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专题四　机械振动与机械波　光学　电磁波
微专题15　机械振动与机械波
1.简谐运动
(1)判断是否为简谐运动的方法：①回复力是否满足F=-kx；②加速度是否满足a=-x。
(2)对称性：振动质点关于平衡位置对称的两点，x、F、a、v、动能Ek、势能Ep的大小均相等，其中F、a与x方向相反，v与x的方向可能相同，也可能相反。
(3)弹簧振子周期公式T=2π，m为振子质量，k是弹簧的劲度系数。
(4)单摆周期公式T=2π；用单摆测重力加速度：g=。
2.共振：驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大。
3.机械波
(1)波的传播特点
①沿波的传播方向上各质点的起振方向与波源的起振方向相同。
②介质中各质点在平衡位置附近振动，并不随波迁移。
③沿波的传播方向上，波每个周期传播一个波长的距离。
④在波的传播方向上，平衡位置间的距离为nλ(n=1，2，3…)的质点，振动步调总相同；平衡位置间的距离为(2n+1)(n=0，1，2，3…)的质点，振动步调总相反。
(2)波长、波速和频率的关系
v=λf或v=
波速v：由介质本身的性质决定。
频率f：由波源决定，等于波源的振动频率。
(3)波的多解问题
①波传播方向的双向性：在题目未给出波的传播方向时，要考虑到波可沿正向或负向传播。
②波的图像的周期性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同，从而使题目出现多解的可能。
(4)波的叠加问题
①波源振动情况相同，振动加强的条件为Δx=nλ(n=0，1，2…)，振动减弱的条件为Δx=(2n+1)(n=0，1，2…)；
波源振动情况相反，振动加强的条件为Δx=(2n+1)(n=0，1，2…)，振动减弱的条件为Δx=nλ(n=0，1，2…)。
②振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两列波振幅之和A1+A2。
考点一　机械振动
1.(2024·河北卷·6)如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min，该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为：
A.0.2 rad/s，1.0 m B.0.2 rad/s，1.25 m
C.1.26 rad/s，1.0 m D.1.26 rad/s，1.25 m
2.(多选)(2024·山西晋中市二模)一质点做简谐运动时其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示，则下列说法正确的是：
A.该简谐运动的周期为5×10-2 s，振幅为28 cm
B.该简谐运动的表达式为x=14sin (50πt+) cm
C.t=0.5×10-2 s时质点的速度最大，且方向沿x轴负方向
D.t=0.5×10-2 s时质点的位移为-7 cm
3.(2024·广东省模拟)如图，用两根完全相同、不可伸长的轻绳将小沙包(大小可忽略)对称地吊在空中，轻推小沙包，测得其在垂直纸面平面内做简谐运动的周期为T0，已知每根轻绳的长度为L，小沙包的质量为m，则小沙包静止时，每根绳子张力为：
A. B. C. D.
考点二　机械波的形成与传播
4.(2024·江苏卷·7)如图所示，水面上有O、A、B三点共线，OA=2AB，t=0时刻在O点的水面给一个扰动，t1时刻A开始振动，则B开始振动的时刻为：
A.t1 B. C.2t1 D.
