资源简介

2024-2025学年小升初数学奥数培优（通用版）
扶梯问题
一、解决问题
1．自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着， 两位性急的孩子要从扶梯上楼， 已知男孩每分钟走 20 级台阶，女孩每分钟走 15 级台阶， 结果男孩用 5 分钟到达楼上， 女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？
2．自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着， 两位性急的孩子要从扶梯上楼， 已知男孩每分钟走 20 级台阶，女孩每分钟走 15 级台阶，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问；该扶梯共有多少级？
3．两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在15秒钟里，男孩可走12级梯级，女孩可走10级梯级，结果男孩走了3分钟到达另一端，女孩走了4分钟到达另一端，该扶梯共多少级？
4．某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒，而他沿着自动扶梯从底朝上走到顶部只用了1分30秒。如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶要多少时间？如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶要多少时间？
5．甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层。当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了60 级到达一层。如果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往下走80级．那么，自动扶梯不动时甲从下到上要走多少级？
6．商场的自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着， 兄妹两人乘自动扶梯上楼， 哥哥每分钟走 20 级， 妹妹每分钟走 15 级， 结果哥哥 5 分钟到达楼上， 妹妹 6 分钟到达楼上， 问该自动扶梯有多少级可见扶梯？
7．在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯，小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈1级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈2级台阶，那么他走过30级台阶后到达地面。从站台到地面有多少级台阶
8．在安全的前提下，某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下走用了7分30秒，而他沿着自动扶梯从底下朝上走到顶部只用了1分30秒。如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶要多少时间 如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶要多少时间
9．乘轻轨时，自动扶梯可以把人们送到站台。甲与乙每次乘扶梯时，为了节省时间自己总是还要往上登。
（1）甲比乙登得快，扶梯把他们送到站台时，甲登了 18 阶用了 65 秒，乙登了 15 阶用了70 秒，若刚好遇到自动扶梯故障，则他们需要自己登自动扶梯多少阶？
（2）若甲上扶梯5秒后乙也上了扶梯，甲仍按(1)中速度登梯，如果乙和甲刚好同时登上站台，那么乙一共登了几级扶梯？
10．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级，结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达，则当该扶梯静止时有多少级？
11．在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部，下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部。自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍，则该自动楼梯从底到顶的台阶数为多少级
12．某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部走到底部用了 7 分 30 秒， 沿 自动扶梯从底部走到顶部用了 1 分 30 秒， 如果此人不走， 那么乘着扶梯从底部到顶部需要多少时间？ 如果停电， 那么沿扶梯从底部走到顶部需要多少时间？
13．自动扶梯由下向上，小明由上向下走了100级到底，小红由下往上走了50级到顶，已知小明步行速是小红的3倍，求自动扶梯静止时由底到顶共多少级。
14．(扶梯问题)在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部。自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍，则该自动楼梯从底到顶的台阶数为多少级？
