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微拓展7　蒙日圆
[考情分析]　在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
微点一　求轨迹方程
蒙日圆的定义 在椭圆+=1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴长与短半轴长平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆. 蒙日圆常用结论 结论1：过圆x2+y2=2a2上任意一点P作圆x2+y2=a2的两条切线，则这两条切线垂直. 结论2：过圆x2+y2=a2+b2上任意一点P作椭圆+=1(a>b>0)的两条切线，则这两条切线垂直. 结论3：过圆x2+y2=a2-b2(a>b>0)上任意一点P作双曲线-=1的两条切线，则这两条切线垂直. 结论4：过圆x2+y2=a2上任意不同两点A，B作圆的切线，若切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=2a2. 结论5：过椭圆+=1(a>b>0)上任意不同两点A，B作椭圆的切线，若切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2+b2. 结论6：过双曲线-=1(a>b>0)上任意不同两点A，B作双曲线的切线，若切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2-b2. 其中，结论1，2，3为蒙日圆的必要性命题，即蒙日圆 切线垂直；结论4，5，6为蒙日圆的充分性命题，即蒙日圆 切线垂直.
1.(2024·咸阳模拟)已知椭圆M的方程为+y2=1，过平面内的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线，则点P的轨迹方程为(　　)
A.x2+y2=5 B.x2+y2=4
C.x2+y2=3 D.x2+y2=
2.(5分)已知双曲线C：-=1(a>b>0)的离心率为若过点E(-1，0)的双曲线C的两条切线互相垂直，则双曲线C的标准方程为　　　　　　.
微点二　面积的最值
设P为蒙日圆上任意一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点. 性质1　PA⊥PB. 性质2　kOP·kAB=-. 性质3　kOA·kPA=-kOB·kPB=-(垂径定理的推广). 性质4　PO平分椭圆的切点弦AB. 性质5　延长PA，PB分别交蒙日圆O于C，D两点，则CD∥AB. 性质6　S△AOB的最大值为S△AOB的最小值为. 性质7　S△APB的最大值为S△APB的最小值为.
3.(2024·恩施模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，现有椭圆C：+=1的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为28，则椭圆C的长轴长为(　　)
A.5 B.8
C.4 D.10
4.(多选)(2024·泰州模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点.直线l的方程为bx+ay-a2-b2=0.下列说法正确的是(　　)
A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3b2
B.对直线l上任意一点P·>0
C.记点A到直线l的距离为d，则d-|AF2|的最小值为b
D.若矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
5.(17分)(2024·永州模拟)已知O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，动点N满足=记点N的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；(5分)
(2)在轨迹E上是否存在点T，使得过点T作椭圆C的两条切线互相垂直？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由；(6分)
(3)过点M的直线y=kx+m(m≠0)交轨迹E于A，B两点，射线OM交轨迹E于点P，射线MO交椭圆C于点Q，求四边形APBQ面积的最大值.(6分)
微点三　参数的范围或求值问题
6.在圆(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)上总存在点P，使得过点P能作椭圆x2+=1的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是(　　)
A.(1，9) B.[1，9)
C.(3，7) D.[3，7]
7.(5分)已知点M是椭圆+=1(a>b>0)两垂直切线的交点，点P是椭圆上一点，过点P的一条直线与点M的轨迹相交于A，B两点，若存在点P，使得|PA|·|PB|=a2-b2，则椭圆离心率的取值范围为　　　　　.
8.(17分)定义椭圆C：+=1(a>b>0)的“蒙日圆”E的方程为x2+y2=a2+b2，已知椭圆C的长轴长为4，离心率为e=.
(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；(6分)
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆C的一条切线MA，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点D，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为k1，k2，证明：k1·k2为定值.(11分)
[总结提升]
熟记蒙日圆形成过程及性质，在选择、填空题可直接应用，在解答题中需要推导证明，证明过程即“导→差→代→联”.
