资源简介

2024-2025学年第二学期六校联合体2月学情调研测试
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1 .复数z满足l + i=i (i为虚数单位)，则复数z的共粗复数万=
z
A. Li B. —Li C. 1 + i D. —1+i
2 .已知向量2=(1, 0), ~^=(xf 1),若演 (/-2才)=0,贝x=
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3 .有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停
放，则共有多少种停放方法？
A. 8 B. 12 C. 16 D. 10
4 .设等差数列｛③｝的前〃项和为S”，若Si2=63+&,6+m2=12,则｛③｝的公差为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 .已知函数｛x)=sin(x+5—cosx在区间[0,4上的最小值为一1，贝!M的最大值为
6 2
AA- -无 nB. 兀- Ce .—5瓦 nD .4—兀
6 3 6 3
6.已知点P为直线/： x+y — 2=0上的一点，过点尸作圆C： (x+l)2+(y+1)2=1的切线以，切点为
Z,则cosNPCd的最大值为
A.也 B.退 C., D. *
4 4 4 4
7 .定义在R上的奇函数义工)在(0, +oo)上单调递增，且｛1)=0,则不等式牛+142工+420的解集
为
A. (-2, -1]U(2, +oo) B. (-oo, -2)U[-1, 0)U[l, 2)
C. (-2, -l]U｛0｝U(2, +oo) D. (-2, -1] U[0, 1]U(2, +oo)
8 .已知双曲线与一 M=l(b>4>0),。为坐标原点，直线/与双曲线交于4 B两点，且。Z_LOB,若
cr b2-
点。到直线/的距离不小于九 则离心率的取值范围是
A. (1, \'3] B. (\/2, C.(亚，\5] D. \(3]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分分.
9. 一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中无放回地取出2个球，记“第
一次取到红球”为事件Z, “第二次取到黄球”为事件则
1 — 1 1
A.尸(盼=： B. P(B\A)=^ C. P(A\B)=^ D. Z, B 相互独立
1
10.在棱长为2贴的正方体2夙 ）一431。1 中，点E, F分别是棱3C, CC】的中点，下列选项中正
确的是
A.直线EF与4山所成的角为三
4
77
B.平面AEF截正方体45C。-A\B\C\D\所得的截面面积为一
2
C.若点产满足防=cos2。诧+sin2说，其中6GR,则三棱锥D—4C]P的体积为定值
D.以31为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥表面相交的交线长为3兀
11.定义在（0, +oo）上的函数兀V）满足/（x+l）=y（x）—小 当OVxWl时，段）=心一x+L贝！J
A.当 2VxW3 时，fix） =A/x—2—3x+ 6
B.对任意正实数鼠段）在区间（怎上+1）内恰有一个极大值点
C.当〃为正整数时，加）=2+；一序
D.若火冷在区间（0,幻内有4个极大值点，则左的取值范围是[皆，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 .在二项式（\信-g〃G7WN*）的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为
2x
A—.（用数字作答）
13 .已知等比数列｛念｝中，々2024= 1，々2025 = 2,能使不等式（。1一~^） + （。2 g +…+（。加 %>0成立最
Cl\ Q2 Clm
小正整数m= ▲ .
14 .已知抛物线炉= 的焦点为F,过点厂的直线/交抛物线于4 8两点，且|第=3|冲|.直线
L分别过点4 B,且与y轴平行，在直线八，/2上分别取点M, N QM, N均在点A, 3的上方），若
N4BN和乙必M的角平分线相交于尸点，则ZWS的周长为 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 .（满分13分）
在△4BC 中，BC=3、b，ZBAC=~.
3
（1）若 4C=2\b,求 sinC；
（2）若。为边3C上的点且 3 平分NA4C, AD=\：3,求△4BC的面积.
2
16 .(满分15分)
梯形23。。中，AD//BC, E 为40 上的一点且有 AE=BE=11 BC='ED,将△"石沿 BX
2
翻折到△PE5使得二面角P一班一C的平面角为仇 连接PC, PD, F为棱PD的中点.
