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贵州省2024-2025学年九年级上册期末数学测试卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于x的方程是一元二次方程，则a满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各事件中，是必然事件的是（ ）
A．是实数，则 B．掷一枚硬币时，正面朝上
C．三角形内角和是 D．任意买一张电影票，座位号是单号
4．将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（ ）
A． B．
C． D．
5．方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
6．如图，，为上一点，于点，且，以点为圆心，半径为的圆与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能
7．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像开口向上 B．函数的最大值为
C．图像的对称轴为直线 D．图像与轴的交点坐标为
8．在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球4个，黄球3个，其余的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为，则袋中绿球的个数是（ ）
A．12 B．7 C．5 D．2
9．如图，四边形内接于，，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知抛物线，若点，都在该抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13．在平面直角坐标系内，若点和点关于原点O对称，则的值为 ．
14．抛物线与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为 ．
15．如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 ．
16．如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接．若，，则的最大值为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)； (2)
18．如图，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出绕点A逆时针旋转后得到的；
(2)画出关于原点O的对称图形．
(3)P为x轴上一点，且取得最小值，直接写出点P的坐标为________．
19．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为1，求m的值和另一个根．
20．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯．
4
3
2
1
车库
(1)如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是______；
(2)请你用树状图或列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率．
21．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OC为8m，宽OA为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
(3)如果隧道内设双行道，两辆同样的上述货车相对而行，是否可以同时在隧道内顺利通过，为什么？
22．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，连接．
(1)求线段的长； (2)求的面积．
23．如图，是的直径，点C在上，点D在的延长线上，．
(1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．
24．【问题背景】
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标．
25．综合与实践已知：，在和上截取，将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，点E在射线上，连接，．
【特例感知】
（1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变？若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，，请直接写出的面积．
贵州省2024-2025学年九年级上册期末数学测试卷
--参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D D A B C B B
题号 11 12
答案 A C
13．
14．
15．
16．
17．（1）解：移项，得
因式分解，得，
∴或，
即 ；
（2）解：，
，
，
即．
18．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求
（3）解：如图所示，作点C关于x轴对称的点D，连接交x轴于点P，
由轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可知，点P即为线段与x轴的交点，
∴由图可知，点P的坐标为．
19．（1）证明：
∵
∴方程总有两个实数根
（2）令x=1，则1-m+2m-4=0，所以m=3
把m=3代入，则
设另一根为，则
=2
20．解:（1）一共有4种等可能性，其中甲在1层出电梯可能性有1种，
故乙和甲在同一层楼出电梯的概率是．
（2）根据题意，画树状图如下：
一共有16种等可能性，其中，甲乙从相邻电梯处的可能性有6种，
故甲、乙在相邻楼层出电梯的概率是．
21．（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），
设抛物线的方程为y＝a（x﹣4）2+6，
又因为点A（0，2）在抛物线上，
所以有2＝a（0﹣4）2+6．
所以a＝﹣．
因此抛物线为：y＝﹣+6．
（2）解：令y＝4，则有4＝﹣+6，
解得x1＝4+2，x2＝4﹣2，
|x1﹣x2|＝4＞2，
∴货车可以通过；
（3）解：由（2）可知|x1﹣x2|＝，
∴货车可以通过．
22．解:（1），，，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
；
（2）如图，过点作于点．
在中，．
，，，
，
．
23．（1）证明：连接
∵是直径，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：由（1）得
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∴
24．解：（1）∵
∴，，
把，代入，得，
，
解得，，
∴此抛物线的解析式为．
（2）设直线的解析式为，
把把，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
设点的坐标为，则点，
∴
∴
∵，
∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为；
（3）∵
∴
如图，
当为底边时，点的坐标为；
当为腰时，点的坐标为或；
综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或．
25．解：（1）∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵点E在射线上，，
∴此时、重合，
∴，
∴；
（2）在旋转的过程中不变，理由如下：
如图，过作于，过作于，则，
∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当在点右边时，如图，过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理，当在点左边时，如图
，
∴；
综上所述，的面积为或．

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