1.若椭圆C：+=1(a>0)的蒙日圆方程为x2+y2=4，则a等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知圆O：x2+y2=1，若在直线y=x+2上总存在点P，使得过点P的圆O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为(　　)
A.k≥1 B.k>1
C.k≥2 D.k>2
3.已知双曲线E：-=1(a>b>0)对应的蒙日圆被直线y=x+1截得的弦长为则双曲线E的离心率为(　　)
A. B. C. D.2
4.如图所示为椭圆E：+=1(a>b>0)及其蒙日圆O，点P，C，D均为蒙日圆与坐标轴的交点，PC，PD分别与E相切于点A，B，若△PAB与△PCD的面积比为4∶9，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5.(多选)(2024·吕梁模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，F2(0)，其短轴上的一个端点到F2的距离为点A在椭圆上，直线l：bx+ay-a2-b2=0，则(　　)
A.直线l与蒙日圆相切
B.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=2
C.若点P是椭圆C的蒙日圆上的动点，过点P作椭圆C的两条切线l1，l2，分别交蒙日圆于M，N两点，则MN的长恒为4
D.记点A到直线l的距离为d，则d-|AF2|的最小值为2+
6.(多选)已知椭圆C：+y2=1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l的方程为x+y-3=0，M为椭圆C的蒙日圆上一动点，MA，MB分别与椭圆相切于A，B两点，O为坐标原点.下列说法正确的是(　　)
A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3
B.kOM·kAB=-2
C.MO平分椭圆的切点弦AB
D.△AOB面积的最小值为最大值为
7.(5分)(2024·赣州模拟)已知两动点A，B在椭圆C：+y2=1(a>1)上，动点P在直线3x+4y-10=0上，若∠APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为　　　　　.
8.(5分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，椭圆C的离心率为M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，则△MPQ面积的最大值为　　　　　.(用含b的代数式表示)
9.(17分)在椭圆C：+=1(a>b>0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2+y2=a2+b2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过点PQ.
(1)求椭圆C的标准方程；(7分)
(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若kOM，kON存在，证明：kOM·kON为定值.(10分)
10.(17分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点F1(-0)，点Q在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；(4分)
(2)经过圆O：x2+y2=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点.
①求证：+=0；(6分)
②求△OAB的面积的取值范围.(7分)
答案精析
高频考点练
1.A　[根据蒙日圆的定义可得，P的轨迹方程为x2+y2=a2+b2=5.]
2.-y2=1
解析　由蒙日圆得点E的轨迹方程为x2+y2=a2-b2，
即点E在圆x2+y2=a2-b2上，
则a2-b2=1，
因为e==，
所以a2=2，b2=1.
故双曲线C的标准方程为-y2=1.
3.B　[由题意可知，椭圆C的蒙日圆的半径为=，
因为MP⊥MQ，
所以PQ为蒙日圆的直径，
|PQ|=2.
因为|MP|·|MQ|≤=2(a2+12)，
当且仅当|MP|=|MQ|=·时等号成立，
所以△MPQ面积的最大值为|MP|·|MQ|=a2+12.
因为△MPQ面积的最大值为28，
所以a2=16，a=4，
故椭圆的长轴长为8.]
4.AD　[对于A，蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，
由e===，
得a2=2b2，
∴椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3b2，A正确；
对于B，由l的方程知，l过点P(b，a)，
又点P满足蒙日圆方程，
∴点P(b，a)在蒙日圆x2+y2=3b2上，
当A，B恰为过点P所作椭圆两条互相垂直的切线的切点时，·=0，B错误；
对于C，∵点A在椭圆上，
∴|AF1|+|AF2|=2a，
∴d-|AF2|=d-(2a-|AF1|)
=d+|AF1|-2a，
当F1A⊥l且点A在F1与直线l之间时，d+|AF1|取得最小值，最小值为F1到直线l的距离，
由A知，a2=2b2，则c2=a2-b2=b2，即c=b，
∴F1到直线l的距离
d'===b，
∴=b-2a，C错误；
对于D，当矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，
∴矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为x，y，则x2+y2=12b2，
∴矩形MNGH的面积S=xy≤=6b2(当且仅当x=y=b时取等号)，
即矩形MNGH面积的最大值为6b2，D正确.]
5.解　(1)设M(m，n)，N(x，y)，
则=(x，y)，=(m，n)，
由=得(x，y)=(m，n)，
即x=m，y=n，
又M(m，n)在椭圆C上，
所以+n2=1. ①
将x=m，y=n代入①，化简得+=1，
所以点N的轨迹E的方程为+=1.
(2)当两条切线的斜率存在时，设过点T(x0，y0)的切线方程为y-y0=k(x-x0)，
联立
消去y得(1+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-2=0，
则由判别式Δ=8[1+2k2-(y0-kx0)2]=0，
得(-2)k2-2x0y0k+-1=0.
