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2025年河北省中考数学模拟考试试题（一）（原卷版）
满分120分 考试用时120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下，则馆内人数变化最大时间段为（ ）
9∶00～10∶00 10：00～11∶00 14∶00～15∶00 15∶00～16∶00
进馆人数 24 55 32 50
出馆人数 65 28 45 30
A．9∶00～10∶00 B．10∶00～11∶00
C．14∶00～15∶00 D．15∶00～16∶00
【答案】A
【分析】本题考查了统计表，有理数减法的应用，有理数比较大小．直接利用统计表中人数的变化范围得出馆内变化人数，再比较即可得人数变化最大时间段．
【详解】解：A、馆内人数变化为：；
B、馆内人数变化为：；
C、馆内人数变化为：；
D、馆内人数变化为：；
∵，
∴馆内人数变化最大的时间段为，
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂的运算的计算法则，即可求出答案．
【详解】A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项错误，不符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是掌握幂的运算的相关计算法则．
3．如图，与关于直线对称，，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，由轴对称的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：和关于直线对称，，
，
又∵，
，
故选：C．
4．下列的值是不等式的解的是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的解法，解不等式，即可求解，
本题考查了，解一元一次不等式，解题的关键是：熟练掌握一元一次不等式的解法．
【详解】解：，得：，
故选：．
5．如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据尺规作图的方法步骤判断即可．
【详解】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，
而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，
BD=3，
故选B
【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.
6．如图，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，从它上面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了从不同方向看几何体， 能画出从不同方向所看几何体的平面图形是解题的关键．
【详解】
解：从上面看到的平面图形是
故选：A.
7．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（　　）
A．v＝ B．v+t＝480 C．v＝ D．v＝
【答案】A
【分析】先求得路程,再由等量关系“速度=路程时间”列出关系式即可.
【详解】解:由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地,那么路程为806=480千米,汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数关系为v=,
所以A选项是正确的.
【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用,重点是找出题中的等量关系.
8．若 则的值为( )
A． B．0 C．3 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据题意得出，，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴，
故选：D．
9．某校开展读书月活动，学校想给表现突出的同学分发书签作为纪念品，下面是阅览室两位同学的部分对话：
设表现突出的同学有x人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键．根据书签的数量不变列方程即可．
【详解】解：由题意，得．
故选A．
10．下面是投影屏上出示的嘉嘉同学的作业内容：
如图，在平行四边形中，点E、F分别在，上，． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴ ▲ ∴四边形是平行四边形， ∴．
其中，横线上“▲”符号代表的内容是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得，，由可得，即，即可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
∴，，
又，
，
四边形是平行四边形，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键．
11．将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点则等于( )

A．80° B．75° C．65° D．55°
【答案】B
【分析】根据正多边形的外角和，分别得出，，再根据三角形的内角和即可求出．
【详解】解∶由正多边形外角和等于可得：
，，
∴．
故选∶B．
【点睛】本题考查了正多边形的外角和，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是运用正多边形的外角和求出和的度数．
12．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点、，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴的正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得：，，，根据勾股定理得到，即可得到结果．
【详解】∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
13．已知，则常数，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查异分母分式的加法，将等式左边利用异分母分式的加法进行求解，根据恒等式，求出的值即可．
【详解】解：，
∴，
解得：；
故选A．
14．如下图，四边形是矩形，有一动点P从点B出发，沿路线绕矩形的边匀速运动，当点P到达点A时停止运动．在点P的运动过程中，的面积S随时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
【详解】解：由点P的运动可知，当点P在边上时的面积中底逐渐增大，高不变，
因为为常数，因此面积逐渐变大，且为一次函数．
