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微专题41　圆锥曲线中二级结论的应用
[考情分析]　圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.
微点一　椭圆、双曲线的二级结论
1.设点P是椭圆+=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其左、右焦点，记∠F1PF2=θ，则 (1)|PF1||PF2|=. (2)=b2tan . (3)e=. (4)焦半径公式：①设点P的坐标为(x0，y0)，椭圆的焦点在x轴上，则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0. ②椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设∠PFO=α，则椭圆的焦半径|PF|==若延长PF交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦|PQ|==. (5)过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且||=λ||，则椭圆的离心率等于. 2.设点P是双曲线-=1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其左、右焦点，记∠F1PF2=θ，则 (1)|PF1||PF2|=. (2)=. (3)e=. (4)焦半径公式：①设点P的坐标为(x0，y0)，双曲线的焦点在x轴上，则|PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|. ②双曲线-=1(a>0，b>0)的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设∠PFO=α，则双曲线的焦半径|PF|==若直线PF交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦|PQ|==.(焦半径公式中取“+”还是取“-”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负) (5)过双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且||=λ||，则双曲线的离心率等于.
1.(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：+y2=1的两个焦点，点P在C上，若·=0，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A.1 B.2 C.4 D.5
2.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为e=经过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线交椭圆于A，B两点，已知=3则k等于(　　)
A.1 B. C. D.2
3.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且cos θ=.若|AB|=|AF1|，则双曲线C的离心率为(　　)
A.4 B. C. D.2
微点二　周角定理
已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则在椭圆中，kPA·kPB=-=e2-1，在双曲线中，kPA·kPB==e2-1.
4.(2024·葫芦岛模拟)已知椭圆G：+=1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为(　　)
A. B. C.- D.-
5.已知A，B分别为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6.如图，A，B分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
微点三　抛物线的二级结论
1.焦点弦AB的长度表示(见图1) (1)用A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标表示 对于抛物线y2=2px(p>0)而言： |AB|=x1+x2+p=2x0+p(其中x0为线段AB中点的横坐标). 对于抛物线x2=2py(p>0)而言： |AB|=y1+y2+p=2y0+p(其中y0为线段AB中点的纵坐标). (2)用直线AB的倾斜角θ表示(见图2) 对于抛物线y2=2px(p>0)而言： |AF|=|AC|=|GF|+|FH|=p+|AF|cos θ， |AF|=同理 |BF|= 则|AB|=|AF|+|BF|=. 对于抛物线x2=2py(p>0)而言： 同理可得 |AF|=|BF|= 则|AB|=|AF|+|BF|=. 2.设AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的弦，AC⊥l，BD⊥l，M是CD的中点. A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有(见图3) (1)y1y2=-p2，x1x2=. (2)+=. (3)MF⊥AB. (4)MA⊥MB. (5)A，O，D三点共线. (6)以AB为直径的圆与l相切. 3.设M为抛物线y2=2px(p>0)的准线l上一点，MA，MB均与抛物线相切，A，B为切点，则有(见图4) (1)AB过焦点F. (2)2yM=yA+yB. (3)MA⊥MB. (4)MF⊥AB.
7.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
8.已知抛物线y2=4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|+|BF|的最小值为(　　)
A.2 B.2+3 C.4 D.3+2
9.(多选)已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线x=my+2交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，交准线l于Q点，则下面结论正确的是(　　)
A.以AF为直径的圆与y轴相切
B.+=
C.·=0
D.|MN|的最小值为4
[总结提升]
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速解决圆锥曲线压轴小题，常用结论包括椭圆与双曲线中的焦点三角形面积公式、焦半径、切线方程、离心率、周角定理以及抛物线焦点弦二级结论等.