又点T在轨迹E上，
所以+=1，
Δ=4(+2-2)>0，
设两条切线的斜率分别为k1，k2，
依题意得k1·k2==-1，
即+=3，
解得x0=0，y0=±，
所以T(0，)或T(0，-)；
当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图象得不符合题意，
综上，存在满足条件的点T，且点T的坐标为(0，)或(0，-).
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y=kx+m代入轨迹E的方程，
可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0，
由Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)=8(6k2+3-m2)>0，
可得m2<3+6k2， ②
且x1+x2=-，x1x2=，
所以|x1-x2|=.
因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积
S0=|m|·|x1-x2|===，
将y=kx+m代入椭圆C的方程可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，
由Δ=8(1+2k2-m2)≥0，
可得m2≤1+2k2， ③
令=t，由②③可知0因此S0==，故S0≤2，
当且仅当t=1，即m2=1+2k2时，S0取得最大值2.
由题知=，
所以△ABP的面积S1=(-1)S0，
又易知△ABQ面积S2=2S0，
从而四边形APBQ的面积S=S1+S2=(+1)S0，
所以四边形APBQ的面积的最大值为2(+1).
6.D　[由题意可知，与椭圆x2+=1相切的两条互相垂直的直线的交点P的轨迹为圆P：x2+y2=4，圆心P(0，0)，半径为2.
在圆C：(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)中，圆心C(4，3)，圆C的半径为r，
又P在圆C上，所以两圆有公共点，
又两圆的圆心距为|PC|==5，
所以|2-r|≤5≤2+r，
所以3≤r≤7.]
7.
解析　根据题意得点M的轨迹为椭圆的蒙日圆，
其方程为x2+y2=a2+b2，
于是|PA|·|PB|=(|AO|-|OP|)·(|BO|+|OP|)=a2+b2-|OP|2，
可得a2+b2-|OP|2=a2-b2，
于是|OP|2=2b2，
又|OP|2=2b2≤a2，
所以e2≥ e≥，
又e∈(0，1)，
所以e的取值范围为.
8.(1)解　由题意知2a=4，e==，
∴c=1，b2=3，
故椭圆的方程为+=1，
∴“蒙日圆”E的方程为x2+y2=4+3=7，即x2+y2=7.
(2)证明　当切线MA的斜率存在且不为零时，设切线MA的方程为y=kx+m，则由
消去y得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0，
∴Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，
∴m2=3+4k2.
由
消去y得(1+k2)x2+2mkx+m2-7=0，
∴Δ=4m2k2-4(1+k2)(m2-7)=16+12k2>0，
设M(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1+x2=，x1x2=，
∴k1k2=====.
∵m2=3+4k2，
∴k1k2===-，
当切线MA的斜率不存在或为零时，易得k1k2=-成立，
∴k1·k2为定值.
补偿强化练
1.A　[由题意知，a+2+a=4，
解得a=1.]
2.A　[由题分析可知圆O的蒙日圆方程为x2+y2=2，即点P的轨迹方程为x2+y2=2，又点P在直线y=x+2上，所以直线y=x+2与圆x2+y2=2必有交点，即≤，解得k≥1.]
3.A　[由蒙日圆定义可得双曲线E对应的蒙日圆的方程为x2+y2=a2-b2，蒙日圆的圆心为原点，半径为.
圆心到直线x-y+1=0的距离为d==，
则该圆被直线y=x+1截得的弦长为2=，
整理得a2=2b2，
故双曲线E的离心率为====.]
4.C　[由题知，蒙日圆O为x2+y2=a2+b2，
设P(0，)，D(，0)，
则直线PD的方程为y=-x+.
由消去y得到(a2+b2)x2-2a2x+a4=0，
显然Δ=(2a2)2-4(a2+b2)a4=0，
解得xB=.
又△PAB与△PCD的面积比为4∶9，
所以=.
又|CD|=2，|AB|=，
所以==，得到a2=2b2，
所以e====.]
5.AC　[由题意知椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2.
又由题意可得c==，
结合a2=b2+c2，解得a=，b=1.
对于A，蒙日圆圆心到直线l的距离为d==，
所以直线l与蒙日圆相切，故A正确；
对于B，椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=4，故B错误；
对于C，由题意可知，l1⊥l2，所以MN为蒙日圆的直径，|MN|=4，故C正确；
对于D，由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|=2，
所以d-|AF2|=d+|AF1|-2，
直线l的方程为x+y-4=0，
点F1到直线l的距离为d1=，
所以d-|AF2|=d+|AF1|-2≥d1-2=，
当且仅当AF1⊥l且点A在F1与直线l之间时，等号成立，故D错误.]