由点P的运动可知，当点P在边上时的面积不变，
由点P的运动可知，当点P在边上时的面积逐渐减少，
故选：B．
【点睛】本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．
15．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中，是使为奇数的正整数），，两种运算交替重复进行，例如，取，则运算过程如图所示：若，则第2023次“”运算的结果是（　　）
A．3 B．9 C．18 D．48
【答案】C
【分析】根据运算过程分别求出前四次“”运算的结果，可得“”运算结果每四次一循环，再由，即可求解．
【详解】解：根据题意知，第一次“”运算的结果是：；
第二次“”运算的结果是：；
第三次“”运算的结果是：；
第四次“”运算的结果是：；
“”运算结果每四次一循环，
，
第2023次“”运算的结果是18，
故选：C．
16．将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2023应在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【答案】B
【分析】此题考查探究规律类型，解题的关键是明确数的位置的变化规律，观察题目信息与图形信息，根据图象规律可知，5、6、7、8所占的位置正好分别是1、2、3、4的位置，也就是以4个数为一组循环；接下来再用2023除以4，最后再根据余数来确定2023的位置即可．
【详解】解：由题意得：在位置的数被4除余2，在位置的数被4除余3，在位置的数被4整除，在位置的数被4除余1；
，
∴2023应在3的位置，也就是在处．
故选：B．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17．在九年级体育测试中，参加仰卧起坐测试的6名女生成绩如下（单位：次/分）：40，36，38，36，40，36，则这组数据的众数为 ．
【答案】36
【分析】本题考查了众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据，由此即可得出答案，熟练掌握众数的定义是解此题的关键．
【详解】解：在这组数据中出现了三次，出现的次数最多，
故众数是，
故答案为：．
18．阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答：
（1）的整数部分是 ．
（2）的小数部分是 ．
【答案】 3
【分析】（1）根据题意分别找出的左边第一个整数和右边第一个整数即可作答；
（2）由（1）可知，则可求出的整数部分，再用减去它的整数部分即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴的整数部分为3．
故答案为：3
（2）∵，
∴1<<2，
∴的整数部分是1，
∴的小数部分是-1=．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据算术平方根的定义估算无理数的大小，熟练地掌握算术平方根的定义是解题的关键．
19．如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到；再分别倍长，，得到，则的面积为 ；……，按此规律，倍长2022次后得到的面积为 ．
【答案】 49
【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的倍是解题的关键．
【详解】解：连接、、，根据等底等高的三角形面积相等，
、C、C、、、、的面积都相等，
所以，，
同理，
依此类推，的面积为，
的面积为，
∴的面积．
故答案为：49；．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．如图，有甲、乙两条单位长度相同的数轴，甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为，x，y．
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求出线段的长；
(2)若两条数轴重合放置时，点A与点D重合，点B与点E重合，若此时，求x，y的值．
【答案】(1)30，6
(2)，
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，数轴上两点间的距离，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据有理数的加法法则可求出A，B，C三点所对应的数的和；根据两点间的距离计算方法可求出线段的长；
（2）求出的长可求出x的值，再根据求出的长可求出y的值．
【详解】（1）解：A，B，C三点所对应的数的和为，
；
（2）解：由已知可知，
所以，
因为，
所以，
．
21．九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“3”、“5”、“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖．记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．
奖项 一等奖 二等奖 三等奖
(1)用列表或画树状图的方法求出某同学抽一次奖获一等奖的概率；
(2)抽一次奖获一等奖的概率和不获奖的概率相等吗？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)相等，理由见解析．
【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与某同学获得一等奖的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）从列表中可以看出获得一等奖的情况和未获奖的情况相同，故可得抽一次奖获一等奖的概率和不获奖的概率相等
【详解】（1）解：列表如下：
2 3 3 5 6
2 1 1 3 4
3 1 0 2 3
3 1 0 2 3
5 3 2 2 1
6 4 3 3 1
如图所示，一共有20种等可能情况，其中获得一等奖的情况有2种，故获一等奖的概率P=．
（2）从列表中可以看出未获奖的情况也是2种，故未获奖的概率P=，
∴抽一次奖获一等奖的概率和不获奖的概率相等．
【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率问题．注意第二次摸牌是从剩下的牌中抽取，属于不放回类型．
22．如图，是路边坡角为，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线和与水平路面AB所成的夹角和分别是和（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，）
(1)求灯杆的长；
(2)求的长度（结果精确到米）．（参考数据：，，，）
【答案】(1)灯杆的长为15米；
(2)的长大约是米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）在中，利用余弦函数求得的长，再在中，利用正切函数即可求解；
