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2025年云南省中考数学模拟考试试题（一）（解析版）
满分100分 考试用时120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共15小题，每小题0分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果零下记作，那么表示（）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
【答案】A
【分析】本题考查了正负数的意义，了解正负数是表示意义相反的量是解题的关键．根据正负数表示意义相反的量即可求解．
【详解】解：∵零下记作，
∴表示零上，
故选：A．
2．2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．嫦娥六号任务历时53天，往返超过760000公里．数字760000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可
【详解】解：，
故选：B．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】A、，故此选项正确．
B、，故此选项错误．
C、，故此选项错误．
D、，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
4．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，
根据二次根式有意义的条件可知，求出解集即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故选：A．
5．如图所示的钢块零件的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了简单组合体的主视图，根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看是一个“凹”字形，
故选：A．
6．从边形的一个顶点出发可作条对角线，则（　　）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2027
【答案】D
【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，熟练掌握多边形对角线的条数问题是解题的关键：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，因为边形有个顶点，所以共有条对角线，其中每条对角线都重复一次，所以边形共有条对角线．
根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线”，再结合已知条件“从边形的一个顶点出发可作条对角线”即可直接得出答案．
【详解】解：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，
，
，
故选：．
7．下表记录了小明、小颖、小艾、小宁四名跳远运动员最近10次选拔赛成绩的平均数和方差：
小明 小颖 小艾 小宁
平均数（米） 7.18 7.18 7.18 7.18
方差 5.5 3.3 7.1 8.2
根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．小明 B．小颖 C．小艾 D．小宁
【答案】B
【分析】本题考查用方差作决策，根据方差越小，数据越稳定求解即可．
【详解】解：由表格数据得，又4人选拔成绩的平均数相同，
∴小颖发挥稳定，故选择小颖参加比赛，
故选：B．
8．如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】D
【分析】得，，，可得，由，，可知等腰三角形，，，是等腰三角形，即，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，得，，，
∴，
∵，，
∴等腰三角形，，
∴，
∵，即，
∴，
∴是等腰三角形，即，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的特性，掌握等腰三角形的性质和含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键．
9．随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解增长率的计算，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键．
根据年平均增长率为，2022年国产新能源汽车出口量为万辆，则2023年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年国产新能源汽车出口量为，即达到了210万辆，由此列式即可．
【详解】解：设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆，
∴，
故选：B ．
10．观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了数字类规律探究，通过观察发现末尾数字以2，4，8，6，这4个数字为循环，然后由即可求解．
【详解】解：因为，，，，，，，，…，
通过观察发现末尾数字以2，4，8，6，这4个数字为循环，
所以，
所以末位数字是2．
故选A．
11．下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
12．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角函数的定义，过点B作，交延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得
【详解】解：如图，过点B作，交延长线于点D，
∴，
故选：D
13．如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，根据已知可得，根据，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，，是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
14．分解因式：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．
将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故选：A．
15．如图，菱形的周长为48，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、圆锥侧面积的计算，由题意得出，即圆锥的母线长为，由勾股定理得出底面半径为，再由圆锥侧面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：∵菱形的周长为48，
∴，即圆锥的母线长为，
∵该圆锥的高为8，
∴底面半径为，
∴由圆锥侧面积公式得：，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
17．若点与都在反比例函数图象上，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