6.ACD　[对于A，由蒙日圆的定义，椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2=3，故A正确；
对于B，kOM·kAB=-=-，故B错误；
对于C，根据蒙日圆的性质，MO平分椭圆的切点弦AB，故C正确；
对于D，由蒙日圆的性质得，S△AOB的最小值为=，S△AOB的最大值为=，故D正确.]
7.
解析　根据题意可得，从圆x2+y2=a2+1上任意一点向椭圆C所作的两条切线互相垂直，
因此当直线 3x+4y-10=0与圆x2+y2=a2+1相离时，∠APB恒为锐角，
故a2+1<=4，
解得1从而离心率e=∈.
8.3b2
解析　因为e=====，
所以a=b，
所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3b2.
由已知条件可得MP⊥MQ，则PQ为圆x2+y2=3b2的一条直径，
由勾股定理可得|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=12b2，
所以S△MPQ=|MP|·|MQ|≤=3b2，
当且仅当|MP|=|MQ|=b时，等号成立，因此，△MPQ面积的最大值为3b2.
9.(1)解　将点P，Q代入+=1，
可得解得
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)证明　由题意可知，蒙日圆方程为x2+y2=3.
①若直线MN的斜率不存在，则直线MN的方程为x=或x=-.
不妨取x=，
易得M(，1)，N(，-1)，
kOM==，kON==-，
∴kOM·kON=-.
②若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+t.
联立
化简整理得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0，
由题意有Δ=16k2t2-4(4k2t2-4k2+2t2-2)=0，解得t2=2k2+1.
设M(x1，y1)(x1≠0)，N(x2，y2)(x2≠0)，
则化简整理得
(k2+1)x2+2ktx+t2-3=0，
Δ1=4k2t2-4(k2+1)(t2-3)=4(3k2-t2+3)=4(3k2+3-2k2-1)=4(k2+2)>0，
x1+x2=-，x1x2=.
则kOM·kON===
=k2+=k2+
==，
∵t2=2k2+1，
∴kOM·kON===-.
综上可知，kOM·kON为定值-.
10.(1)解　∵椭圆C的左焦点F1(-，0)，∴c=.
将Q代入+=1，
得+=1.
又a2-b2=3，∴a2=4，b2=1，
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)①证明　设点P(x0，y0).
当直线PA，PB的斜率都存在时，设过点P与椭圆C相切的直线方程为y=k(x-x0)+y0.
由消去y，
得(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0.
则Δ=64k2(y0-kx0)2-4(1+4k2)·[4(y0-kx0)2-4]=0，
整理得(4-)k2+2x0y0k+1-=0.Δ=4(+4-4)>0，
设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
∴k1k2=，
又+=5，
∴k1k2===-1.
∴PM⊥PN，即MN为圆O的直径，
∴+=0.
当直线PA或PB的斜率不存在时，不妨设P(2，1)，
则直线PA的方程为x=2.
∴M(2，-1)，N(-2，1)，
也满足+=0.
综上，有+=0.
②解　设点A(x1，y1)，B(x2，y2).
当直线PA的斜率存在时，设直线PA的方程为y=k1(x-x1)+y1.
由消去y，
得(1+4)x2+8k1(y1-k1x1)x+4(y1-k1x1)2-4=0.
则Δ=64(y1-k1x1)2-4(1+4)·[4(y1-k1x1)2-4]=0，
整理得(4-+2x1y1k1+1-=0.Δ=4(+4-4)=0，
则k1=-==，
∴直线PA的方程为y=(x-x1)+y1，
化简可得x1x+4y1y=4+，
即+y1y=1.
经验证，当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为x=2或x=-2，也满足+y1y=1.同理，可得直线PB的方程为+y2y=1.
∵P(x0，y0)在直线PA，PB上，
∴+y1y0=1，+y2y0=1.
∴直线AB的方程为+y0y=1.
由消去y，
得(3+5)x2-8x0x+16-16=0.
由Δ=64-4(3+5)(16-16)=3+>0得y0≠0，
∴x1+x2=，x1x2=，
∴|AB|=|x1-x2|=
==.
又点O到直线AB的距离d==.
∴S△OAB=··=.
