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2025年河南高考数学模拟试题
考试时间：120分钟；总分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）设集合，则A∩B＝（　　）
A．{0，1} B．{0，1，4} C．{0，1，4，9} D．{1，4，9，16}
2．（5分）若f（x），则f（﹣2）的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
3．（5分）若经过点（1，2）且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线x+y+c＝0的距离等于，则实数c的取值范围是（　　）
A．[﹣4，4] B．[﹣6，6] C．[﹣14，﹣6] D．[﹣12，8]
4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P（x0，y0），若cos（），则x0＝（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知等差数列{an}中，a1＝4，a5＝12，则a6等于（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线C虚轴的一个端点，若线段AF2与双曲线右支交于点B，且|AF1|：|BF1|：|BF2|＝3：4：1，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）已知θ，，则θ＝（　　）
A．1 B．2 C． D．π﹣2
8．（5分）如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）已知O是△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是（　　）
A．若 ，则△ABC为等腰三角形
B．若，则△ABC为钝角三角形
C．若O是△ABC的垂心，，则
D．若，λ∈R，则O的轨迹经过△ABC的重心
（多选）10．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，且函数y＝f（2x+1）是偶函数，函数y＝f（x+2）是奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的图象的一条对称轴是直线x＝1
B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C．函数g（x）＝f（x）﹣x有3个零点
D．
（多选）11．（6分）设函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），在上既无最大值，也无最小值，且，则下列结论错误的是（　　）
A．若f（x1）≤f（x）≤f（x2）对任意x∈R，则|x2﹣x1|min＝π
B．y＝f（x）的图象关于点中心对称
C．函数f（x）的单调减区间为
D．函数y＝|f（x）|（x∈R）的图象相邻两条对称轴之间的距离是
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）设直线l：y＝kx+b（k＞0），圆，若直线l与C1，C2都相切，则l方程为 　 　．
13．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为　 　．
14．（5分）记函数f（x）的定义域为D，若存在非负实数k，对任意的x∈D，总有|f（x）﹣f（﹣x）|≤k，则称函数f（x）具有性质P（k）．
①所有偶函数都具有性质P（0）；
②f（x）具有性质P（T）；
③若f（x）＝x2+x+1，则一定存在正实数k，使得f（x）具有性质P（k）；
④已知a＞0，若函数f（x）具有性质P（k），则a∈（0，k]．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）已知数列{an}满足：a1＝1，且an+1﹣2an＝n﹣1，其中n∈N*．
（1）证明数列{an+n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
16．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝2，∠A1AC＝60°，，点D，E，F分别为线段BC，AA1，A1C1的中点，且BC⊥A1D．
（1）证明：平面ACC1A1⊥平面ABC；
（2）若AB＝1，求三棱锥A1﹣DEF的体积．
17．（15分）某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），如图是该校高一1000名学生选择各个模块扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为8：7，选择历史类男女比例为2：3．