1.设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a等于(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
2.已知A，B，P是双曲线-=1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)
A. B. C. D.
4.黄金分割比ω=≈0.618被誉为“人间最巧的比例”.离心率e=的椭圆被称为“优美椭圆”.已知一“优美椭圆”+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点P(异于椭圆的左、右顶点)，设直线PA，PB斜率分别为k1，k2，则k1k2为(　　)
A. B.
C. D.
5.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若=4则△AOB的面积为(　　)
A. B. C. D.
6.设F1，F2分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，l在y轴上的截距为1，若|AF1|=3|F1B|，且AF2⊥x轴，则此椭圆的长轴长为(　　)
A. B.3 C. D.6
7.(多选)已知椭圆C：+=1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是(　　)
A.离心率e=
B.△F1PF2的周长为18
C.直线PA与直线PB斜率乘积为定值-
D.若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为8
8.(多选)已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，则下列结论正确的是(　　)
A.若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|=8
B.若=2则直线AB的斜率为±2
C.若O为坐标原点，则B，O，C三点共线
D.CF⊥DF
9.(5分)过双曲线C：-=1的右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AF|=则|BF|=　　　　.
10.(5分)已知抛物线C：y2=16x的焦点为F，直线x-my-4=0(m∈R)与抛物线C交于A，B两点，则|AF|+4|BF|的最小值是　　　　.
答案精析
高频考点练
1.B　[方法一　因为·=0，
所以∠F1PF2=90°，
从而=b2tan 45°=1=|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|=2.
方法二　因为·=0，
所以∠F1PF2=90°，
由椭圆方程可知c2=5-1=4，
解得c=2，
所以+==42=16，
又|PF1|+|PF2|=2a=2，
平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=16+2|PF1|·|PF2|=20，
所以|PF1|·|PF2|=2.]
2.B　[∵λ=3，e=，
由规律得cos α=，cos α=，k=tan α=.]
3.D　[|BF2|=，
|AB|=|AF2|+|BF2|=|AF1|=2a+|AF2| |BF2|=2a =2a e2-e-3=0 e=2.]
4.C　[根据周角定理可知kAP·kBP=-=-.]
5.B　[由周角定理可得kAP·kBP==e2-1=2，解得e=.]
6.C　[根据周角定理可知kAQ·kBQ=e2-1，又
所以kAQ·kBP=4kAQ·kBQ
=4(e2-1)=-1 e=.]
7.A　[如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈，
则直线l2的倾斜角为+θ，
由抛物线的焦点弦弦长公式知
|AB|==，
|DE|==，
所以|AB|+|DE|=+==≥16，
当且仅当sin 2θ=1，即θ=时，等号成立，
即|AB|+|DE|的最小值为16.]
8.D　[因为p=2，
所以+==1，
所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)=3++≥3+2=3+2，
当且仅当|BF|=|AF|，即|AF|=+1，|BF|=+1时，等号成立，
因此，2|AF|+|BF|的最小值为
3+2.]
9.ACD　[对于A，由题意得F(2，0)，准线l：x=-2，由抛物线的结论可得，以AF为直径的圆与y轴相切，A正确；
对于B，有+==，B错误；
对于C，由抛物线的结论可得AQ⊥BQ，故·=0，C正确；
对于D，设以AB为直径的圆的圆心为E，点E到y轴的距离d=4m2+2，
由垂径定理得|MN|=2=2=2
=2，
故当m=0时，|MN|取得最小值，最小值为4，D正确.]
补偿强化练
1.A　[根据焦点三角形面积公式可知，
=，其中θ=∠F1PF2，
由题意知=4，θ=，
代入=，
可得b=2，又离心率=，
结合c2=a2+b2，解得a=1.]
2.D　[因为kPA·kPB==，
所以e2==，
所以e=.]
3.D　[在抛物线C：y2=3x中，2p=3，p=，
又|AB|=，
故S△OAB=|OF||AB|sin 30°===.]
4.D　[根据周角定理可求得k1k2=-=e2-1=-1=.]
5.B　[设直线AB的倾斜角为θ，由题意知=3，|AF|=，|BF|=，
所以=3，cos θ=，sin θ=，
又|AB|=，
所以S=|OF||AB|sin θ===.]