令=t，t∈(1，4]，
则S△OAB==，
又t+∈，
∴△OAB的面积的取值范围为.(共67张PPT)
专题六　解析几何
微拓展7
蒙日圆
在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
考情分析
高频考点练
补偿强化练
内容索引
高频考点练
PART ONE
微点一　求轨迹方程
蒙日圆的定义
在椭圆+=1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴长与短半轴长平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆.
1
2
3
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6
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8
蒙日圆常用结论
结论1：过圆x2+y2=2a2上任意一点P作圆x2+y2=a2的两条切线，则这两条切线垂直.
结论2：过圆x2+y2=a2+b2上任意一点P作椭圆+=1(a>b>0)的两条切线，则这两条切线垂直.
结论3：过圆x2+y2=a2-b2(a>b>0)上任意一点P作双曲线-=1的两条切线，则这两条切线垂直.
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结论4：过圆x2+y2=a2上任意不同两点A，B作圆的切线，若切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=2a2.
结论5：过椭圆+=1(a>b>0)上任意不同两点A，B作椭圆的切线，若切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2+b2.
结论6：过双曲线-=1(a>b>0)上任意不同两点A，B作双曲线的切线，若切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2-b2.
其中，结论1，2，3为蒙日圆的必要性命题，即蒙日圆 切线垂直；结论4，5，6为蒙日圆的充分性命题，即蒙日圆 切线垂直.
1
2
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4
5
6
7
8
1.(2024·咸阳模拟)已知椭圆M的方程为+y2=1，过平面内的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线，则点P的轨迹方程为
A.x2+y2=5 B.x2+y2=4
C.x2+y2=3 D.x2+y2=
√
1
2
3
4
5
6
7
8
根据蒙日圆的定义可得，P的轨迹方程为x2+y2=a2+b2=5.
2.已知双曲线C：-=1(a>b>0)的离心率为若过点E(-1，0)的双曲线
C的两条切线互相垂直，则双曲线C的标准方程为　　　　.
-y2=1
由蒙日圆得点E的轨迹方程为x2+y2=a2-b2，
即点E在圆x2+y2=a2-b2上，则a2-b2=1，
因为e==
所以a2=2，b2=1.
故双曲线C的标准方程为-y2=1.
1
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7
8
微点二　面积的最值
设P为蒙日圆上任意一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点.
性质1　PA⊥PB.
性质2　kOP·kAB=-.
性质3　kOA·kPA=-kOB·kPB=-(垂径定理的推广).
性质4　PO平分椭圆的切点弦AB.
性质5　延长PA，PB分别交蒙日圆O于C，D两点，则CD∥AB.
性质6　S△AOB的最大值为S△AOB的最小值为.
性质7　S△APB的最大值为S△APB的最小值为.
1
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3
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7
8
3.(2024·恩施模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2 +b2，现有椭圆C：+=1的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为28，则椭圆C的长轴长为
A.5　　　　B.8　　　　C.4　　　　D.10
√
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2
3
4
5
6
7
8
由题意可知，椭圆C的蒙日圆的半径为=
因为MP⊥MQ，
所以PQ为蒙日圆的直径，|PQ|=2.
因为|MP|·|MQ|≤=2(a2+12)，
当且仅当|MP|=|MQ|=·时等号成立，
所以△MPQ面积的最大值为|MP|·|MQ|=a2+12.
因为△MPQ面积的最大值为28，所以a2=16，a=4，
故椭圆的长轴长为8.
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3
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8
4.(多选)(2024·泰州模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点.直线l的方程为bx+ay-a2-b2=0.下列说法正确的是
A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3b2
B.对直线l上任意一点P·>0
C.记点A到直线l的距离为d，则d-|AF2|的最小值为b
D.若矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
√
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8
√
对于A，蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，
由e===得a2=2b2，
∴椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3b2，A正确；
对于B，由l的方程知，l过点P(b，a)，
又点P满足蒙日圆方程，
∴点P(b，a)在蒙日圆x2+y2=3b2上，
当A，B恰为过点P所作椭圆两条互相垂直的切线的切点时·=0，B错误；
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8
对于C，∵点A在椭圆上，
∴|AF1|+|AF2|=2a，
∴d-|AF2|=d-(2a-|AF1|)=d+|AF1|-2a，
当F1A⊥l且点A在F1与直线l之间时，d+|AF1|取得最小值，最小值为F1到直线l的距离，
由A知，a2=2b2，则c2=a2-b2=b2，即c=b，
∴F1到直线l的距离d'===b，
∴=b-2a，C错误；
1
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7
8
对于D，当矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，
∴矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为x，y，则x2+y2=12b2，
∴矩形MNGH的面积S=xy≤=6b2(当且仅当x=y=b时取等号)，
即矩形MNGH面积的最大值为6b2，D正确.
