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2025年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟训练试卷
说明：
本试卷包含选择题（第1题-第8题，共8题）、非选择题（第9题-第28题，共20题）两部分．
本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号．
3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效．
4．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．2025的倒数是（ ）
A． B．2025 C． D．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
某校九年级（ 3 ）班全体学生 2019 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：
成绩 35 39 42 43 45 49 50
人数 3 5 6 6 8 7 5
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是 （ ）
A．该班一共有 40 名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是 45 分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是 44 分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分
5． 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
6．下列图形中，是棱柱展开图的是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
8 . 某校八年级同学到距学校8千米的某地参加社会实践活动，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，a、b分别表示步行和骑车前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分）之间的函数图象，根据图象提供的信息，下面选项中正确的个数是（ ）
①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟；
②骑车的同学和步行的同学同时到达目的地；
③步行的速度是7.5千米/时；
④骑车的同学从出发到追上步行的同学用了18分．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9． 2024年五一节期间，扬州市A级旅游景区乡村旅游重点村共接待游客约人次，
将这个数据用科学记数法表示为 ．
10．分解因式 a2b b 的结果是 ．
11 .一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为 ．
12．要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为 ．
13 .如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CO＝2，则阴影部分的面积为 ．
如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：
①图象经过点； ②关于x的方程的解为；
③关于x的方程的解为； ④当时，．
其中正确的是 ．
在我国古代数学名著《九章算术》上，记载有这样一道题：
“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？”大意是：甲从长安出发，需五天时间到达齐；乙从齐出发，需七天时间到达长安．
现在乙从齐出发两天后，甲才从长安出发，问甲出发几天后两人相遇？
答：甲出发 天后两人相遇．
凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离
之比为5：4，则物体被缩小到原来的 ．
如图，点为反比例函上的一点，点为轴负半轴上一点，连接，
将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点． 若点恰好也在反比例函数的图象上，且点的横坐标是点横坐标的两倍，则的值为 ．
18 . 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
(1)；
(2)．
解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
某校开展了有关黄河文化和仰韶文化的知识测试．随机抽取40名学生的测试成绩（百分制），
并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
信息一：下表是该校学生样本成绩频数分布直方表．
成绩（分） 频数（人） 频率
2 0.05
*
6 0.15
16 *
12 0.30
合计 40 1.00
信息二：该校抽取的学生成绩在这一组的具体数据是：
89，89，88，83，80，82，86，84，88，85，86，88，89，85，89，89．
信息三：如图是该校学生样本成绩频数分布图．

根据以上信息，解答下列问题：
表格中的值为________；
请将该校学生样本成绩频数分布直方图补充完整；
抽取的40名学生测试成绩的中位数是________；
若该校有1800人，成绩不低于80分的为“优秀”，则该校成绩优秀率约为多少？
请对该校本次测试情况进行评价并提出一条合理化建议．
小亮和父母计划寒假期间从A：扬州瘦西湖、B：南京中山陵、C：连云港花果山、
D：苏州拙政园这4个景点中随机选择景点游玩．
（1）若小亮一家从中随机选择一个景点游玩，则选中A：扬州瘦西湖的概率为_______；
（2）若小亮一家从中随机选择两个景点游玩，请用列举法（画树状图或列表）
求选中A、C两个景点的概率．
为落实劳动教育，实施五育并举，某校合理利用空地，开垦校园农场，培养学生的劳动能力．
农场去年种植的辣椒共收获50千克，西红柿共收获100千克．由于同学们劳动技能提高，
今年的辣椒产量和西红柿产量都比去年增加．学校利用劳动课安排两组同学分别采摘辣椒和西红柿，每小时采摘西红柿的质量是采摘辣椒质量的1.2倍，两组同学同时开始采摘，
结果辣椒采摘小组比西红柿采摘小组提前40分钟完成任务，辣椒采摘小组每小时采摘多少千克辣椒
24．如图，已知是矩形的对角线，的垂直平分线分别交、于点和，
交于点．
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若，，求四边形的周长．
25 .如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
26．如图，已知抛物线经过，两点，与轴交于点．
求抛物线解析式和顶点坐标；
(2) 观察图象：
① 当时，直接写出的取值范围；
② 点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．
27．在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
28 . 如图，为外接圆，点、分别为、中点，
连结、、，分别与、交于点、．已知．
（1）求证：．
（2）如图2，连结交于点，连结交于点，连结、．若，
求证：是等边三角形．
（3）在（2）的基础上，若，
① 求DN的长；
② 求．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟训练试卷解答
说明：
本试卷包含选择题（第1题-第8题，共8题）、非选择题（第9题-第28题，共20题）两部分．
本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号．
3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效．
4．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．2025的倒数是（ ）
A． B．2025 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了倒数的定义，熟知知识点是解决本题的关键．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，根据定义即可求解．
【详解】解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故选：C．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式等知识．根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式对各选项进行判断即可．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：A中，错误，故不符合要求；
B中，正确，故符合要求；
C中，错误，故不符合要求；
D中，错误，故不符合要求；
故选：B．
某校九年级（ 3 ）班全体学生 2019 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：
成绩 35 39 42 43 45 49 50
人数 3 5 6 6 8 7 5
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是 （ ）
A．该班一共有 40 名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是 45 分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是 44 分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分
【答案】D
【分析】结合表格根据中位数、众数、平均数的概念求解即可.
