(2α+)=1-2cos2(α+)=1-2×()2=.
利用二倍角公式给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:
(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化.
(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式尤其是诱导公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
探究点二　半角公式的应用
[例3] 已知cos α=,α为第四象限角,求tan 的值.
解:法一　因为α为第四象限角,
所以为第二、第四象限角.
当为第二象限角时,sin ==,
cos =-=-,tan =-;
当为第四象限角时,
sin =-=-,
cos ==,tan =-.
法二　由cos α=,α为第四象限角可知
sin α=-=-=-,因此tan ===-.
[变式探究] 将本例中条件改为“已知sin α=,α为第一象限角”,求sin ,tan 的值.
解:因为α为第一象限角,
所以为第一、第三象限角.
由sin α=,可知cos α=,
因此sin =±=±=±,tan ===.
利用半角公式求半角的正弦值与余弦值时,由于涉及开方,因此首先要根据角α的范围,确定函数值的符号.而对于半角的正切式一般可利用不含根式的半角正切有理式求值.
探究点三　三角恒等变换的综合应用
[例4] 已知函数f(x)=2cos(x+)sin x,g(x)=f(x-).
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)求函数g(x)的零点;
(3)若不等式2a[g(x)++cos 2x]2-2[g(x)+-cos 2x]-3a+3>0在x∈[0,]上恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)f(x)=2cos(x+)sin x=(cos x-sin x)sin x=sin 2x+cos 2x-=sin(2x+)-.
由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z.
(2)由(1)知g(x)=f(x-)=sin[2(x-)+]-=sin 2x-.
令g(x)=0,则sin 2x=,
解得2x=+2kπ或2x=+2kπ,k∈Z,
即x=+kπ或x=+kπ,k∈Z,所以g(x)的零点为x=+kπ或x=+kπ,k∈Z.
(3)由(2)知g(x)=sin 2x-,
原不等式可化为2a(sin 2x+cos 2x)2-2(sin 2x-cos 2x)-3a+3>0.
令t=sin 2x-cos 2x,
则(sin 2x+cos 2x)2=2-t2.
因为t=sin 2x-cos 2x=sin(2x-),
x∈[0,],所以2x-∈[-,],
所以t∈[-1,1],
所以2at2+2t-a-3<0在[-1,1]上恒成立.
令h(t)=2at2+2t-a-3,
当a=0时,h(t)=2t-3<0在[-1,1]上恒成立;
当a>0时,解得0当a<0时,函数h(t)的对称轴为t=->0.
①若0<-≤1,即a≤-时,
h(t)max=h(-)=--a-3<0,解得②若->1,即-h(t)max=h(1)=a-1<0,解得a<1,
故-综上所述,实数a的取值范围是(,1).
求解含正弦、余弦的平方式或积式的函数的方法
已知三角函数关系式中含sin2α,cos2α,sin αcos α的关系式,常逆用二倍角公式结合辅助角公式化为只含一个角的一种三角函数形式后求解.
[针对训练] 已知函数 f(x)=sin xcos x-·(cos2x-sin2x),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解:(1)因为f(x)=sin xcos x-(cos2x-sin2x)
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-),
所以f(x)的最小正周期为T==π.
(2)当x∈时,2x-∈,
所以sin(2x-)∈,
所以sin(2x-)∈ ,
所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.
学海拾贝
万能公式
sin α=;①
cos α=;②
tan α=.③
这组公式称为万能公式.
说明:公式③是二倍角的正切公式,公式①,公式②推导如下:
sin α=2sincos==;
cos α=cos2-sin2==.
[典例探究] 若=,则sin α+cos α的值为　　　　.
解析:因为=tan =,
所以sin α+cos α=+==.
答案:
[应用探究] 若α∈(0,π),且3sin α+2cos α=2,则tan 等于(　　)
A. B. C. D.
解析:法一　因为α∈(0,π),
且3sin α+2cos α=6sin cos +2)2cos2-1)=2,
所以6sin cos +4cos2=4,
即3sin cos +2cos2=2,
所以==2,
解得tan =或tan =0(舍去).故选D.
法二　由3sin α+2cos α=2可知+=2,解得tan =或tan =0(舍去).故选D.
当堂检测
1.化简·cos 28°的结果为(　A　)
A. B.sin 28°
C.2sin 28° D.sin 14°cos 28°
解析:·cos 28°=×·cos 28°=tan 28°cos 28°=.故选A.