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5.(2024·永州模拟)已知O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，动点N满足=记点N的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；
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8
设M(m，n)，N(x，y)，则=(x，y)=(m，n)，
由=得(x，y)=(m，n)，
即x=m，y=n，
又M(m，n)在椭圆C上，所以+n2=1. ①
将x=m，y=n代入①，化简得+=1，
所以点N的轨迹E的方程为+=1.
(2)在轨迹E上是否存在点T，使得过点T作椭圆C的两条切线互相垂直？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由；
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8
当两条切线的斜率存在时，设过点T(x0，y0)的切线方程为y-y0=k(x-x0)，
联立
消去y得(1+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-2=0，
则由判别式Δ=8=0，
得(-2)k2-2x0y0k+-1=0.
又点T在轨迹E上，所以+=1，Δ=4(+2-2)>0，
1
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8
设两条切线的斜率分别为k1，k2，
依题意得k1·k2==-1，
即+=3，
解得x0=0，y0=±
所以T(0)或T(0，-)；
当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图象得不符合题意，
综上，存在满足条件的点T，且点T的坐标为(0)或(0，-).
(3)过点M的直线y=kx+m(m≠0)交轨迹E于A，B两点，射线OM交轨迹E于点P，射线MO交椭圆C于点Q，求四边形APBQ面积的最大值.
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8
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y=kx+m代入轨迹E的方程，
可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0，
由Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)=8(6k2+3-m2)>0，
可得m2<3+6k2， ②
且x1+x2=-x1x2=
所以|x1-x2|=.
因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0，m)，
1
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4
5
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7
8
所以△OAB的面积S0=|m|·|x1-x2|=
==
将y=kx+m代入椭圆C的方程可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，
由Δ=8(1+2k2-m2)≥0，可得m2≤1+2k2， ③
令=t，由②③可知0因此S0==故S0≤2，
当且仅当t=1，即m2=1+2k2时，S0取得最大值2.
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8
由题知=
所以△ABP的面积S1=(-1)S0，
又易知△ABQ面积S2=2S0，
从而四边形APBQ的面积S=S1+S2=(+1)S0，
所以四边形APBQ的面积的最大值为2(+1).
微点三　参数的范围或求值问题
6.在圆(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)上总存在点P，使得过点P能作椭圆x2+=1的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是
A.(1，9) B.[1，9)
C.(3，7) D.[3，7]
√
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8
由题意可知，与椭圆x2+=1相切的两条互相垂直的直线的交点P的轨迹为
圆P：x2+y2=4，圆心P(0，0)，半径为2.
在圆C：(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)中，圆心C(4，3)，圆C的半径为r，
又P在圆C上，所以两圆有公共点，
又两圆的圆心距为|PC|==5，
所以|2-r|≤5≤2+r，所以3≤r≤7.
6
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8
7.已知点M是椭圆+=1(a>b>0)两垂直切线的交点，点P是椭圆上一点，过点P的一条直线与点M的轨迹相交于A，B两点，若存在点P，使得
|PA|·|PB|=a2-b2，则椭圆离心率的取值范围为　　　　　.
6
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7
8
根据题意得点M的轨迹为椭圆的蒙日圆，
其方程为x2+y2=a2+b2，
于是|PA|·|PB|=(|AO|-|OP|)(|BO|+|OP|)=a2+b2-|OP|2，
可得a2+b2-|OP|2=a2-b2，于是|OP|2=2b2，
又|OP|2=2b2≤a2，所以e2≥ e≥
又e∈(0，1)，所以e的取值范围为.
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8
8.定义椭圆C：+=1(a>b>0)的“蒙日圆”E的方程为x2+y2=a2+b2，已知椭圆C的长轴长为4，离心率为e=.
(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
6
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7
8
由题意知2a=4，e==
∴c=1，b2=3，
故椭圆的方程为+=1，
∴“蒙日圆”E的方程为x2+y2=4+3=7，即x2+y2=7.
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆C的一条切线MA，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点D，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为k1，k2，证明：k1·k2为定值.
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8
当切线MA的斜率存在且不为零时，设切线MA的方程为y=kx+m，则
由
消去y得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0，
∴Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，
∴m2=3+4k2.