5.(2024·湖南卷·2)如图，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B两点平衡位置相距6 m，t0时刻A点位于波谷，B点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是：
A.波长为3 m B.波速为12 m/s
C.t0+0.25 s时刻，B点速度为0 D.t0+0.50 s时刻，A点速度为0
6.(多选)(2024·重庆市模拟)如图(a)所示，一简谐横波在均匀介质中由a点向b点直线传播，a、b相距7 m。当波传到b点开始计时，a、b两点的振动图像如图(b)所示。则：
A.b点起振方向沿y轴正方向 B.a点起振方向沿y轴负方向
C.波的传播速度可能为1 m/s D.波的传播速度可能为3 m/s
【点拨·提炼】　波的多解问题的常用思路： 一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的Δt或Δx，若时间关系不明确，则有t=nT+Δt(n=0，1，2…)；若距离关系不明确，则有x=nλ+Δx(n=0，1，2…)。步骤如下： (1)根据初、末两时刻的波形确定传播距离与波长的关系通式； (2)根据题设条件判断是唯一解还是多解； (3)根据波速公式v=或v==λf求波速。
考点三　振动图像与波的图像的综合应用
7.(2024·北京市海淀区二模)位于坐标原点的质点从t=0时开始沿y轴振动，形成一列沿x轴传播的简谐波，t=0.5 s时的波形如图所示，此时x=0处的质点位于波峰位置。图中能正确描述x=2 m处质点振动的图像是：
A　　　　　　　　　　B
C D
【点拨·提炼】　处理波的图像和振动图像结合的问题时，需在波的图像中确定研究的质点的位置，在振动图像中确定研究的时刻，然后结合两个图像进行求解。
8.(多选)如图a所示，在xOy平面内有S1和S2两个波源分别位于x1=-0.2 m和x2=1.2 m处，振动方向与xOy平面垂直并向周围空间传播，图像分别如图b、c所示，t=0时刻同时开始振动，波速为v=2 m/s。M为xOy平面内一点，Δr=MS2-MS1，整个空间有均匀分布的介质。下列说法正确的是：
x=1.0 m处的质点开始振动方向沿z轴正方向
两列波相遇后，x=0.6 m处的质点位移不可能为零
两列波相遇后，x=0.5 m处的质点振动减弱
若Δr=0.2 m，从两列波在M点相遇开始计时，经过0.2 s，M点走过的路程为160 cm
考点四　波的叠加和干涉
9.(多选)(2024·山东卷·9)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为2 m/s。t=0时刻二者在x=2 m处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x=2 m处的质点P，下列说法正确的是：
A.t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B.t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为-2 cm
C.t=1.0 s时，P向y轴正方向运动
D.t=1.0 s时，P向y轴负方向运动
10.(多选)(2024·福建泉州市二模)A、B两列简谐横波在同一介质中沿x轴正负两个方向相向传播，t=0时刻波形如图所示。已知波速均为v=20 cm/s，两波源(图中位置未标出)持续振动。则下列说法正确的是：
A.两波源的起振方向相同
B.两列波会发生干涉现象
C.x=6 cm处的质点是振动减弱点
D.1.8 s时，x=12 cm处的质点沿y轴负向振动
1.(2024·安徽卷·3)某仪器发射甲、乙两列横波，在同一均匀介质中相向传播，波速v大小相等。某时刻的波形图如图所示，则这两列横波：
A.在x=9.0 m处开始相遇 B.在x=10.0 m处开始相遇
C.波峰在x=10.5 m处相遇 D.波峰在x=11.5 m处相遇
2.(2024·北京卷·9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是：
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin (2.5πt) m/s2
3.(2024·浙江6月选考·9)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g=10 m/s2，则：
A.摆角变小时，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A端拉力大小为 N
D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
4.(多选)(2024·重庆卷·10)一列沿x轴传播的简谐波，在某时刻的波形图如图甲所示，一平衡位置与坐标原点距离为3米的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示，若该波的波长大于3米。则：
A.最小波长为 m
B.频率为 Hz
C.最大波速为 m/s
D.从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为(4-) cm
