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(共34张PPT)
第二章 实数
2.2 立方根
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解立方根的概念，掌握立方根的表示方法和求法，能运用立方根解决简单的实际问题。
01
通过类比平方根的学习过程，培养学生的类比推理能力和自主探究能力，体会从特殊到一般的数学思想。
02
在探究活动中，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。
03
02
新知导入
已知一个正方体的体积为8 cm3，如图所示，则它的棱长是多少？
思考解答
由于 23 = 8，因此体积为 8 cm3 的正方体，它的棱长是2 cm.
这个问题的实质就是要找一个数， 使它的立方等于给定的数.
03
新知探究
探究一
立方根的定义
如果有一个数 b，使得 b3 = a，那么 b 叫作 a的一个立方根，也叫作三次方根 .
a的立方根记作 ，读作“立方根号 a”或“三次根号a”.
例如，由于23 = 8，因此2是8的一个立方根，即
同理，由于（-2）3 =-8，因此-2是-8的一个立方根，即
03
新知探究
探究一
立方根的定义
立方根符号“ ”中的数字3不可省略.
求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
03
新知探究
开立方与立方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根.
知识要点
03
新知讲解
例1
分别求下列各数的立方根：
（1） 1； （2） ； （3）0； （4）-0. 064.
解 ：（1） 由于13 = 1，因此
03
新知讲解
例1
分别求下列各数的立方根：
（1） 1； （2） ； （3）0； （4）-0. 064.
解 ：（3） 由于03 = 0，因此
（4） 由于（-0.4）3 = -0.064，因此
知识要点
一般地，在目前我们所学习的数中，每一个数有且只有一个立方根 . 一个正数有一个正的立方根，
一个负数有一个负的立方根，
0的立方根是0.
通过对上面例题的解答，你能发现什么
03
新知讲解
03
新知探究
探究二
用计算器求数的立方根
利用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值.
03
新知讲解
例2
用计算器求下列各数的立方根：
（1） 343； （2）-1. 331.
解： （1） 依次按键：
显示结果：7.
所以
03
新知讲解
例2
用计算器求下列各数的立方根：
（1） 343； （2）-1. 331.
解： （2）依次按键：
显示结果：-1.1 .
所以
03
新知讲解
实际上，许多有理数的立方根都是无理数，如 ， …都是无理数，但可以用有理数来近似地表示它们.
解： 依次按键：
显示结果：1. 259 921 050.
所以
例3
用计算器求 的近似值（结果精确到0. 001）.
03
新知讲解
下列说法是否正确？请举例说明.
（1） =a；
正确
举例： = 4，4 3 =64.
03
新知讲解
下列说法是否正确？请举例说明.
（2） =a.
正确
举例：2 3 =8， = 2.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. -8的立方根是( ).
A. ±2
B. 2
C. -2
D. 24
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 如果 是6 - x的三次方根，那么( ).
A. x<6
B. x=6
C. x≤6
D. x是任意数
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.有下列命题:
①立方根是它本身的数只有3个；②27的立方根是3与-3;
③-81无立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.
其中正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4. 的平方根是（ ）.
A. ±2
B. -2
C. 2
D. ±8
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.根据下图中呈现的运算关系，可知a=_________.
-2023
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6. 已知a是 的平方根，b= ，c是 -64 的立方根，则a+b-c的值为（ ）.
A. 15
B. 15或-5
C. 11
D. 11 或5
D
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.已知2a-1的算术平方根是 , a -5b +1的立方根是-2.
(1)求a与b的值;
(2)求2a-b的立方根.
解：(1)因为 2a -1 的算术平方根是 ，
所以2a -1 =11，所以a=6.
因为a - 5b+1 的立方根是-2，
所以a - 5b+1= -8，所以b=3.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.已知2a-1的算术平方根是 , a -5b +1的立方根是-2.
(1)求a与b的值;
(2)求2a-b的立方根.