由
消去y得(1+k2)x2+2mkx+m2-7=0，
6
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8
∴Δ=4m2k2-4(1+k2)(m2-7)=16+12k2>0，
设M(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1+x2=x1x2=
∴k1k2===
=
=.
6
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8
∵m2=3+4k2，
∴k1k2===-
当切线MA的斜率不存在或为零时，易得k1k2=-成立，
∴k1·k2为定值.
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8
总结提升
熟记蒙日圆形成过程及性质，在选择、填空题可直接应用，在解答题中需要推导证明，证明过程即“导→差→代→联”.
补偿强化练
PART TWO
1.若椭圆C：+=1(a>0)的蒙日圆方程为x2+y2=4，则a等于
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
√
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10
由题意知，a+2+a=4，解得a=1.
2.已知圆O：x2+y2=1，若在直线y=x+2上总存在点P，使得过点P的圆O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为
A.k≥1 B.k>1
C.k≥2 D.k>2
√
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10
由题分析可知圆O的蒙日圆方程为x2+y2=2，
即点P的轨迹方程为x2+y2=2，又点P在直线y=x+2上，
所以直线y=x+2与圆x2+y2=2必有交点，即解得k≥1.
3.已知双曲线E：-=1(a>b>0)对应的蒙日圆被直线y=x+1截得的弦长为则双曲线E的离心率为
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2
√
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5
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10
由蒙日圆定义可得双曲线E对应的蒙日圆的方程为x2+y2=a2-b2，蒙日圆的圆心为原点，半径为.
圆心到直线x-y+1=0的距离为d==
则该圆被直线y=x+1截得的弦长为2=
整理得a2=2b2，故双曲线E的离心率为====.
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10
4.如图所示为椭圆E：+=1(a>b>0)及其蒙日圆O，点P，C，D均为蒙日圆与坐标轴的交点，PC，PD分别与E相切于点A，B，若△PAB与△PCD的面积比为4∶9，则E的离心率为
A.　　　B.　　　C.　　　D.
√
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5
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7
8
9
10
由题知，蒙日圆O为x2+y2=a2+b2，
设P(0)，D(0)，
则直线PD的方程为y=-x+.
由
消去y得到(a2+b2)x2-2a2x+a4=0，
显然Δ=(2a2)2-4(a2+b2)a4=0，
解得xB=.
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10
又△PAB与△PCD的面积比为4∶9，
所以=.
又|CD|=2|AB|=
所以==得到a2=2b2，
所以e====.
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5.(多选)(2024·吕梁模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，F2(0)，其短轴上的一个端点到F2的距离为点A在椭圆上，直线l：bx+ay-a2-b2=0，则
A.直线l与蒙日圆相切
B.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=2
C.若点P是椭圆C的蒙日圆上的动点，过点P作椭圆C的两条切线l1，l2，
分别交蒙日圆于M，N两点，则MN的长恒为4
D.记点A到直线l的距离为d，则d-|AF2|的最小值为2+
√
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8
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10
√
由题意知椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2.
又由题意可得c==
结合a2=b2+c2，解得a=b=1.
对于A，蒙日圆圆心到直线l的距离为d==
所以直线l与蒙日圆相切，故A正确；
对于B，椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=4，故B错误；
对于C，由题意可知，l1⊥l2，所以MN为蒙日圆的直径，|MN|=4，故C正确；
1
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7
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9
10
对于D，由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|=2
所以d-|AF2|=d+|AF1|-2
直线l的方程为x+y-4=0，
点F1到直线l的距离为d1=
所以d-|AF2|=d+|AF1|-2≥d1-2=
当且仅当AF1⊥l且点A在F1与直线l之间时，等号成立，故D错误.
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5
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8
9
10
6.(多选)已知椭圆C：+y2=1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l的方程为x+y-3=0，M为椭圆C的蒙日圆上一动点，MA，MB分别与椭圆相切于A，B两点，O为坐标原点.下列说法正确的是
A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3
B.kOM·kAB=-2
C.MO平分椭圆的切点弦AB
D.△AOB面积的最小值为最大值为
√
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10
√
√
对于A，由蒙日圆的定义，椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2=3，故A正确；
对于B，kOM·kAB=-=-故B错误；
对于C，根据蒙日圆的性质，MO平分椭圆的切点弦AB，故C正确；
对于D，由蒙日圆的性质得，S△AOB的最小值为=S△AOB的最大值为=故D正确.