答案精析
高频考点练
1.C　[紫外光在纸上的投影做的是简谐运动，电动机的转速为n=12 r/min=0.2 r/s，
该振动的圆频率ω=2πn=0.4π rad/s≈1.26 rad/s，
周期为T==5 s；简谐运动的振幅即为轻杆的长度A=0.1 m，t=12.5 s=2.5T，则光点在12.5 s内通过的路程为s=2.5×4A=1.0 m，故选C。]
2.BD　[由题图可知该简谐运动的周期T=4×10-2 s，振幅A=14 cm，A项错误；由ω==50π rad/s，所以质点做简谐运动的表达式为x=14sin (50πt+) cm或x=14sin (50πt-) cm，B项正确；t=0.5×10-2 s时质点没有位于平衡位置，速度不是最大，质点沿x轴正方向运动，C项错误；当t=0.5×10-2 s时质点的位移为x=14sin (50πt+) cm=-14× cm=-7 cm，D项正确。]
3.A　[依题意，小沙包做简谐运动，设等效摆长为l，则有T0=2π对小沙包受力分析，如图，根据相似三角形可得=联立解得FT=故选A。]
4.B　[机械波的波速v不变，设OA=2AB=2L，可得t1=tAB==t1，故B振动的时刻为t=t1+tAB=t1，故选B。]
5.D　[画出t0时刻A、B两点间波形如图所示
可知xAB=λ=6 m
解得λ=4 m，A错误；
波源的振动频率为f= Hz=1 Hz
故波速为v=λf=4 m/s，B错误；
质点的振动周期为T==1 s，因为0.25 s=故B点在t0+0.25 s时刻运动到平衡位置，速度最大，C错误；
0.5 s=故A点在t0+0.5 s时刻运动到波峰，速度为0，D正确。]
6.AC　[由题图(b)可知周期T=4 s，t=0时刻b向上振动，机械波在传播过程中，各质点起振方向都相同，故a、b点起振方向都沿y轴正方向，故A正确，B错误；t=0时刻a在波谷、b在平衡位置向上运动，波由a向b传播，分析可知xab=λ+nλ(n=0，1，2…)，解得λ=(n=0，1，2…)，波速v== m/s(n=0，1，2…)，当v=1 m/s时，n=1，当v=3 m/s时，n无法取整数，故C正确，D错误。]
7.A　[根据波形图可得T=0.5 s，解得周期T=2 s，由λ=1 m，解得波长为λ=4 m，该波的波速为v==2 m/s，所以波传到x=2 m经过的时间为t1==1 s，根据波形图可知，振源的起振方向向上，则经过1 s波传到x=2 m时，质点开始向上振动，故选A。]
8.CD　[S2产生的波先传到x=1.0 m处，由图c可知S2波源的起始振动方向沿z轴负方向，故x=1.0 m处的质点开始振动方向沿z轴负方向，故A错误；
两列波的波长为 λ=vT=0.4 m
两列波的起振方向相反，故质点离两波源距离差为半波长的偶数倍为振动减弱点，质点离两波源距离差为半波长的奇数倍为振动加强点。x=0.6 m处的质点离两波源的距离差为0.2 m，为半波长的奇数倍，故为振动加强点。振动加强点只是振幅变大，位移是时刻变化的，可以为零，故B错误；
x=0.5 m处的质点离两波源的距离差为零，为半波长的偶数倍，故为振动减弱点，故C正确；
Δr=0.2 m为半波长的奇数倍，M点为振动加强点，经过0.2 s，M点走过的路程为s=4A=4×40 cm=160 cm，故D正确。]
9.BC　[T1==2 s，T2==1 s
Δt1=0.5 s==
甲波经0.5 sP质点处于波谷，
乙波经0.5 sP质点在平衡位置
根据叠加原理可知，t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为-2 cm，故A错误，B正确；
Δt2=1.0 s==T2，
经1.0 s甲波在P点引起的振动向上，乙波在P点引起的振动也向上，
根据叠加原理可知，t=1.0 s时，P向y轴正方向运动，故C正确，D错误。]
10.BD　[根据同侧法可知，A波的起振方向沿y轴负方向，B波的起振方向沿y轴正方向，可知两波源的起振方向相反，故A错误；根据题图可知，两列波的波长均为24 cm，则两列波的频率均为f== Hz，频率相同，可知两列波会发生干涉现象，故B正确；根据题图可知，t=0时刻，x=6 cm处的质点位置是两波谷重叠，可知x=6 cm处的质点是振动加强点，故C错误；根据题图可知，再经过四分之一周期，x=12 cm处的质点位置是A波的波谷与B波的波峰重合叠加，即该质点是振动减弱点，由于B振幅大一些，可知此时质点位于波峰，即在0时刻，x=12 cm处的质点沿y轴正向振动。结合上述可知，波的周期T==1.2 s，由1.8 s=T+T可知，1.8 s时，x=12 cm处的质点沿y轴负向振动，故D正确。]
补偿强化练
1.C　[由题意可知两列波的波速相同，所以相同时间内传播的距离相同，故两列横波在x=11.0 m处开始相遇，故A、B错误；
甲波峰的横坐标为x1=5.0 m，乙波峰的横坐标为x2=16.0 m，由于两列波的波速相同，
所以波峰在x'=5.0 m+ m=10.5 m处相遇，故C正确，D错误。]