15．某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部走到底部用了7分30秒，沿着自动扶梯从底部走到顶部用了1分 30秒，如果此人不走，那么乘着扶梯从底部到顶部需要多少时间？如果停电，那么沿扶梯从底部走到顶部需要多少时间？
16．某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部走到底部用了7分 30 秒，而他沿着自动扶梯从底部朝上走到顶部只用了1分 30秒。如果人不走，那么乘着扶梯从底部到顶部要多少时间？如果停电，那么此人沿扶梯从底部走到顶部要多少时间？
17．(附加题)商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶。两个孩子在扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，当扶梯静止时，可看到的扶梯有多少级？
18．商场的自动扶梯匀速由下往上运行着，兄妹两人乘扶梯上楼，哥哥每分钟走18级，妹妹每分钟走13级，结果哥哥5分钟到达楼上，妹妹6分钟到达楼上。该自动扶梯共有多少级？
19．甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层。当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了60级到达一层。如果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往下走80级。那么，自动扶梯不动时甲从下到上要走多少级？
20．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级，结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达，则当该扶梯静止时有多少级？
答案解析部分
1．解：设扶梯速度是x级/分，
由题意得：（20+x）×5=（15+x）×6，解得：x=10
扶梯长度为：（20+10）×5=150（级），
答：该扶梯共有150级台阶。
男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，假设扶梯速度是x级/分，男孩5分钟到达楼上，女孩6分钟到达楼上，可以根据扶梯长度相等来列等量关系式。
2．解：（20×5-15×6）÷（6-5）
=10÷1
=10（级/分）
（20+10）×5
=30×5
=150（级）
答：该扶梯共有150级。
男孩的速度×男孩的时间=男孩上的楼梯级数，女孩的速度×女孩的时间=女孩上的楼梯级数，（男孩的速度×男孩的时间-女孩的速度×女孩的时间）÷（男孩的时间-女孩的时间）=自动扶梯的速度，（男孩的速度+自动扶梯的速度）×男孩的时间=自动扶梯的级数，据此可以解答。
3．解：3分钟＝180秒，4分钟＝240秒，
电梯每分钟走：
[(240÷15)×10-(180÷15)×12]÷(4-3)
＝(16×10-12×12)÷(4-3)
＝(160-144)÷(4-3)
＝16÷1
＝16（级），
扶梯共有：
(180÷15)×12-16×3
＝12×12-48
＝144-48
＝96（级）；
答：该扶梯共96级。
根据题意，男孩3分钟走的梯级数减15秒走的梯级数等于男孩在3分钟内所走的扶梯级数，同理求出女孩4分钟走的扶梯级数；再根据在3分钟内，电梯所走的梯级数等于在4分钟内所走的梯级数，据此求出扶梯每分钟走的梯级数，最后求出扶梯共有多少级。
4．解：设自动扶梯1秒运行1级，人每秒走x级。
(x-1)×(7×60+30)=(x+1)×(60+30)
x=1.5
(1.5-1)×(7×60+30)=225(级)
不走：225-1=225(秒)=3分45 秒
停电：225÷(1+0.5)=150(秒)=2分30秒
答： 如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶要3分45 秒，如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶要2分30秒。
设自动扶梯1秒运行1级，人每秒走x级，由于扶梯高度不变，根据“沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒，而他沿着自动扶梯从底朝上走到顶部只用了1分30秒”即可列出等式，求出人的速度，据此求出扶梯阶级，再分别求出时间即可。
5．解：
人和 扶梯的速度和比扶梯速度
甲走动的速度是扶梯速度的2倍
，
答： 自动扶梯不动时甲从下到上要走40级.
甲乙相遇时甲的高度是两层之间高度的，说明在相同时间内，自动扶梯由上往下走了两层高度的，而甲和自动扶梯共同走了两层高度的，由此可以得出甲走动的速度是扶梯速度的2倍。
然后，根据甲的速度与扶梯速度的关系，计算甲向上走时实际走的台阶数。如果甲沿着扶梯向下走，那么整体的速度就和自动扶梯的速度一样，是整体向上走时速度的，所用的时间就是向上走所用时间的3倍，那么甲所走的台阶数就是向上时所走台阶数的3倍。因此，甲向上走时实际走了。
甲走级台阶的同时自动扶梯向上移动了级台阶，
因此如果扶梯不动，甲从下到上要走级台阶。
6．解：①自动扶梯每分钟走：
(20 ×5-15 ×6)÷(6- 5)
=(100-90)÷(6- 5)
=10÷1，
=10(级)
②自动扶梯共有：