(1)求证：FC//面 PBE；
17 .(满分15分)
某运动会有两种不同价格的开幕式门票，某人花。元预定该运动会开幕式门票一张，另外还花若干元
预定乒乓球、羽毛球比赛门票各一张.根据相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些
人称为预定成功者，他们可以直接购买门票.另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人
预定的。元门票未成功时，系统自动使他进入b元开幕式门票的预定,假设获得。元开幕式门票的概
率是0.2,若未成功，仍有0.3的概率获得5元开幕式门票的机会，获得乒乓球、羽毛球门票概率均是
0.5,且获得每张门票之间互不影响.
(1)求这个人可以获得该运动会开幕式门票的概率；
(2)假设这个人获得门票总张数是X,求X的分布列及数学期望石⑶.
3
18 .(满分17分)
已知 fix)=3x—2smx—k , Inx.
(1)当上=0时，求曲线/)在处的切线方程；
(2)当^=1时，讨论函数九》)的极值点个数；
(3)若存在 A, f2WR(AVf2),{e" )=/(□),证明：八+/2<2班.
19 .(满分17分)
己知尸为圆。：好+y=4上一动点，过点尸分别作x轴，v轴的垂线，垂足分别为“，N,连接
并延长至点。，使得|MQ = 2,点。的轨迹记为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C的左顶点为T,当直线/与曲线C交于不同的4, 3两点，连结4T, BT,
kAT^~kBT= ~~f证明：直线/过定点；
2
(3)若过右焦点后的直线/与曲线。交于不同的Z, B两点,且奇=流，当4 [2, 3]时，求直线
/在歹轴上的截距的取值范围.
4
2024-2025学年第二学期六校联合体2月学情调研测试
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1 .复数Z满足手=i (i为虚数单位)，则复数Z的共趣复数彳=( )
A. 1 — i B. -1 —i C. 1 + i D. -1 + i
【答案】C
2 .已知向量1=(L0) , b = (x,l),若在 @一2。)= 0,则%=< )
4-2 5.-1 C.l D.2
【答案】C
3 .有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停
放，则共有多少种停放方法？( )
A. 8 B. 12 C. 16 D. 10
【答案】B
4 .设等差数列｛勺｝的前〃项和为S”，若S]2=63+S3，%+42=12,则｛勺｝的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
5 .已知函数/(x) = sin(x + X)-8sx在区间[0,力上的最小值为-L贝h的最大值为()
6 2
【答案】D
6 .已知点尸为直线/:x+y-2 = 0上的一点，过点P作圆C:(x + l『 +(y + i)2=i的切线以，切点
为A,贝!Icos/P。的最大值为( )
A B石 c有
4 4 4 dW
【答案】A
7 .定义在R上的奇函数/(x)在(0,+8)上单调递增，且/(1) = 0,则不等式干尸仅030的
解集为( )
A. (-2,-1]U(2,-hx>) B. (-<30,-2)U[-1,0)U [1,2)
C.(-2，TU{0}U(2,m) D. (-2,-1]U[0,1]U(2,-w)
【答案】D
r2 2
8 .双曲线+-彳=1(6>。>0),尸为双曲线焦点，O为坐标原点，若直线/交双曲线于两点A、B,满
a b
足。4LOB,若点。到直线/的距离不小于b,则离心率取值范围是( )
A.。甸 B.(怎 C.(五网 D.[呼,，石
【答案】c
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对
的得部分分.
