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微专题21　力学实验(二)　弹簧、橡皮筋、平抛、圆周、单摆实验
一、探究弹簧弹力与形变量的关系
1.F-Δx与F-l的区别
(1)弹簧水平放置，F-Δx为一条过原点的直线，F-l为一条不过原点的直线，横轴截距表示弹簧原长。
(2)弹簧竖直放置，F-Δx图像不过原点，是由于弹簧自身重力的影响。
2.F-Δx与F-l的图像发生弯曲，说明弹簧超过了弹性限度。
二、探究两个互成角度的力的合成规律
实验操作与注意事项
(1)利用力的等效性，验证力的平行四边形定则(如图所示)：
(2)实验时，明确两分力与合力，并记录各力的大小、方向；
(3)选取合适的标度，画出两分力F1、F2与合力F；
(4)根据平行四边形定则，作出两分力的合力F'；
(5)比较F与F'的大小与方向，验证平行四边形定则。
三、探究平抛运动的特点
实验注意事项
(1)应保持斜槽末端的切线水平，钉有坐标纸的木板竖直，并使小钢球的运动靠近坐标纸但不接触。
(2)小钢球每次必须从斜槽上同一位置无初速度滚下，斜槽的粗糙程度对该实验没有影响。在斜槽上释放小钢球的高度应适当，使小钢球以合适的水平初速度抛出。
(3)坐标原点(小钢球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点。
四、探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
1.实验注意事项
(1)本实验采用的科学方法是控制变量法，保持m、ω不变，探究Fn与r的关系；保持m、r不变，探究Fn与ω的关系；保持r、ω不变，探究Fn与m的关系。
(2)实验过程中要匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动(如图)。
2.本实验的创新
用力传感器测向心力的大小，用光电门测线速度。
五、用单摆测量重力加速度
1.摆线应尽量选择细、轻且不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2.用毫米刻度尺量出摆线长l0，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l=l0+。
3.计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时。
4.数据处理：(1)公式法：g=；
(2)图像法：由T=2π，可得l=T2，作出l-T2图像，图像的斜率k=，得g=4π2k。
1.(2024·海南卷·15)为验证两个互成角度的力的合成规律，某组同学用两个弹簧测力计、橡皮条、轻质小圆环、木板、刻度尺、白纸、铅笔、细线和图钉等器材，按照如下实验步骤完成实验：
(Ⅰ)用图钉将白纸固定在水平木板上；
(Ⅱ)如图甲、乙所示，橡皮条的一端固定在木板上的G点，另一端连接轻质小圆环，将两细线系在小圆环上，细线另一端系在弹簧测力计上，用两个弹簧测力计共同拉动小圆环到某位置，并标记圆环的圆心位置为O点，拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点，大小分别为F1=3.60 N、F2=2.90 N；撤去拉力F1和F2，改用一个弹簧测力计拉动小圆环，使其圆心到O点，在拉力F的方向上标记P3点，拉力的大小为F=5.60 N。请完成下列问题：
(1)(3分)在图乙中按照给定的标度画出F1、F2和F的图示，然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F'。
(2)(3分)比较F和F'，写出可能产生误差的两点原因：　　　 　　　　。
2.(2024·河北卷·11(2))图甲为探究平抛运动特点的装置，其斜槽位置固定且末端水平，固定坐标纸的背板处于竖直面内，钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出，落在倾斜的挡板上挤压复写纸，在坐标纸上留下印迹。某同学利用此装置通过多次释放钢球，得到了如图乙所示的印迹，坐标纸的y轴对应竖直方向，坐标原点对应平抛起点。
(1)(2分)每次由静止释放钢球时，钢球在斜槽上的高度　　　　　　(填“相同”或“不同”)。
(2)(2分)在坐标纸中描绘出钢球做平抛运动的轨迹。
(3)(2分)根据轨迹，求得钢球做平抛运动的初速度大小为　　　　　　 m/s(当地重力加速度g为9.8 m/s2，保留2位有效数字)。
3.(2024·重庆市沙坪坝区三模)某实验小组利用如图甲所示的装置探究向心力和圆周运动角速度以及运动半径的关系。带有遮光片的小球放在光滑的水平“U”形槽内，槽内宽略大于球直径，“U”形槽内安装带有压力传感器的挡板，挡板放置位置可调节，“U”形槽固定在竖直转轴上，在电机带动下绕竖直转轴在水平面内做匀速圆周运动。光电门调节到适当位置可记录遮光片遮光的时间Δt，压力传感器可测量小球所需向心力F的大小，刻度尺可测量挡板到转轴的距离L。