(20+ 10)x5
=30x5
=150(级)
答︰扶梯共有150级。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5=100(级)，女孩6分钟走了15×6=90(级)，女孩比男孩少走了100-90=10(级)，多用了6-5=1 (分)，说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有(20+10)×5=150(级)。
7．解：小强每秒走1级台阶，需要秒；
每秒走2级台阶，需要秒。
设扶梯每秒钟需要走级台阶，由扶梯长度可得，解得，
那么扶梯的长度：(级)。
答： 从站台到地面有60级台阶。
设扶梯每秒钟需要走级台阶，根据扶梯总长度不变，列方程，解得，则扶梯的长度为，据此求解即可。
8．解：设自动扶梯1秒运行1级，人每秒走x级。
（x-1）×（7×60+30）=（x+1）×（60+30）
450x-450=90x+90
360x=540
x=1.5
（1.5-1）×（7×60+30）
=0.5×450
=225（级）
225÷1=225（秒）
225秒=3分45秒
225÷1.5=150（秒）
150秒=2分30秒
答：此人不走，乘着扶梯从底到顶要用3分45秒；如果停电，此人沿扶梯从底走到顶用2分30秒。
由题意可知，某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部向下走的实际速度等于某人的速度减去自动扶梯的速度，某人沿着自动扶梯从底下朝上走到顶部的实际速度等于某人的速度加上自动扶梯的速度；因此，可以设自动扶梯1秒运行1级，人每秒走x级，根据路程不变列方程求出x的值，进而求出自动扶梯的级数，再用自动扶梯的级数除以自动扶梯的速度可以得到此人不走，乘着扶梯从底到顶所用时间；用自动扶梯的级数除以人的速度可以求出如果停电，此人沿扶梯从底走到顶所用时间。
9．（1）解：设自动扶梯的速度为x阶/秒。
65x+18=70x+15
70x-65x=18-15
x=3÷5
x=
65×+18
=39+18
=57（阶）
答：他们需要自己登自动扶梯57阶。
（2）解：65－5=60（秒）
57－60×
=57－36
=21（级）
答：乙一共登了21级扶梯。
（1）根据题意可得：自动扶梯的速度×甲到达站台用的时间+甲自己登的扶梯台阶数=自动扶梯的台阶数，自动扶梯的速度×乙到达站台用的时间+乙自己登的扶梯台阶数=自动扶梯的台阶数，因此，自动扶梯的速度×甲到达站台用的时间+甲自己登的扶梯台阶数=自动扶梯的速度×乙到达站台用的时间+乙自己登的扶梯台阶数，据此关系式设自动扶梯的速度为x阶/秒，列方程即可求出自动扶梯的速度，再根据关系式：自动扶梯的速度×甲到达站台用的时间+甲自己登的扶梯台阶数=自动扶梯的台阶数或者自动扶梯的速度×乙到达站台用的时间+乙自己登的扶梯台阶数=自动扶梯的台阶数，代入x的值即可解答；
（2）根据题意可知甲的速度不变，所以他到达站台的时间还是65秒，而乙晚上5秒并同时到达，所以乙到达站台用的时间=甲到达站台用的时间－甲提前用的时间=65-5=60秒，因此，乙自己登的台阶数=总台阶数－乙到达站台用的时间×自动扶梯的速度，据此解答即可。
10．电梯每秒钟走的级数：
电梯的总级数：
答：当该扶梯静止时有100级。
根据题意，男孩40秒走了40×2=80（级），女孩50秒走了（50÷2）×3=75级，女孩比男孩少走了5级，多用了10秒，即电梯10秒走了5级，可列式求出电梯的速度为0.5级/秒。根据男孩每秒2级，40秒到达楼上，而他的实际上楼速度是他的速度和电梯速度之和，因此可列式为，求得扶梯共100级。
11．解：向上与向下的时间之比=（120÷2）：（90÷1）=2：3
设该自动楼梯从底到顶的台阶数为x级，自动楼梯的速度为y级/单位时间，
则有：
两式相减，得
5y=30
则y=6；
把y=6代入x-3y=90中，得x=108
答：该自动楼梯从底到顶的台阶数为108。
此题要知道向上与向下的时间之比(即是电梯运行时间的比)，可用量化思想，设该自动楼梯从底到顶的台阶数为x级，自动楼梯的速度为y级/单位时间，再根据“下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部”列出方程组求解即可。
12．解：设总长是S，电梯的速度是V1，人的速度是V2，则
S=7.5（V2-V1）
S=1.5（V2+V1），即
7.5（V2-V1）=1.5（V1+V2）
6V2=9V1
V2=1.5V1
那么人不走，时间是：
把V2=1.5V1代入得s÷v2=1.5（v1+v2）÷v2=1.5（v1+1.5v1）÷1.5v1=2.5（分），
如果停电﹐那么此人徒步上楼需要的时间为2.5分。
答：如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶要3.75分；如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶要2.5分。
当人从顶部朝底下时可设总长是S，电梯的速度是V1，人的速度是V2，根据路程=速度和（或差）×时间，可得 S=7.5（V2-V1），S=1.5（V1+V2），求得V2=1.5V1，再根据时间=路程÷速度，求出此人不走，乘该扶梯从底到顶所需的时间；
把V2=1.5V1代入得s÷v2即可求出如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶要用的时间。
