资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 一元一次方程
5.2.2.2解一元一次方程
学习目标与重难点
学习目标：
理解并掌握列一元一次方程解决实际问题的思路和方法。
能够准确找出问题中的等量关系，设立未知数，列出方程并求解。
3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，激发学生对数学文化的兴趣，拓宽数学视野。
学习重点：1.列一元一次方程解决实际问题的步骤和方法。
2.准确找出问题中的等量关系。
学习难点：1.如何将复杂的实际问题抽象为简单的数学模型。
2.设立恰当的未知数，避免方程设立错误。
预习自测
一、知识链接
1.我国古代名著《九童算术》中有一问题:“今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海、今凫雁俱起，问何日相逢 "意思为:有只野鸭从南海起飞历经7天到达北海，有只大雁从北海起飞历经9天到达南海，如果野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能相遇 假设经过x天相遇，则可列一元一次方程为____________
自学自测
2.甲、乙两个旅行团共80人，甲团人数比乙团人数的2倍多5人。甲、乙两个旅行团各有多少人 若设乙,旅行团的人数是x人，则可列一元一次方程为_____________(方程不需要化简)
教学过程
一、创设情境、导入新课
教材第17页——阅读
丢番图的墓志铭与方程
古希腊数学家丢番图(Diophantus, 约246—330), 以研究一类方程(不定方程)著称于世，在他的墓碑上，刻着这样一段墓志铭：
坟中安葬着丢番图，
多么令人惊讶，
这里忠实地记录下他所经历的道路.
上帝给予的童年占六分之一，
又过十二分之一，两颊长胡，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.
五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，
享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生的旅途.
试列出方程，算一算丢番图去世时的年龄.
回答：
二、合作交流、新知探究
探究一：
教材第14页
例6 如图5.2.4，天平的两个盘中分别盛有51g和45g盐，问：应从A盘中拿出多少盐放到B盘中，才能使天平平衡
分析 从A 盘中拿出一些盐放到B盘中，使两盘中所盛盐的质量相等，于是有这样的等量关系：
回答：
设：
可列出表：
A 盘 B盘
原有盐/g ———— ————
现有盐/g
解：
例7 新学期开学，学校团委组织八年级 65位新团员将教科书从仓库搬到七年级新生教室. 女同学每人每次搬3 包，男同学每人每次搬4包. 每位同学搬了2 次，共搬了450包. 问：这些新团员中有多少位男同学
【读题，找找看，题目告诉了我们哪些等量关系 】
分析 题目告诉了我们好几个等量关系，其中有这样的等量关系：
回答：
设：
表5.2.2
男同学 女同学 总数
搬书的人数 x ？
每人搬书的包数 ？
共搬书的包数 ？
解答：
【强调】列方程的关键就是寻找等量关系
探究二：
教材第16页
某市的出租车计价规则如下：行程不超过3千米，收起步价8元；超过部分每千米路程收费了1.20元。某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生，坐出租车付了17.60元，他们共乘坐了多少路程？
【强调】列一元一次方程解决实际问题，关键在于抓住问题中的等量关系，列出方程. 求得方程的解后，经过检验，得到实际问题的解答.
这一过程也可以简单地表述为：
其中分析和抽象的过程通常包括：
(1) 弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数(设元)；
(2) 找出问题中所给出的等量关系，它反映了未知量与已知量之间的关系；
(3) 对这个等量关系中涉及的量，列出相关的代数式，根据等量关系，列出方程.
在设未知数和作出解答时，应注意量的单位.
探究三： 试一试
教材第16页
解答下面两个问题，注意比较这两个问题中的数量关系：
(1) 小亮和老师一起整理了一篇教学材料，准备录入成电子稿. 按篇幅估计，老师单独录入需4h完成，小亮单独录入需6h完成. 小亮先录入了1h后，老师开始一起录入，问：还需要多少小时完成
解答：
(2) 甲、乙两车分别从相距360km的两地相向开出，已知甲车的速度为60km/h, 乙车的速度为90km/h. 若甲车先开1h, 问: 乙车开出多少小时后两车相遇
解答：
【强调】列一元一次方程解决实际问题时需要注意以下几点：
1. 恰当地设未知数可以简化运算；且单位要统一.
2. 题中的相等关系不一定只有一个，要根据具体情况选择；
3. 求出方程的解后要检验，既要检验所求出的解是不是方程的解，又要检验所求出的解是否符合实际意义.