(1)(2分)用游标卡尺测量遮光片宽度d，如图乙所示，则d=　　　　 mm；
(2)(2分)保持挡板位置不变，改变转速，以F为纵坐标，以　　　　［填“Δt”“”或“”］为横坐标，作出的图像是正比例函数；
(3)(2分)保持转动角速度不变，改变挡板位置，作出F-L图像，若考虑小球半径对实验的影响，所作的F-L图像应该是　　　　。
4.(2024·北京市海淀区二模)某同学用如图甲所示装置测定当地重力加速度。
(1)(2分)关于器材选择及测量时的一些实验操作，下列说法正确的是　　　　。
A.摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的
B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C.为了使摆的周期大一些以方便测量，应使摆角大一些
(2)(2分)在某次实验中，测得单摆摆长为L、单摆完成n次全振动的时间为t，则利用上述测量量可得重力加速度的表达式g=　　　　。
(3)(4分)实验时改变摆长，测出几组摆长L和对应的周期T的数据，作出L-T2图像，如图乙所示。
①利用A、B两点的坐标可得重力加速度的表达式g=　　　　。
②因摆球质量分布不均匀，小球的重心位于其几何中心的正下方。若只考虑摆长测量偏小造成的影响，则由①计算得到的重力加速度的测量值　　　真实值(选填“大于”“等于”或“小于”)。
(4)(2分)关于摩擦力可以忽略的斜面上的单摆，某同学猜想单摆做小角度摆动时周期满足T=2π，如图丙所示。为了检验猜想正确与否，他设计了如下实验：如图丁所示，铁架台上装一根重垂线，在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下，将小球、摆线、摆杆组成的“杆线摆”装在立柱上，调节摆线的长度，使摆杆与立柱垂直，摆杆可绕着立柱自由转动，且不计其间的摩擦。如图戊所示，把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，静止时摆杆与重垂线的夹角为β，小球实际上相当于是在一倾斜平面上运动。下列图像能直观地检验猜想是否正确的是　　　　。
A.-sin β图像
B.-cos β图像
C.-tan β图像
5.(2024·湖北卷·12)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。
具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T=2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。
(1)(2分)由步骤④，可知振动周期T=　　　　。
(2)(2分)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l=　　　　　　。
(3)(2分)由实验数据作出的l-T2图线如图(b)所示，可得g=　　　　　　 m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)。
(4)(2分)本实验的误差来源包括　　　　　　(双选，填标号)。
A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
1.(2024·江西省八校二模)在“探究弹簧弹力大小与伸长量关系”的实验中，第一组同学设计了如图甲所示的实验装置。将弹簧竖直悬挂在铁架台上，先测出不挂钩码时弹簧的长度L0，再将钩码逐个挂在弹簧的下端，每次都测出钩码静止时相应的弹簧总长度L，根据x=L-L0算出弹簧伸长的长度x，根据测量数据画出如图乙所示的F-x图像。
(1)(2分)根据所得的F-x图线可知该弹簧的劲度系数为　　　　 N/m。
(2)(2分)第二小组同学在“探究弹簧弹力与形变量的关系”的实验中，使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹簧弹力与弹簧长度之间关系的图像如图丙所示，下列说法正确的是　　　　。
A.a的原长比b的短
B.a的原长比b的长
C.a的劲度系数比b的小
D.a的劲度系数比b的大
(3)(4分)第三组同学将第一组同学用的同一弹簧水平放置测出其自然长度L0，然后竖直悬挂测出挂上钩码后的弹簧的总长度L，根据x=L-L0算出弹簧伸长的长度x。他们得到的F-x图线如图丁所示，则图像不过原点的原因可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，第三组同学利用该方案测出弹簧的劲度系数和第一组同学测出的结果相比　　　　 (选填“偏大”“偏小”或“相同”)。