9 . 一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个
球，记“第一次取到红球”为事件4, “第二次取到黄球”为事件8,则
A. P(B)=j B. P("蟆)=；
C.尸(45)=； D. A, 5相互独立
【答案】AC
10.在棱长为2 3的正方体458-48(7]。|中，点E,尸分别是棱BC, CG的中点，下列结论正确
的有
A.直线EF与45所成的角为四
4
B.经过4 ,尸三点的截面面积为红
2
c.若点尸满足筋=cos2e 诧+siife就，其中ewR,则三棱锥z)一小。/体积为定值
D.以与为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥5i-4BC表面相交的交线长为3冗
【答案】BCD
11.定义在(0,+< )上的函数/卜)满足f(%+l) = /(x)-x,当OvxKl时，/(x) = Vx-x+l,
则( )
A.当2B.对任意正实数k9f(x)在区间(k,k +1)内恰有一个极大值点
C.当〃为正整数时，/⑺=2 + ；一，
「193 401、
D.若/(%)在区间(0,町内有4个极大值点，则％的取值范围是 —I
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 .在(4-三),4eN 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中X的系数为
【答案】7
13 .已知等比数列｛凡｝中，%024 =L“2025 = 2 ,能使不等式％-']+ U2 -- +…+ >。成
立最小正整数加=.【答案】4048
14 .已知抛物线炉=切的焦点为广，直线/过点产交抛物线于45两点，且|NF| = 4|EB|.直线卜分
别过点45,且与〉轴平行，在直线h6上分别取点“、N(M、N均在点48的上方)，分别作乙4BN
和的角平分线且相交于P点，则AR48的周长为____________.【答案】8 +迪
3
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15 (满分13分)
在△43C 中，BC=3也 ZBAC=\
(1)若 AC=2而,求 sinC;
(2) O为边8c上的点且满足/O平分40=布,求△力〃。的面积.
解析：
(1)法 1：由余弦定理可知(3JI)2 =c2+(2>/3)2-2.2V3-c-cos-
3
c2 — 2^3c -6 = 0
c = y/3 ± 3, 又c > 0,----------------------- -———3 分
c = V3 + 3
由正弦定理知:
sine 二巫走
4
法2：因4C = 2JJ由正弦定理知：」^_ = 玉旦，sinB = —--------------------- 2分
sin 5 .冗 2
*/ AC < BC,:. B3 4
sinC = sin(A + B) = sin A cos B + cos y4 sin B
_73 42 1 V2 _ V2+76
一…■—一—"6 J分
2 2 2 2 4
(2)由条件知： 由余弦定理可知你反］=c2+62-2-6-c-cosy
18 = c2+Z>2-6-c , 18 = (b + c> -3b c ① ------------------ 8 分
**' ^MBC = S&abD + S“cD
:.-ABACsinZBAC = -ABADsinZBAD + -ADACsin^DAC
2 2 2
Lbc.2= 1 .6b.2 4 .6c.B
2 2 2 2 2 2
； be = b + c ②— ..............-10 分
由①②得 6c = 6--------------------- 12分
------- 13分
2 2 2 2
16.(满分15分)
梯形 48co 中，AD//BC, E 为 40 上的一点且有 8E_L4D, AE=BE=1, BC=^ED,将△4BE 沿 5E
翻折到使得二面角P-RE-C的平面角为&连接PC, PD,尸为棱PD的中点.
(1)求证：FC 〃面 PBE：
解析：
(1)取PE中点G,连接G3,GF
已知 bc n ed , bc = Led
2 =GF H BC ,GF = BC 2分
在 APED 中，GF // ED , GF =-ED
2
FC a 面PBE'
=四边形3CFG为平行四边形=> FC//GB ，=FC〃面PBE------------------- 5分
GB <=面 PBE
注：尸ca面P8E未写扣1分
⑵
口 BEu 面BCDE
BE ± AD => BEL PE且 BE 1ED=> . > => 面PQE1 面BCDE
BE 1面尸QE
在平面PDE内，过点E作交PD于点°,
DE^PDEr^BCDE
:.EQL^BCDE
以瓯丽通加正交基底建立如图坐标系 — 7分
P(0-1,^),D(0,2,0),/.F(0,1,
Xr 4 中
5(1,O,O),C(1,1,O)
PC = (1,|,-*),第=(0.1,0),而=(T 4, ■ ■ ■—— ■ . . ■ ■ , ■ ■ ]
设7 = (xj,z)为面8c尸的法向量
y = 0
r i 〃 , BC - 0
则_____ =>\ =>n = (73,0,4) -12分
“ B尸=0 I -x +—
4
q a/57 a
:.smO =------------------------- 15 分
38
17.(满分15分)
某运动会有两种不同价格的开幕式门票，某人花。元预定该运动会开暮式门票一张，另外还预定了乒
乓球、羽毛球比赛门票各一张，根据相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为
预定成功者，他们可以直接购买门票，另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的。
元门票未成功时，系统自动使他进入b元开罄式门票的预定.假设获得。元开幕式门票的概率是0.2,
若未成功，仍有0.3的概率获得b元开幕式门票的机会，获得乒乓球、羽毛球门票概率均是0 5,且获
得每张门票之间互不影响.