2.D　[由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F=mg，A错误；由题图乙知，t=0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t=0至t=0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T=0.8 s，则ω==2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt) m/s2，D正确。]
3.B　[根据单摆的周期公式T=2π可知周期与摆角无关，故A错误；
同一根光滑细线，A端拉力大小等于B端拉力大小，平衡时对小球受力分析如图
可得2FAcos 30°=mg
解得FA=FB== N
故C、D错误；
根据几何知识可知摆长为L==1 m，故周期为T=2π≈2 s，故B正确。]
4.BD　[根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3米的质点的振动方程y=Asin (ωt+φ)，A=1.0 cm，代入点(0)和(2，0)，解得φ=ω=可得T=2.4 s，f= Hz，故B正确；在题图甲中标出位移为 cm的质点，如图所示，若波沿x轴正方向传播则该质点为Q点，沿x轴负方向传播则该质点为P点，则波长可能为λ=3 m，即λ=18 m，或λ'=3 m，即λ'=9 m，故A错误；根据v=可得v=7.5 m/s，v'=3.75 m/s，故C错误；根据题图乙计算该质点在2 s内运动的路程为s=(1+1+1+1-) cm=(4-) cm，故D正确。](共41张PPT)
微专题15
机械振动与机械波
专题四　机械振动与机械波　光学　电磁波
知识聚焦
高频考点练
内容索引
核心精讲
补偿强化练
知识聚焦
PART ONE
1.简谐运动
(1)判断是否为简谐运动的方法：①回复力是否满足F=-kx；②加速度是否满足a=-x。
(2)对称性：振动质点关于平衡位置对称的两点，x、F、a、v、动能Ek、势能Ep的大小均相等，其中F、a与x方向相反，v与x的方向可能相同，也可能相反。
(3)弹簧振子周期公式T=2π，m为振子质量，k是弹簧的劲度系数。
(4)单摆周期公式T=2π；用单摆测重力加速度：g=。
核心精讲
PART TWO
2.共振：驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大。
3.机械波
(1)波的传播特点
①沿波的传播方向上各质点的起振方向与波源的起振方向相同。
②介质中各质点在平衡位置附近振动，并不随波迁移。
③沿波的传播方向上，波每个周期传播一个波长的距离。
④在波的传播方向上，平衡位置间的距离为nλ(n=1，2，3…)的质点，振
动步调总相同；平衡位置间的距离为(2n+1)(n=0，1，2，3…)的质点，
振动步调总相反。
(2)波长、波速和频率的关系
v=λf或v=
波速v：由介质本身的性质决定。
频率f：由波源决定，等于波源的振动频率。
(3)波的多解问题
①波传播方向的双向性：在题目未给出波的传播方向时，要考虑到波可沿正向或负向传播。
②波的图像的周期性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同，从而使题目出现多解的可能。
(4)波的叠加问题
①波源振动情况相同，振动加强的条件为Δx=nλ(n=0，1，2…)，振动减弱的条件为Δx=(2n+1)(n=0，1，2…)；
波源振动情况相反，振动加强的条件为Δx=(2n+1)(n=0，1，2…)，振动减弱的条件为Δx=nλ(n=0，1，2…)。
②振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两列波振幅之和A1+A2。
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高频考点练
PART THREE
考点一　机械振动
1.(2024·河北卷·6)如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min，该振动的圆频率
和光点在12.5 s内通过的路程分别为
A.0.2 rad/s，1.0 m B.0.2 rad/s，1.25 m
C.1.26 rad/s，1.0 m D.1.26 rad/s，1.25 m
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紫外光在纸上的投影做的是简谐运动，电动机
的转速为n=12 r/min=0.2 r/s，
该振动的圆频率ω=2πn=0.4π rad/s≈1.26 rad/s，
周期为T==5 s；简谐运动的振幅即为轻杆的长度A=0.1 m，t=12.5 s =2.5T，则光点在12.5 s内通过的路程为s=2.5×4A=1.0 m，故选C。
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2.(多选)(2024·山西晋中市二模)一质点做简谐运动时其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示，则下列说法正确的是
A.该简谐运动的周期为5×10-2 s，振幅为28 cm
B.该简谐运动的表达式为x=14sin (50πt+) cm
C.t=0.5×10-2 s时质点的速度最大，且方向沿x
轴负方向