2.(2024·湖南卷·12)在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量。如图，某同学设计了一个动力学方法测量物体质量的实验方案，主要实验仪器包括：气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计时器和待测物体，主要步骤如下：
(1)调平气垫导轨，将弹簧左端连接气垫导轨左端，右端连接滑块；
(2)将滑块拉至离平衡位置20 cm处由静止释放，滑块第1次经过平衡位置处开始计时，第21次经过平衡位置时停止计时，由此测得弹簧振子的振动周期T；
(3)将质量为m的砝码固定在滑块上，重复步骤(2)；
(4)(2分)依次增加砝码质量m，测出对应的周期T，实验数据如下表所示，在图中绘制T2-m关系图线；
m/kg T/s T2/s2
0.000 0.632 0.399
0.050 0.775 0.601
0.100 0.893 0.797
0.150 1.001 1.002
0.200 1.105 1.221
0.250 1.175 1.381
(5)(2分)由T2-m图像可知，弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是　　　　　　(填“线性的”或“非线性的”)；
(6)(2分)取下砝码后，将待测物体固定在滑块上，测量周期并得到T2=0.880 s2，则待测物体质量是 　　　　　　kg(保留3位有效数字)；
(7)(2分)若换一个质量较小的滑块重做上述实验，所得T2-m图线与原图线相比将沿纵轴　　　　　　　　移动(填“正方向”“负方向”或“不”)。
答案精析
高频考点练
1.(1)见解析图　(2)①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行；
②读数时没有正视弹簧测力计
解析　(1)按照给定的标度画出F1、F2和F的图示，然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F'，如图所示
(2)F和F'产生不完全重合的误差可能是因为：①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行；②读数时没有正视弹簧测力计。
2.(1)相同　(2)见解析图　(3)0.70(0.68、0.69、0.71、0.72均可)
解析　(1)为保证钢球每次平抛运动的初速度相同，必须让钢球在斜槽上同一位置静止释放，故释放钢球时高度相同。
(2)描点连线用平滑曲线连接，钢球做平抛运动的轨迹如图所示
(3)因为抛出点在坐标原点，为方便计算，
在图线上找到较远的点，在图线上找到y坐标为20.0 cm的点为研究位置，
该点坐标为
根据平抛运动规律x=v0t，y=gt2
解得v0≈0.70 m/s。
3.(1)8.42　(2)　(3)B
解析　(1)根据游标卡尺的读数规律，该读数为
8 mm+0.02×21 mm=8.42 mm
(2)根据光电门测速原理可知，小球做匀速圆周运动的速度v=
挡板对小球的弹力提供小球做匀速圆周运动的向心力，
则有F=m
解得F=·
可知，以F为纵坐标，以为横坐标，作出的图像是正比例函数。
(3)小球做匀速圆周运动的轨道半径实际上等于小球球心到转轴的距离，设小球半径为r，则有
F=mω2(L-r)=mω2L-mω2r
可知，F-L图像斜率一定，图像与纵轴的截距为负值，故B选项满足要求。
4.(1)AB　(2)
(3)①　②等于　(4)B
解析　(1)为减小实验误差，摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的，摆球尽量选择密度大的，即质量大些、体积小些的，故A、B正确；
应使摆角小于5°，才可看作理想单摆，故C错误；
(2)在某次实验中，测得单摆摆长为L、单摆完成n次全振动的时间为t，
则周期为T=
根据单摆周期公式T=2π
解得g=
(3)①根据单摆周期公式
T=2π
变形有L=T2
根据题图乙的斜率可知=
解得g=
②因摆球质量分布不均匀，小球的重心位于其几何中心的正下方。
表达式变为L+ΔL=T2
若只考虑摆长测量偏小造成的影响，则L-T2图像的斜率不变，测量值等于真实值；
(4)根据题图可知等效重力加速度为重力加速度沿着垂直于立柱方向的分量，
大小为a=gcos β
根据单摆周期公式T=2π
变形可知=·cos β
则应作-cos β图像。
5.(1)　(2)l0+　(3)9.59　
(4)AC
解析　(1)30次全振动所用时间t，则振动周期T=
(2)弹簧振子的振动周期T=2π
可得振子的质量M=
振子平衡时，根据平衡条件Mg=kΔl
可得Δl=
则l与g、l0、T的关系式为l=l0+Δl=l0+
(3)根据l=l0+整理可得
l=l0+·T2
则l-T2图像斜率k==
m/s2
解得g≈9.59 m/s2
(4)空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A正确；
弹簧质量不为零导致振子在平衡位置时弹簧的长度变化，不影响其他操作，根据(3)解析可知对实验结果没有影响，故B错误；