6.D　[设直线l的倾斜角为θ，由题意得=2，=3· ecos θ=，则=2a-2 2a=6.]
7.ABC　[由+=1，
可得a=5，b=3，c==4，
对于A，离心率e==，故A正确；
对于B，△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=18，故B正确；
对于C，kPA·kPB=-=-，故C正确；
对于D，因为∠F1PF2=90°，=b2tan=9，故D错误.]
8. ACD　[若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|==8，故A正确；
设直线AB的倾斜角为θ，若=2，
则|cos θ|==，
故k=tan θ=±2，故B错误；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则C(-1，y1)，
所以kOB-kOC=+y1===0，
故B，O，C三点共线，故C正确；
设C(-1，y1)，D(-1，y2)，F(1，0)，
则·=(2，-y1)·(2，-y2)=4+y1y2=4-p2=0，
故CF⊥DF，故D正确.]
9.2
解析　设∠AFO=α，
因为|AF|=，
所以点A必在双曲线右支上，
由焦半径公式，得|AF|===，
解得cos α=，所以sin α=，
从而tan α=，双曲线C的渐近线的斜率为±，
因为>，
所以点B也在双曲线的右支上，如图所示，
由图可知，∠BFO=π-∠AFO=π-α，
所以|BF|===2.
10.36
解析　方法一　设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，由抛物线的定义，知
|AF|=x1+4，|BF|=x2+4，
联立
化简得x2-(16m2+8)x+16=0，
由根与系数的关系得x1x2=16，
|AF|+4|BF|=x1+4+4(x2+4)=x1+4x2+20≥2+20=36，
当且仅当x1=4x2，
即x1=8，x2=2时等号成立，
∴|AF|+4|BF|的最小值为36.
方法二　抛物线的焦点F(4，0)在直线x-my-4=0上，
∴+==，
∴+=1，
∴|AF|+4|BF|=(|AF|+4|BF|)=4+++16≥20+2=36，
当且仅当=，
即|AF|=12，|BF|=6时等号成立，
∴(|AF|+4|BF|)min=36.(共47张PPT)
专题六　解析几何
微专题41
圆锥曲线中二级结论的应用
圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.
考情分析
思维导图
高频考点练
补偿强化练
内容索引
高频考点练
PART ONE
微点一　椭圆、双曲线的二级结论
1.设点P是椭圆+=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其左、右焦点，记∠F1PF2=θ，则
(1)|PF1||PF2|=.
(2)=b2tan .
(3)e=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(4)焦半径公式：①设点P的坐标为(x0，y0)，椭圆
的焦点在x轴上，则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0.
②椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F，P为椭圆
上任意一点，设∠PFO=α，则椭圆的焦半径|PF|
==若延长PF交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦|PQ|==.
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(5)过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且||=λ||，则椭圆的离心率等于.
2.设点P是双曲线-=1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其左、右焦点，记∠F1PF2=θ，则
(1)|PF1||PF2|=.
(2)=.
(3)e=.
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(4)焦半径公式：①设点P的坐标为(x0，y0)，双曲线的焦点在x轴上，则|PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|.
②双曲线-=1(a>0，b>0)的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设∠PFO=α，则双曲线的焦半径|PF|==若直线PF交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦|PQ|==
.(焦半径公式中取“+”还是取“-”
由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负)
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(5)过双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且||=λ||，则双曲线的离心率等于.
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1.(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：+y2=1的两个焦点，点P在C上，若·=0，则|PF1|·|PF2|等于
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.5
√
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方法一　因为·=0，所以∠F1PF2=90°，
从而=b2tan 45°=1=|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|=2.
方法二　因为·=0，所以∠F1PF2=90°，
由椭圆方程可知c2=5-1=4，解得c=2，
所以+==42=16，
又|PF1|+|PF2|=2a=2
平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=16+2|PF1|·|PF2|=20，所以|PF1|·|PF2|=2.
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2.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为e=经过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线交椭圆于A，B两点，已知=3则k等于
A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.2
√
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∵λ=3，e=
由规律得cos α=cos α=k=tan α=.