解：(2)由(1)知a=6，b=3，
所以2a-b=2×6 - 3=9，
所以2a -b 的立方根为 .
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.如果有一个数 b，使得 b3 = a，那么 b 叫作 a的一个立方根，也叫作三次方根 .
2.求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
3.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，
0的立方根是0.
a的立方根记作 ，读作“立方根号 a”或“三次根号a”.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列说法正确的是( ).
A.一个数的平方根有两个，它们互为相反数
B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是-1或0或1
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.有一种正方体形状的集装箱，它的体积是343m3，则这种正方体集装箱的棱长为（ ）m.
A.14
B.7
C.15
D.8
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 下列说法中，正确的是（ ）.
A.-27没有立方根
B.1的立方根是±1
C. 是2的一个平方根
D.3的立方根是
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.如果-b是a的立方根，那么下列结论正确的是( )
A. -b是-a的立方根
B. b是-a的立方根
C. b是a的立方根
D. ±b是a的立方根
B
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.（1）填表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
0.01 0.1 1 10 100
（2）由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：
被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动一位
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.（3）根据你发现的规律填空：
①已知 ≈1.442，则 ≈_________， ≈_________；
②已知 ≈0.07697，则 ≈_________.
14.42
7.697
0.1442
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。2.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。5.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。
内容分析 实数是在有理数的基础上进一步扩充数系，它是初中数学知识体系中的重要组成部分。从数学学科内部发展来看，实数的学习为后续学习一元二次方程、函数等知识奠定基础；从实际应用角度，实数在物理、工程、金融等诸多领域有着广泛的应用，能帮助学生解决更复杂的现实问题。本单元主要内容包括算术平方根、平方根、立方根的概念与运算，无理数的认识，实数的概念及分类，实数与数轴上点的一一对应关系，实数的运算等。由数的开方引入无理数，进而构建实数体系，各知识点层层递进，逻辑紧密。
学情分析 七年级学生已掌握有理数的相关知识，具备一定的运算能力和逻辑思维基础。但对于数系的扩充，从有理数到无理数的跨越是一个难点，学生初次接触无理数的抽象概念，理解诸如无限不循环小数等特征会有困难，在进行实数运算时，对法则的准确运用以及符号处理也容易出错。
单元目标 （一）教学目标1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根。2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，用立方运算求某些数的立方根。3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能对实数进行分类。4.掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算，会进行简单的实数混合运算，会比较实数的大小。5.通过探究数的开方运算过程，培养学生的类比、归纳、抽象思维能力。6.经历无理数发现以及实数体系构建过程，体会数学知识的内在联系和拓展，提升学生的逻辑推理能力。7.在解决实数相关问题中，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数感和符号意识。（二）教学重点、难点重点1.算术平方根、平方根、立方根的概念与运算。2.无理数、实数的概念及实数与数轴的关系。3.实数的运算规则及简单混合运算。难点1.对无理数概念的理解，尤其是无限不循环小数的直观认识。2.实数运算中，对运算法则的准确运用以及复杂运算中符号的处理。