【详解】解：选项A，该班人数为：3+5+6+6+8+7+5=40人，故选项A正确；
选项B：得45分的人最多，故众数为45分，故选项B正确；
选项C：将分数按照从小到大排列起来，第20名和第21名同学的成绩的平均数就是中位数，故中位数为：分，故选项C正确；
选项D：平均数为：，故选项D错误.
故答案为：D.
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数各知识点，熟练掌握概念是解题的关键.
5．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】C
【详解】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：由点与点关于原点对称，得：
，
∴，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6．下列图形中，是棱柱展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何体的展开图的应用，主要考查学生的空间想象能力和观察图形的能力．
根据图形结合所学的几何体的形状得出即可．
【详解】解：A、是三棱柱的展开图，故此选项符合题意；
B、是一个平面图形，故此选项不符合题意；
C、是棱锥的展开图，故此选项不符合题意；
D、是圆柱的展开图，故此选项不符合题．
故选：A．
7．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．
本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．
【详解】当时，，
∴与y轴的交点为；
由于是分式，且当时，，即，
∴与x轴没有交点．
∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个，
故选：B．
8 .某校八年级同学到距学校8千米的某地参加社会实践活动，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，a、b分别表示步行和骑车前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分）之间的函数图象，根据图象提供的信息，下面选项中正确的个数是（ ）
①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟；
②骑车的同学和步行的同学同时到达目的地；
③步行的速度是7.5千米/时；
④骑车的同学从出发到追上步行的同学用了18分．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的应用，理解并从而图象获得有用的数学信息是解题的关键．①②根据图象直接判断即可；③根据速度路程时间计算即可；④根据速度路程时间计算骑车的速度，当骑车的同学追上步行的同学时，二者通过的路程相等，据此列方程并求解即可．
【详解】解：由函数图象可知，骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟，
①正确；
根据函数图象，骑车的同学于54分时到达目的地，而步行的同学于64分时到达目的地，
②不正确；
步行的速度为（千米时），
③正确；
骑车的速度为（千米时），
设骑车的同学从出发到追上步行的同学用了小时，
则，解得，
（分，
④正确；
综上，正确的有①③④，共3个，
故选：C
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9． 2024年五一节期间，扬州市A级旅游景区乡村旅游重点村共接待游客约人次，
将这个数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：，
故答案为：．
10．分解因式 a2b b 的结果是 ．
【答案】b(a+1)(a-1)
【分析】直接提取公因式b，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：a2b b=b(a2 1)= b(a+1)(a-1)．
故答案为：b(a+1)(a-1)．
【点睛】本题考查了综合运用提公因式和公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
11 .一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为 ．
【答案】6
【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为，
∵袋子中有4个黑球和个白球，
∴由简单概率公式可得，解得，
∴白球有6个，
故答案为：6．
12．要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：
13 . 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CO＝2，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据垂径定理可得CE=DE，∠CEO=∠DEB=90°，然后根据∠CDB=30°，得出∠COB=60°，继而证得△OCE≌△BDE，把阴影部分的面积转化为扇形的面积计算即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°．
∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，∠OCE＝∠CDB，
在△OCE和△BDE中，
，
∴△OCE≌△BDE（ASA），
∴S阴影＝S扇形OCB＝π，
故答案为．
如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：
①图象经过点； ②关于x的方程的解为；
③关于x的方程的解为； ④当时，．
其中正确的是 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系，利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可得解．