2.已知θ∈[0,π],cos θ=,则tan等于(　B　)
A. B. C.7 D.
解析:因为θ∈[0,π],所以∈[0,],
所以cos==,
sin==([另解]sin==),
所以tan==.故选B.
3.(多选题)下列计算结果正确的有(　ABD　)
A.cos4-sin4=
B.=
C.2sin 15°sin 75°=1
D.sin 140°(-tan 190°)=1
解析:cos4-sin4=(cos2+sin2)·(cos2-sin2)=cos=,A正确;
==tan(45°+15°)=tan 60°=,B正确;
2sin 15° sin 75°=2sin 15°sin(90°-15°)
=2sin 15°·cos 15°=sin 30°=,C错误;
由-tan 190°=-tan 10°===,可得sin 140°(-tan 190°)=
=====1,D正确.
故选ABD.
4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin 等于(　D　)
A. B.
C. D.
解析:因为cos α=1-2sin2=,而α为锐角,
所以sin ===.
故选D.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
二倍角公式的应用 1,3,5,7,10
半角公式的应用 2,4
三角恒等变换与三 角函数的综合应用 6,8,9,11, 12,13,14,15
基础巩固
1.将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,这样的分割被称为黄金分割.黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值,被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域.黄金分割的比值为无理数,该值恰好等于2sin 18°,则cos 36°等于(　C　)
A.-2 B. C. D.
解析:因为2sin 18°=,所以sin 18°=,所以cos 36°=1-2sin218°=1-2×()2=.故选C.
2.设5π<θ<6π,cos=a,则sin等于(　D　)
A. B.
C.- D.-
解析:因为5π<θ<6π,所以∈(,3π),∈(,),故sin<0.
又cos=a,所以sin=-=-.故选D.
3.已知α∈(0,),化简-的结果是(　B　)
A.sin α　B.-sin α　C.cos α　D.-cos α
解析:因为α∈(0,),所以cos α>sin α>0.
-
=·-
=·-cos α
=(cos α-sin α)-cos α=-sin α.故选B.
4.若cos θ=-,θ是第三象限角,则等于(　D　)
A. B.- C. D.-2
解析:法一　因为θ为第三象限角,
所以可能为第二、第四象限角,
所以tan =-=-=-3,所以==-2.故选D.
法二　因为θ为第三象限角,
所以sin θ=-=-,
所以tan ===-3,
所以==-2.故选D.
5.(多选题)若cos =,α∈(0,π),则下列结论正确的是(　BD　)
A.cos α= B.sin α=
C.cos(2π-)=- D.cos(+)=-
解析:由α∈(0,π) ∈(0,),
所以sin ===.
因为cos =,所以cos α=2cos2-1=2×-1=-,所以选项A不正确;因为cos =,sin =,所以sin α=2sin cos =2××=,所以选项B正确;因为cos(2π-)=cos =,所以选项C不正确;
因为cos(+)=-sin =-,所以选项D正确.故选BD.
6.若tan α=,则sin(2α-)=　　　　.
解析:依题意sin(2α-)=-cos 2α===-.
答案:-
7.已知tan(x+)=2,则的值为　　　　.
解析:由tan(x+)==2,
得tan x=,
所以tan 2x==,
故=×=.
答案:
能力提升
8.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,
则cos(2α+2β)等于(　B　)
A. B. C.- D.-
解析:因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
而cos αsin β=,因此sin αcos β=,
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×()2=.
故选B.
9.函数f(x)=sin2x+sin xcos x在区间[,]上的最大值是(　A　)
A. B.1
C. D.1+
解析:f(x)=+sin 2x=+sin(2x-).
因为≤x≤,
所以≤2x-≤,
所以f(x)max=f()=+1=.故选A.
10.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若满足sin A=,tan C=-,那么tan(2A+2C)等于(　C　)
A.- B.2
C.-2 D.
解析:法一　因为tan C=-<0,所以在△ABC中,C为钝角,A为锐角,由sin A=可得cos A==,则tan A===,所以tan(A+C)==-,则tan(2A+2C)==-2.故选C.
法二　因为tan C=-<0,所以在△ABC中,C为钝角,A为锐角,
且tan 2C===2,
由sin A=可得cos A==,则tan A===,
所以tan 2A===,
所以tan(2A+2C)===-2.故选C.
11.△ABC的三个内角为A,B,C,当A为　　　　时,cos A+2cos取得最大值,且这个最大值为　　 　　.
解析:cos A+2cos=cos A+2sin
=1-2sin2+2sin=-2sin2+2sin+1
=-2(sin-)2+,
当sin=,即A=60°时,
得(cos A+2cos)max=.