(1)求这个人可以获得该运动会开幕式门票的概率：
(2)假设这个人获得门票总张数是X,求X的分布列及数学期望E(X).
17.解：(1)记“获得。元开幕式门票”为事件4 “获得6元开幕式门票”为事件3, “获得开罄式
门票”为事件C ...............................1分
贝IJP(4)=0.2, P(B)=0,3, P(7)=0.8
P(C)=P(4)+P(才3)=P(/)+P(7)尸(5)=0.2+0.8x0.3=0.44=U ...............................3 分
25
，这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率为0.44
(2) XG{0, L 2, 3}
P(X=0)=(l-0.44)x0.5x0.5=0.14=7^
P(^f= 1)=(1-0.44)x0.5x0.5x2+0.44x0.5x0.5=0.39=-^
P(^=2)=(l-0.44)x0.5x0.5+0.44x0.5x0.5x2=0.36=^
P(^=3)=0.44x0.5x0.5=0.11=-^- ............................... 12 分
X的分布为
X 0 1 2 3
p 0.14 0.39 0.36 0.11
............................... 13分
EW=OxO.14+lxO.39+2xO.36+3xO.ll = 1.44=^ ............................... 15 分
18.(满分17分)
已知 /(x)=3x-2sinx-^-lnx.
(1)当％=0时，求曲线/卜)在x 处的切线方程；
(2)当％ = 1时，讨论函数的极值点个数：
(3)若存在卬 q (% <幻，，(e") = /(c"),求证：/j +t2 <21nA:.
【答案】
【小问1详解】
当2 = 0时，/(x) = 3x-2sinx,因为/'(k) = 3-2cosk ,
所以切线的斜率为/'(5) = 3, ......................................................... 2分
又因为切点为2万一2),
所以曲线/(X)在x = 5处的切线方程为y = 3x-2 ..................................... 3分
【小问2详解】
当上=1 时，/(x) = 3x-2sinx-lnx,则r(x) = 3 — 2cosx-‘，
x
当X21时, /'(x)N 2-2cosxN0 J
故rw在［1, -Ko）上单调递增，不存在极值点： ................... 4分
当Ovxvl时，f\x） = 3-2cosX--,则/“（工）=25111% + 3>0总成立，
X X
（1、 1
故函数/'（X）在（0,1）上单调递增，且/'（l） = 2-2cosl>0, /' - =-2cos-<0,
U J
所以存在唯一/G 使得r（x0）=o, 6分
3 J
所以当Ovxvx。时，r（x）v0,“外单调递减：当天<%<1时，r（x）>0, /（X）单调递增;
故在（0,1）上存在唯一极小值点，
综上，当A = 1时，函数/（*）的极值点有且仅有一个. ................... 8分
【小问3详解】
令R =玉,0 =电.