男生 女生 合计
物理类
历史类
合计 1000
（1）完成2×2列联表，并判断能否有99%把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”？
（2）从该校选择历史类学生中按照性别分层抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加历史知识趣味问答比赛，求至少有1名男生被抽到的概率．
附：．
P（K2≥k） 0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．（17分）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点为F，且抛物线上一点到焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程C；
（2）已知过抛物线C的焦点F且倾斜角为的直线l与C交于点M，N，求MN的中点到抛物线C的准线的距离．
19．（17分）已知函数，其中a∈R．
（1）若f（x）存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；
（2）若a＜e2，讨论f（x）在区间[1，e2]上的零点个数．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．解：因为，所以A∩B＝{0，1，4，9}．
选：C．
2．解：∵f（x）
∴当x＜1时，f（﹣2）＝f（0）＝f（2），
∴当x＝2时即f（2）＝log22＝1
选：B．
3．解：经过点（1，2）且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，
可设圆心为（a，a），则半径为a，则a＞1，圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，
因该圆经过点（1，2），则得（1﹣a）2+（2﹣a）2＝a2，解得a＝5或a＝1（舍去），
圆的方程为：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25，
因该圆上至少有三个不同的点到直线x+y+c＝0的距离等于，
圆心到直线x+y+c＝0的距离，即，解得﹣14≤c≤﹣6．
选：C．
4．解：在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P（x0，y0），
∴cosα＝x0，
∵α∈（，0），∈（，），
又cos（），
∴∈（，0），
∴sin（），
∴x0＝cosα＝cos[（）]＝cos（）cossin（）sin．
选：A．
5．解：等差数列{an}中，a1＝4，a5＝12，
所以4d＝a5﹣a1＝8，即d＝2，
则a6＝a1+5d＝4+5×2＝14．
选：B．
6．解：∵|AF1|：|BF1|：|BF2|＝3：4：1，
不妨设|AF1|＝3k，|BF1|＝4k，|BF2|＝k，k≠0，
∴|BF1|﹣|BF2|＝4k﹣k＝2a，
∴ka，
∴|AF2|＝|AF1|＝2a，
在Rt△AOF2中，|OF2|＝c，|OA|＝b，
∴4a2＝b2+c2＝c2﹣a2+c2，
∴5a2＝2c2，
∴ac，
∴e，
选：C．
7．解：因为θ，，
则θ．
选：C．
8．解：折起后的蛋巢四个小三角形顶点构成边长为1的正方形，
其外接圆半径，球半径R＝1，
由球面的截面小圆性质知，球心到截面距离d有，
蛋巢四个小三角形顶点到蛋巢底的距离为边长是1的小等腰三角形的高，
所以鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为，
选：B．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．解：对于选项，则，则AB＝AC，则△ABC为等腰三角形，即选项A正确；
对于选项，则cos（π﹣B）＜0，即cosB＞0，即，B为锐角，角A与角C不一定为钝角，则△ABC的形状不确定，即选项B不正确；
对于选项C，O是△ABC的垂心，3，则 （） 3，即选项C正确；
对于选项D，由正弦定理得，
所以，
设BC中点为E，则，所以，
所以A，O，E三点共线，即点O在边BC的中线上，点O的轨迹经过△ABC的重心，即选项D正确．
选：ACD．
10．解：对于A，由于函数y＝f（2x+1）是偶函数，则f（2x+1）＝f（﹣2x+1），
用代替x可得f（x+1）＝f（﹣x+1），则f（x）关于直线x＝1对称，A正确；
对于B，x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1显然是一个增函数，此时x＞x2，则f（x）＞f（x2），B错误；
对于C，由于y＝f（x+2）是奇函数，则f（x+2）＝﹣f（﹣x+2），则f（x+3）＝﹣f（﹣x+1），则﹣f（x+3）＝f（x+1），