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7.(2024·赣州模拟)已知两动点A，B在椭圆C：+y2=1(a>1)上，动点P在直线3x+4y-10=0上，若∠APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为
　　　　　.
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10
根据题意可得，从圆x2+y2=a2+1上任意一点向椭圆C所作的两条切线互相垂直，
因此当直线 3x+4y-10=0与圆x2+y2=a2+1相离时，∠APB恒为锐角，
故a2+1<=4，
解得11
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10
8.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，椭圆C的离心率为M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，则△MPQ面积的最大值为　 　.(用含b的代数式表示)
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3b2
因为e=====所以a=b，
所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3b2.
由已知条件可得MP⊥MQ，则PQ为圆x2+y2=3b2的一条直径，
由勾股定理可得|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=12b2，
所以S△MPQ=|MP|·|MQ|≤=3b2，
当且仅当|MP|=|MQ|=b时，等号成立，因此，△MPQ面积的最大值为3b2.
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10
9.在椭圆C：+=1(a>b>0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2+y2=a2+b2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过点PQ.
(1)求椭圆C的标准方程；
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10
将点PQ+=1，可得
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若kOM，kON存在，证明：kOM·kON为定值.
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由题意可知，蒙日圆方程为x2+y2=3.
①若直线MN的斜率不存在，则直线MN的方程为x=或x=-.
不妨取x=易得M(1)，N(-1)，
kOM==kON==-
∴kOM·kON=-.
②若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+t.
联立化简整理得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0，
1
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10
由题意有Δ=16k2t2-4(4k2t2-4k2+2t2-2)=0，解得t2=2k2+1.
设M(x1，y1)(x1≠0)，N(x2，y2)(x2≠0)，
则化简整理得
(k2+1)x2+2ktx+t2-3=0，
Δ1=4k2t2-4(k2+1)(t2-3)=4(3k2-t2+3)=4(3k2+3-2k2-1)=4(k2+2)>0，
x1+x2=-x1x2=.
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10
则kOM·kON===
=k2+=k2+==
∵t2=2k2+1，
∴kOM·kON===-.
综上可知，kOM·kON为定值-.
10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点F1(-0)，点Q在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
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∵椭圆C的左焦点F1(-0)，
∴c=.
将Q+=1，得+=1.
又a2-b2=3，∴a2=4，b2=1，
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)经过圆O：x2+y2=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点.
①求证：+=0；
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10
设点P(x0，y0).
当直线PA，PB的斜率都存在时，设过点P与椭圆C相切的直线方程为y=k(x-x0)+y0.
由消去y，得(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0.
则Δ=64k2(y0-kx0)2-4(1+4k2)[4(y0-kx0)2-4]=0，
整理得(4-)k2+2x0y0k+1-=0.
Δ=4(+4-4)>0，
设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，∴k1k2=
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又+=5，∴k1k2===-1.
∴PM⊥PN，即MN为圆O的直径，
∴+=0.
当直线PA或PB的斜率不存在时，不妨设P(2，1)，则直线PA的方程为x=2.
∴M(2，-1)，N(-2，1)，也满足+=0.
综上，有+=0.
②求△OAB的面积的取值范围.
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设点A(x1，y1)，B(x2，y2).
当直线PA的斜率存在时，设直线PA的方程为y=k1(x-x1)+y1.
由消去y，
得(1+4)x2+8k1(y1-k1x1)x+4(y1-k1x1)2-4=0.
则Δ=64(y1-k1x1)2-4(1+4)[4(y1-k1x1)2-4]=0，
整理得(4-+2x1y1k1+1-=0.
Δ=4(+4-4)=0，
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则k1=-==
∴直线PA的方程为y=(x-x1)+y1，
化简可得x1x+4y1y=4+即+y1y=1.
经验证，当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为x=2或x=-2，也满足+y1y=1.同理，可得直线PB的方程为+y2y=1.
∵P(x0，y0)在直线PA，PB上，
∴+y1y0=1+y2y0=1.
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∴直线AB的方程为+y0y=1.
由消去y，
得(3+5)x2-8x0x+16-16=0.
由Δ=64-4(3+5)(16-16)=3+>0得y0≠0，
∴x1+x2=x1x2=
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∴|AB|=|x1-x2|=
==.
又点O到直线AB的距离d==.
∴S△OAB=··=.
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令=t，t∈
则S△OAB==又t+∈
∴△OAB的面积的取值范围为.

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