3.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且cos θ=.若|AB|=|AF1|，则双曲线C的离心率为
A.4　　　　B.　　　　C.　　　　D.2
√
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|BF2|=
|AB|=|AF2|+|BF2|=|AF1|=2a+|AF2| |BF2|=2a =2a e2-e-3=0 e=2.
微点二　周角定理
已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则在椭圆中，kPA·kPB=-=e2-1，在双曲线中，kPA·kPB==e2-1.
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4.(2024·葫芦岛模拟)已知椭圆G：+=1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为
A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-
√
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根据周角定理可知kAP·kBP=-=-.
5.已知A，B分别为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
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由周角定理可得kAP·kBP==e2-1=2，
解得e=.
6.如图，A，B分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为
A. B.
C. D.
√
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根据周角定理可知kAQ·kBQ=e2-1，
又
所以kAQ·kBP=4kAQ·kBQ=4(e2-1)=-1 e=.
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微点三　抛物线的二级结论
1.焦点弦AB的长度表示(见图1)
(1)用A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标表示
对于抛物线y2=2px(p>0)而言： |AB|=x1+x2+p=2x0+p
(其中x0为线段AB中点的横坐标).
对于抛物线x2=2py(p>0)而言： |AB|=y1+y2+p=2y0+p
(其中y0为线段AB中点的纵坐标).
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(2)用直线AB的倾斜角θ表示(见图2)
对于抛物线y2=2px(p>0)而言：
|AF|=|AC|=|GF|+|FH|=p+|AF|cos θ，
|AF|=同理 |BF|=
则|AB|=|AF|+|BF|=.
对于抛物线x2=2py(p>0)而言： 同理可得
|AF|=|BF|=
则|AB|=|AF|+|BF|=.
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2.设AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的弦，AC⊥l，BD⊥l，M是CD的中点. A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有(见图3)
(1)y1y2=-p2，x1x2=.
(2)+=.
(3)MF⊥AB.
(4)MA⊥MB.
(5)A，O，D三点共线.
(6)以AB为直径的圆与l相切.
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3.设M为抛物线y2=2px(p>0)的准线l上一点，MA，MB均与抛物线相切，A，B为切点，则有(见图4)
(1)AB过焦点F.
(2)2yM=yA+yB.
(3)MA⊥MB.
(4)MF⊥AB.
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7.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A.16　　　　B.14　　　　C.12　　　　D.10
√
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如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈
则直线l2的倾斜角为+θ，
由抛物线的焦点弦弦长公式知
|AB|==|DE|==
所以|AB|+|DE|=+==≥16，
当且仅当sin 2θ=1，即θ=时，等号成立，即|AB|+|DE|的最小值为16.
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8.已知抛物线y2=4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|+|BF|的最小值为
A.2　　　　B.2+3　　　　C.4　　　　D.3+2
√
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因为p=2，所以+==1，
所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)·
=3++≥3+2
=3+2
当且仅当|BF|=|AF|，即|AF|=+1，|BF|=+1时，等号成立，
因此，2|AF|+|BF|的最小值为3+2.
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9.(多选)已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线x=my+2交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，交准线l于Q点，则下面结论正确的是
A.以AF为直径的圆与y轴相切
B.+=
C.·=0
D.|MN|的最小值为4
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对于A，由题意得F(2，0)，准线l：x=-2，由抛物线的结论可得，以AF为直径的圆与y轴相切，A正确；
对于B，有+==B错误；
对于C，由抛物线的结论可得AQ⊥BQ，
故·=0，C正确；
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对于D，设以AB为直径的圆的圆心为E，点E到y轴的距离d=4m2+2，
由垂径定理得|MN|=2
=2
=2=2
故当m=0时，|MN|取得最小值，最小值为4D正确.
总结提升
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速解决圆锥曲线压轴小题，常用结论包括椭圆与双曲线中的焦点三角形面积公式、焦半径、切线方程、离心率、周角定理以及抛物线焦点弦二级结论等.