则f（x）+f（x+2）＝0，则f（x+2）+f（x+4）＝0，
f（x）＝f（x+4），则4是函数f（x）的一个周期，
当0＜x＜1时，y＝f（x）是一个下凹曲线，在y＝x的下方，
则x＝1是两者一个交点的横坐标，
由于x＝1是f（x）的对称轴，则x∈（1，2]时，f（x）＜1＜x，
由于f（x）+f（x+2）＝0，则x∈（2，4]时，f（x）≤0＜x，
而4是函数f（x）的周期，则当x＞1时，y＝f（x）和y＝x无交点，
由于f（x+2）＝﹣f（﹣x+2），且4是函数f（x）的周期，
则f（x+2）＝f（x﹣2），
进一步得到f（x﹣2）+f（﹣x+2）＝0，则f（x）+f（﹣x）＝0，
f（x）是奇函数，而y＝x也是奇函数，
则当x＜0时，两者也只有一个交点，显然x＝0是它们一个交点的横坐标，总共三个交点，即函数g（x）＝f（x）﹣x有3个零点，C正确；
对于D，由于f（x）+f（x+2）＝0，则f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝0，
又2025＝506×4+1，
则f（k）＝506×0+1＝1，D正确．
选：ACD．
11．解：f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），f（x）的最小正周期T；
f（0）＝f（） x（0）为f（x）对称轴，
f（）＝﹣f（） （），0）＝（，0）为f（x）对称中心，
因为f（x）相邻对称中心和对称轴的距离等于最小正周期，
所以 ω＝2，
（，0）为f（x）对称中心，f（）＝0，sin（2 φ）＝0，
所以2 φ＝kπ，k∈Z，又因为，于是φ，
所以f（x）＝Asin（2x）．
f（x）满足在上既无最大值，也无最小值．
对于A，由题意得，f（x）半周期为π，但T＝π，所以A错；
对于B，因为f（）≠0，所以B错；
对于C，f（x）＝Asin（2x）单调递减区间为[]，所以C对；
对于D，y＝|f（x）|＝|Asin（2x）|的图象相邻两条对称轴之间的距离是，所以D错．
选：ABD．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1，圆心为C1（0，0），半径r1＝1．
圆C2：（x﹣4）2+y2＝1，圆心为C2（4，0），半径r2＝1．
因为|C1C2|＝4＞r1+r2，所以两圆外离，它们有4条公切线，
由图形可知两条外公切线分别为y＝1与y＝﹣1，斜率为0．
两条内公切线，一条斜率大于0，另一条斜率小于0，斜率大于0的那条切线就是l，
设l切圆C2于点A，与x轴交于点B，则B为C1C2的中点，可得B（2，0），
Rt△ABC2中，sin∠ABC2，可得ABC2＝30°，所以l的斜率k＝tan30°．
因此，直线l的方程为y（x﹣2），即xy﹣2＝0．
答案为：xy﹣2＝0．
13．解：如图，
设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点，
连接OM，PF2，
∵M，O分别是PF2，F1F2的中点，
∴MO∥PF1，且|PF1|＝2|MO|＝2b，
OM⊥PF2，
∴PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，
∴|PF2|＝2，
根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|＝2a，
∴2b+22a，
∴a﹣b，
两边平方得：a2﹣2ab+b2＝c2﹣b2，
c2＝a2﹣b2代入并化简得：2a＝3b，
∴b，a＝1，c，
∴e，
即椭圆的离心率为．
答案为：．
14．解：对于①，设函数f（x）是定义在D上的偶函数，
对任意的x∈D，|f（x）﹣f（﹣x）|＝0，所以，所有偶函数都具有性质P（0），①对；
对于②，对任意的x∈R，
，
当x≠0时，
，
当且仅当时，即当x＝±1时，等号成立，又因为|f（0）﹣f（0）|＝0≤1，对任意的x∈R，|f（x）﹣f（﹣x）|≤1，
所以，具有性质P（1），②对；
对于③，因为|f（x）﹣f（﹣x）|＝|（x2+x+1）﹣（x2﹣x+1）|＝2|x|，
且函数y＝2|x|的值域为[0，+∞），所以，不存在实数k，使得|f（x）﹣f（﹣x）|≤k，③错；
对于④，，
因为a＞0，易知k＞0，因为2x＞0，则2x+1＞1，则，
所以，，
即，所以，，
要使得恒成立，则k≥a，
又因为a＞0，则0＜a≤k，
所以，若函数具有性质P（k），则a∈（0，k]，④对．
答案为：①②④．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（1）证明：数列{an} 满足a1＝1，an+1＝2an+n﹣1，
所以，
所以数列 {an+n}是等比数列，
其中公比q＝2，a1+1＝2，
所以，
所以an＝2n﹣n；
解：（2）Sn＝（21﹣1）+（22﹣2）+（23﹣3）+……+（2n﹣n）＝（21+22+23+……+2n）﹣（1+2+3+……+n）2n+12．