将点与代入反比例函数的解析式可得一个关于的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解；把，代入得，
，
解得：，
故答案为：5．
18．如图，已知与相交于点O．若，则 ．
【答案】25
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
故答案为：25．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本定理是解题关键．
19．“爱护眼睛，拥抱光明”．某校数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表：
抽取的学生视力情况统计表
类别 检查结果 人数
A 正常 80
B 轻度近视
C 中度近视 70
D 重度近视
抽取的学生视力情况统计图
若该校共有学生1600人，估算该校学生近视程度为中度和重度的总人数为 人．
【答案】720
【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体．根据类型的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽查的人数；再用总人数乘样本中视程度为中度和重度所占比例即可．
【详解】解：所抽取的学生共有：（人），
中度近视所占百分比为：，
（人），
估算该校学生近视程度为中度和重度的总人数为720人．
故答案为：720．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握，，二次根式化简，进行解答，即可．
【详解】解：
．
21．如图，，，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，即：，
在和中
∴，
∴．
22．某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用450元购进的足球的数量和用600元购进的篮球数量相同．求每个足球的价格．
【答案】每个足球的价格为90元
【分析】本题主要考查分式方程的应用，设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元．根据用450元购进的足球的数量和用600元购进的篮球数量相同列分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元，根据题意，得：
，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：每个足球的价格为90元．
23．“珠江之源，爨乡福地”，据文物考古证明：以曲靖为腹地的南盘江流域，早在十万年前就有人类活动的足迹可寻，蕴含着三种文化，即“爨文化”、“青铜文化”、“美食文化”．我市某社区举行曲靖文化交流会，小明被推荐为讲解员，需要选取两个文化进行讲解．规则如下：在一个不透明的纸箱中装有分别标有A，B，C的三个小球（A代表“爨文化”、B代表“青铜文化”、C代表“美食文化”，除标号外，其余均相同），小明从中随机摸出两个小球，小球上的标号所代表的就是小明要讲解的文化．
(1)用列表法或画树状图法，列举小明所有可能选到讲解文化的结果；
(2)求小明选到讲解“爨文化”和“美食文化”的概率．
【答案】(1)，，，，，
(2)
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：
（1）根据题意画出对应的树状图即可得到答案；
（2）根据（1）所求得到所有等可能性的结果数，再找到明选到讲解“爨文化”和“美食文化”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由画树状图法可得：
由树状图可知，小明所有可能选到讲解文化的结果为6种等可能情况，分别为，，，，，．
（2）解：由（1）可知，共有6种等可能的结果，其小明选到讲解“爨文化”和“美食文化”的结果记为事件M，结果有：，，共有2种，
．
24．如图，在△ABC中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；
（2）过点作于点，解直角三角形求出 结果即可；
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键．
【详解】（1）解：证明：，，
四边形是平行四边形，
在△ABC中，，是中点，
，
四边形是菱形；
（2）过点作于点，则，如图：
，
，
，
在中，，
根据勾股定理可得，，
在中，，，，，
，
是的中点，
，
．
25．部分手机生产商以环保为名销售手机时不再搭配充电器，某电商看准时机，购进一批慢充充电器和快充充电器，已知该电商销售10个慢充充电器和20个快充充电器的利润为800元；销售20个慢充充电器和10个快充充电器的利润为700元．
(1)求每个慢充充电器和每个快充充电器的销售利润；
(2)该电商购进两种类型的充电器共200个，其中快充充电器的进货量不超过慢充充电器的2倍，设电商购进慢充充电器个，这批充电器的销售总利润为元．该电商怎样购进两种类型的充电器，才能使销售总利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)每个慢充充电器的销售利润为20元，每个快充充电器的销售利润为30元
(2)购进67个慢充充电器和133个快充充电器时，电商销售总利润最大，最大利润为5330元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）设每个慢充充电器的销售利润为元，每个快充充电器的销售利润为元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）由题意可得：，根据快充充电器的进货量不超过慢充充电器的2倍，得出的范围，进而利用一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每个慢充充电器的销售利润为元，每个快充充电器的销售利润为元，根据题意得，
，
解得：，
每个慢充充电器的销售利润为20元，每个快充充电器的销售利润为30元；
（2）由题意可得：，
，
解得：，
且是正整数，
，
在中，，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为：（元），
此时（个），
购进67个慢充充电器和133个快充充电器时，电商销售总利润最大，最大利润为5330元．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线，若点，是该抛物线上两个不同的点，且．
(1)求，的值；
(2)若该抛物线与直线有且仅有一个交点，求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式，完全平方公式的变形应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把，分别代入，得出，，再结合二次函数的性质得出不受的影响，则，所以，故，即可作答．
（2）建立方程，得出，结合该抛物线与直线有且仅有一个交点，故，先说明，则，然后运用完全平方公式的变形，逐个得出，因为的倒数是，所以，即可作答．
【详解】（1）解：∵点，是该抛物线上两个不同的点
∴把，分别代入
得
则
∵
∴
∴
∵点，是该抛物线上两个不同的点，且抛物线
∴不受的影响
∵
∴
∴
把代入，得
∴
（2）解：由（1）得，
∴
依题意，
∴