答案:60°　
12.已知函数f(x)=sincos-cos2+cos(x+)+.
(1)若x∈(0,π),求f(x)≥的解集;
(2)若α为锐角,且f(α)=,求tan 2α的值.
解:(1)f(x)=sin x-(1+cos x)-cos(x+)+
=sin x--cos x-cos x+sin x+=sin x-cos x=sin(x-).
由sin(x-)≥,
得sin(x-)≥,
得2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,
即2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
又x∈(0,π),
故f(x)≥的解集为[,].
(2)由sin(α-)=,
得sin(α-)=.
因为α为锐角,
所以cos(α-)==,
故tan 2α==-
=-
=-=-.
13.证明:=tan θ.
证明:法一
因为左边=
=
=
=
==tan θ=右边,
所以原式成立.
法二
因为左边=
=
==tan θ=右边,
所以原式成立.
应用创新
14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-csin B=
bcos C.
(1)求角B的大小;
(2)若sin α sin(α+B)=,且α∈(0,),求cos 2α的值.
解:(1)由题意及正弦定理,
得sin A-sin Csin B=sin B cos C,
所以sin(B+C)-sin Bsin C=sin Bcos C,
即sin Bcos C+cos Bsin C-sin Bsin C=sin Bcos C,
所以cos Bsin C=sin Bsin C.
又sin C≠0,所以tan B=,
因为0所以B=.
(2)因为B=,
所以sin αsin(α+)=,
所以sin2 α+sin αcos α=,
所以+sin 2α=,
即sin 2α-cos 2α=,
所以sin(2α-)=.
因为0<α<,
所以-<2α-<,
所以cos(2α-)=,所以cos 2α=cos(2α-+)
=cos(2α-)·cos-sin(2α-)sin=×-×=.
15.在△ABC中,若3cos2+5sin2=4,则tan Atan B=　　　　.
解析:因为3cos2+5sin2=4,
所以cos(A-B)-cos(A+B)=0,
所以cos Acos B+sin Asin B-cos Acos B+sin Asin B=0,
即cos Acos B=4sin Asin B,
所以tan Atan B=.
答案:§3　二倍角的三角函数公式
3.1　二倍角公式
3.2　半角公式
学习目标
1.通过两角和的公式推导二倍角公式的学习以及二倍角公式的应用,提高逻辑推理与数学运算的核心素养.
2.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想,提高数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1　二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α.(S2α)
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(C2α)
tan 2α=.(T2α)
[思考1] 存在角α,使得sin 2α=2sin α成立吗
提示:存在,当α=kπ(k∈Z)时,公式sin 2α=2sin α成立.
[思考2] 公式tan 2α=成立的条件是什么
提示:当α≠kπ+,2α≠kπ+(k∈Z)时,公式tan 2α=成立.
[做一做1] 已知tan θ=,则cos 2θ等于(　　)
A. B. C. D.
知识点2　半角公式
sin =±;
cos =±;
tan =±==.
[思考3] 已知角α的象限,则所在的象限以及三角函数值的符号分别是什么
提示:
α sin cos tan
第一象限 第一、第三象限 +,- +,- +
第二象限 第一、第三象限 +,- +,- +
第三象限 第二、第四象限 +,- -,+ -
第四象限 第二、第四象限 +,- -,+ -
[做一做2] 若cos α=,且α∈(0,π),则cos 的值为(　　)
A. B.- C.± D.±
(1)关于二倍角公式的理解.
①二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是的二倍等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想.
②对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0且tan α有意义,即α≠kπ+且α≠kπ-且α≠kπ+(k∈Z).
当α=kπ+及α=kπ-(k∈Z)时,tan 2α的值不存在;当α=kπ+
(k∈Z)时,tan α的值不存在,故不能用二倍角公式求tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.
(2)关于二倍角公式的逆用及变换.
①逆用:
2sin αcos α=sin 2α;
sin αcos α=sin 2α;
cos α=;
cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos 2α;
=tan 2α.
②因式分解变换:
cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α).
③配方变换:
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
④升幂缩角变换:
1+cos α=2cos2,
1-cos α=2sin2.
探究点一　利用二倍角公式求值
角度1　给角求值
[例1] 求下列各式的值:
(1)-cos2;
(2)2tan 15°+tan215°;
(3)tan 15°+.
给角求值问题的解法
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
(3)对于一些弦、切混合型的给角求值问题,一般将其统一成弦的形式,再利用二倍角公式,和、差角公式等进行求解.