16．解：（1）证明：如图，取AC的中点O，连接OD，OA1，
∵AA1＝AC＝2，∠A1AC＝60°，
∴△A1AC为等边三角形，
∴A1O⊥AC，又，点O，D分别为线段AC，BC的中点，
∴OD∥AB，∴OD⊥BC，又BC⊥A1D，OD∩A1D＝D，
∴BC⊥平面A1OD，又A1O 平面A1OD，
∴BC⊥A1O，又AC∩BC＝C，
∴A1O⊥平面ABC，又A1O 平面ACC1A1，
∴平面ACC1A1⊥平面ABC；
（2）如图，过B作BG⊥AC于点G，
由（1）得平面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BG 平面ABC，
∴BG⊥平面ACC1A1，
在直角ABC中，AC＝2，AB＝1，，所以，
由，又点D为线段BC的中点，
∴点D到平面ACC1A1的距离h为点B到平面ACC1A1的距离BG的一半，
即，
∵点E，F分别为线段AA1，A1C1的中点，∴A1E＝A1F＝1，又，
∴△EA1F的面积为，
∴，
三棱锥A1﹣DEF的体积为．
17．解：（1）由扇形图知，该校学生选择物理类有900人，选择历史类有100人，根据男女比例填写列联表如下：
男生 女生 合计
物理类 480 420 900
历史类 40 60 100
合计 520 480 1000
零假设H0：能否有99%把握认为“该校学生选择物理类是否与性别无关”，
计算K26.410＜6.635，
所以没有充分的利用推断H0不成立，即没有99%的把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”；
（2）从该校选择历史类学生中按照性别分层抽样抽取5人，抽到男生2人，记为A、B，女生3人，记为c、d、e；
从这5人中随机抽取2人，基本事件为：AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共10种；
至少有1名男生被抽到的事件为：AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，共7种；
所求的概率为P．
18．解：（1）因为抛物线C上一点到焦点的距离为2，
所以，
解得，
则抛物线C的方程为x2＝﹣5y；
（2）设线段MN的中点为D，分别过点M，N，D作准线的垂线，垂足分别为A，B，C，
由（1）知抛物线C的焦点坐标为，
因为直线l倾斜角为，
所以直线l的斜率为1，
此时直线l的方程为，
联立，消去x并整理得，
M（x1，y1），N（x2，y2），
由韦达定理得．
根据梯形中位线得MN的中点到抛物线C的准线的距离|CD|5．
19．解：（1），定义域是（0，+∞），
，
①若a≤0，则当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）单调递增，与f（x）存在极值点矛盾，
②若a＞0时，则由f'（x）＝0解得：x＝a，
x∈（0，a）时，f'（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，
f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，
f（x）存在唯一极小值点x＝a，
f（a）＝a+1﹣（a﹣1）lna﹣2＝（a﹣1）（1﹣lna）＝0，
a＝1或a＝e；
（2）①a≤0时，f'（x）≥0在[1，e2]上恒成立，
f（x）在[1，e2]上单调递增，
f（1）＝a﹣1≤0，，
∴由零点存在性定理，f（x）在[1，e2]上有1个零点；
②当0＜a≤1时，f'（x）≥0在[1，e2]上恒成立，
f（x）在[1，e2]上单调递增，
f（1）＝a﹣1≤0，，
∴由零点存在性定理，f（x）在[1，e2]上有1个零点；
③当1＜a＜e2时，当x∈[1，a）时，f'（x）＜0，x∈（a，e2]时，f'（x）＞0，
∴f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，e2]上单调递增，
∴f（x）min＝f（a）＝（a﹣1）（1﹣lna），
此时若a＝e，f（x）min＝（a﹣1）（1﹣lna）＝0，f（x）在[1，e2]上有1个零点；
若a＜e，f（x）min＝（a﹣1）（1﹣lna）＞0，f（x）在[1，e2]上无零点；
若ea＜e2，f（x）min＝（a﹣1）（1﹣lna）＜0，f（1）＝a﹣1＞0
而，
若，即，f（x）在[1，e2]上有1个零点；
若，即，f（x）在[1，e2]上有2个零点；
综上：当1＜a＜e时，f（x）在[1，e2]上无零点，
当a≤1或a＝e或 时，f（x）在[1，e2]上有1个零点，
当时，f（x）在[1，e2]上有2个零点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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