总结反思、拓展升华
列一元一次方程解答问题的步骤：
1.明确问题背景。理解题目描述的实际情境，是列方程的第一步。
找出等量关系：
2.确定等量关系。这是列方程的关键，需要根据题意找出未知数与已知数之间的关系。
3.设立未知数：
4.列出方程：建立方程。根据等量关系，列出包含未知数的等式。
5.解方程：
6.检验答案
五、【作业布置】
1.利用方程解答下列问题：
(1)x 的3 倍与2 的和等于x 的2 倍与1 的差，求x 的值；
(2)已知整式－3x+2 与2x－1 的值互为相反数，求x 的值.
2.《九章算术》的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，全书收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，书中有这样一个问题:“今有醇酒一斗，直钱五十;行酒一斗，直钱一十、今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何 "意思是:今有醇酒(美酒)1斗，价格是50钱;行酒(普通酒)1斗，价格是10钱、现花30钱买了2斗酒，问醇酒，行酒各买得多少斗 若设买得醇酒x斗，则可列一元一次方程为( )
A.50x+10x=30x2 B.50(2-x)+10x=30
C.50x+10(2-x)=30x2 D.50x+10(2-x)=30
3.利用一元一次方程解应用题:如图，
小刚将一个正方形纸片剪去一个宽为7cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么最终剩余的长方形纸片的面积为多少
4.某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下：
该公园共出售出1200张门票，得总票款20000元，问全价票和半价票各售出多少张？
半价票：20元/人
全价票：40元/人
【综合拓展类作业】
5.第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”妮妮“"吉祥物盲盒颇受大众关注，现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人
(1)若该工厂生产盲盒4的人数比生产盲盒8的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒8的工人人数;
(2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒,和3个盲盒8组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒/或10个盲盒B，目每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒4，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套
【答案】
1. (+)x=1
【分析】题主要考查了一元一次方程的实际应用(相遇问题)，读懂题意，正确列出一元一次方程是解题的关键.把总路程看作单位“1”，从而可得野鸭与大雁每天的速度，即可列出方程,
【详解】解:设经过x天相遇，则可列一元一次方程为(+)x=1
2.2x+5+x=80
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙旅行团的人数是x人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键
【详解】解:设乙旅行团的人数是x人，
由题意得，2x+5+x=80，
课后作业：
1.解：(1)列方程，得3x+2=2x－1.
移项、合并同类项，得x=－3.
(2)根据题意，得－3x+2+2x－1=0. 移项，得－3x+2x=－2+1.
合并同类项，得－x=－1. 系数化为1，得x=1.
2.
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用--购买问题，解答本题的关键是熟练掌握“总价=单价x数量”
由买醇酒x斗，行酒(2-x)斗，醇酒价格是50钱，行酒价格是10钱，花30钱共买了2斗两种酒，列出方程即可
【详解】设买醇酒x斗，则买行酒(2-x)斗，
·醇酒价格是50钱;行酒价格是10钱:花30钱共买了2斗两种酒，
.50x+10(2-x)=30.
故选:D.
3.
【答案】2352cm2
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等量关系式:剪去一个宽为7cm的长条的面积=剪去一个宽为&cm的长条的面积，据此列方程，求出正方形的边长，即可求解;找出等量关系式是解题的关键.
【详解】解:设正方形的边长为xcm，则有7x=8(x-7)，
去括号得：7x=8x-56
解得：x=56
则剩余的长方形纸片的长为:56-7=49(cm)
剩余的长方形纸片的宽为:56-8=48(cm)
最终剩余的长方形纸片的面积为:49x48=2352(cm2)
答:最终剩余的长方形纸片的面积为2352cm24.
4.
设全价票售出 x 张，半价票售出 y 张。
根据题目条件，我们可以建立以下等量关系：
门票总数量方程：x+y=1200
总票款方程：40x+20y=20000
首先，我们可以从第一个方程中解出 y：y=1200 x
然后，我们将这个表达式代入第二个方程中：
40x+20(1200 x)=20000
展开并化简得：x=1000
最后，我们将 x=1000 代入第一个方程中求出 y：y=200
所以，全价票售出 1000 张，半价票售出 200 张。
【综合拓展类作业】
5.【知识点】 配套问题(一元一次方程的应用) 解读
【答案】(1)生产盲盒B的工人人数为400人
(2)该工厂应该安排250名工人生产4，750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.
【详解】(1)解:设生产B的人数为x人，则生产4的人数为(2x-200)人，
于是(2x-200)+x=1000
解得:x=400
答:生产盲盒B的工人人数为400人
(2)解:设安排m人生产4，则安排(1000-m)人生产B，
于是3x20m=2x10(1000-m)
解得:m=250
:1000-m=1000-250=750(人)
答:该工厂应该安排250名工人生产4，750名工人生产才能使每天生产的盒正好配套
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