整理得
∵该抛物线与直线有且仅有一个交点
∴的
即
∴
令
∴
∴
即可整理得
∴
∴
∴
同理得
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
27．如图，四边形内接于，是的直径，分别延长、相交于点，，点在上，且．
(1)若，，求的值；
(2)求证：是的切线；
(3)点是劣弧的中点，连接交于点，若，是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，1
【分析】（1）由圆周角定理得，从而得出，推出，由勾股定理求出，最后由正弦的定义计算即可得出答案；
（2）连接，证明得出，证明是的中位线，得出，从而推出，即可得证；
（3）连接交于点，设，，则，，，由勾股定理求出，得到，，证明是等腰直角三角形，结合相似三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，推出，证明四边形是矩形，得出，再证明，即可得解．
【详解】（1）解：∵是的直径．
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴．
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵．
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线，
（3）解：连接交于点，
∵点是劣弧的中点，
∴垂直平分，
∴是的中位线，
∵，
设，，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的值为1．
【点睛】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025年云南省中考数学模拟考试试题（一）（原卷版）
满分100分 考试用时120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共15小题，每小题0分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果零下记作，那么表示（）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
2．2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．嫦娥六号任务历时53天，往返超过760000公里．数字760000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的钢块零件的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
6．从边形的一个顶点出发可作条对角线，则（　　）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2027
7．下表记录了小明、小颖、小艾、小宁四名跳远运动员最近10次选拔赛成绩的平均数和方差：
小明 小颖 小艾 小宁
平均数（米） 7.18 7.18 7.18 7.18
方差 5.5 3.3 7.1 8.2
根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．小明 B．小颖 C．小艾 D．小宁
8．如图，在△ABC中，，，交于点，，则的长是（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
9．随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
10．观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
11．下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
12．如图，在的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
13．如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．分解因式：（ ）
A． B． C． D．
15．如图，菱形的周长为48，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形（阴影部分）的面积为（ ）
B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
17．若点与都在反比例函数图象上，则 ．
18．如图，已知与相交于点O．若，则 ．
19．“爱护眼睛，拥抱光明”．某校数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表：
抽取的学生视力情况统计表
类别 检查结果 人数
A 正常 80
B 轻度近视
C 中度近视 70
D 重度近视
抽取的学生视力情况统计图
若该校共有学生1600人，估算该校学生近视程度为中度和重度的总人数为 人．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．计算：．
21．如图，，，，求证：．
某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用450元购进的足球的数量和用600元购进的篮球数量相同．求每个足球的价格．
23．“珠江之源，爨乡福地”，据文物考古证明：以曲靖为腹地的南盘江流域，早在十万年前就有人类活动的足迹可寻，蕴含着三种文化，即“爨文化”、“青铜文化”、“美食文化”．我市某社区举行曲靖文化交流会，小明被推荐为讲解员，需要选取两个文化进行讲解．规则如下：在一个不透明的纸箱中装有分别标有A，B，C的三个小球（A代表“爨文化”、B代表“青铜文化”、C代表“美食文化”，除标号外，其余均相同），小明从中随机摸出两个小球，小球上的标号所代表的就是小明要讲解的文化．
(1)用列表法或画树状图法，列举小明所有可能选到讲解文化的结果；
(2)求小明选到讲解“爨文化”和“美食文化”的概率．
24．如图，在△ABC中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
25．部分手机生产商以环保为名销售手机时不再搭配充电器，某电商看准时机，购进一批慢充充电器和快充充电器，已知该电商销售10个慢充充电器和20个快充充电器的利润为800元；销售20个慢充充电器和10个快充充电器的利润为700元．
(1)求每个慢充充电器和每个快充充电器的销售利润；
(2)该电商购进两种类型的充电器共200个，其中快充充电器的进货量不超过慢充充电器的2倍，设电商购进慢充充电器个，这批充电器的销售总利润为元．该电商怎样购进两种类型的充电器，才能使销售总利润最大？最大利润是多少元？
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线，若点，是该抛物线上两个不同的点，且．
(1)求，的值；
(2)若该抛物线与直线有且仅有一个交点，求代数式的值．
27．如图，四边形内接于，是的直径，分别延长、相交于点，，点在上，且．
(1)若，，求的值；
(2)求证：是的切线；
(3)点是劣弧的中点，连接交于点，若，是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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