D.t=0.5×10-2 s时质点的位移为-7 cm
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式为x=14sin (50πt+) cm或x=14sin (50πt-) cm，B项正确；
t=0.5×10-2 s时质点没有位于平衡位置，速度不是最大，质点沿x轴正方向运动，C项错误；
当t=0.5×10-2 s时质点的位移为x=14sin (50πt+) cm=-14× cm=
-7 cm，D项正确。
由题图可知该简谐运动的周期T=4×10-2 s，振幅A=14 cm，A项错误；
由ω==50π rad/s，所以质点做简谐运动的表达
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3.(2024·广东省模拟) 如图，用两根完全相同、不可伸长的轻绳将小沙包(大小可忽略)对称地吊在空中，轻推小沙包，测得其在垂直纸面平面内做简谐运动的周期为T0，已知每根轻绳的长度为L，小沙包的质量为m，则小沙包静止时，每根绳子张力为
A. B.
C. D.
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依题意，小沙包做简谐运动，设等效摆长为l，则有T0=2π对小沙包受力分析，如图，根据相似三角形可得=，联立解得FT=，故选A。
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考点二　机械波的形成与传播
4. (2024·江苏卷·7)如图所示，水面上有O、A、B三点共线，OA=2AB，t=0时刻在O点的水面给一个扰动，t1时刻A开始振动，则B开始振动的时刻为
A.t1 B.
C.2t1 D.
√
机械波的波速v不变，设OA=2AB=2L，可得t1=，tAB==t1，故B振动的时刻为t=t1+tAB=t1，故选B。
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5.(2024·湖南卷·2)如图，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B两点平衡位置相距6 m，t0时刻A点位于波谷，B点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是
A.波长为3 m
B.波速为12 m/s
C.t0+0.25 s时刻，B点速度为0
D.t0+0.50 s时刻，A点速度为0
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画出t0时刻A、B两点间波形如图所示
可知xAB=λ=6 m
解得λ=4 m，A错误；
波源的振动频率为f= Hz=1 Hz
故波速为v=λf=4 m/s，B错误；
质点的振动周期为T==1 s，因为0.25 s=，故B点在t0+0.25 s时刻运动
到平衡位置，速度最大，C错误；
0.5 s=，故A点在t0+0.5 s时刻运动到波峰，速度为0，D正确。
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6.(多选)(2024·重庆市模拟)如图(a)所示，一简谐横波在均匀介质中由a点向b点直线传播，a、b相距7 m。当波传到b点开始计时，a、b两点的振动图像如图(b)所示。则
A.b点起振方向沿y轴正方向
B.a点起振方向沿y轴负方向
C.波的传播速度可能为1 m/s
D.波的传播速度可能为3 m/s
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由题图(b)可知周期T=4 s，t=0时刻b向上振动，机械波在传播过程中，各质点起振方向都相同，故a、b点起振方向都沿y轴正方向，故A正确，B错误；
t=0时刻a在波谷、b在平衡位置向上运动，波由a向b传播，分析可知xab=λ+nλ(n=0，1，2…)，解得λ=(n=0，1，2…)，波速v== m/s (n=0，1，2…)，当v=1 m/s时，n=1，当v=3 m/s时，n无法取整数，故C正确，D错误。
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点拨·提炼
波的多解问题的常用思路：
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的Δt或Δx，若时间关系不明确，则有t=nT+Δt(n=0，1，2…)；若距离关系不明确，则有x=nλ+Δx(n=0，1，2…)。步骤如下：
(1)根据初、末两时刻的波形确定传播距离与波长的关系通式；
(2)根据题设条件判断是唯一解还是多解；
(3)根据波速公式v=或v==λf求波速。
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考点三　振动图像与波的图像的综合应用
7.(2024·北京市海淀区二模)位于坐标原点的质点从t=0时开始沿y轴振动，形成一列沿x轴传播的简谐波，t=0.5 s时的波形如图所示，此时x=0处的质点位于波峰位置。图中能正确描述x=2 m处质点振动的图像是