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1 平方根认识平方根和算术平方根22.2立方根认识立方根和开立方12.3 实数知道实数的组成和会进行实数的运算2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1 平方根1.理解平方根和立方根的概念，能准确说出它们的定义、表示方法及性质。2.了解开方运算与乘方运算的互逆关系，并能利用这种关系进行简单的数学运算。能够熟练运用开平方和开立方运算，求出给定数的平方根和立方根。任务一：讲解平方根和立方根的基本概念、原理、法则等知识，使学生形成初步认知。任务二：巩固练习。1.学生理解无理数的概念，精准识别无理数，能明确阐述无理数是无限不循环小数。2.熟练掌握无理数的常见表现形式。1.了解无理数的定义，即无限不循环小数，以及常见的三种表现形式。2.掌握无理数与数轴的关系。1.系统讲解无理数的核心概念、关键特征、重要理论，为学生搭建知识框架。2.分组讨论、合作完成在数轴上表示无理数的任务。2.2立方根1.学生能够深入理解立方根的概念，熟练掌握立方根的表示方法，准确说出立方根的性质特点。2.对于给定的数，能迅速且正确地运用开立方运算求出其立方根。理解立方根与平方根在概念、性质、运算等方面的异同点，构建完整的数的开方知识体系。任务一：讲解立方根的基本概念、原理、法则，让学生形成初步认知。任务二：将立方根与平方根进行对比教学，从概念、性质、运算等多方面类比。2.3 实数1.学生能够清晰阐述实数的定义，准确说出实数的分类。2.深刻理解无理数在实数体系中的地位，熟练识别常见的无理数。1.掌握实数的概念与分类，让学生准确把握实数的范畴，清晰区分有理数和无理数。2.实数与数轴上的点一一对应的关系。任务一：讲解实数的定义、分类标准、数轴对应关系等基础知识，为学生构建知识框架。任务二：巩固练习。1.学生能够熟练掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算规则，理解运算律在实数范围内同样适用。2.能准确进行简单的实数混合运算，包括含有无理数的运算，正确运用运算顺序，规范书写解题过程。1.掌握实数的基本运算规则及混合运算的顺序与方法，确保能正确、熟练地进行运算。2.掌握比较实数大小的常用方法，能够根据实数特点灵活运用恰当方法进行比较。任务一：通过对比有理数运算中的相关知识，引导学生快速掌握实数运算知识。任务二：在实践中巩固运算知识，提高运算技能。
《实数》单元教学设计
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分课时教学设计
《2.2 立方根》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《立方根》是在学生学方根的基础上进行的，它是对根式运算的进一步拓展，也是后续学习实数、函数等知识的重要基础。通过立方根的学习，学生能更好地理解数的开方运算，完善数系的认知。本节课内容主要介绍立方根的概念、表示方法、求法以及立方根与平方根的区别和联系。通过具体实例引入，让学生经历从具体到抽象的思维过程。
学习者分析 七年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们对新鲜事物充满好奇心，具有一定的自主探究和合作学习能力。在学方根后，学生对开方运算有了初步认识，但对于立方根与平方根的区别可能会混淆，需要教师引导辨析。
教学目标 1.理解立方根的概念，掌握立方根的表示方法和求法，能运用立方根解决简单的实际问题。 2.通过类比平方根的学习过程，培养学生的类比推理能力和自主探究能力，体会从特殊到一般的数学思想。 3.在探究活动中，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。
教学重点 理解立方根的概念，掌握立方根的表示方法和求法，能运用立方根解决简单的实际问题。
教学难点 通过类比平方根的学习过程，培养学生的类比推理能力和自主探究能力，体会从特殊到一般的数学思想。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 教师出示问题： 已知一个正方体的体积为8 cm3，如图所示，则它的棱长是多少？ 由于 23 = 8，因此体积为 8 cm3 的正方体，它的棱长是2 cm. 这个问题的实质就是要找一个数， 使它的立方等于给定的数.学生活动1： 学生思考教师提出的问题，为本节课学习新知识奠定基础。 活动意图说明：激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：新知探究教师活动2： 教师出示立方根的定义：如果有一个数 b，使得 b3 = a，那么 b 叫作 a的一个立方根，也叫作三次方根 . a的立方根记作，读作“立方根号 a”或“三次根号a”. 例如，由于23 = 8，因此2是8的一个立方根，即 同理，由于（-2）3 =-8，因此-2是-8的一个立方根，即 注意：立方根符号“”中的数字3不可省略. 教师出示开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 开立方与立方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根. 【例1】分别求下列各数的立方根： （1） 1； （2） ； （3）0； （4）-0. 064. 解 ：（1） 由于13 = 1，因此 （3） 由于03 = 0，因此 （4） 由于（-0.4）3 = -0.064，因此 通过对上面例题的解答，你能发现什么 一般地，在目前我们所学习的数中，每一个数有且只有一个立方根 . 