根据实验步骤可知光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置会影响振子周期的测量，是实验的误差来源之一，故C正确。
补偿强化练
1.(1)25　(2)BC　(3)弹簧自身的重力导致还没挂钩码时弹簧就伸长了　相同
解析　(1)由题图乙所示F-x图像可知，弹簧的劲度系数为
k== N/m=25 N/m
(2)根据胡克定律可得
F=kx=k(L-L0)
可知F-L图像的横轴截距表示弹簧的原长，由题图丙可知，a的原长比b的长，故A错误，B正确；
根据F-L图像的斜率表示弹簧的劲度系数，由题图丙可知，a图像的斜率比b的小，则a的劲度系数比b的小，故C正确，D错误。
(3)弹簧竖直悬挂时，弹簧在自身重力作用下要伸长，弹簧自身的重力导致还没挂钩码时弹簧就伸长了，由F+mg=kx
可得F=kx-mg
两种情况下斜率相同，测量结果相同。
2.(4)见解析图　(5)线性的　(6)0.120
(7)负方向
解析　(4)根据表格中的数据描点连线，有
(5)图线是一条倾斜的直线，说明弹簧振子振动周期的平方与砝码质量为线性关系。
(6)在图线上找到T2=0.880 s2的点，对应横坐标为0.120 kg。
(7)由T2-m图像可知总质量越大，周期越大，所以不放砝码时滑块质量越小，周期越小，T2-m图线纵截距越小，即图线沿纵轴负方向移动。(共51张PPT)
微专题21
力学实验(二)　弹簧、橡皮筋、平抛、圆周、单摆实验
专题六　实验
高频考点练
内容索引
核心精讲
补偿强化练
一、探究弹簧弹力与形变量的关系
1.F-Δx与F-l的区别
(1)弹簧水平放置，F-Δx为一条过原点的直线，F-l为一条不过原点的直线，横轴截距表示弹簧原长。
(2)弹簧竖直放置，F-Δx图像不过原点，是由于弹簧自身重力的影响。
2.F-Δx与F-l的图像发生弯曲，说明弹簧超过了弹性限度。
核心精讲
PART ONE
二、探究两个互成角度的力的合成规律
实验操作与注意事项
(1)利用力的等效性，验证力的平行四边形定则
(如图所示)：
(2)实验时，明确两分力与合力，并记录各力的
大小、方向；
(3)选取合适的标度，画出两分力F1、F2与合力F；
(4)根据平行四边形定则，作出两分力的合力F'；
(5)比较F与F'的大小与方向，验证平行四边形定则。
三、探究平抛运动的特点
实验注意事项
(1)应保持斜槽末端的切线水平，钉有坐标纸的木板竖直，并使小钢球的运动靠近坐标纸但不接触。
(2)小钢球每次必须从斜槽上同一位置无初速度滚下，斜槽的粗糙程度对该实验没有影响。在斜槽上释放小钢球的高度应适当，使小钢球以合适的水平初速度抛出。
(3)坐标原点(小钢球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点。
四、探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
1.实验注意事项
(1)本实验采用的科学方法是控制变量法，保持m、ω不变，探究Fn与r的关系；保持m、r不变，探究Fn与ω的关系；保持r、ω不变，探究Fn与m的关系。
(2)实验过程中要匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动(如图)。
2.本实验的创新
用力传感器测向心力的大小，用光电门测线速度。
五、用单摆测量重力加速度
1.摆线应尽量选择细、轻且不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2.用毫米刻度尺量出摆线长l0，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l=l0+。
3.计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时。
4.数据处理：(1)公式法：g=；
(2)图像法：由T=2π，可得l=T2，作出l-T2图像，图像的斜率k=，得g=4π2k。
1
2
3
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5
高频考点练
PART TWO
1.(2024·海南卷·15)为验证两个互成角度的力的合成规律，某组同学用两个弹簧测力计、橡皮条、轻质小圆环、木板、刻度尺、白纸、铅笔、细线和图钉等器材，按照如下实验步骤完成实验：
(Ⅰ)用图钉将白纸固定在水平木板上；
1
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5
(Ⅱ)如图甲、乙所示，橡皮条的一端固定在木板上的G点，另一端连接轻质小圆环，将两细线系在小圆环上，细线另一端系在弹簧测力计上，用两个弹簧测力计共同拉动小圆环到某位置，并标记圆环的圆心位置为O点，拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点，大小分别为F1=3.60 N、F2=2.90 N；