【详解】解：把点，点代入得，，
解得：，
一次函数的解析式为，
当时，，
图象不经过点；故①不符合题意；
由图象得：关于x的方程的解为，故②符合题意；
关于x的方程的解为，故③符合题意；
当时，，故④符合题意；
故答案为：②③④．
在我国古代数学名著《九章算术》上，记载有这样一道题：
“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？”大意是：甲从长安出发，需五天时间到达齐；乙从齐出发，需七天时间到达长安．
现在乙从齐出发两天后，甲才从长安出发，问甲出发几天后两人相遇？
答：甲出发 天后两人相遇．
【答案】/
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．将总路程看作1，设甲出发x天后两人相遇，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：设甲出发x天后两人相遇
依题意得，
解得，
答：甲出发天后两人相遇．
故答案为：．
凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离
之比为5：4，则物体被缩小到原来的 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
【详解】解：依题意，四边形为矩形，设左边交点为
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的．
故答案为：．
如图，点为反比例函上的一点，点为轴负半轴上一点，连接，
将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点． 若点恰好也在反比例函数的图象上，且点的横坐标是点横坐标的两倍，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查反比例函数综合，解题的关键是熟知全等三角形的性质及反比例函数的图像与性质．作轴，轴，根据题意证明，根据，得到B点坐标，再根据B点坐标在反比例函数上即可求出k的值．
【详解】解：如图，作轴，轴，
∵将线段绕点A逆时针旋转
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵，C点的横坐标是A点横坐标的两倍，
∴，即，
∴，
∴
∵B在反比例函数上
∴
解得舍去
故答案为：．
18 . 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，求特殊角三角函数值，实数的运算，化简二次根式和零指数幂等等：
（1）先计算特殊角三角函数值，化简二次根式和零指数幂，再根据实数的运算法则求解即可；
（2）先把两个分式分子分母都分解因式，然后把除法变成乘法，再约分化简即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【答案】，不等式组的整数解的和是．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【详解】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的整数解的和是．
某校开展了有关黄河文化和仰韶文化的知识测试．随机抽取40名学生的测试成绩（百分制），
并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
信息一：下表是该校学生样本成绩频数分布直方表．
成绩（分） 频数（人） 频率
2 0.05
*
6 0.15
16 *
12 0.30
合计 40 1.00
信息二：该校抽取的学生成绩在这一组的具体数据是：
89，89，88，83，80，82，86，84，88，85，86，88，89，85，89，89．
信息三：如图是该校学生样本成绩频数分布图．

根据以上信息，解答下列问题：
表格中的值为________；
请将该校学生样本成绩频数分布直方图补充完整；
抽取的40名学生测试成绩的中位数是________；
若该校有1800人，成绩不低于80分的为“优秀”，则该校成绩优秀率约为多少？
请对该校本次测试情况进行评价并提出一条合理化建议．
【答案】(1)0.1
(2)详见解析
(3)中位数是87
(4)；评价：从优秀率看，整体成绩较好，但还有提升空间；建议：组织学生到三门峡大坝、庙底沟博物馆等地参观学习，进一步了解三门峡的本土文化．
【分析】（1）计算对应组的频数，进而计算频率；
（2）根据频数补齐直方图；
（3）判断中位数位于哪个分组，确定中位数为组中最中间两个数的平均数；
（4）用样本估计总体，样本优秀率为，所以估计该校本次测试成绩优秀率约为，作相应分析．
【详解】（1）由表知，该组对应的频数为，
∴频率，
故答案为：0.1；
（2）频数分布直方图如图所示；

由表知，前三组人数共12人，第五组人数为12人，故中位数位于第四组，
将第四组数据由低到高排列，
80，82， 83， 84，85，85，86， 86，88，88，88，89， 89，89，89，89；共16个数据，
中位数为第8，9个数据的平均数即．
故答案为：87；
．样本数据的优秀率为，
所以可以估计该校本次测试成绩优秀率约为．
评价：从优秀率看，整体成绩较好，但还有提升空间．
建议：组织学生到三门峡大坝、庙底沟博物馆等地参观学习，进一步了解三门峡的本土文化．
小亮和父母计划寒假期间从A：扬州瘦西湖、B：南京中山陵、C：连云港花果山、
D：苏州拙政园这4个景点中随机选择景点游玩．
（1）若小亮一家从中随机选择一个景点游玩，则选中A：扬州瘦西湖的概率为_______；
（2）若小亮一家从中随机选择两个景点游玩，请用列举法（画树状图或列表）
求选中A、C两个景点的概率．
【答案】（1）；（2）树状图或者列表见解析，
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
根据题意用列表法得出所有等可能的结果以及选中A、C两个景点的情况，
再利用概率公式即可求得答案；
【详解】（1）∵ 共有4个风景名胜区，
分别是A扬州廋西湖、B南京中山陵、C连云港花果山、D苏州拙政园，
∴ 去扬州廋西湖的概率为 ；