一个正数有一个正的立方根， 一个负数有一个负的立方根， 0的立方根是0.学生活动2： 学生根据教师引导总结立方根的概念。 学生在理解立方根的概念的基础上完成例题. 活动意图说明：运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：新知探究利用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值. 【例2】用计算器求下列各数的立方根： （1） 343； （2）-1. 331. 解： （1） 依次按键： 显示结果：7. 所以 （2）依次按键： 显示结果：-1.1 . 所以 实际上，许多有理数的立方根都是无理数，如，…都是无理数，但可以用有理数来近似地表示它们. 【例3】用计算器求 的近似值（结果精确到0. 001）. 解： 依次按键： 显示结果：1. 259 921 050. 所以 议一议： 下列说法是否正确？请举例说明. （1）； 正确 举例：= 4，4 3 =64. （2） =a. 正确 举例：2 3 =8，= 2. 学生活动3： 学生在教师的指导下理解怎样用计算器求一个数的立方根或它的近似值. 学生用计算器完成例题。 活动意图说明：强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
板书设计 课题：2.2 立方根 一、立方根的定义 二、开立方 三、用计算器求一个数的立方根
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. -8的立方根是( C ). A. ±2 B. 2 C. -2 D. 24 2. 如果是6 - x的三次方根，那么( D ). A. x<6 B. x=6 C. x≤6 D. x是任意数 3.有下列命题: ①立方根是它本身的数只有3个；②27的立方根是3与-3; ③-81无立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数. 其中正确的是（ C ） A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 4. 的平方根是（ A ）. A. ±2 B. -2 C. 2 D. ±8 选做题： 5.根据下图中呈现的运算关系，可知a=____-2023_____. 6.已知a是的平方根，b= ，c是 -64 的立方根，则a+b-c的值为（ D ）. A. 15 B. 15或-5 C. 11 D. 11 或5 【综合拓展类作业】 7.已知2a-1的算术平方根是 , a -5b +1的立方根是-2. (1)求a与b的值; (2)求2a-b的立方根. 解：(1)因为 2a -1 的算术平方根是 ， 所以2a -1 =11，所以a=6. 因为a - 5b+1 的立方根是-2， 所以a - 5b+1= -8，所以b=3. 解：(2)由(1)知a=6，b=3， 所以2a-b=2×6 - 3=9， 所以2a -b 的立方根为 .
课堂总结 本节课你学到了什么？ 1.如果有一个数 b，使得 b3 = a，那么 b 叫作 a的一个立方根，也叫作三次方根 . a的立方根记作 ，读作“立方根号 a”或“三次根号a”. 2.求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 3.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根， 0的立方根是0.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列说法正确的是( D ). A.一个数的平方根有两个，它们互为相反数 B.一个数的立方根不是正数就是负数 C.负数没有立方根 D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是-1或0或1 2.有一种正方体形状的集装箱，它的体积是343m3，则这种正方体集装箱的棱长为（ B ）m. A.14 B.7 C.15 D.8 选做题： 3.下列说法中，正确的是（ C ）. A.-27没有立方根 B.1的立方根是±1 C. 是2的一个平方根 D.3的立方根是 4.如果-b是a的立方根，那么下列结论正确的是( B ) A. -b是-a的立方根 B. b是-a的立方根 C. b是a的立方根 D. ±b是a的立方根 【综合拓展类作业】 5.（1）填表： （2）由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律： 被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动一位 （3）根据你发现的规律填空： ①已知≈1.442，则≈14.42， ≈0.1442； ②已知 ≈0.07697，则≈7.697.
教学反思 在教学过程中，要关注学生对立方根概念的理解和求法的掌握情况，及时调整教学节奏。对于学生容易混淆的立方根与平方根的区别，要通过多种方式进行强化对比。在练习环节，要注重对学生解题思路和方法的指导，培养学生良好的解题习惯。同时，鼓励学生积极参与课堂讨论和探究活动，提高学生的学习积极性和主动性。
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