13．解：小明走过的级数是小红走过的级数的100÷50=2倍，
同时小明速度又是小红的3倍，可以得到小明与小红走的时间比2：3，100-50=50（级），
伸出级数为：50÷ （2+3）×2=20（级），
静止时就应该是：100-20=80（级）。
答：自动扶梯静止时由底到顶共80级。
小明走过的级数是小红走过的级数的100：50=2倍，同时小明速度又是小红的3倍，可以得到小明与小红走的时间比2：3，因此小明走的级数实际上是静止的级数加上行走时间内扶梯伸出的级数，小红行走的级数是静止级数减去行走时间内扶梯缩进的级数，那么他们走过的级数差就是扶梯伸出级数与缩进级数的和100-50=50级，伸出时间和缩进时间比是2：3，那么伸出和缩进级数比就是2：3因此伸出级数为50：(2+3)×2=20级，静止时就应该是100-20=80级；据此解答即可。
14．解：设
所以，台阶= 108。
答： 该自动楼梯从底到顶的台阶数为108级。
此题需考虑自动楼梯的运行速度，小明单位时间内下的台阶数式他上的台阶数的2倍，设，根据'路程=速度×时间'，得出向上、向下的时间、，所得方程组计算台阶数。
15．解：把扶梯长度看作单位"1"；
7分30秒＝7.5分，1分30秒＝1.5分；
人的速度-扶梯速度＝1÷7.5=
人的速度＋扶梯速度＝1÷1.5=
所以，人的速度是(+)÷2=，
扶梯的速度是-=；
如果人不走，需要1÷=（分）=3分45秒；
如果停电，人就需要1÷=（分）=2分30秒．
答：如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶要3分45秒，如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶要2分30秒．
根据题意，把扶梯长度看作单位"1"；某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒，也就是人的速度-扶梯速度＝1÷7.5=；他沿着自动扶梯从底朝上走到顶部只用了1分30秒，人的速度＋扶梯速度＝1÷1.5=；所以，人的速度是(+)÷2=，扶梯的速度是-=，如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶，也就是按扶梯的速度走了扶梯长度，用时1÷；如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶，也就是按照人的速度走了扶梯长度，用时1÷；然后再进一步解答．
16．解：把扶梯长度看作单位"1"；
7分30秒＝7.5分，1分30秒＝1.5分；
人的速度-扶梯速度＝1÷7.5=
人的速度＋扶梯速度＝1÷1.5=
所以，人的速度是(+)÷2=，
扶梯的速度是-=；
如果人不走，需要1÷=（分）=3分45秒；
如果停电，人就需要1÷=（分）=2分30秒．
答：如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶要3分45秒，如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶要2分30秒．
根据题意，把扶梯长度看作单位"1"；某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒，也就是人的速度-扶梯速度＝1÷7.5=；他沿着自动扶梯从底朝上走到顶部只用了1分30秒，人的速度＋扶梯速度＝1÷1.5=；所以，人的速度是(+)÷2=，扶梯的速度是-=，如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶，也就是按扶梯的速度走了扶梯长度，用时1÷；如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶，也就是按照人的速度走了扶梯长度，用时1÷；然后再进一步解答．
17．解：40+(80-40) ÷2
=40+40 ÷2
= 60(级)
答：当扶梯静止时，可看到的扶梯有60级。
18．[(18×5-13×6)÷(6-5)+18]×5= 150(级)
答：该自动扶梯共有150级。
19．解：60÷80=
甲走动的速度收扶梯速度的2倍80÷3=
（级）
答：自动扶梯不动时甲从下到上要走40级。
要解决这个问题，需要分析甲乙两人的行动以及甲在不同情况下的行走速度与自动扶梯速度的关系。当甲反身向下走时，他走的总台阶数是到达顶端再从“上行扶梯”返回所走台阶数的，这表明在相同时间内，自动扶梯由上往下走了两层高度的，而甲和自动扶梯共同走了两层高度的，说明第一种情况下，甲乙相遇时甲的高度是两层之间高度的。进一步计算甲和自动扶梯的速度比，以及甲向上走时实际走的台阶数和扶梯不动时甲从下到上要走的台阶数。
20．解：40×2=80(个) 50×=75(个)
80-75=5(个)
40×2+5×40÷10=100(个)
答： 当该扶梯静止时有100级
男孩走了40×2=80(个)梯级；女孩走了50×=75(个)梯级
由于女孩多走了10秒，也即电梯在男孩到达后又运行了10秒，
而这10秒钟电梯运行的梯级等于80-75=5(个)，所以，电梯的运行速度为5(个)每10秒种，利用男孩的时间可得电梯级数为：40×2+5×40÷10=100(个)
所以，可看到的扶梯梯级有100个。

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