（2）用表格列出所有可能的结果：
A B C D
A (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C)
共有12种等可能的结果，其中选择A、C两个景区的有2种，
∴ 选中 A、C两个景区的概率为 ；
为落实劳动教育，实施五育并举，某校合理利用空地，开垦校园农场，培养学生的劳动能力．
农场去年种植的辣椒共收获50千克，西红柿共收获100千克．由于同学们劳动技能提高，
今年的辣椒产量和西红柿产量都比去年增加．学校利用劳动课安排两组同学分别采摘辣椒和西红柿，每小时采摘西红柿的质量是采摘辣椒质量的1.2倍，两组同学同时开始采摘，
结果辣椒采摘小组比西红柿采摘小组提前40分钟完成任务，辣椒采摘小组每小时采摘多少千克辣椒
【答案】辣椒采摘小组每小时采摘60千克辣椒．
【分析】本题考查了分式方程的应用．设每小时采摘水果千克，则每小时收割蔬菜千克，
根据“辣椒采摘小组比西红柿采摘小组提前40分钟完成任务”列分式方程，即可求解．
【详解】解：设辣椒采摘小组每小时采摘千克辣椒，则西红柿采摘小组每小时采摘千克西红柿，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解.
∴辣椒采摘小组每小时采摘60千克辣椒．
24．如图，已知是矩形的对角线，的垂直平分线分别交、于点和，
交于点．
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析；
(2)四边形的周长为．
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定，矩形的性质和勾股定理，解题关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
（1）根据垂直平分，得到，，即可得到再根据，得到即可得到则从而可以证明；
（2）设菱形的边长为由题意得：，，再利用勾股定理进行计算即可解答.
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）设，则
在中，，
即，
解得：，
所以四边形的周长．
25 .如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm
(2)点A到直线的距离约为21.5cm
【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；
（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N
由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
26．如图，已知抛物线经过，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式和顶点坐标；
(2)观察图象：
①当时，直接写出的取值范围；
②点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法进行计算即可得出答案，再化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①由解析式得出抛物线的对称轴为直线，再由抛物线的增减性即可得出答案；②根据三角形面积即可得出点的纵坐标，代入解析式进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
顶点坐标为；
（2）解：①，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，
当时，当时，有最小值为，当时，，当时，，
当时，的取值范围为；
②，，
，
，
，
，
抛物线顶点坐标为，
，
当时，，
解得：，，
或．
27．在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝．
【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）k＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝DB，即k＝1；
（2）①k值发生变化，k＝，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴，∠DAB＝∠EAC，
∴△EAC∽△DAB，
∴，即EC＝BD，
∴k＝；
②作EF⊥AC于F，
设AD＝DE＝a，则AE＝a，
∵点E为DC中点，
∴CD＝2a，
由勾股定理得，AC＝，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴，即，
解得，EF＝，
∴AF＝，
则tan∠EAC＝．
28 .如图，为外接圆，点、分别为、中点，
连结、、，分别与、交于点、．已知．
（1）求证：．
（2）如图2，连结交于点，连结交于点，连结、．若，
求证：是等边三角形．
（3）在（2）的基础上，若，
① 求DN的长；
② 求．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）①，②．
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由分别为 、中点，，由圆周角定理可得，进而得到即可求证；
（2）过点作于点，先证明，得到，即可求证；
（3）①过点作于点，由三角函数得到，再证明，根据勾股定理可得，再由即可求解；
②由可得设则，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图：
∵分别为 、中点，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：∵分别为 、中点，
，
∴，，
∴
∴，
∵
∴
∴是等边三角形
【小问3详解】
解：∵，
∴为等边三角形，
过点作于点，如图：
∵，
∴
∴
∴，
由（1）知，，，
∴，
∴即
∴，
，
；
，，
∴为等边三角形，
又∵ 为等边三角形，
∴，
∴ ，
设则，
，
，
，
∴．
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