撤去拉力F1和F2，改用一个弹簧测力计拉动小圆环，使其圆心到O点，在拉力F的方向上标记P3点，拉力的大小为F=5.60 N。请完成下列问题：
1
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5
(1)在图乙中按照给定的标度画出F1、F2和F的图示，然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F'。
答案　见解析图
按照给定的标度画出F1、F2和F的图示，然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F'，如图所示
1
2
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4
5
(2)比较F和F'，写出可能产生误差的两点原因：_____________________
__________________________________________________________。
F和F'产生不完全重合的误差可能是因为：①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行；②读数时没有正视弹簧测力计。
①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行；②读数时没有正视弹簧测力计
1
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3
4
5
2.(2024·河北卷·11(2))图甲为探究平抛运动特点的装置，其斜槽位置固定且末端水平，固定坐标纸的背板处于竖直面内，钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出，落在倾斜的挡板上挤压复写纸，在坐标纸上留下印迹。某同学利用此装置通过多次释放钢球，得到了如图乙所示的印迹，坐标纸的y轴对应竖直方向，坐标原点对应平抛起点。
(1)每次由静止释放钢球时，钢球在斜槽上的高度_______(填“相同”或“不同”)。
相同
1
2
3
4
5
为保证钢球每次平抛运动的初速度相同，必须让钢球在斜槽上同一位置静止释放，故释放钢球时高度相同。
1
2
3
4
5
(2)在坐标纸中描绘出钢球做平抛运动的轨迹。
答案　见解析图
1
2
3
4
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描点连线用平滑曲线连接，钢球做平抛运动的轨迹如图所示
1
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3
4
5
(3)根据轨迹，求得钢球做平抛运动的初速度大小为　　　　　　 m/s(当地重力加速度g为9.8 m/s2，保留2位有效数字)。
0.70(0.68、0.69、0.71、0.72均可)
1
2
3
4
5
因为抛出点在坐标原点，为方便计算，
在图线上找到较远的点，在图线上找到y坐标为20.0 cm的点为研究位置，
该点坐标为(14.1cm，20.0cm)，
根据平抛运动规律x=v0t，y=gt2
解得v0≈0.70 m/s。
1
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5
3.(2024·重庆市沙坪坝区三模)某实验小组利用如图甲所示的装置探究向心力和圆周运动角速度以及运动半径的关系。带有遮光片的小球放在光滑的水平“U”形槽内，槽内宽略大于球直径，“U”形槽内安装带有压力传感器的挡板，挡板放置位置可调节，“U”形槽固定在竖直转轴上，在电机带动下绕竖直转轴在水平面内做匀速圆周运动。光电门调节到适当位置可记录遮光片遮光的时间Δt，压力传感器可测量小球所需向心力F的大小，刻度尺可测量挡板到转轴的距离L。
1
2
3
4
5
(1)用游标卡尺测量遮光片宽度d，如图乙所示，则d=　　　　 mm；
8.42
根据游标卡尺的读数规律，该读数为
8 mm+0.02×21 mm=8.42 mm
1
2
3
4
5
(2)保持挡板位置不变，改变转速，以F为纵坐标，以　　　　[填“Δt” “”或“”]为横坐标，作出的图像是正比例函数；
1
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3
4
5
根据光电门测速原理可知，小球做匀速圆周运动的速度v=
挡板对小球的弹力提供小球做匀速圆周运动的向心力，
则有F=m
解得F=·
可知，以F为纵坐标，以为横坐标，作出的图像是正比例函数。
1
2
3
4
5
(3)保持转动角速度不变，改变挡板位置，作出F-L图像，若考虑小球半径对实验的影响，所作的F-L图像应该是　　　。
B
小球做匀速圆周运动的轨道半径实际上等于小球球心到转轴的距离，设小球半径为r，则有F=mω2(L-r)=mω2L-mω2r