由/($) = /(%2)知 3*_2sin%一4 1nx =3^ -2sinx2 , .......................................9分
整理得，3(石一电)-2(sin%一sin%)=A(ln石一In/) ( ),
不妨令g(x)=x-sinx(x>0),则g'(x) = l-8SXN0,故g(x)在(0,+8)上单调递增,
当0<玉V电时，有gajvg ），即玉-sinX］〈w-sinz，
那么 sin% -sin 刍 >演-x^,
因此，（*）即转化为k> 11分
InXj -InXj
接下来证明1 * : >荷兀（0〈石〈电）,等价于证明In五〉
In玉一 Inw 々
即In五一正+隼>0,所以不妨令正=加（0^2 J 玉
_ i 2 1 -（加一以
建构新函数O(m) = 21n7w — 7w+—, 0'(m)=-- 1
2 2 v0,
m m m m
则。（M在（0,1）上单调递减, 13分
所以0(m)>O(l) = O,故In五,
A
即14益＞后(°＜再气)得证’ ................... 15分
由不等式的传递性知百不〈左，即石々〈A ,即/】 ，2 ＜42 ..................................... ]6分
所以 e"+" 19.(满分17分)
已知P为圆。：f+/=4上一动点，过点P分别作X轴，y轴的垂线，垂足分别为M, N,连接NM
并延长至点。，使得|〃。|=2,点。的轨迹记为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线。的左顶点为T,当直线/与曲线C交于不同的两点，连结+%"=-；，
证明：直线/过定点：
(3)若过右焦点用的直线/与曲线C交于不同的45两点，且可=；!而，当入 [2,3]时，求直线/在V
轴上的截距的取值范围.
解：⑴ 设。(马力，尸(&,%)，则”(%,0)仆(0,为)，
由题意知|mM = 4，所以QAf = MM,得(工0-工,一/=(一名0，名＞)，所以........ 2分
，a=-y
因为片+诉=4,得=+片=1，故曲线C的方程为 +2 = 1...............4分
0 0 16 4 16 4
(x2 y2 ,
设直线l:y = kx+m ,4(冷M),8(电,必)，联立方程组J1i+T=1，消去y得
y = kx+m
(1 + 4公b2+弧比+4/-16 = 0,所以玉+修=二^，％为=宜二2，
、/ 1 + 4J12 1 + 4&2
△ 二 64〃2加2一40+4々2)(4加2—1@ =1^16A2+4-m^ ＞C ............5 分
又「(-4,0),所以
弘I % _ kxy +加 + 仇 +m (Axj +m)(/ +4) + (5 +m)(x +4)A/7 + 2" 1 一
x1 +4 x2 + 4 Xi+4 x2 +4 (x,+4)(x2+4)
4泄 2-16 z / -Skm \
2优成+（4% +加）（石+工2）+ 8析 _ 2k i + 442 +（4% +昭）1[ + 4%2 J + 8/ 2m-8k _ 1
司占 + 4（芭+七）+ 16 - 4冽2 _16 . -8km ）1饰 二病-8km+ 16H 2
1 + 4必+11 + 43+
.............7分
化简得，m2 -8袖+ 1622 +4m-l6A = 0 , BP （m-4A）2 +4（tm-4^） = 0 >
解得m = 44或加=4左一 4。 ..............9分
当掰=4%时，直线1过定点（-4,0）与点T重合，舍去
当m = 4%-4时，直线1过定点(-4,-4) ...........................10分
[^2 2
(3)设直线/次=9+ 26，/(不必)，3(与必)，联立方程组正+了=1 ,消去X得，
x = ty + 2“
/y+4>/3(y-4 = 0,所以外+必=^ ①，即 二② ..............11分
1+4 r+ 4
由QB = AQA得力 = -4%③，
由①③可得，y=一迺一， _±^_,
1 (入4)("1)必仍+4)("1)
代人②化简得，12为2 =(* +4)(2-1)2, ............................13分
即里=-=^11 = 4 + _1-2,由加23]得4+，.2/匕》，
t2+4 2 A 2 A 2 3
即身 1 4 ,解得[c 2,—
一，一 2 .......................15分2 3 4
从而直线/在丁轴上的截距为三-2〃]d[2卡，屈] ..............17分