（2）在中，利用正切函数求得，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：在中，∵，，，
∴，
在中，∵，，
∴，
即：灯杆的长为15米；
（2）解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
∴的长大约是米．
23．问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．

操作发现：
(1)将图①中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图②所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，判断四边形的形状，并给出证明；
(2)创新小组将图①中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使三点在同一条直线上，得到如图③所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，发现它是正方形，请你证明这个结论．
【答案】(1)菱形，见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质可得，再由旋转的性质可得，然后由平行四边形的判定与性质及菱形的判定可得结论；
（2）根据已知可证四边形是平行四边形，由矩形的性质及旋转的性质可得，再根据矩形的判定与性质及正方形的判定即可得出结论；
【详解】（1）解：四边形是菱形．
证明：在图②中，∵是矩形的对角线，
∴，，
∴，
由旋转的性质知，，
，
，
．
又，
四边形是平行四边形．
又，
是菱形．
（2）证明：是的中点，
．
又，
四边形是平行四边形．
在图①中，∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
在图③中，由旋转知，，
∴，
．
又三点在同一条直线上，
，
是矩形．
又，
矩形是正方形．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定与性质，，旋转的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握相关几何图形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
24．如图 是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，为了探究叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量（个）的变化规律．设纸杯底部到纸杯沿底边高为，杯沿高为．
(1)纸杯底部到纸杯沿底边高为是 （填“常量”或“变量”）；
(2)写出纸杯的总高度与纸杯数量（个）的函数关系式： （用含的式子表示）．
(3)嘉琪同学经过实践探究，列出下列表格：
纸杯数量（单位∶ 个）
纸杯总高度（单位∶）
①根据表格中数据求出和的值；
②该型号纸杯有个装、个装、 个装共三种包装，均把纸杯叠放成一叠进行包装，图是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是 ，则该储藏柜能放得下 （杯口向上）这三种包装中哪些包装的纸杯 （直接写结果）．
【答案】(1)常量；
(2)；
(3)①，；②能放得下个装和个装的纸杯．
【分析】（）根据常量和变量的定义即可求解；
（）根据题意即可求解；
（）①利用待定系数法即可求出和的值；分别把代入函数解析式，求出对应的总高度，再与储藏柜的高度比较即可判断求解；
本题考查了常量和变量的定义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的应用，根据题意正确求出一次函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：纸杯底部到纸杯沿底边高为是常量，
故答案为：常量；
（2）解：由题意可得，，
故答案为：；
（3）解：①把、代入得，
，
解得，
即，；
②∵，，
∴，
当时，；
当时，；
当时，，
∵，，
∴该储藏柜能放得下个装和个装的纸杯．
25．如图，以为直径作，为上一点，，与交于点，，．
(1)如图1，当经过点时，__________．
(2)在（1）的条件下，求证：．
(3)如图2，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转与重合时停止转动），与交于点，设的中点到的距离为．
①当时，求的长；
②直接写出旋转过程中的最大值．
【答案】(1)1
(2)见解析
(3)①；②
【分析】（1）先求出，，再结合全等三角形的性质，即可作答．
（2）先由得出，再结合等边对等角得，则，圆周角定理得，故，结合垂径定理，即可作答．
（3）①先得出，则是的垂直平分线，再结合勾股定理列式计算，即可作答．②如图，连接交于点．由题意可知，当时，取最小值，是定值，则取最大值，此时（垂径定理），则，再结合勾股定理列式计算得，再结合以及为的中点，即可作答．
【详解】（1）解：∵以为直径作，，．
∴，，，
∵，
∴，
∵经过点时，
∴，
故答案为：1；
（2）证明：∵，
．
，
，
，
．
为的直径，
，
，
，
．
（3）解：①如图，连接．
由（2）知，
，，
∴是的垂直平分线，
．
设，则，．
在中，，
即，
解得，
即．
②如图，连接交于点．
由题意可知，当时，取最小值，是定值，则取最大值，
此时（垂径定理），
．
，，，
，
，
，
，
，．
为的中点，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的性质与判定，旋转性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
26．如图，抛物线（，为常数且）经过点，顶点为，经过点的直线与轴平行，且与交于点，（在的右侧），与的对称轴交于点，直线经过点．
（1）用表示及点的坐标；
（2）的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）当直线经过点时，求的值及点，的坐标；
（4）当时，设的外心为点，则
①求点的坐标；
②若点在的对称轴上，其纵坐标为，且满足，直接写出的取值范围．
【答案】（1），；（2）是，定值为2；（3），，；（4）①；②或．
【分析】（1）首先根据题意将点C坐标代入抛物线解析式求出，然后将抛物线解析式化为顶点式，最后将代入，由此即可得出点M的坐标；
（2）首先利用抛物线的对称性得出，然后进一步根据点M的坐标得出PF=1，最后通过进一步化简变形求解即可；
（3）根据“直线经过点”列出方程，然后结合抛物线的开口方向所判断出的将原方程化简为，由此解出方程，结合题意分别表示出A、B两点的坐标，最后再代入直线的解析式求出的值，由此进一步求解即可得出答案；
（4）①根据抛物线的轴对称性可知，的对称轴就是的垂直平分线，由此得出的外心就在直线上，则有，据此进一步设N点坐标为(，)，再结合点A、C的坐标建立方程，求出的值，从而即可得出点N的坐标；②结合题意可得点Q(1，)，然后利用C、N两点的坐标得出半径，由此进一步得出，最后根据题意进一步分析讨论即可.
