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关于斜抛运动的深度思考
思考一
斜抛运动中，速度反向延长后还会交到匀速运动位移的中点吗？
斜抛运动也可以分解为沿初速度方向的匀速直线和沿竖直方向的自由落体运动，如图，从O到A的过程中，可以画出相应的位移矢量三角形和速度矢量三角形。将速度反向延长后出现了如图两个三角形相似（阴影部分），对应边成比例，列式如下：
化解可得：
发现，d为对应位移的一半，即速度反向延长后还会交到匀速运动位移的中点。
该结论适用于平抛、斜抛，也可以推广至一切匀变速曲线运动。
思考二
斜抛运动中，将位移矢量延长，还会交到速度变化量△v即竖直速度gt的中点吗？
如图，从O到A的过程中，继续画出相应的位移矢量三角形和速度矢量三角形。将位移矢量延长后出现了如图两个三角形相似（阴影部分），对应边成比例，列式如下：
化解可得：
发现，L为对应速度的一半，即将位移矢量延长，还会交到速度变化量△v即竖直速度gt的中点。
该结论依旧适用于平抛、斜抛，以及一切匀变速曲线运动。
思考三
斜抛运动中，速度偏角与位移偏角还有确定的关系吗？
如图，从O到A的过程中，速度偏角为θ，位移偏角为φ，初速度与竖直方向夹角为α，针对上边的位移矢量三角形和速度矢量三角形，写出正弦定理表达式，如下：
化解可得：
当α=90°时，变为平抛运动，公式可简化为:
思考四
斜抛运动中，射程最大时，初、末速度一定垂直吗？
情境1：落点与起点等高
如图，以一定的初速度斜向上抛出一小球，可以用常规方法得到射程最大时，α为45°，落点与起点左右对称，则初速度与末速度必然垂直。
也可以分析速度矢量三角形的面积，如图，三角形的面积为：
其中，x为水平射程，要想水平射程x最大，则面积S必须最大，而且，初、末速度大小确定，必然有初、末速度相互垂直。
情境2：落点较低
这个情境是落到地面上，较为常见，掷铅球时，以一定的初速度斜向上抛出，人有一定的身高，落地点较低，同样可以分析速度矢量三角形的面积，如图，三角形的面积为：
其中，x为水平射程，要想水平射程x最大，则面积S必须最大，初、末速度大小恒定，初、末速度必然相互垂直。
这个情境是落到固定斜面上，以一定的初速度斜向上抛出，调节抛射角度，可使斜面上射程最大，同样可以分析速度矢量三角形的面积，如图，三角形的面积为：
其中，x为水平射程，要想斜面上射程最大，则水平射程x必然最大，即面积S必须最大，此时初速度大小确定，但末速度大小不确定，需要重新思考。
发现，斜面倾角确定，则小球落到斜面上时，位移方向确定，根据思考二结论可知，位移延长之后必然交于竖直速度的中点处，如图阴影部分面积为S的一半，当初速度的方向调整到如图位置时，对应的面积是最大的。
同时，其他关系也逐渐明确，如下图，三条红色边长度相同。
角度关系为：2α+2β=180°，即，α+β=90°，从而确定初、末速度必然相互垂直。
情境3：落点较高
这个情境是落到固定斜面上，以一定的初速度斜向上抛出，调节抛射角度，可使斜面上射程最大，同样可以分析速度矢量三角形的面积，如图，三角形的面积为：
其中，x为水平射程，要想斜面上射程最大，则水平射程x必然最大，即面积S必须最大，此时初速度大小确定，末速度大小同样不确定，需要仿照情境二中（二）进行思考。
同样，斜面倾角确定，则小球落到斜面上时，位移方向确定，根据思考二结论可知，位移延长之后必然交于竖直速度的中点处，如图阴影部分面积为S的一半，当初速度的方向调整到如图位置时，对应的面积是最大的。
如下图，三条红色边长度相同，角度关系为：2α+2β=180°，即，α+β=90°，从而确定初、末速度必然相互垂直。
得出结论：
斜抛运动中，不论什么情境，射程最大时，初速度与末速度必然相互垂直。
思考五
斜抛运动中，射程最大时，初速度方向一定在位移与竖直方向夹角的角平分线上吗？
情境1中自不必说，如图为斜向上45°角；
情境2中可参考下图：
容易看出，落点较低时，初速度也是沿最大位移与竖直方向的角平分线，这样α角必然大于45°，看来，运动员掷铅球时，出手的速度方向绝不是斜向上45°角。
情境3可参考下图：
也同样能够看出，落点较高时，初速度也是沿最大位移与竖直方向的角平分线
得出结论：
斜抛运动中，射程最大时，初速度方向一定在位移与竖直方向夹角的角平分线上。
思考六
斜抛运动中，如何求解最大射程？
和大家分享一些常规思路和基本的数学处理方法。
情境1：落点与起点等高
斜抛运动可分解为水平的匀速直线和竖直的竖直上抛，列式如下：
解出
显然，α=45°时，取最大值，结果为：
情境2：落点较低
该情境是在一定高度处斜抛至落地，初速度大小恒定，高度确定，由机械能守恒知，落地速度大小也恒定，水平射程最大时，初末速度相互垂直。
此时速度矢量三角形的面积为：
下落过程机械能守恒：
两式联立，解之得：
该情境是落到斜面上，初速度大小确定，落在斜面上射程最大为x，做出位移矢量三角形如下：
容易看出:
设斜面倾角为θ，针对下边红色区域三角形，利用勾股定理可列式：
结合上式，可解得：
情境3：落点较高
该情境也是落到斜面上，初速度大小确定，落在斜面上射程最大为x，做出位移矢量三角形如下：
容易看出:
设斜面倾角为θ，针对下边红色区域三角形，利用勾股定理可列式：
结合上式，可解得：
思考七
斜抛运动中，当初速度方向沿位移与竖直方向夹角的角平分线上时，射程最大，若物体以一定的初速度沿关于该角平分线对称的方向抛出，是否能落到同一位置？
答案是能

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