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传到x=2 m经过的时间为t1==1 s，根据波形图可知，振源的起振方向向上，则经过1 s波传到x=2 m时，质点开始向上振动，故选A。
根据波形图可得T=0.5 s，解得周期T=2 s，由λ=1 m，解得波长为λ=4 m，该波的波速为v==2 m/s，所以波
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点拨·提炼
处理波的图像和振动图像结合的问题时，需在波的图像中确定研究的质点的位置，在振动图像中确定研究的时刻，然后结合两个图像进行求解。
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8.(多选)如图a所示，在xOy平面内有S1和S2两个波源分别位于x1=-0.2 m和x2=1.2 m处，振动方向与xOy平面垂直并向周围空间传播，图像分别如图b、c所示，t=0时刻同时开始振动，波速为v=2 m/s。M为xOy平面内一点，Δr=MS2-MS1，整个空间有均匀分布的介质。下列说法正确的是
A.x=1.0 m处的质点开始振动方向沿z轴正方向
B.两列波相遇后，x=0.6 m处的质点位移不可
能为零
C.两列波相遇后，x=0.5 m处的质点振动减弱
D.若Δr=0.2 m，从两列波在M点相遇开始计时，
经过0.2 s，M点走过的路程为160 cm
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S2产生的波先传到x=1.0 m处，由图c可知S2波源的起始振动方向沿z轴负方向，故x=1.0 m处的质点开始振动方向沿z轴负方向，故A错误；
两列波的波长为 λ=vT=0.4 m
两列波的起振方向相反，故质点离两波源距离差为半波长的偶数倍为振动减弱点，质点离两波源距离差为半波长的奇数倍为振动加强点。x=0.6 m处的质点离两波源的距离差为0.2 m，为半波长的奇数倍，故为振动加强点。振动加强点只是振幅变大，位移是时刻变化的，可以为零，故B错误；
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x=0.5 m处的质点离两波源的距离差为零，为半波长的偶数倍，故为振动减弱点，故C正确；
Δr=0.2 m为半波长的奇数倍，M点为振动加强点，经过0.2 s，M点走过的路程为s=4A=4×40 cm=160 cm，故D正确。
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考点四　波的叠加和干涉
9.(多选)(2024·山东卷·9)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为2 m/s。t=0时刻二者在x=2 m处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x=2 m处的质点P，下列说法正确的是
A.t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B.t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为-2 cm
C.t=1.0 s时，P向y轴正方向运动
D.t=1.0 s时，P向y轴负方向运动
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T1==2 s，T2==1 s
Δt1=0.5 s==，
甲波经0.5 sP质点处于波谷，
乙波经0.5 sP质点在平衡位置
根据叠加原理可知，t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为-2 cm，故A错误，B正确；
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Δt2=1.0 s==T2，
经1.0 s甲波在P点引起的振动向上，乙波在P点引起的振动也向上，
根据叠加原理可知，t=1.0 s时，P向y轴正方向运动，故C正确，D错误。
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10.(多选)(2024·福建泉州市二模)A、B两列简谐横波在同一介质中沿x轴正负两个方向相向传播，t=0时刻波形如图所示。已知波速均为v=20 cm/s，两波源(图中位置未标出)持续振动。则下列说法正确的是
A.两波源的起振方向相同
B.两列波会发生干涉现象
C.x=6 cm处的质点是振动减弱点
D.1.8 s时，x=12 cm处的质点沿y轴负向振动
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根据同侧法可知，A波的起振方向沿y轴负方向，B波的起振方向沿y轴正方向，可知两波源的起振方向相反，故A错误；
根据题图可知，两列波的波长均为24 cm，则
两列波的频率均为f== Hz，频率相同，可知两列波会发生干涉现象，故B正确；
根据题图可知，t=0时刻，x=6 cm处的质点位置是两波谷重叠，可知x=6 cm处的质点是振动加强点，故C错误；