[针对训练] 计算:(1)sincos;
(2)cos2-cos2;
(3).
角度2　给值求值
[例2] 已知cos(α+)=,≤α<,求cos 2α与sin 2α的值.
[变式探究] (1)将本例中的条件改为“cos(α-)=”,求sin 2α
的值.
(2)将本例中的条件改为“cos α-sin α=”,求sin 2α的值.
利用二倍角公式给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:
(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化.
(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式尤其是诱导公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
探究点二　半角公式的应用
[例3] 已知cos α=,α为第四象限角,求tan 的值.
[变式探究] 将本例中条件改为“已知sin α=,α为第一象限角”,求sin ,tan 的值.
利用半角公式求半角的正弦值与余弦值时,由于涉及开方,因此首先要根据角α的范围,确定函数值的符号.而对于半角的正切式一般可利用不含根式的半角正切有理式求值.
探究点三　三角恒等变换的综合应用
[例4] 已知函数f(x)=2cos(x+)sin x,g(x)=f(x-).
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)求函数g(x)的零点;
(3)若不等式2a[g(x)++cos 2x]2-2[g(x)+-cos 2x]-3a+3>0在x∈[0,]上恒成立,求实数a的取值范围.
求解含正弦、余弦的平方式或积式的函数的方法
已知三角函数关系式中含sin2α,cos2α,sin αcos α的关系式,常逆用二倍角公式结合辅助角公式化为只含一个角的一种三角函数形式后求解.
[针对训练] 已知函数 f(x)=sin xcos x-·(cos2x-sin2x),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
学海拾贝
万能公式
sin α=;①
cos α=;②
tan α=.③
这组公式称为万能公式.
说明:公式③是二倍角的正切公式,公式①,公式②推导如下:
sin α=2sincos==;
cos α=cos2-sin2==.
[典例探究] 若=,则sin α+cos α的值为　　　　.
[应用探究] 若α∈(0,π),且3sin α+2cos α=2,则tan 等于(　　)
A. B. C. D.
当堂检测
1.化简·cos 28°的结果为(　　)
A. B.sin 28°
C.2sin 28° D.sin 14°cos 28°
2.已知θ∈[0,π],cos θ=,则tan等于(　　)
A. B. C.7 D.
3.(多选题)下列计算结果正确的有(　　)
A.cos4-sin4=
B.=
C.2sin 15°sin 75°=1
D.sin 140°(-tan 190°)=1
4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin 等于(　　)
A. B.
C. D.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
二倍角公式的应用 1,3,5,7,10
半角公式的应用 2,4
三角恒等变换与三 角函数的综合应用 6,8,9,11, 12,13,14,15
基础巩固
1.将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,这样的分割被称为黄金分割.黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值,被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域.黄金分割的比值为无理数,该值恰好等于2sin 18°,则cos 36°等于(　　)
A.-2 B. C. D.
2.设5π<θ<6π,cos=a,则sin等于(　)
A. B.
C.- D.-
3.已知α∈(0,),化简-的结果是(　　)
A.sin α　B.-sin α　C.cos α　D.-cos α
4.若cos θ=-,θ是第三象限角,则等于(　　)
A. B.- C. D.-2
5.(多选题)若cos =,α∈(0,π),则下列结论正确的是(　　)
A.cos α= B.sin α=
C.cos(2π-)=- D.cos(+)=-
6.若tan α=,则sin(2α-)=　　　　.
7.已知tan(x+)=2,则的值为　　　　.
能力提升
8.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,
则cos(2α+2β)等于(　　)
A. B. C.- D.-
9.函数f(x)=sin2x+sin xcos x在区间[,]上的最大值是(　　)
A. B.1
C. D.1+
10.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若满足sin A=,tan C=-,那么tan(2A+2C)等于(　)
A.- B.2
C.-2 D.
11.△ABC的三个内角为A,B,C,当A为　　　　时,cos A+2cos取得最大值,且这个最大值为　　 　　.
12.已知函数f(x)=sincos-cos2+cos(x+)+.
(1)若x∈(0,π),求f(x)≥的解集;
(2)若α为锐角,且f(α)=,求tan 2α的值.
13.证明:=tan θ.
应用创新
14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-csin B=
bcos C.
(1)求角B的大小;
(2)若sin α sin(α+B)=,且α∈(0,),求cos 2α的值.
15.在△ABC中,若3cos2+5sin2=4,则tan Atan B=　　　　.

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