可知，F-L图像斜率一定，图像与纵轴的截距为负值，故B选项满足要求。
1
2
3
4
5
4.(2024·北京市海淀区二模)某同学用如图甲所示装置测定当地重力加速度。
(1)关于器材选择及测量时的一些实验操作，下列说法
正确的是　　　。
A.摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的
B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C.为了使摆的周期大一些以方便测量，应使摆角大一些
AB
1
2
3
4
5
为减小实验误差，摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的，摆球尽量选择密度大的，即质量大些、体积小些的，故A、B正确；
应使摆角小于5°，才可看作理想单摆，故C错误；
1
2
3
4
5
(2)在某次实验中，测得单摆摆长为L、单摆完成n次全振动的时间为t，则
利用上述测量量可得重力加速度的表达式g=　　　　。
在某次实验中，测得单摆摆长为L、单摆完成n次全振动的时间为t，
则周期为T=
根据单摆周期公式T=2π
解得g=
1
2
3
4
5
(3)实验时改变摆长，测出几组摆长L和对应的周期T的数据，作出L-T2图像，如图乙所示。
①利用A、B两点的坐标可得重力加速度的表达式g=
　　　　 　。
1
2
3
4
5
根据单摆周期公式
T=2π
变形有L=T2
根据题图乙的斜率可知=
解得g=
1
2
3
4
5
②因摆球质量分布不均匀，小球的重心位于其几何中心的正下方。若只考虑摆长测量偏小造成的影响，则由①计算得到的重力加速度的测量值______真实值(选填“大于”“等于”或“小于”)。
等于
因摆球质量分布不均匀，小球的重心位于其几何中心的正下方。
表达式变为L+ΔL=T2
若只考虑摆长测量偏小造成的影响，则L-T2图像的斜率不变，测量值等于真实值；
1
2
3
4
5
(4)关于摩擦力可以忽略的斜面上的单摆，某同学猜想单摆做小角度摆动时周期
满足T=2π，如图丙所示。为了检验猜想正确与否，他设计了如下实验：
如图丁所示，铁架台上装一根重垂线，在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下，将小球、摆线、摆杆组成的“杆线摆”装在立柱上，调节摆线的长度，使摆杆与立柱垂直，摆杆可绕着立柱自由转动，
且不计其间的摩擦。如图戊所示，把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，静止时摆杆与重垂线的夹角为β，小球实际上相当于是在一倾斜平面上运动。
1
2
3
4
5
下列图像能直观地检验猜想是否正确的是　　　。
A.-sin β图像
B.-cos β图像
C.-tan β图像
B
1
2
3
4
5
根据题图可知等效重力加速度为重力加速度沿着垂直于立柱方向的分量，
大小为a=gcos β
根据单摆周期公式T=2π
变形可知=·cos β
则应作-cos β图像。
1
2
3
4
5
5.(2024·湖北卷·12)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。
具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光
片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
1
2
3
4
5
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T=2π，
其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。
(1)由步骤④，可知振动周期T=　　　。
30次全振动所用时间t，则振动周期T=
1
2
3
4
5
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l=　　　 　。
l0+
弹簧振子的振动周期T=2π
可得振子的质量M=
振子平衡时，根据平衡条件Mg=kΔl
可得Δl=
则l与g、l0、T的关系式为l=l0+Δl=l0+
1
2
3
4
5
(3)由实验数据作出的l-T2图线如图(b)所示，可得g=　　　　 m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)。
9.59
1
2
3
4
5
根据l=l0+整理可得
l=l0+·T2
则l-T2图像斜率k== m/s2
解得g≈9.59 m/s2
1
2
3
4
5
(4)本实验的误差来源包括　　　(双选，填标号)。
A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
AC
1
2
3
4
5
空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A正确；