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根据题图可知，再经过四分之一周期，x= 12 cm处的质点位置是A波的波谷与B波的波峰重合叠加，即该质点是振动减弱点，由于B振幅大一些，可知此时质点位于波峰，即在0时
刻，x=12cm处的质点沿y轴正向振动。结合上述可知，波的周期T==1.2 s，由1.8 s=T+T可知，1.8 s时，x=12 cm处的质点沿y轴负向振动，故D正确。
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补偿强化练
PART FOUR
1.(2024·安徽卷·3)某仪器发射甲、乙两列横波，在同一均匀介质中相向传播，波速v大小相等。某时刻的波形图如图所示，则这两列横波
A.在x=9.0 m处开始相遇
B.在x=10.0 m处开始相遇
C.波峰在x=10.5 m处相遇
D.波峰在x=11.5 m处相遇
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由题意可知两列波的波速相同，所以相同时间内传播的距离相同，故两列横波在x=11.0 m处开始相遇，故A、B错误；
甲波峰的横坐标为x1=5.0 m，乙波峰的横坐标为x2=16.0 m，由于两列波的波速相同，
所以波峰在x'=5.0 m+ m=10.5 m处相遇，故C正确，D错误。
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2.(2024·北京卷·9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin (2.5πt) m/s2
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由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F=mg，A错误；
由题图乙知，t=0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；
由题图乙知，从t=0至t=0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；
由题图乙知T=0.8 s，则ω==2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a= 4sin(2.5πt) m/s2，D正确。
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3. (2024·浙江6月选考·9)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g= 10 m/s2，则
A.摆角变小时，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A端拉力大小为 N
D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
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根据单摆的周期公式T=2π可知周期与摆角无关，故A错误；
同一根光滑细线，A端拉力大小等于B端拉力大小，平衡时对小球受力分析如图
可得2FAcos 30°=mg
解得FA=FB== N
故C、D错误；
根据几何知识可知摆长为L==1 m，故周期为T=2π≈2 s，
故B正确。
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4.(多选)(2024·重庆卷·10)一列沿x轴传播的简谐波，在某时刻的波形图如图甲所示，一平衡位置与坐标原点距离为3米的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示，若该波的波长大于3米。则
A.最小波长为 m
B.频率为 Hz
C.最大波速为 m/s
D.从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为(4-) cm
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根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3米的质点的振动方程y=Asin (ωt+φ)，A=1.0 cm，代入点(0，)和(2，0)，解得φ=，ω=，可得T=2.4 s，f= Hz，故B正确；
在题图甲中标出位移为 cm的质点，如图所示，若波沿x轴正方向传播则该质点为Q点，沿x轴负方向传播则该质点为P点，则波长可能为λ=3 m，即λ=18 m，或λ'=3 m，即λ'=9 m，故A错误；
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根据v=，可得v=7.5 m/s，v'=3.75 m/s，故C错误；
根据题图乙计算该质点在2 s内运动的路程为s= (1+1+1+1-) cm=(4-) cm，故D正确。

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