【详解】（1）把点C(，0)代入抛物线，得：
，
∴．
∴抛物线L解析式为：，
顶点M坐标为(1，)；
（2）是定值，
根据图像，由抛物线的轴对称性，可知，
又∵抛物线L的对称轴为，故，
∴；
（3）当直线经过点时，有，
化简得，，
∵根据抛物线开口向上可知，
∴，
解得：，，
∵B在的右侧，对称轴为，
∴B点坐标为：(4，)，A点坐标为(，)，
把点代入直线，得，解得，
∴A点坐标为(，)，B点坐标为：(4，)；
（4）
①根据抛物线的轴对称性可知，的对称轴就是的垂直平分线，
故的外心就在直线上，则有．
∴设N点坐标为(，)，由（3）可知A点坐标为(，)，及C点坐标为(，)，
∴，
即，解得，
∴N点坐标为(，)；
②或．
如图，对于点Q(1，)，若，
根据同弧所对的圆周角相等，可得点为与的交点，
∵N点坐标为(，)，C点坐标为(，)，
∴的半径为，
则；
设点关于直线的对称点为，若，
则．
综上，若点满足，则有或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数及三角形外心性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025年河北省中考数学模拟考试试题（一）（原卷版）
满分120分 考试用时120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下，则馆内人数变化最大时间段为（ ）
9∶00～10∶00 10：00～11∶00 14∶00～15∶00 15∶00～16∶00
进馆人数 24 55 32 50
出馆人数 65 28 45 30
A．9∶00～10∶00 B．10∶00～11∶00
C．14∶00～15∶00 D．15∶00～16∶00
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC与关于直线对称，，则度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列的值是不等式的解的是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，从它上面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
7．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（　　）
A．v＝ B．v+t＝480 C．v＝ D．v＝
8．若 则的值为( )
A． B．0 C．3 D．8
9．某校开展读书月活动，学校想给表现突出的同学分发书签作为纪念品，下面是阅览室两位同学的部分对话：
设表现突出的同学有x人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下面是投影屏上出示的嘉嘉同学的作业内容：
如图，在平行四边形中，点E、F分别在，上，． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴ ▲ ∴四边形是平行四边形， ∴．
其中，横线上“▲”符号代表的内容是（）
A． B． C． D．
11．将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点则等于( )

A．80° B．75° C．65° D．55°
12．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点、，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴的正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．已知，则常数，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
14．如下图，四边形是矩形，有一动点P从点B出发，沿路线绕矩形的边匀速运动，当点P到达点A时停止运动．在点P的运动过程中，的面积S随时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
15．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中，是使为奇数的正整数），，两种运算交替重复进行，例如，取，则运算过程如图所示：若，则第2023次“”运算的结果是（　　）
A．3 B．9 C．18 D．48
16．将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2023应在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17．在九年级体育测试中，参加仰卧起坐测试的6名女生成绩如下（单位：次/分）：40，36，38，36，40，36，则这组数据的众数为 ．
18．阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答：
（1）的整数部分是 ． （2）的小数部分是 ．
19．如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到；再分别倍长，，得到，则的面积为 ；……，按此规律，倍长2022次后得到的面积为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．如图，有甲、乙两条单位长度相同的数轴，甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为，x，y．
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求出线段的长；
(2)若两条数轴重合放置时，点A与点D重合，点B与点E重合，若此时，求x，y的值．
21．九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“3”、“5”、“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖．记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．
奖项 一等奖 二等奖 三等奖
(1)用列表或画树状图的方法求出某同学抽一次奖获一等奖的概率；
(2)抽一次奖获一等奖的概率和不获奖的概率相等吗？请说明理由．
22．如图，是路边坡角为，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线和与水平路面AB所成的夹角和分别是和（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，）
(1)求灯杆的长；
(2)求的长度（结果精确到米）．（参考数据：，，，）
23．问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．

操作发现：
(1)将图①中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图②所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，判断四边形的形状，并给出证明；
(2)创新小组将图①中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使三点在同一条直线上，得到如图③所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，发现它是正方形，请你证明这个结论．
24．如图 是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，为了探究叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量（个）的变化规律．设纸杯底部到纸杯沿底边高为，杯沿高为．
(1)纸杯底部到纸杯沿底边高为是 （填“常量”或“变量”）；
(2)写出纸杯的总高度与纸杯数量（个）的函数关系式： （用含的式子表示）．
(3)嘉琪同学经过实践探究，列出下列表格：
纸杯数量（单位∶ 个）
纸杯总高度（单位∶）
①根据表格中数据求出和的值；
②该型号纸杯有个装、个装、 个装共三种包装，均把纸杯叠放成一叠进行包装，图是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是 ，则该储藏柜能放得下 （杯口向上）这三种包装中哪些包装的纸杯 （直接写结果）．
25．如图，以为直径作，为上一点，，与交于点，，．
(1)如图1，当经过点时，__________．
(2)在（1）的条件下，求证：．
(3)如图2，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转与重合时停止转动），与交于点，设的中点到的距离为．
①当时，求的长；
②直接写出旋转过程中的最大值．
26．如图，抛物线（，为常数且）经过点，顶点为，经过点的直线与轴平行，且与交于点，（在的右侧），与的对称轴交于点，直线经过点．
（1）用表示及点的坐标；
（2）的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）当直线经过点时，求的值及点，的坐标；
（4）当时，设的外心为点，则
①求点的坐标；
②若点在的对称轴上，其纵坐标为，且满足，直接写出的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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