弹簧质量不为零导致振子在平衡位置时弹簧的长度变化，不影响其他操作，根据(3)解析可知对实验结果没有影响，故B错误；
根据实验步骤可知光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置会影响振子周期的测量，是实验的误差来源之一，故C正确。
1
2
补偿强化练
PART THREE
1.(2024·江西省八校二模)在“探究弹簧弹力大小与伸长量关系”的实验中，第一组同学设计了如图甲所示的实验装置。将弹簧竖直悬挂在铁架台上，先测出不挂钩码时弹簧的长度L0，再将钩码逐个挂在弹簧的下端，每次都测出钩码静止时相应的弹簧总长度L，根据x=L-L0算出弹簧伸长的长度x，根据测量数据画出如图乙所示的F-x图像。
1
2
(1)根据所得的F-x图线可知该弹簧的劲度系数为　　　 N/m。
25
由题图乙所示F-x图像可知，弹簧的劲度系数为
k== N/m=25 N/m
1
2
(2)第二小组同学在“探究弹簧弹力与形变量的关系”的实验中，使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹簧弹力与弹簧长度之间关系的图像如图丙所示，下列说法正确的是　　　。
A.a的原长比b的短
B.a的原长比b的长
C.a的劲度系数比b的小
D.a的劲度系数比b的大
BC
1
2
根据胡克定律可得F=kx=k(L-L0)
可知F-L图像的横轴截距表示弹簧的原长，由题图
丙可知，a的原长比b的长，故A错误，B正确；
根据F-L图像的斜率表示弹簧的劲度系数，由题图丙可知，a图像的斜率比b的小，则a的劲度系数比b的小，故C正确，D错误。
1
2
(3)第三组同学将第一组同学用的同一弹簧水平放置测出其自然长度L0，然后竖直悬挂测出挂上钩码后的弹簧的总长度L，根据x=L-L0算出弹簧伸长的长度x。他们得到的F-x
图线如图丁所示，则图像不过原点的原因可能是_____________________
_________________________，第三组同学利用该方案测出弹簧的劲度系数和第一组同学测出的结果相比　 (选填“偏大”“偏小”或“相同”)。
弹簧自身的重力导致
还没挂钩码时弹簧就伸长了
相同
1
2
弹簧竖直悬挂时，弹簧在自身重力作用下要伸长，弹簧自身的重力导致还没挂钩码时弹簧就伸长了，由F+ mg=kx
可得F=kx-mg
两种情况下斜率相同，测量结果相同。
1
2
2.(2024·湖南卷·12)在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量。如图，某同学设计了一个动力学方法测量物体质量的实验方案，主要实验仪器包括：气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计时器和待测物体，主要步骤如下：
(1)调平气垫导轨，将弹簧左端连接气垫导轨左端，右端连接滑块；
(2)将滑块拉至离平衡位置20 cm处由静止释放，滑块第1次经过平衡位置处开始计时，第21次经过平衡位置时停止计时，由此测得弹簧振子的振动周期T；
(3)将质量为m的砝码固定在滑块上，重复步骤(2)；
1
2
(4)依次增加砝码质量m，测出对应的周期T，实验数据如下表所示，在图中绘制T2-m关系图线；
m/kg T/s T2/s2
0.000 0.632 0.399
0.050 0.775 0.601
0.100 0.893 0.797
0.150 1.001 1.002
0.200 1.105 1.221
0.250 1.175 1.381
答案　见解析图
1
2
根据表格中的数据描点连线，有
m/kg T/s T2/s2
0.000 0.632 0.399
0.050 0.775 0.601
0.100 0.893 0.797
0.150 1.001 1.002
0.200 1.105 1.221
0.250 1.175 1.381
1
2
(5)由T2-m图像可知，弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是________(填“线性的”或“非线性的”)；
线性的
图线是一条倾斜的直线，说明弹簧振子振动周期的平方与砝码质量为线性关系。
1
2
(6)取下砝码后，将待测物体固定在滑块上，测量周期并得到T2=0.880 s2，则待测物体质量是 　　 　kg(保留3位有效数字)；
0.120
在图线上找到T2=0.880 s2的点，对应横坐标为0.120 kg。
1
2
(7)若换一个质量较小的滑块重做上述实验，所得T2-m图线与原图线相比将沿纵轴________移动(填“正方向”“负方向”或“不”)。
负方向
由T2-m图像可知总质量越大，周期越大，所以不放砝码时滑块质量越小，周期越小，T2-m图线纵截距越小，即图线沿纵轴负方向移动。

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