补偿强化练
PART TWO
1.设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a等于
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8
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根据焦点三角形面积公式可知，
=其中θ=∠F1PF2，
由题意知=4，θ=
代入=
可得b=2，又离心率=
结合c2=a2+b2，解得a=1.
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2.已知A，B，P是双曲线-=1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为则该双曲线的离心率为
A.　　　　B. 　　　　C.　　　　D.
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因为kPA·kPB==
所以e2==
所以e=.
3.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
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在抛物线C：y2=3x中，2p=3，p=
又|AB|=
故S△OAB=|OF||AB|sin 30°===.
4.黄金分割比ω=≈0.618被誉为“人间最巧的比例”.离心率e=的椭圆被称为“优美椭圆”.已知一“优美椭圆”+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点P(异于椭圆的左、右顶点)，设直线PA，PB斜率分别为k1，k2，则k1k2为
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
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根据周角定理可求得k1k2=-=e2-1=-1=.
5.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若=4则△AOB的面积为
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
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设直线AB的倾斜角为θ，由题意知=3，|AF|=|BF|=
所以=3，cos θ=sin θ=
又|AB|=
所以S=|OF||AB|sin θ===.
6.设F1，F2分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，l在y轴上的截距为1，若|AF1|=3|F1B|，且AF2⊥x轴，则此椭圆的长轴长为
A.　　　　B.3　　　　C.　　　　D.6
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设直线l的倾斜角为θ，由题意得=2=3· ecos θ=则=2a-2 2a=6.
7.(多选)已知椭圆C：+=1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是
A.离心率e=
B.△F1PF2的周长为18
C.直线PA与直线PB斜率乘积为定值-
D.若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为8
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√
由+=1，
可得a=5，b=3，c==4，
对于A，离心率e==故A正确；
对于B，△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=18，故B正确；
对于C，kPA·kPB=-=-故C正确；
对于D，因为∠F1PF2=90°=b2tan=9，故D错误.
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8.(多选)已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，则下列结论正确的是
A.若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|=8
B.若=2则直线AB的斜率为±2
C.若O为坐标原点，则B，O，C三点共线
D.CF⊥DF
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若直线AB的倾斜角为45°，
则|AB|==8，故A正确；
设直线AB的倾斜角为θ，
若=2
则|cos θ|==
故k=tan θ=±2故B错误；
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(-1，y1)，
所以kOB-kOC=+y1===0，
故B，O，C三点共线，故C正确；
设C(-1，y1)，D(-1，y2)，F(1，0)，
则·=(2，-y1)·(2，-y2)=4+y1y2
=4-p2=0，
故CF⊥DF，故D正确.
9.过双曲线C：-=1的右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AF|=则|BF|=　　　.
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设∠AFO=α，因为|AF|=所以点A必在双曲线右支上，
由焦半径公式，得|AF|===
解得cos α=所以sin α=
从而tan α=双曲线C的渐近线的斜率为±
因为>所以点B也在双曲线的右支上，如图所示，
由图可知，∠BFO=π-∠AFO=π-α，所以|BF|===2.
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10.已知抛物线C：y2=16x的焦点为F，直线x-my-4=0(m∈R)与抛物线C交于A，B两点，则|AF|+4|BF|的最小值是　　　.
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方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知
|AF|=x1+4，|BF|=x2+4，
联立
化简得x2-(16m2+8)x+16=0，由根与系数的关系得x1x2=16，
|AF|+4|BF|=x1+4+4(x2+4)=x1+4x2+20≥2+20=36，
当且仅当x1=4x2，即x1=8，x2=2时等号成立，
∴|AF|+4|BF|的最小值为36.
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方法二　抛物线的焦点F(4，0)在直线x-my-4=0上，
∴+==
∴+=1，
∴|AF|+4|BF|=(|AF|+4|BF|)=4+++16≥20+2=36，
当且仅当=
即|AF|=12，|BF|=6时等号成立，
∴(|AF|+4|BF|)min=36.
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